UNIDAD 6. Estadística TABLAS DE FRECUENCIAS, GRÁFICOS DE BARRAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS

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1 Matemática UNIDAD 6. Estadística 1 Medio GUÍA N 5 TABLAS DE FRECUENCIAS, GRÁFICOS DE BARRAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS Cada día aparecen gráficos o datos, por ejemplo en la prensa o en televisión. Quién fue el jugador que convirtió más goles en la copa del mundo? Cómo ha variado el valor del dólar en los últimos meses? Cómo le fue a los distintos colegios en la prueba Simce? etc. La estadística descriptiva trata de la obtención de datos, de cómo organizar estos datos para que sean representativos y fáciles de entender, y de cómo obtener información usando estos datos. Por ejemplo, la siguiente tabla muestra los puntajes obtenidos por 50 alumnos de IVº medio en la PSU de matemáticas. Si observas la tabla, verás que es muy difícil extraer información relevante de ella. Incluso preguntas simples como cuál fue el puntaje más alto? se hacen difíciles de responder. Por eso es necesario organizar estos datos Una forma de organizar estos datos es escribirlos ordenados, desde el menor hasta el mayor. En un caso como este, con tantos datos, que además son muy variados, esto no es muy eficiente. Otra forma de organizar estos datos es mediante tablas de frecuencias, que ves a continuación. Como son muchos datos y muy diversos, decidimos clasificar los puntajes en 5 intervalos o clases. En la primera columna de cada tabla anotamos los 5 intervalos que elegimos. La elección de la cantidad de intervalos es arbitraria, nosotros usamos 5. (Te recomendamos usar entre 4 y 8, porque, repetimos, la idea es que los datos sean fáciles de visualizar). Tabla de frecuencias: La segunda columna de la tabla ( frecuencia ), muestra cuántos alumnos obtuvieron un puntaje en cada intervalo. Por ejemplo, 11 alumnos obtuvieron un puntaje entre 600 y 699 puntos. La tercera columna ( frecuencia acumulada ) muestra cuántos alumnos hemos contado hasta el intervalo en cuestión. Por ejemplo, hasta los 699 puntos hemos contado 45 alumnos ( = 45). Es decir hay 45 alumnos con puntajes inferiores a 699 puntos. Tabla de frecuencias Intervalo Frecuencia Frecuencia acumulada Total 50 1

2 Al final conviene sumar todas las frecuencias y anotar el total para verificar que no hemos olvidado algún puntaje. Tabla de frecuencias relativas: Esta tabla es similar a la tabla de frecuencias, sólo que la información se entrega en porcentajes. Así, mientras la tabla de frecuencias muestra a 11 alumnos entre 600 y 699 puntos, esta tabla muestra 22% (11/50 = 0,22 = 22%). Análogamente, la frecuencia acumulada de la primera tabla es 45, en cambio ahora es 90% (45/50 = 0,9 = 90%). Usando cualquiera de estas dos tablas, podemos representar los datos gráficamente, por ejemplo en un gráfico de barras, como el que muestra la figura de la derecha. En el eje horizontal (eje de las abscisas) hemos representado los puntajes y para el eje vertical (eje de las ordenadas) usamos la información dada por la columna frecuencia. Tabla de frecuencias relativas Intervalo Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada % 4% % 30% % 68% % 90% % 100% Total 100% Frecuencia Puntajes Otra manera de representar gráficamente los datos es a través de un polígono de frecuencias (gráfico abajo a la izquierda) o de un polígono de frecuencias acumuladas (gráfico abajo a la derecha). Polígono de frecuencias: En vez de rectángulos, se usa un segmento poligonal. En el eje de las abscisas anotamos el puntaje central de cada intervalo. Este puntaje se denomina marca de clase del intervalo. Polígono de frecuencias acumuladas: Es un polígono que usa normalmente frecuencias relativas acumuladas (aunque también es posible usar frecuencias acumuladas). El eje x muestra el mayor valor de cada intervalo. Frecuencia Frecuencia relativa acumulada 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% Puntajes Puntajes 2

3 ACTIVIDADES 1. Las edades de 10 trabajadores son: 20, 21, 22, 24, 24, 25, 25, 25, 27 y 28. a) Por qué no es conveniente en este caso agrupar los datos en intervalos? b) Construye el polígono de frecuencia acumulada para estos datos. c) Se parece el gráfico que construiste en b) al del ejemplo de la guía? 2. Se realiza una encuesta a 1000 hombres y 1000 mujeres, todos casados, quienes responden la siguiente pregunta: A qué edad se casó con su actual pareja? La siguiente tabla muestra los resultados, según sexo. Edad Mujeres 3% 18% 38% 22% 13% 6% Hombres 2% 12% 37% 35% 10% 4% a) Interpreta la columna que corresponde a la edad de 20 a 24 años. Qué significan los porcentajes 18% y 12%? A cuántas personas corresponden estos porcentajes? b) Los datos de la tabla se pueden representar en un mismo histograma. En el eje de las abscisas escribimos los intervalos de edades y en el de las ordenadas las frecuencias. Pero en vez de dibujar un rectángulo por intervalo, dibujamos dos, cada uno de mitad del ancho del intervalo. Construye el histograma para la tabla anterior. Usa un color para los rectángulos de los hombres y otro para los de las mujeres. Asegúrate de escribir en el gráfico qué color corresponde a cada sexo. 3. Los siguientes datos corresponden a las alturas (en cm) de 25 personas elegidas al azar: a) Construye una tabla de frecuencias y de frecuencias relativas, agrupando los datos en intervalos apropiados. (Por ejemplo, el primer intervalo podría ser ) b) Construye un histograma y un polígono de frecuencias relativas acumuladas para los datos. 3

4 GUÍA N 2 MEDIA, MODA Y MEDIANA Muchas veces usamos un solo número o información para representar la tendencia de toda una serie de datos: La esperanza de vida de los chilenos es de 78 años ; El salario promedio en Chile es de 660 dólares mensuales ; La mayoría de los chilenos se declara creyente. Estos números se conocen como medidas de tendencia central y son la media, la moda y la mediana. La Media aritmética o promedio. La media aritmética (o simplemente la media ) de un conjunto de datos es un valor que se obtiene sumando todos los datos y luego dividiendo por el total. Se anota x. Volvamos al ejemplo de los puntajes PSU: La suma de los 50 puntajes da Por lo tanto el promedio de los 50 puntajes es: x= =549, Si en vez de tener todos los datos, solamente disponemos de la tabla de frecuencias, podemos calcular el promedio usando las marcas de clase. En vez de pensar, por ejemplo, que hay 13 puntajes entre 400 y 499, asumiremos que hay 13 personas que sacaron 450 puntos. Dado que puede que no tengamos los datos reales, esto permite tener una buena aproximación al promedio. Veamos: Si hay 2 puntajes de 350, 13 de 450 puntos, etc., el promedio que obtenemos es: x= = = Tabla de frecuencias Intervalo Marca Frecuencia de clase Total 50 Comparado con el promedio real (549,6) hay 8,4 puntos de diferencia, lo cual no es mucho y si compruebas los dos promedios calculados, verás que el primero es muchísimo más largo de realizar, por lo cual el segundo es preferible, aunque sea menos preciso. La moda. La moda de un conjunto de datos es aquel que aparece más veces. Si hay empate entre dos (o tres o más) datos, el conjunto de datos se denomina bimodal (o trimodal o multimodal). Si ningún dato se repite, diremos que no hay moda. En el caso de los puntajes PSU, el intervalo modal es (pues es el intervalo que presenta la mayor frecuencia). 4

5 La mediana. Si ordenamos los datos desde el menor hasta el mayor, la mediana es un valor bajo el cual está el 50% de los datos. Si hay dos datos que ocupan el lugar central, se calcula el promedio de ellos. Por ejemplo: a) La mediana de 1, 3, 5, 8, 9 es 5. b) La mediana de 1, 3, 3, 5, 8, 8 es 4 (el promedio entre 3 y 5, pues estos son los datos del centro). Para datos agrupados por intervalos, se puede determinar la mediana aproximadamente usando los polígonos de frecuencias relativas acumuladas. Esto lo veremos en las actividades. Sin embargo cómo calcular esta mediana exactamente lo veremos en la siguiente guía. Ejemplo: Se encuesta a un curso de 25 alumnos y se les pregunta cuántos hermanos tienes?. La tabla de la derecha muestra los resultados de la encuesta. Cuál es la media, la moda y la mediana? Número de hermanos Número de alumnos Solución: a) Media x= = =1, Respuesta: Los alumnos del curso tienen, en promedio, 1,72 hermanos. b) Moda. La moda es 1, pues es el dato con la mayor frecuencia (10). Respuesta: Los alumnos del curso tienen, en cuanto a moda, 1 hermano. c) Mediana. Como son 25 alumnos, el del medio es el alumno número 13. Hay 2 alumnos que no tienen hermanos y 10 que tienen 1 hermano. Es decir, los primeros 12 alumnos tienen 0 ó 1 hermano. Por lo tanto el alumno número 13 tiene 2 hermanos. Respuesta: Los alumnos del curso tienen, en cuanto a mediana, 2 hermanos. El ejemplo anterior te muestra que los valores de la media, la moda y la mediana pueden ser bastante diferentes, por lo tanto hay que pensar bien cuál es el más representativo en cada caso. 5

6 ACTIVIDADES 1. A cinco trabajadores se les paga por hora. Los valores de los sueldos por hora son $800, $800, $850, $1050 y $1200. a) Calcula la media, la moda y la mediana. b) Si el sueldo por hora del trabajador que gana más, aumenta a $2000 por hora, qué efecto tiene esto sobre la media, la moda y la mediana de los 5 datos? 2. En un grupo de 10 jóvenes, la edad promedio es de 17,1 años y la mediana es de 16,5 años. Si al grupo llega un joven de 21 años, cuáles son la media y mediana ahora? 3. En una empresa hay 10 trabajadores, que ganan $2000 por hora cada uno; 5 secretarias, que ganan $2500 por hora cada una; 3 supervisores, que ganan $3500 por hora cada uno, 1 administrador, que gana $4000 por hora y 1 gerente que gana $10000 por hora. a) Representa estos datos en una tabla de frecuencias. b) Calcula la media, la moda y la mediana de los datos. c) Cuál de las tres medidas de tendencia central te parece más representativa de los sueldos de la empresa? Por qué? Calcula la media, la moda y la mediana para los siguientes conjuntos de datos: a) 3, 4, 4, 7, 8, 8, 10, 11 b) Número de hermanos Número de alumnos Construye un polígono de frecuencias relativas acumuladas en cada caso. 4.3 Marca la mediana en el gráfico de la parte anterior. Qué te llama la atención? 5. Cuál es la mediana para los datos representados en el siguiente polígono de frecuencias relativas acumuladas? Frecuencia relativa acumulada 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%

7 6. Un supermercado hace un estudio y descubre que las bolsas de mercadería que llevan las personas pesan entre 500 gramos y 2 kilos. La siguiente tabla muestra los datos: Peso de la bolsa (kg) [0,5-0,8[ [0,8 1,1[ [1,1 1,4[ [1,4 1,7[ [1,7 2,0] Número de bolsas a) Determina la marca de clase de cada intervalo. b) Calcula la media de los datos, usando la marca de clase y las frecuencias. c) Construye un polígono de frecuencias relativas acumuladas. d) La mediana corresponde al 50% de los datos. Utiliza el gráfico de la parte c) para determinar la mediana de los pesos de las bolsas de manera aproximada. 7. El siguiente gráfico corresponde a un polígono de frecuencias para un conjunto de datos agrupados por intervalos. a) Construye la tabla de frecuencias correspondiente al gráfico. b) Inventa: Qué podría representar el eje de las abscisas? Y el de las ordenadas? c) Calcula la media de los datos. d) Construye el polígono de frecuencias relativas acumuladas. e) Utiliza el gráfico de la parte d) para determinar aproximadamente la mediana Frecuencia

8 GUÍA N 3 CUARTILES Las medidas de tendencia central resumen todo un conjunto de datos en un solo número pero ese número puede no ser muy representativo. Los cuartiles permiten representar un poco mejor los datos, dividiendo el conjunto de datos en cuatro partes iguales. Importante: los datos deben estar ordenados de menor a mayor. Hay tres cuartiles: a) El primer cuartil (Q 1 ) es un valor bajo el cual se encuentra el 25% de los datos (y por lo tanto 75% de los datos están sobre Q 1 ). Si hay n datos, entonces Q 1 ocupa el lugar n de los datos. b) El segundo cuartil (Q 2 ) es un valor bajo el cual se encuentra el 50% de los datos y equivale a la mediana de los datos. Si hay n datos, entonces Q 2 ocupa el lugar n + 1 de los datos. 2 c) El tercer cuartil (Q 3 ) es un número bajo el cual se encuentra el 75% de los datos. Si hay n 3 ( n + 1) datos, entonces Q 3 ocupa el lugar de los datos. 4 Ejemplo 1: Calcular los tres cuartiles para los datos que representan las edades de 10 personas: 8, 9, 13, 15, 19, 20, 20, 21, 23 y 28. Solución: 1. Calculamos el primer cuartil. Como n = 10, el primer cuartil debe ocupar el lugar 2,75 de los datos (11 : 4 = 2,75). Sin embargo no existe un dato número 2,75. Existe el dato número 2, que es 9 y existe el dato número 3, que es 13. Cuál es el dato número 2,75? Para responder esto se hace el siguiente cálculo: a) Entre el 2º dato (9) y el 3º (13) hay 4 de diferencia. b) Multiplicamos 4 por 0,75 (que es la parte decimal de 2,75) y da 3. c) Sumamos el resultado obtenido en b) al 2º dato: = 12. Respuesta: Q 1 = Calculamos el segundo cuartil. El segundo cuartil ocupa el lugar 5,5 de los datos (11 : 2 = 5,5). Hacemos el cálculo: a) Entre el 5º dato (19) y el 6º (20) hay 1 de diferencia. b) Multiplicamos 1 por 0,5 (la parte decimal de 5,5). Obtenemos como resultado 0,5. c) Sumamos el resultado obtenido en b) al 5º dato: ,5 = 19,5. Respuesta: Q 2 = 19,5. (Nótese que el segundo cuartil corresponde a la mediana de los datos.) 3. Calculamos el tercer cuartil. El tercer cuartil corresponde al dato número 8,25 (3 11 : 4 = 8,25). Hacemos el cálculo: a) Entre el 8º dato (21) y el 9º (23) hay 2 de diferencia. 8

9 b) Multiplicamos 2 por 0,25. Obtenemos como resultado 0,5. c) Sumamos el resultado obtenido en b) al 8º dato: ,5 = 21,5. Respuesta: Q 3 = 21,5. Los datos se pueden agrupar entonces de la siguiente manera: 8, 9, 13, 15, 19, 20, 20, 21, 23, 28 Q 1= 12 Q 2= 19,5 Q 3= 21,5 Cómo calcular los cuartiles, si los datos están agrupados en intervalos? Se procede de la misma manera. Veamos el ejemplo de los puntajes: Ejemplo 2. Calcular los tres cuartiles para la tabla de puntajes. Solución: 1. Calculamos el primer cuartil. Como n = 50, el primer cuartil ocupa el lugar 12,75 (51 : 4 = 12,75). El primer intervalo tiene 2 datos, que es menos que 12,75. Hasta el segundo intervalo hay 15 datos, que es más que Tabla de frecuencias Intervalo Frecuencia Frecuencia acumulada Total 50 12,75. Esto quiere decir que debemos buscar el dato número 10,75 del segundo intervalo. (Debemos restar los 2 datos del primer intervalo). a) El intervalo tiene una longitud igual a 100 y contiene 13 datos. b) Dividimos 100 en 13 y luego multiplicamos por 10,75, lo cual da (aprox.) 82,69. c) Sumamos el resultado obtenido en b) al límite izquierdo del intervalo: El primer cuartil es ,69 = 482, Calculamos el segundo cuartil. Como n = 50, el segundo cuartil ocupa el lugar 25,5 (51 : 2 = 21,5). Hasta el 2º intervalo hay 15 datos (menos que 25,5) y hasta el tercer intervalo hay 34 datos (más que 25,5). Esto quiere decir que debemos buscar el dato número 10,5 del tercer intervalo. (Debemos restar los 15 datos que hay antes del tercer intervalo). a) El intervalo tiene una longitud igual a 100 y contiene 19 datos. b) Dividimos 100 en 19 y luego multiplicamos por 10,5, lo cual da (aprox.) 55,26. c) Sumamos el resultado obtenido en b) al límite izquierdo del intervalo: El segundo cuartil (que es también la mediana) es ,26 = 555, Calculamos el tercer cuartil. El tercer cuartil ocupa el lugar 38,25 (51 : 4 = 12, 75; 12,75 3 = 38,25). Hasta el 3er intervalo hay 34 datos y hasta el 4º intervalo hay 45. Esto quiere decir que debemos buscar el dato número 4,25 del cuarto intervalo. (Debemos restar los 34 datos que hay antes del cuarto intervalo). 9

10 a) El intervalo tiene una longitud igual a 100 y contiene 11 datos. b) Dividimos 100 en 11 y luego multiplicamos por 4,25, lo cual da (aprox.) 38,64. c) El tercer cuartil es ,64 = 638,64. Respuesta: Q 1 = 482,69; Q 2 = 555,26. Q 3 = 638,64. ACTIVIDADES 1. Continuemos con los datos del ejemplo: 8, 9, 13, 15, 19, 20, 20, 21, 23, 28 Q 1= 12 Q 2= 19,5 Q 3= 21,5 a) Cuál es la media de los datos? b) Cuál es el promedio de edad para las personas bajo el primer cuartil? (Calcula también los promedios de edad para las personas entre los demás cuartiles.) c) Cuál es el promedio de los datos encontrados en b)? 2. Hace un año, Ángela comenzó a trabajar en un negocio y mantuvo un registro de cuántas ventas logró en cada mes. La siguiente tabla te muestra este registro. Mes Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic Ventas a) Calcula los tres cuartiles. b) El contrato de Ángela establece que ganará un bono aquellos meses del cuarto cuartil. Qué meses recibió bono? 3. En un colegio se hace un estudio acerca de las estaturas de los alumnos. La siguiente tabla te muestra los resultados. Altura (cm) [ [ [ [ [ [ [ [ [ ] Número de alumnos a) Construye un polígono de frecuencias acumuladas. b) Determina los tres cuartiles, tanto usando álgebra como gráficamente. 10

11 4. Jorge realiza una encuesta a 13 compañeros para saber cuánto tiempo demora comprar algo en el kiosco del colegio. Luego construyó el siguiente polígono de frecuencias acumuladas. a) Calcula los diferentes cuartiles. b) Cómo interpretas los números que calculaste? Frecuencia acumulada tiempo (en minutos) 11

12 GUÍA N 4 PERCENTILES Los cuartiles dividen el conjunto de datos en 4 partes iguales. De la misma manera, los quintiles dividen al conjunto de datos en 5 partes iguales, los deciles en 10 partes iguales y los percentiles en 100 partes iguales. Todos ellos reciben el nombre genérico de medidas de posición. En esta guía nos concentraremos en los percentiles. Veremos que la forma de calcularlos no difiere mucho de la forma de calcular cuartiles y esa misma técnica es aplicable a otras medidas de posición. Recuerda que los datos deben estar ordenados de menor a mayor. Explicaremos el cálculo de percentiles a través de dos ejemplos: Ejemplo 1: Una empresa utiliza cierta maquinaria y lleva un registro de cuántos días funcionan antes que deba hacérseles algún tipo de mantenimiento. Los datos de los últimos 19 registros son los siguientes (los datos están en horas): 32,5 42,0 47,2 50,2 59,0 60,1 61,5 62,1 62,4 63,2 63,9 65,2 66,4 68,1 70,0 71,7 76,3 80,7 82,7 La empresa decide dar de baja una maquinaria, si está bajo el percentil 12. A cuántas horas equivale eso? Solución: 1. Calculamos qué posición ocupa el percentil 12 (Lo escribimos P 12 ). Como n = 19, usamos n + 1 = 20. Calculamos el 12% de 20: 0,12 * 20 = 2,4 Por lo tanto, P 12 corresponde al dato que ocupa la posición 2,4. 2. Calculamos el percentil 12. El 2º dato es 42,0 y el 3er dato es 47,2. Nosotros buscamos el dato 2,4. Hacemos el cálculo: a) Entre el 42,0 y 47,2 hay 7,2 de diferencia. b) Multiplicamos 7,2 por 0,4 (la parte decimal de 2,4). Obtenemos como resultado 2,88, que aproximamos a 2,9. (Como los datos tienen un número después de la coma, los resultados también). c) Sumamos el resultado obtenido en b) al 2º dato: 42,0 + 2,9 = 44,9. Respuesta: P 12 = 44,9. Entonces, la empresa debiera dar de baja a una máquina, si requiere de mantención antes de 45 horas. Esto significa que debe dar de baja 2 máquinas. 12

13 Ejemplo 2. Un colegio toma una prueba a los 69 alumnos de Iº medio. La prueba tiene un puntaje máximo de 30 puntos. El 15% superior de los alumnos se exime de rendir un examen. Cuántos puntos debe obtener un alumno para no tener que rendir examen? Solución: El problema equivale a calcular P Calculamos qué posición ocupa P 85. Como n = 69, usamos n + 1 = 70. Calculamos el 80% de 70: 0,85 * 70 = 59,5. Tabla de frecuencias Intervalo Frecuencia Frecuencia acumulada [0 5[ 4 4 [5 10[ [10 15[ [15 20[ [20 25[ [25 30[ 5 69 Por lo tanto, el percentil 85 corresponde al dato que ocupa la posición 59,5. 2. Calculamos el percentil 85. Hasta el intervalo [15-20[ llevamos 54 alumnos (que es menos que 59,5), y en el siguiente intervalo ya superamos los 59,5 alumnos. Por lo tanto el percentil 85 se encuentra en el intervalo [20 25[. De hecho, corresponde al dato número 5,5 en dicho intervalo (a 59,5 le restamos los 54 acumulados hasta el intervalo anterior). Hacemos el cálculo: a) El intervalo [20 25[ tiene una longitud igual a 5 y contiene 10 datos. b) Dividimos 5 en 10 y luego multiplicamos por el dato buscado, es decir por 5,5. Esto da 2,75. c) Sumamos el resultado obtenido en b) al límite izquierdo del intervalo: El percentil 85 es ,75 = 22,75. Respuesta: Para que un alumno no tenga que dar examen, debe obtener más de 22,75 puntos en la prueba. Suponiendo que los puntajes son números enteros, entonces debiera sacar 23 o más puntos. 13

14 ACTIVIDADES 1. Los pediatras usan tablas de percentiles para ver si un niño crece de manera adecuada. Santiago tiene 2 años y medio, mide 98 cm y pesa 15 kilos y medio. De acuerdo con la tabla, Santiago se encuentra en el percentil 95 según su estatura y en el percentil 90 según el peso. Cómo le explicarías qué significan estos valores a alguien que no está familiarizado con el concepto de percentil? 2. Un colegio analiza los promedios finales de sus alumnos. Para eso confecciona la siguiente tabla: Promedio [3 4[ [4 5[ [5 6[ [6 7] Número de alumnos a) Confecciona un polígono de frecuencias relativas acumuladas. b) Calcula el promedio de los alumnos. c) Según el gráfico de la parte a), a qué percentil corresponde el promedio? d) El colegio decide becar a los alumnos sobre el percentil 90. Qué promedio de notas debiera tener un alumno para poder acceder a esta beca? 3. El administrador de una pizzería desea saber cuánto demora en hacerse una pizza. Para eso toma el tiempo a varias pizzas, desde que son preparadas hasta que llegan al cliente. La siguiente tabla muestra los datos recopilados: Tiempo (minutos) [10-14[ [14 18[ [18 22[ [22 26[ [26 30] Número de pizzas a) Calcula el percentil 42. b) El administrador quiere atraer más clientela y decide ofrecer pizza gratis para aquellas pizzas sobre el percentil 95. A partir de cuánto tiempo de espera es gratis la pizza? Cuántas pizzas debería haber dado gratis, según la tabla? 14