ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL

Transcripción

1 ESTADISTICA UIDIMESIOAL La estadística estudia propiedades de ua població si recurrir al sufragio uiversal. El estudio estadístico tiee dos posibilidades (1) Describir lo que ocurre e la muestra mediate tablas grácos y parámetros estadísticos. () Hacer iferecias, es decir, sacar coclusioes que pueda servir para toda la població Població. Cojuto ito o iito de elemetos (persoas ó cosas) sobre el que se va a hacer el estudio. El primer paso de u estudio estadístico es la deició de la població. Elemeto ó idividuo Cada ua de las persoas o cosas que itegra la població. Muestra Cojuto de elemetos represetativos de la població. La muestra debe de teer las mismas propiedades que la població a la que represeta. Al úmero de elemetos o idividuos de ua muestra se llama tamaño. Ua muestra es aleatoria cuado sus elemetos se escoge al azar. Ua muestra es proporcioal cuado cada parte de la població está represetada de acuerdo co su importacia e ella. Carácter ó variable Los caracteres ó variables so las propiedades que se desea estudiar, se puede clasicar de la siguiete forma Discreto Cuatitativo : Caracter o variable : Cotiuo Cualitativo - Carácter cuatitativo. So aquellas variables que se puede medir, por ejemplo edad, peso,... etc. - Carácter cualitativo. So aquellas variables que o se pude medir, por ejemplo color, sabor,... etc. Las variables cuatitativas a su vez se puede dividir e dos grupos - Variable cuatitativa discreta. So aquellas que solo puede tomar valores eteros, por ejemplo el úmero de hijos. - Variable cuatitativa cotiua. So aquellas que puede tomar cualquier valor real detro de u itervalo lógico, por ejemplo el peso. Tabla de frecuecias ó distribució de frecuecias co datos si agrupar Ua vez obteidos todos los datos, el primer paso es agruparlos e ua tabla ó distribució de frecuecias. Está distribució, debe de teer los valores de la variable ordeados e forma creciete ó decreciete co los respectivos valores de la frecuecia absoluta de cada valor. La distribució de frecuecia puede ampliarse añadiedo otros cálculos que permita a posteriori el estudio de diferetes parámetros de la distribució. - Frecuecia absoluta(f i ): úmero de veces que se repite u dato - Frecuecia total(σf i ó ): úmero total de datos. Es igual a la suma de todas las frecuecias absolutas. - Frecuecia acumulada(f i ): Suma de la frecuecia absoluta del dato i co las frecuecias absolutas de todos los datos ateriores - Frecuecia relativa(f r i ): Cociete etre la frecuecia absoluta del dato i y el úmero total de datos - Frecuecia acumulada relativa(f r i ): Suma de la frecuecia relativa del dato i co las frecuecias relativas de todos los datos ateriores - Porcetaje(p i ): Frecuecia relativa multiplicada por - Porcetaje acumulado(p i ): Frecuecia relativa acumulada multiplicada por

2 Ejemplo 1. Calicacioes de u exame. x i ota del exame Tabla de frecuecias ó distribució de frecuecias co datos agrupados La agrupació de los datos por itervalos, e las variables cuatitativas tiee como alidad poder presetarlos de forma visual más reducida y simplicar los cálculos, caso de teer la variable muchos valores. La agrupació de la variable por itervalos, o es fució de que está sea discreta o cotiua, auque e el caso de variable cotiua suele ser muy útil debido al elevado úmero de valores que puede tomar. Para agrupar los valores de la variable e itervalos o hay ua regla ja, sólo debe teerse e cueta que la agrupació sea coherete co el tipo de variable que sé este agrupado. Los itervalos puede ser de igual amplitud o de diferete amplitud, e fució de cada caso. Si se cosidera itervalos costate, u criterio para determiar el úmero y amplitud de los itervalos es el de ordcliff, que dice que el úmero de itervalos debe ser aproximadamete igual a la raíz cuadrada positiva del úmero de datos. Ua vez determiado el úmero de itervalos, la amplitud se calcula aproximadamete como el cociete etre el rago de la variable(diferecia etre el mayor y meor valor de la variable) y el úmero de itervalos. E la presetació de la variable agrupada e itervalos, se suele repetir el valor de extremo superior de u itervalo e el siguiete, como extremo iferior. El criterio más geeral es cosiderar icluido detro de cada itervalo al extremo iferior, pero o al superior. La amplitud de u itervalo es la diferecia etre el extremo superior y el iferior. La marca de clase, o valor represetativo del itervalo, es la semisuma de los extremos del itervalo: Li + Ls Li = Límite iferior del itervalo x i = : Ls = Límite superior del itervalo para los cálculos de parámetros de la distribució, se usa la marca de clase como valor represetativo del itervalo

3 Ejemplo. úmero de respuestas correcta de u test de 50 pregutas Grácos estadísticos - Diagrama de barras.- So grácos que represeta cada valor de la variable mediate ua barra proporcioal a la frecuecia co la que se preseta. Las barras debe estar separadas. - Histogramas.- Se usa para variables agrupadas por itervalos, asigado a cada itervalo u rectágulo de supercie proporcioal a su frecuecia. La altura de cada itervalo se halla dividiedo la frecuecia que represeta etre la amplitud del itervalo - Poligoal de frecuecias.- Los histogramas y los diagramas de barras se puede represetar por ua poligoal de frecuecias, que es la líea que ue los putos correspodietes a las frecuecias de cada valor(extremos superiores de las barras) - Diagrama de sectores.- E estos grácos, cada valor de la variable estadística viee represetado por u sector circular de amplitud proporcioal a su frecuecia. La amplitud(α i ) de cada sector se halla multiplicado la frecuecia relativa por 360 sí se mide e grados sexagesimales o por π si se mide e radiaes. Los diagramas de sectores da ua clara visió de cojuto de cada valor respecto a la totalidad. Para su mejor iterpretació es coveiete mostrar e cada sector su proporció.

4 Ejemplo 3. Sobre ua muestra de 80 parejas se ha estudiado el úmero de hijos obteiedo los siguietes resultados: úmero de hijos x i ó + úmero de parejas f i a. Calcular el cuadro de frecuecias b. Represetar el diagrama de barras para la frecuecia absoluta y la frecuecia acumulada c. Represetar la poligoal de la frecuecia absoluta y de la frecuecia acumulada d. Represetar el graco de sectores a. Cuadro de frecuecias b. Diagrama de barras c. Poligoal de frecuecias

5 d. Diagrama de sectores Ejemplo 4. Sobre ua muestra de persoas a las que se le ha realizado u test de 50 pregutar sobre seguridad vial, se ha obteido los siguietes resultado agrupados e itervalos: Itervalo Frecuecia a. Calcular el cuadro de frecuecias b. Represetar el histograma para la frecuecia absoluta y la frecuecia acumulada c. Represetar la poligoal de la frecuecia absoluta y de la frecuecia acumulada a. Cuadro de frecuecias Itervalo M.C. (x i ) f i F i f r i F r i b. Histograma = f i =

6 c. Poligoal de frecuecias Parámetros estadísticos. Describe de u modo cociso el comportamieto y las características geerales de los datos estudiados. Se puede clasicar de la siguiete forma: Parámetros - Media Medidas de cetralizació : - Moda - Mediaa - Cuartiles - Quitiles Cuatiles : estadísticos : - Deciles - Percetiles Medidasde dispersió : - Amplitud, rago o recorrido - Desviació media - Variaza y desviació - Coeciete de variació Parámetros de cetralizació Media Es la medida de cetralizació más usual. Existe diversos tipos de medias: - Media aritmética. x i i= 1 o Simple: x = Dode =. i= 1 x i p i i= 1 o Poderada: x p = Se utiliza cuado los valores de la variable tiee diferete p i i= 1 importacia, sigicació ó peso detro del cojuto de la distribució. p i es la cuaticació de la importacia o peso, es u valor porcetual y se expresa e tato por uo Propiedades de la media aritmética i. La media es el cetro de gravedad de la distribució. La suma de las desviacioes de los valores respecto a ella es igual a cero. ( x i x) i = 0 ii. iii. Si se multiplica todos los valores de la variable por ua costate, la media queda multiplicada por esa costate Si sumamos a todos los valores de la variable ua costate, la media queda aumetada e esta costate.

7 iv. La media de la suma de dos o más variables es igual a la suma de las medias aritméticas de cada ua de las variables. Si o tiee la misma frecuecia total, se calcula la media poderada. - Media geométrica: x g = x1 1 x... x La media geométrica se utiliza para los casos e que sea ecesario ua gra precisió, puesto que es la úica media a la que o la afecta los valores extremos. o puede utilizarse si la variable toma valores egativos ó cero. - Media armóica: x a = Se utiliza cuado la variable está medida e uidades relativas, 1 i x i= 1 como por ejemplo Km,,...etc H m i Moda Es el valor de la variable estadística que se repite más veces, es decir, el que tiee ua frecuecia absoluta más elevada. Puede haber más de ua moda, e estos casos se tratará de distribucioes bimodales, trimodales,... etc. Para ua distribució si agrupar, la moda se calcula directamete como el valor de la variable estadística co mayor frecuecia absoluta. Para distribucioes co datos agrupados, él calculo de la moda se hace mediate ua iterpolació lieal sobre el itervalo modal, obteiédose la siguiete expresió D1 Mo = Li + c D1 + D Li = Límite iferior del itervalo modal c = Amplitud de itercalo dode: D1 = 1 D = + 1 Siedo el itervalo modal el de mayor frecuecia absoluta. diferecia etre la frecuecia absoluta del itervalo modal y de itervalo posterior diferecia etre la frecuecia absoluta del itervalo modal y de itervalo aterior Se puede calcular grácamete mediate el histograma de frecuecias absolutas. Mediaa Es el valor que ocupa la posició cetral de la distribució cuado los valores de la variable está ordeados de forma creciete o decreciete. Por lo tato, la mediaa divide a la distribució e dos subcojutos co igual úmero de datos, estado el 50% de los datos por debajo de ella y el otro 50% por ecima de ella. Para el calculo de la mediaa e distribucioes co datos si agrupar, existe dos casos

8 - Para (tamaño de muestra) impar, la mediaa es el valor cetral. Se busca e la frecuecia absoluta acumulada, siedo el primer valor de la variable estadística cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor o igual que el cociete /. - Para par, la mediaa es la media aritmética de los valores cetrales de la variable estadística, que so los dos primeros valores cuya frecuecia absoluta acumulada es mayor o igual que el cociete /. Si la distribució es de datos agrupados e itervalos, la mediaa se halla por iterpolació sobre el itervalo mediao, siedo este el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor o igual que el cociete /. Fi 1 Me = L i + c Li = Límite iferior del itervalo mediao c = Amplitud del itervalo mediao dode: = úmero de datos de la muestra F = i 1 Frecuecia absoluta acumulada = Frecuecia absoluta de itervalo mediao de itervalo aterior al mediao Tambié se puede calcular grácamete mediate la poligoal de la frecuecia absoluta acumulada. Utilizació de la Media, Mediaa y Moda La moda sólo se utiliza como úica medida de cetralizació e las distribucioes de variables cualitativas. E el caso de variables cuatitativas la moda acompaña a la media y/o la mediaa. Respecto a la media y la mediaa, e geeral, se utiliza ambas, ya que esto permite realizar alguas deduccioes sobre la simetría de la distribució. Existe alguos casos dode el uso de la media es mejor que el uso de la media, estos casos so - Cuado se tiee la sospecha que e los datos puede existir errores. - E el caso de que exista valores extremos - Cuado los datos está e escala omial

9 Ejemplo 5. El úmero de urgecias atedidas e cetro de salud e 30 oches ha sido: º de urgecias (x i ) º de días (f i ) Calcular la media, moda mediaa Media: Para calcular los parámetros pedidos se costruye el siguiete cuadro de frecuecias x i f i F i x i f i = f i = 30 x i = 59 x i x = 59 = = 1'97 30 Moda: Valor de la variable de mayor frecuecia. Mo = 1 Mediaa: Por ser el úmero de datos par, la mediaa es la media aritmética de los dos valores cetrales. x i / Fi = 15 : x = 1 Valores cetrales: 1 x / F + 1 = 16 : x = i i x1 + x 1+ Me = = = 1'5 Ejemplo 6. Sobre ua muestra de persoas a las que se le ha realizado u test de 50 pregutar sobre seguridad vial, se ha obteido los siguietes resultado agrupados e itervalos: Itervalo Frecuecia Calcular los parámetros de cetralizació. Cuadro de frecuecias Media: Itervalo M.C. (x i ) f i F i x i f i = f i = x i = 3610 x i x = 3610 = = 41'

10 Moda: El itervalo modal es el de mayor frecuecia Itervalo Modal [ 0, 30) El calculo de la moda se hace por iterpolació lieal sobre el itervalo modal segú la expresió: D1 Mo = Li + c D1 + D Li = 0 c = 10 teiedo e cueta: D1 = 1 = 48 3 = 16 D = + 1 = 48 6 = 16 Mo = = 4' 16 + Mediaa: El itervalo mediao es el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada es mayor o igual que el cociete /. Aplicado a este caso F i = 75 Itervalo mediao [ 0, 30) El cálculo de la mediaa se hace por iterpolació lieal sobre el itervalo mediao segú la expresió: Fi 1 Me = L i + c Li = 0 c = dode: = Me = = 4' 0 48 F = i 1 56 = 48 Grácamete El cálculo gráco requiere mucha precisió por lo que es meos exacto.

11 Parámetros de dispersió Cuatiles So valores de variable estadística que divide a la distribució e itervalos co igual úmero de datos cada uo de ellos. E fució del úmero de itervalos e que divida a la distribució puede ser: Cuartiles. So tres valores(q 1, Q, Q 3 ) que determia las posicioes correspodietes al 5%, al 50% y al 75% de los datos, dividiedo la distribució e cuatro subcojutos co el 5% de los datos cada uo de ellos. La diferecia etre los cuartiles superior e iferior se llama rago itercuartilico. Quitiles. So cuatro valores(k 1, K, K 3, K 4 ) que determia las posicioes correspodietes al 0%, 40%, 60%, y 80% de los datos, dividiedo la distribució e cico subcojutos co el 0% de los datos cada uo de ellos Deciles. So ueve valores(d 1, D,..., D9) que correspode al 10%, 0%,..., y 90% de los datos. Divide a la distribució e diez subcojutos co el 10% de los datos cada uo de ellos. Percetiles (o cetiles). So oveta y ueve valores(p 1, P,...P 99 ) que da el valor de la posició correspodiete a cualquier porcetaje. Divide a la distribució e cie subcojutos. Cálculo: - Para distribucioes co datos si agrupar se busca el primer valor que cumpla: F i = k Dode idica el tipo de cuatil; Para cuartiles = 4, para quitiles = 5, para deciles = 10, y para percetiles =. k especica el cuatil buscado, toma valores desde 1 hasta 1. es el tamaño de la muestra. Ejemplos: Q3 : Fi 3 ; K : Fi ; D7 : Fi 7 ; P35 : Fi Para distribucioes co datos agrupados se busca el itervalo dode se ecuetra el cuatil deseado de la misma forma que e las distribucioes si agrupar y sobre este itervalo se hace ua iterpolació mediate la expresió: k Fi 1 k = Li + c Ejemplos: 3 Fi 1 Fi 1 Q 4 3 = Li + c ; K 5 = Li + c 7 Fi 1 35 Fi 1 D 10 7 = Li + c ; P 35 = Li + c Rago o recorrido Es la diferecia etre el mayor y meor valor de la variable. Es ua medida muy imprecisa, ya que sólo tiee e cueta los valores extremos. Tampoco permite hacer comparacioes etre distitas distribucioes.

12 Desviació media respecto a la media aritmética x i x i= 1 D x = Cuato más elevado sea su valor, más dispersió existirá y la media, será meos represetativa. Variaza y desviació típica La variaza(s ), es la media aritmética de las diferecias al cuadrado de cada dato respecto de la media de todos ellos. Su fórmula es : ( x x) f i i s = aplicado las propiedades de los sumatorios, se obtiee ua expresió más práctica x i s = x La variaza, al obteerse a partir del cuadrado de las diferecias de los datos respecto de la media, hace que los valores más alejados tega mayor peso e el resultado: e cosecuecia, distigue mejor que la amplitud la variabilidad ó dispersió de los datos de dos distribucioes. Cuato más elevado sea su valor, más dispersió existirá y la media, será meos represetativa. La variaza viee expresada e uidades al cuadrado. Propiedades - Siempre es positiva - Si sumamos a todos los valores de la distribució ua costate, la variaza o varia. - Si multiplicamos a todos los valores de la distribució por ua costate, la variaza queda multiplicada por la costate al cuadrado. Desviació típica La desviació típica es la raíz cuadrada positiva de la variaza. ( x i x) f i x i s = ó bie s = x La desviació típica es la medida de variabilidad ó dispersió más utilizada. Cuato más elevado sea su valor, más dispersió existirá y la media, será meos represetativa. La variaza y la desviació típica tambié se desiga por σ y σ, respectivamete. E las calculadoras, la desviació típica suele describirse por σ o por σ. Propiedades - Siempre es positiva - Si sumamos a todos los valores de la distribució ua costate, la desviació típica o varia. - Si multiplicamos a todos los valores de la distribució por ua costate, la desviació típica queda multiplicada por la costate. El coeciete de variació La dispersió o puede determiarse exclusivamete a partir de la desviació típica, ya que es u cocepto relativo. Por tato, para establecer comparacioes hay que teer tambié e cueta la media de los datos. Ua medida de la dispersió relativa de dos cojutos de datos es el coeciete de variació, que se dee como: Coeciete de variació C.V. = Dados dos cojutos, aquel que tega u coeciete de variació mayor es el más disperso, el más heterogéeo. Además, su valor o depede de la uidad de medida utilizada, pues la media y la desviació típica se ve afectadas igualmete. s x

13 Ejemplo 7. Durate el mes de Julio, e ua determiada ciudad de la costa levatia, se ha registrado las siguietes temperaturas máximas: T(ºC) (x i ) º días (f i ) Calcular: a. Media, Moda y Mediaa b. Q 1, Q 3, P 35, P 85 c. Desviació media, desviació típica y coeciete de variació. a. Se costruye el siguiete cuadro de frecuecias: x i 944 Media: x = = = 30' x i f i F i x i f i = i = x i = 944 Moda: Mo = 31. Por ser el de mayor frecuecia absoluta(f 31 = 8) Mediaa: Por ser el úmero de datos impares, la mediaa es el valor cetral. Se localiza por ser el primer valor cuya frecuecia absoluta acumulada es mayor o igual que el cociete /. = 31 = 15'5 : F 15'5 Me 30 Me = b. Los Cuatiles al igual que la mediaa, se busca e la frecuecia absoluta acumulada: x i F i Q 1: FQ 1 1 = 7'75 Q1 = 9 Q 3: FQ 3 3'5 Q = = P 35: FP = 10'89 : P35 = 30 P 85: FP 85 6'35 : P = =

14 c. Para calcular los parámetros de dispersió pedidos, es ecesario el siguiete cuadro de frecuecias: x i f i x i f i x i f i i = 31 x i = 944 x i = 886 ( x i 30'5) = 79' 68 x i x i= 1 79'68 Desviació media: D x = = = ' x i 886 Desviació típica: s = σ = x = 30'45 = 1' s 1'63 C = = = = x 30'45 Coeciete de variació:.v. 0'0535 C.V. (%) 5' 35

15 Ejemplo 8. Se ha estudiado el coeciete itelectual de los 10 alumos de u cetro de Bachiller, obteiédose los siguietes resultados Coeciete Itelectual (x i ) º de alumos (f i ) [8, 90) 1 [90, 98) 3 [98, 106) 49 [106, 114) 54 [114, 1) 30 [1, 130) 17 [130, 138) 11 [138, 146) 5 Calcular: a. La Media, la Moda y la Mediaa b. El K, D 8, P 5 c. La putuació ecesaria para perteecer al 15% de alumos co mayor coeciete itelectual d. La Variaza y el coeciete de variació e. Cual de las distribucioes de los ejemplos 7 y 8 esta meos dispersa. a. Cuadro de frecuecias Itervalo x i f i F i x i f i [8, 90) [90, 98) [98, 106) [106, 114) [114, 1) [1, 130) [130, 138) [138, 146) i = 10 x1 = 844 x i 844 Media: x = = = 108' 8 10 Moda: El itervalo modal es el de mayor frecuecia. [106, 114). La moda se obtiee por iterpolació: D1 Mo = Li + c D1 + D Li = 106 c = 8 teiedo e cueta: D1 = 1 = = 5 D = + 1 = = 4 5 Mo = = 107' Mediaa: El itervalo dode se ecuetra la media es el primer cuya frecuecia absoluta acumulada es mayor o igual que el cociete /. F 10 i = 105 buscado e la columa de la frecuecia acumulada [ ) 106,114 Me Ua vez localizada se calcula por iterpolació

16 dode: Li = 106 c = 8 = 10 F = i 1 93 = 54 Me = Li + c Fi Me = = 107' 8 54 b. El segudo quitil está e el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor o igual que 5 10 Fi = 84 K [ 98,106) 5 El K se obtiee por iterpolació: Li = F c 8 i 1 44 K L c 5 = = i + = = = + = 104'5 49 Fi 1 = 44 = 49 El octavo decil(d 8 ) está e el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor ó igual que Fi 8 = 168 K [ 114,1) 10 El D 8 se obtiee por iterpolació: Li = F c 8 i D L c 10 = = i + = = = + = 119'6 30 Fi 1 = 147 = 30 El quito percetil(p 5 ) está e el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor ó igual que 5 10 Fi 5 = 10'5 P5 [ 8, 90) El P 5 se obtiee por iterpolació: Li = F c 8 i P L c = = i + = = = + = 89 1 Fi 1 = 0 = 1

17 c. Se pide calcular el percetil ocheta y cico, ya que este deja a su izquierda el 85% de la distribució, y a su derecha el 15%, que debido al orde creciete de la distribució, correspode al de mayor ota. El P 85 está e el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor ó igual que 10 Fi 85 = 178'5 P5 [ 1,130) El P 85 se obtiee por iterpolació: Li = F c 8 i P L c = = i + = = = + = 1'7 17 Fi 1 = 177 = 17 Par estar e el 15% de mayor coeciete itelectual, la ota del test debe ser mayo que 1. d. Cuadro de frecuecias Itervalo x i f i x i f i x i f i [8, 90) [90, 98) [98, 106) [106, 114) [114, 1) [1, 130) [130, 138) [138, 146) i = 10 x1 = 844 x i = x f i i Variaza: σ = x = 108'8 = 165' σ C.V. = = x σ x = 165'5 108'8 = 0' 1183 C.V. (%) = 11' 83 e. Para comparar la dispersió de dos distribucioes, se compara sus coecietes de variació, el meor valor correspoderá a la meos dispersa. Ejemplo 7: C.V. = 5 35% Ejemplo 8: C.V. = 11 83% E la distribució del ejemplo 7, los datos está meos dispersos respecto de la media que e el ejemplo 8. Comparació de putuacioes Para poder comparar valores de dos distribucioes diferetes, es decir, para poder comparar las posicioes de dos valores detro de sus respectivas distribucioes, es ecesario tipicar las variables Variable tipicada: x i x zi = σ

18 Ejemplo 9. U alumo obtiee u 5 5 e el exame de matemáticas y u 6 4 e el exame de losofía. E cual exame obtuvo mejor ota respecto a su clase?. x m = 5' Exame de matemáticas : Datos: σ m = 1'0 x f = 5'9 Exame de losofía : σf = 1'7 Para poder compara las putuacioes de dos exámees hay que desvicular las variables de lo que mide, eso se cosigue mediate su tipicació. x m x m 5'5 5' z m = = = 0'94 x i x σ 1'0 z = : m i σ x f x f 6'4 5'9 zf = = = 0'91 σf 1'7 Respecto de la clase, obtuvo mejor ota e el exame de matemáticas ya que su valor tipicado es mayor.