CALCULO DE MEDIDAS DE RESUMEN CON DATOS TABULADOS

Transcripción

1 CALCULO DE MEDIDAS DE RESUMEN CON DATOS TABULADOS Jorge Galbiati Riesco Si los datos se presentan en tablas de recuencias por intervalos, se pueden obtener valores aproximados de las medidas de resumen, utilizando las respectivas marcas de clase como valores representativos de todas las observaciones agrupadas en cada uno de los intervalos. Las marcas de clase son los valores promedio entre los límites inerior y superior de los respectivos intervalos. Por esa razón los valores obtenidos no son exactos, pero se aproximan debido a que los errores por deecto tienden a cancelarse con los errores por exceso. Veremos el caso de la media, la desviación estándar y los percentiles. Supóngase que los datos se presentan en una tabla de recuencias con K intervalos, como sigue: intervalo número (j Límite inerior (LI j Límite superior (LS j Marca de clase (x j recuencias ( j Frecuencias acum. (F j 1 LI 1 LS 1 x 1 1 F 1 LI LS x F 3 LI 3 LS 3 x 3 3 F K LI K LS k x K K F K 1

2 La media. La media (aproximada se calcula como el promedio ponderado de las marcas de clase por las respectivas recuencias. x j j j= x = 1 n donde n es el total de observaciones, obtenido sumando las recuencias: n = K K j= 1 No conundir K, el número de intervalos, con n, el número de observaciones. Este último es mucho más grande que k. j La varianza y la desviación estándar. La varianza se obtiene también a partir de las marcas de clase, ponderando por las recuencias: s = K j= 1 j x j n 1 n x La desviación estándar es, igual que siempre, la raíz cuadrada de la varianza. EJEMPLO 1 La Tabla 1 presenta los puntajes corregidos obtenidos por los jóvenes que rindieron la Prueba de Selección Universitaria (PSU Matemática en el año 003. Estos consisten en el número de preguntas respondidas correctamente menos un cuarto por el número de preguntas respondidas incorrectamente. Las no respondidas no se cuentan. Como la prueba consta de 70 preguntas, el rango de puntajes corregidos tiene un rango entre (todas incorrectas y 70 (todas correctas, variando en 0.5. La tabla 1 muestra los intervalos, las marcas de clase, recuencias y recuencias acumuladas, en ambos casos absolutas y relativas. El intervalo 3, entre 7.5 y 14.5 puntos, se denomina intervalo modal, por ser el que tiene mayor recuencia. A partir de esta tabla se calcularán la media, la varianza y la desviación estándar.

3 Int. limite limite marca rec rec rec. rel. num. inerior superior de clase rec acum. relativa acum j li ls x F r Fr 1-6,5 0, ,0173 0,0173 0,5 7, ,1605 0, ,5 14, ,05 0, ,5 1, ,1396 0, ,5 8, ,1095 0, ,5 35, ,098 0,7 7 35,5 4, ,0730 0, ,5 49, ,0616 0, ,5 56, ,0555 0, ,5 63, ,0478 0, ,5 70, ,030 0, ,5 77, ,0079 1,0000 Totales ,0 TABLA 1. Distribución de recuencias de los puntajes corregidos de la PSU Matemática, 003. La Figura 1 muestra un histograma de estos datos. Se puede apreciar un sesgo pronunciado hacia los valores grandes. Puntaje Corregido Matemáticas puntos FIGURA 1. Histograma de los puntajes corregidos PSU Matemática 003. La tabla muestra los cálculos intermedios para la obtención de la media y varianza. Int. marca de num. clase rec j x *x *x Totales TABLA. Puntajes corregidos de la PSU Matemática 003, Cálculos intermedios. 3

4 Con los totales, mostrados en la última ila de la tabla, se pueden calcular las medidas de resumen aproximadas. La media es x = = La varianza es s = = y la desviación estándar es s = = EJEMPLO La Tabla 3 presenta los puntajes de la PSU obtenidos por los mismos jóvenes de la Tabla 1. Estos puntajes son el resultado de aplicar una transormación no lineal a los puntajes corregidos. El rango de puntajes PSU va de 00 a 800 puntos. El intervalo modal es el intervalo 9, entre 500 y 549 puntos. Con esta tabla se calcularán la media, la varianza y la desviación estándar. Int. limite limite marca de rec rec rec. rel. núm. inerior superior clase rec acum. relativa acum j li ls x F r Fr ,0013 0, ,0016 0, ,0075 0, ,0179 0, ,0596 0, ,0698 0, ,1575 0, ,1799 0, ,1856 0, ,1488 0, ,094 0, ,0405 0, ,0177 0, ,0119 0, ,0079 1,0000 Totales , TABLA 3. Distribución de recuencias de los puntajes PSU Matemática, 003. La Figura muestra el histograma de estos datos. Se puede observar que es bastante simétrico, lo que se logró por medio de la transormación no lineal que se aplicó a los puntajes corregidos. En el eje horizontal aparecen las marcas de clase de los intervalos de orden impar. 4

5 PSU Matemáticas punt os FIGURA. Histograma de los puntajes PSU Matemática 003. En la tabla 4 se muestran los cálculos intermedios para la obtención de la media y varianza. Int. marca de núm. clase rec j x *x *x Se obtienen las medidas de resumen con los totales: La media es x = = La varianza es s = = y la desviación estándar es s = =

6 Percentiles La orma de calcular los percentiles con datos tabulados es algo más complicada. Supongamos que buscamos el percentil P q, en que q es un número entero entre 1 y 99. Se siguen los cuatro pasos siguientes: 1.- Primero se debe calcular la posición del percentil. La posición del percentil es R=q*n/100 aproximado al entero más cercano, con n el número total de observaciones..- Luego se debe buscar en qué intervalo está el percentil, para lo cual se observa la columna de recuencias acumuladas de la tabla. En esa columna se busca el menor valor que sea mayor o igual a R. El percentil está en el intervalo correspondiente a ese valor, intervalo que designaremos con el índice k. 3.- El percentil es el dato que ocupa la posición R. La recuencia acumulada hasta el intervalo anterior al del percentil es F k-1, menor o igual que R. Entonces debemos avanzar F k-1 -R lugares para alcanzar el percentil dentro del intervalo Sea k la recuencia absoluta (no acumulada del intervalo La racción de intervalos que alta para completar el número buscado R, es (F k-1 -R/ k. 5.- Vamos a asumir que las k observaciones están a igual distancia en el intervalo, de longitud long. Este supuesto no se cumple necesariamente, por lo que el valor del percentil que resulta es aproximado, al igual que todos los cálculos eectuados con tablas de recuencia de datos agrupados por intervalos. 6.- Bajo este supuesto, la distancia que se debe recorrer desde el límite inerior para llegar al percentil es la racción (F k-1 -R/ k por la longitud de los intervalo, long. 7.- El percentil buscado es el límite inerior del intervalo k, Lin k más (F k-1 -R/ k veces la longitud del intervalo, long. La órmula que da un valor aproximado del percentil, es ( R Fk 1 Pq = Lin k + long k 6

7 en que Lin k es el límite inerior del intervalo que contiene al percentil, k es la recuencia del intervalo, F k-1 la recuencia acumulada del intervalo inmediatamente anterior, long es la longitud de los intervalos, R es q*n/100 aproximado al entero, n el número de observaciones. EJEMPLO 3 Obtendremos los cuartiles 1 y 3 y la mediana, para los datos tabulados del Ejemplo 1, correspondientes a los puntajes corregidos. Cuartil 1: Lugar que ocupa el cuartil 1: R = q*n/100 = 0.5 x = Observando la Tabla 1, vemos que la recuencia acumulada del intervalo llega hasta F = 788, menos que R, y del intervalo 3 llega a F 4 = Por lo tanto el cuartil 1 está en el intervalo 3, entre 7.5 y 14.5 puntos corregidos. Su recuencia absoluta es 3 = La recuencia acumulada hasta el intervalo anterior es F = 788, luego lo que le alta para llegar al cuartil 1 es R-F 3 = = ( R F Luego el valor de la racción es = = El límite inerior del intervalo 3 es Lin 3 = 7.5 La longitud de los intervalos es long=7 4 ( R F Por lo tanto el cuartil 1 es P5 = Lin 3 + long = x 7 = 10.0 Entonces Q3=10.0 puntos corregidos. 3 Mediana: Lugar que ocupa la mediana: R = 0.50 x = De la Tabla 1, la recuencia acumulada del intervalo 3 llega hasta F 3 = 58369, y del intervalo 4 llega a F 4 = Por lo tanto la mediana está en el intervalo 4, entre 14.5 y 1.5 puntos corregidos. Su recuencia absoluta es 4 = 144 Lo que alta para llegar a la mediana es R-F 3 = =

8 ( R F El valor de la racción es 3 = = El límite inerior del intervalo 4 es Lin 4 = ( R F3 Por lo tanto la mediana es P50 = Lin 4 + long = x 7 = 0.5 Entonces Mn=0.5 puntos corregidos. 4 Cuartil 3: Lugar que ocupa el cuartil 3: R = 0.75 x = De la Tabla 1, el cuartil 3 está en el intervalo 6, entre 8.5 y 35.5 puntos corregidos. 6 = 144 R-F 7 = = 1851 ( R F = = El límite inerior del intervalo 6 es Lin 6 = 8.5 ( R F5 Por lo tanto la mediana es P75 = Lin 6 + long = x 7 = 37.6 Entonces el cuartil 3 es 37.6 puntos corregidos. 6 Resumiendo, el cuartil 1, la mediana y el cuartil 3 son, respectivamente, 10.0, 0.5 y Esto se interpreta de la siguiente manera: El 5% de los jóvenes obtuvo 10.0 puntos corregidos o menos. Otro 5% estuvo entre 10.0 y 0.5 puntos. Otro 5% obtuvo entre 0.5 y 37.6 puntos. Y inalmente, un 5% obtuvo más de 37.6 puntos. La distancia entre el cuartil 1 y la mediana es 10.5, menor que la distancia entre la mediana y el cuartil 3, que es Esto es por el sesgo a la derecha de los datos. EJEMPLO 4 Obtendremos los cuartiles 1 y 3 y la mediana, para los datos tabulados del Ejemplo, correspondientes a los puntajes PSU. Cuartil 1: Lugar que ocupa el cuartil 1: R = 0.5 x = De la Tabla 3, el cuartil 1 está en el intervalo 7, entre 400 y 449 puntos PSU. 7 = 4176 y F 6 = 417. R-F 6 = =

9 ( R F6 417 = = El límite inerior del intervalo 8 es Lin 8 = 400 La longitud de los intervalos es long=50 ( R F6 Por lo tanto la el cuartil 1 es P5 = Lin 7 + long = x 50 = 49.3 Entonces el cuartil 1 es 49.3 puntos PSU. 7 Mediana: Lugar que ocupa la mediana: R = 0.50 x = De la Tabla 3, la mediana está en el intervalo 9, entre 500 y 549 puntos PSU. 9 = 8480 y F 8 = 7600 R-F 8 = = 733 ( R F8 = = El límite inerior del intervalo 9 es Lin 9 = 500 ( R F8 Por lo tanto la mediana es P50 = Lin 9 + long = x 50 = Entonces la mediana es puntos PSU. 9 Cuartil 3: Lugar que ocupa el cuartil 3: R = 0.75 x = De la Tabla 3, el cuartil 3 está en el intervalo 10, entre 549 y 599 puntos PSU. 10 = 830 y F 9 = R-F 9 = = 1061 ( R F = = El límite inerior del intervalo 10 es Lin 10 = 550 ( R F9 Por lo tanto la mediana es P75 = Lin10 + long = x 50 = Entonces el cuartil 3 es puntos PSU. 10 En resumen, el cuartil 1, la mediana y el cuartil 3 son, respectivamente, 49.3, y puntos PSU. Es decir: El 5% de los jóvenes obtuvo 49.3 puntos o menos. Otro 5% estuvo entre 49.3 y puntos. Otro 5% obtuvo entre y puntos. Y 9

10 inalmente, un 5% obtuvo más de puntos. En este caso la dierencia entre el cuartil 1 y la mediana es igual a la dierencia entre la mediana y el cuartil 3, 7.0 puntos PSU. Esto releja la simetría de la distribución de recuencia de los datos. 10