ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ESTADISTICA UNIDIMENSIONAL"

Transcripción

1 ESTADISTICA UIDIMESIOAL La estadística estudia propiedades de ua població si recurrir al sufragio uiversal. El estudio estadístico tiee dos posibilidades (1) Describir lo que ocurre e la muestra mediate tablas grácos y parámetros estadísticos. () Hacer iferecias, es decir, sacar coclusioes que pueda servir para toda la població Població. Cojuto ito o iito de elemetos (persoas ó cosas) sobre el que se va a hacer el estudio. El primer paso de u estudio estadístico es la deició de la població. Elemeto ó idividuo Cada ua de las persoas o cosas que itegra la població. Muestra Cojuto de elemetos represetativos de la població. La muestra debe de teer las mismas propiedades que la població a la que represeta. Al úmero de elemetos o idividuos de ua muestra se llama tamaño. Ua muestra es aleatoria cuado sus elemetos se escoge al azar. Ua muestra es proporcioal cuado cada parte de la població está represetada de acuerdo co su importacia e ella. Carácter ó variable Los caracteres ó variables so las propiedades que se desea estudiar, se puede clasicar de la siguiete forma Discreto Cuatitativo : Caracter o variable : Cotiuo Cualitativo - Carácter cuatitativo. So aquellas variables que se puede medir, por ejemplo edad, peso,... etc. - Carácter cualitativo. So aquellas variables que o se pude medir, por ejemplo color, sabor,... etc. Las variables cuatitativas a su vez se puede dividir e dos grupos - Variable cuatitativa discreta. So aquellas que solo puede tomar valores eteros, por ejemplo el úmero de hijos. - Variable cuatitativa cotiua. So aquellas que puede tomar cualquier valor real detro de u itervalo lógico, por ejemplo el peso. Tabla de frecuecias ó distribució de frecuecias co datos si agrupar Ua vez obteidos todos los datos, el primer paso es agruparlos e ua tabla ó distribució de frecuecias. Está distribució, debe de teer los valores de la variable ordeados e forma creciete ó decreciete co los respectivos valores de la frecuecia absoluta de cada valor. La distribució de frecuecia puede ampliarse añadiedo otros cálculos que permita a posteriori el estudio de diferetes parámetros de la distribució. - Frecuecia absoluta(f i ): úmero de veces que se repite u dato - Frecuecia total(σf i ó ): úmero total de datos. Es igual a la suma de todas las frecuecias absolutas. - Frecuecia acumulada(f i ): Suma de la frecuecia absoluta del dato i co las frecuecias absolutas de todos los datos ateriores - Frecuecia relativa(f r i ): Cociete etre la frecuecia absoluta del dato i y el úmero total de datos - Frecuecia acumulada relativa(f r i ): Suma de la frecuecia relativa del dato i co las frecuecias relativas de todos los datos ateriores - Porcetaje(p i ): Frecuecia relativa multiplicada por - Porcetaje acumulado(p i ): Frecuecia relativa acumulada multiplicada por

2 Ejemplo 1. Calicacioes de u exame. x i ota del exame Tabla de frecuecias ó distribució de frecuecias co datos agrupados La agrupació de los datos por itervalos, e las variables cuatitativas tiee como alidad poder presetarlos de forma visual más reducida y simplicar los cálculos, caso de teer la variable muchos valores. La agrupació de la variable por itervalos, o es fució de que está sea discreta o cotiua, auque e el caso de variable cotiua suele ser muy útil debido al elevado úmero de valores que puede tomar. Para agrupar los valores de la variable e itervalos o hay ua regla ja, sólo debe teerse e cueta que la agrupació sea coherete co el tipo de variable que sé este agrupado. Los itervalos puede ser de igual amplitud o de diferete amplitud, e fució de cada caso. Si se cosidera itervalos costate, u criterio para determiar el úmero y amplitud de los itervalos es el de ordcliff, que dice que el úmero de itervalos debe ser aproximadamete igual a la raíz cuadrada positiva del úmero de datos. Ua vez determiado el úmero de itervalos, la amplitud se calcula aproximadamete como el cociete etre el rago de la variable(diferecia etre el mayor y meor valor de la variable) y el úmero de itervalos. E la presetació de la variable agrupada e itervalos, se suele repetir el valor de extremo superior de u itervalo e el siguiete, como extremo iferior. El criterio más geeral es cosiderar icluido detro de cada itervalo al extremo iferior, pero o al superior. La amplitud de u itervalo es la diferecia etre el extremo superior y el iferior. La marca de clase, o valor represetativo del itervalo, es la semisuma de los extremos del itervalo: Li + Ls Li = Límite iferior del itervalo x i = : Ls = Límite superior del itervalo para los cálculos de parámetros de la distribució, se usa la marca de clase como valor represetativo del itervalo

3 Ejemplo. úmero de respuestas correcta de u test de 50 pregutas Grácos estadísticos - Diagrama de barras.- So grácos que represeta cada valor de la variable mediate ua barra proporcioal a la frecuecia co la que se preseta. Las barras debe estar separadas. - Histogramas.- Se usa para variables agrupadas por itervalos, asigado a cada itervalo u rectágulo de supercie proporcioal a su frecuecia. La altura de cada itervalo se halla dividiedo la frecuecia que represeta etre la amplitud del itervalo - Poligoal de frecuecias.- Los histogramas y los diagramas de barras se puede represetar por ua poligoal de frecuecias, que es la líea que ue los putos correspodietes a las frecuecias de cada valor(extremos superiores de las barras) - Diagrama de sectores.- E estos grácos, cada valor de la variable estadística viee represetado por u sector circular de amplitud proporcioal a su frecuecia. La amplitud(α i ) de cada sector se halla multiplicado la frecuecia relativa por 360 sí se mide e grados sexagesimales o por π si se mide e radiaes. Los diagramas de sectores da ua clara visió de cojuto de cada valor respecto a la totalidad. Para su mejor iterpretació es coveiete mostrar e cada sector su proporció.

4 Ejemplo 3. Sobre ua muestra de 80 parejas se ha estudiado el úmero de hijos obteiedo los siguietes resultados: úmero de hijos x i ó + úmero de parejas f i a. Calcular el cuadro de frecuecias b. Represetar el diagrama de barras para la frecuecia absoluta y la frecuecia acumulada c. Represetar la poligoal de la frecuecia absoluta y de la frecuecia acumulada d. Represetar el graco de sectores a. Cuadro de frecuecias b. Diagrama de barras c. Poligoal de frecuecias

5 d. Diagrama de sectores Ejemplo 4. Sobre ua muestra de persoas a las que se le ha realizado u test de 50 pregutar sobre seguridad vial, se ha obteido los siguietes resultado agrupados e itervalos: Itervalo Frecuecia a. Calcular el cuadro de frecuecias b. Represetar el histograma para la frecuecia absoluta y la frecuecia acumulada c. Represetar la poligoal de la frecuecia absoluta y de la frecuecia acumulada a. Cuadro de frecuecias Itervalo M.C. (x i ) f i F i f r i F r i b. Histograma = f i =

6 c. Poligoal de frecuecias Parámetros estadísticos. Describe de u modo cociso el comportamieto y las características geerales de los datos estudiados. Se puede clasicar de la siguiete forma: Parámetros - Media Medidas de cetralizació : - Moda - Mediaa - Cuartiles - Quitiles Cuatiles : estadísticos : - Deciles - Percetiles Medidasde dispersió : - Amplitud, rago o recorrido - Desviació media - Variaza y desviació - Coeciete de variació Parámetros de cetralizació Media Es la medida de cetralizació más usual. Existe diversos tipos de medias: - Media aritmética. x i i= 1 o Simple: x = Dode =. i= 1 x i p i i= 1 o Poderada: x p = Se utiliza cuado los valores de la variable tiee diferete p i i= 1 importacia, sigicació ó peso detro del cojuto de la distribució. p i es la cuaticació de la importacia o peso, es u valor porcetual y se expresa e tato por uo Propiedades de la media aritmética i. La media es el cetro de gravedad de la distribució. La suma de las desviacioes de los valores respecto a ella es igual a cero. ( x i x) i = 0 ii. iii. Si se multiplica todos los valores de la variable por ua costate, la media queda multiplicada por esa costate Si sumamos a todos los valores de la variable ua costate, la media queda aumetada e esta costate.

7 iv. La media de la suma de dos o más variables es igual a la suma de las medias aritméticas de cada ua de las variables. Si o tiee la misma frecuecia total, se calcula la media poderada. - Media geométrica: x g = x1 1 x... x La media geométrica se utiliza para los casos e que sea ecesario ua gra precisió, puesto que es la úica media a la que o la afecta los valores extremos. o puede utilizarse si la variable toma valores egativos ó cero. - Media armóica: x a = Se utiliza cuado la variable está medida e uidades relativas, 1 i x i= 1 como por ejemplo Km,,...etc H m i Moda Es el valor de la variable estadística que se repite más veces, es decir, el que tiee ua frecuecia absoluta más elevada. Puede haber más de ua moda, e estos casos se tratará de distribucioes bimodales, trimodales,... etc. Para ua distribució si agrupar, la moda se calcula directamete como el valor de la variable estadística co mayor frecuecia absoluta. Para distribucioes co datos agrupados, él calculo de la moda se hace mediate ua iterpolació lieal sobre el itervalo modal, obteiédose la siguiete expresió D1 Mo = Li + c D1 + D Li = Límite iferior del itervalo modal c = Amplitud de itercalo dode: D1 = 1 D = + 1 Siedo el itervalo modal el de mayor frecuecia absoluta. diferecia etre la frecuecia absoluta del itervalo modal y de itervalo posterior diferecia etre la frecuecia absoluta del itervalo modal y de itervalo aterior Se puede calcular grácamete mediate el histograma de frecuecias absolutas. Mediaa Es el valor que ocupa la posició cetral de la distribució cuado los valores de la variable está ordeados de forma creciete o decreciete. Por lo tato, la mediaa divide a la distribució e dos subcojutos co igual úmero de datos, estado el 50% de los datos por debajo de ella y el otro 50% por ecima de ella. Para el calculo de la mediaa e distribucioes co datos si agrupar, existe dos casos

8 - Para (tamaño de muestra) impar, la mediaa es el valor cetral. Se busca e la frecuecia absoluta acumulada, siedo el primer valor de la variable estadística cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor o igual que el cociete /. - Para par, la mediaa es la media aritmética de los valores cetrales de la variable estadística, que so los dos primeros valores cuya frecuecia absoluta acumulada es mayor o igual que el cociete /. Si la distribució es de datos agrupados e itervalos, la mediaa se halla por iterpolació sobre el itervalo mediao, siedo este el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor o igual que el cociete /. Fi 1 Me = L i + c Li = Límite iferior del itervalo mediao c = Amplitud del itervalo mediao dode: = úmero de datos de la muestra F = i 1 Frecuecia absoluta acumulada = Frecuecia absoluta de itervalo mediao de itervalo aterior al mediao Tambié se puede calcular grácamete mediate la poligoal de la frecuecia absoluta acumulada. Utilizació de la Media, Mediaa y Moda La moda sólo se utiliza como úica medida de cetralizació e las distribucioes de variables cualitativas. E el caso de variables cuatitativas la moda acompaña a la media y/o la mediaa. Respecto a la media y la mediaa, e geeral, se utiliza ambas, ya que esto permite realizar alguas deduccioes sobre la simetría de la distribució. Existe alguos casos dode el uso de la media es mejor que el uso de la media, estos casos so - Cuado se tiee la sospecha que e los datos puede existir errores. - E el caso de que exista valores extremos - Cuado los datos está e escala omial

9 Ejemplo 5. El úmero de urgecias atedidas e cetro de salud e 30 oches ha sido: º de urgecias (x i ) º de días (f i ) Calcular la media, moda mediaa Media: Para calcular los parámetros pedidos se costruye el siguiete cuadro de frecuecias x i f i F i x i f i = f i = 30 x i = 59 x i x = 59 = = 1'97 30 Moda: Valor de la variable de mayor frecuecia. Mo = 1 Mediaa: Por ser el úmero de datos par, la mediaa es la media aritmética de los dos valores cetrales. x i / Fi = 15 : x = 1 Valores cetrales: 1 x / F + 1 = 16 : x = i i x1 + x 1+ Me = = = 1'5 Ejemplo 6. Sobre ua muestra de persoas a las que se le ha realizado u test de 50 pregutar sobre seguridad vial, se ha obteido los siguietes resultado agrupados e itervalos: Itervalo Frecuecia Calcular los parámetros de cetralizació. Cuadro de frecuecias Media: Itervalo M.C. (x i ) f i F i x i f i = f i = x i = 3610 x i x = 3610 = = 41'

10 Moda: El itervalo modal es el de mayor frecuecia Itervalo Modal [ 0, 30) El calculo de la moda se hace por iterpolació lieal sobre el itervalo modal segú la expresió: D1 Mo = Li + c D1 + D Li = 0 c = 10 teiedo e cueta: D1 = 1 = 48 3 = 16 D = + 1 = 48 6 = 16 Mo = = 4' 16 + Mediaa: El itervalo mediao es el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada es mayor o igual que el cociete /. Aplicado a este caso F i = 75 Itervalo mediao [ 0, 30) El cálculo de la mediaa se hace por iterpolació lieal sobre el itervalo mediao segú la expresió: Fi 1 Me = L i + c Li = 0 c = dode: = Me = = 4' 0 48 F = i 1 56 = 48 Grácamete El cálculo gráco requiere mucha precisió por lo que es meos exacto.

11 Parámetros de dispersió Cuatiles So valores de variable estadística que divide a la distribució e itervalos co igual úmero de datos cada uo de ellos. E fució del úmero de itervalos e que divida a la distribució puede ser: Cuartiles. So tres valores(q 1, Q, Q 3 ) que determia las posicioes correspodietes al 5%, al 50% y al 75% de los datos, dividiedo la distribució e cuatro subcojutos co el 5% de los datos cada uo de ellos. La diferecia etre los cuartiles superior e iferior se llama rago itercuartilico. Quitiles. So cuatro valores(k 1, K, K 3, K 4 ) que determia las posicioes correspodietes al 0%, 40%, 60%, y 80% de los datos, dividiedo la distribució e cico subcojutos co el 0% de los datos cada uo de ellos Deciles. So ueve valores(d 1, D,..., D9) que correspode al 10%, 0%,..., y 90% de los datos. Divide a la distribució e diez subcojutos co el 10% de los datos cada uo de ellos. Percetiles (o cetiles). So oveta y ueve valores(p 1, P,...P 99 ) que da el valor de la posició correspodiete a cualquier porcetaje. Divide a la distribució e cie subcojutos. Cálculo: - Para distribucioes co datos si agrupar se busca el primer valor que cumpla: F i = k Dode idica el tipo de cuatil; Para cuartiles = 4, para quitiles = 5, para deciles = 10, y para percetiles =. k especica el cuatil buscado, toma valores desde 1 hasta 1. es el tamaño de la muestra. Ejemplos: Q3 : Fi 3 ; K : Fi ; D7 : Fi 7 ; P35 : Fi Para distribucioes co datos agrupados se busca el itervalo dode se ecuetra el cuatil deseado de la misma forma que e las distribucioes si agrupar y sobre este itervalo se hace ua iterpolació mediate la expresió: k Fi 1 k = Li + c Ejemplos: 3 Fi 1 Fi 1 Q 4 3 = Li + c ; K 5 = Li + c 7 Fi 1 35 Fi 1 D 10 7 = Li + c ; P 35 = Li + c Rago o recorrido Es la diferecia etre el mayor y meor valor de la variable. Es ua medida muy imprecisa, ya que sólo tiee e cueta los valores extremos. Tampoco permite hacer comparacioes etre distitas distribucioes.

12 Desviació media respecto a la media aritmética x i x i= 1 D x = Cuato más elevado sea su valor, más dispersió existirá y la media, será meos represetativa. Variaza y desviació típica La variaza(s ), es la media aritmética de las diferecias al cuadrado de cada dato respecto de la media de todos ellos. Su fórmula es : ( x x) f i i s = aplicado las propiedades de los sumatorios, se obtiee ua expresió más práctica x i s = x La variaza, al obteerse a partir del cuadrado de las diferecias de los datos respecto de la media, hace que los valores más alejados tega mayor peso e el resultado: e cosecuecia, distigue mejor que la amplitud la variabilidad ó dispersió de los datos de dos distribucioes. Cuato más elevado sea su valor, más dispersió existirá y la media, será meos represetativa. La variaza viee expresada e uidades al cuadrado. Propiedades - Siempre es positiva - Si sumamos a todos los valores de la distribució ua costate, la variaza o varia. - Si multiplicamos a todos los valores de la distribució por ua costate, la variaza queda multiplicada por la costate al cuadrado. Desviació típica La desviació típica es la raíz cuadrada positiva de la variaza. ( x i x) f i x i s = ó bie s = x La desviació típica es la medida de variabilidad ó dispersió más utilizada. Cuato más elevado sea su valor, más dispersió existirá y la media, será meos represetativa. La variaza y la desviació típica tambié se desiga por σ y σ, respectivamete. E las calculadoras, la desviació típica suele describirse por σ o por σ. Propiedades - Siempre es positiva - Si sumamos a todos los valores de la distribució ua costate, la desviació típica o varia. - Si multiplicamos a todos los valores de la distribució por ua costate, la desviació típica queda multiplicada por la costate. El coeciete de variació La dispersió o puede determiarse exclusivamete a partir de la desviació típica, ya que es u cocepto relativo. Por tato, para establecer comparacioes hay que teer tambié e cueta la media de los datos. Ua medida de la dispersió relativa de dos cojutos de datos es el coeciete de variació, que se dee como: Coeciete de variació C.V. = Dados dos cojutos, aquel que tega u coeciete de variació mayor es el más disperso, el más heterogéeo. Además, su valor o depede de la uidad de medida utilizada, pues la media y la desviació típica se ve afectadas igualmete. s x

13 Ejemplo 7. Durate el mes de Julio, e ua determiada ciudad de la costa levatia, se ha registrado las siguietes temperaturas máximas: T(ºC) (x i ) º días (f i ) Calcular: a. Media, Moda y Mediaa b. Q 1, Q 3, P 35, P 85 c. Desviació media, desviació típica y coeciete de variació. a. Se costruye el siguiete cuadro de frecuecias: x i 944 Media: x = = = 30' x i f i F i x i f i = i = x i = 944 Moda: Mo = 31. Por ser el de mayor frecuecia absoluta(f 31 = 8) Mediaa: Por ser el úmero de datos impares, la mediaa es el valor cetral. Se localiza por ser el primer valor cuya frecuecia absoluta acumulada es mayor o igual que el cociete /. = 31 = 15'5 : F 15'5 Me 30 Me = b. Los Cuatiles al igual que la mediaa, se busca e la frecuecia absoluta acumulada: x i F i Q 1: FQ 1 1 = 7'75 Q1 = 9 Q 3: FQ 3 3'5 Q = = P 35: FP = 10'89 : P35 = 30 P 85: FP 85 6'35 : P = =

14 c. Para calcular los parámetros de dispersió pedidos, es ecesario el siguiete cuadro de frecuecias: x i f i x i f i x i f i i = 31 x i = 944 x i = 886 ( x i 30'5) = 79' 68 x i x i= 1 79'68 Desviació media: D x = = = ' x i 886 Desviació típica: s = σ = x = 30'45 = 1' s 1'63 C = = = = x 30'45 Coeciete de variació:.v. 0'0535 C.V. (%) 5' 35

15 Ejemplo 8. Se ha estudiado el coeciete itelectual de los 10 alumos de u cetro de Bachiller, obteiédose los siguietes resultados Coeciete Itelectual (x i ) º de alumos (f i ) [8, 90) 1 [90, 98) 3 [98, 106) 49 [106, 114) 54 [114, 1) 30 [1, 130) 17 [130, 138) 11 [138, 146) 5 Calcular: a. La Media, la Moda y la Mediaa b. El K, D 8, P 5 c. La putuació ecesaria para perteecer al 15% de alumos co mayor coeciete itelectual d. La Variaza y el coeciete de variació e. Cual de las distribucioes de los ejemplos 7 y 8 esta meos dispersa. a. Cuadro de frecuecias Itervalo x i f i F i x i f i [8, 90) [90, 98) [98, 106) [106, 114) [114, 1) [1, 130) [130, 138) [138, 146) i = 10 x1 = 844 x i 844 Media: x = = = 108' 8 10 Moda: El itervalo modal es el de mayor frecuecia. [106, 114). La moda se obtiee por iterpolació: D1 Mo = Li + c D1 + D Li = 106 c = 8 teiedo e cueta: D1 = 1 = = 5 D = + 1 = = 4 5 Mo = = 107' Mediaa: El itervalo dode se ecuetra la media es el primer cuya frecuecia absoluta acumulada es mayor o igual que el cociete /. F 10 i = 105 buscado e la columa de la frecuecia acumulada [ ) 106,114 Me Ua vez localizada se calcula por iterpolació

16 dode: Li = 106 c = 8 = 10 F = i 1 93 = 54 Me = Li + c Fi Me = = 107' 8 54 b. El segudo quitil está e el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor o igual que 5 10 Fi = 84 K [ 98,106) 5 El K se obtiee por iterpolació: Li = F c 8 i 1 44 K L c 5 = = i + = = = + = 104'5 49 Fi 1 = 44 = 49 El octavo decil(d 8 ) está e el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor ó igual que Fi 8 = 168 K [ 114,1) 10 El D 8 se obtiee por iterpolació: Li = F c 8 i D L c 10 = = i + = = = + = 119'6 30 Fi 1 = 147 = 30 El quito percetil(p 5 ) está e el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor ó igual que 5 10 Fi 5 = 10'5 P5 [ 8, 90) El P 5 se obtiee por iterpolació: Li = F c 8 i P L c = = i + = = = + = 89 1 Fi 1 = 0 = 1

17 c. Se pide calcular el percetil ocheta y cico, ya que este deja a su izquierda el 85% de la distribució, y a su derecha el 15%, que debido al orde creciete de la distribució, correspode al de mayor ota. El P 85 está e el primer itervalo cuya frecuecia absoluta acumulada sea mayor ó igual que 10 Fi 85 = 178'5 P5 [ 1,130) El P 85 se obtiee por iterpolació: Li = F c 8 i P L c = = i + = = = + = 1'7 17 Fi 1 = 177 = 17 Par estar e el 15% de mayor coeciete itelectual, la ota del test debe ser mayo que 1. d. Cuadro de frecuecias Itervalo x i f i x i f i x i f i [8, 90) [90, 98) [98, 106) [106, 114) [114, 1) [1, 130) [130, 138) [138, 146) i = 10 x1 = 844 x i = x f i i Variaza: σ = x = 108'8 = 165' σ C.V. = = x σ x = 165'5 108'8 = 0' 1183 C.V. (%) = 11' 83 e. Para comparar la dispersió de dos distribucioes, se compara sus coecietes de variació, el meor valor correspoderá a la meos dispersa. Ejemplo 7: C.V. = 5 35% Ejemplo 8: C.V. = 11 83% E la distribució del ejemplo 7, los datos está meos dispersos respecto de la media que e el ejemplo 8. Comparació de putuacioes Para poder comparar valores de dos distribucioes diferetes, es decir, para poder comparar las posicioes de dos valores detro de sus respectivas distribucioes, es ecesario tipicar las variables Variable tipicada: x i x zi = σ

18 Ejemplo 9. U alumo obtiee u 5 5 e el exame de matemáticas y u 6 4 e el exame de losofía. E cual exame obtuvo mejor ota respecto a su clase?. x m = 5' Exame de matemáticas : Datos: σ m = 1'0 x f = 5'9 Exame de losofía : σf = 1'7 Para poder compara las putuacioes de dos exámees hay que desvicular las variables de lo que mide, eso se cosigue mediate su tipicació. x m x m 5'5 5' z m = = = 0'94 x i x σ 1'0 z = : m i σ x f x f 6'4 5'9 zf = = = 0'91 σf 1'7 Respecto de la clase, obtuvo mejor ota e el exame de matemáticas ya que su valor tipicado es mayor.

Trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor.

Trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor. 1 Estadística Descriptiva Tema 8.- Estadística. Tablas y Gráficos. Combiatoria Trata de describir y aalizar alguos caracteres de los idividuos de u grupo dado, si extraer coclusioes para u grupo mayor.

Más detalles

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS.

ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. La toma de datos es ua de las partes de mayor importacia e el desarrollo de ua ivestigació. Así los datos obteidos mediate u primer proceso recibe el ombre de datos si tratar

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los valores observados e la muestra, dividida

Más detalles

Importancia de las medidas de tendencia central.

Importancia de las medidas de tendencia central. UNIDAD 5: UTILICEMOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Importacia de las medidas de tedecia cetral. Cuado recopilamos ua serie de datos podemos resumirlos utilizado ua tabla de clases y frecuecias. La iformació

Más detalles

Ejemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios.

Ejemplos y ejercicios de. Análisis Exploratorio de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios. ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS Ejemplos y ejercicios de Aálisis Exploratorio de Datos Descripció estadística de ua variable. Ejemplos y ejercicios..1 Ejemplos. Ejemplo.1 Se ha medido el grupo saguíeo de

Más detalles

Qué es la estadística?

Qué es la estadística? Qué es la estadística? La estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Qué es la estadística? U agete recibe iformació e forma

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los

Más detalles

ESTADÍSTICA. Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean

ESTADÍSTICA. Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean ESTADÍSTICA Estadística: Es ua rama de la matemática que comprede Métodos y Técicas que se emplea e la recolecció, ordeamieto, resume, aálisis, iterpretació y comuicació de cojutos de datos. Població:

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, HISTOGRAMA, POLIGONO Y ESTADÍSITICOS DE TENDENCIA CENTRAL, DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y CURTOSIS. Prof.: MSc. Julio R. Vargas I. Las calificacioes fiales

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. _ xi EDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. EDIA ARITÉTICA. Es la medida más coocida y tambié es llamada promedio se obtiee sumado todos los valores de la muestra o població, dividida etre el total de elemetos que cotiee

Más detalles

TEMA 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

TEMA 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA TEMA. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Itroducció: coceptos básicos. Tablas estadísticas y represetacioes gráficas. Características de variables estadísticas uidimesioales.. Características de posició.. Características

Más detalles

Trabajo Especial Estadística

Trabajo Especial Estadística Estadística Resolució de u Problema Alumas: Arrosio, Florecia García Fracaro, Sofía Victorel, Mariaela FECHA DE ENTREGA: 12 de Mayo de 2012 Resume Este trabajo es ua ivestigació descriptiva, es decir,

Más detalles

UNIDAD III DESCRIPCIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS. 1. Medidas de resumen descriptivas. 2. Medidas de tendencia central Moda

UNIDAD III DESCRIPCIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS. 1. Medidas de resumen descriptivas. 2. Medidas de tendencia central Moda UNIDAD III DESCRIPCIÓN DE UN CONJUNTO DE DATOS 1. Medidas de resume descriptivas Para describir u cojuto de datos utilizamos ua serie de medidas, de igual forma que para describir a u persoa podemos utilizar

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

Probabilidad y estadística

Probabilidad y estadística Probabilidad y estadística MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, MEDIDAS DE DISPERSIÓN, GRÁFICAS, E INTERPRETANDO RESULTADOS Prof. Miguel Hesiquio Garduño. Est. Mirla Beavides Rojas Depto. De Igeiería Química

Más detalles

SOLUCIÓN EXAMEN I PARTE II

SOLUCIÓN EXAMEN I PARTE II Nombre: Apellido: C.I.: Fecha: Firma: MÉTODOS ESTADÍSTICOS I EXAMEN I Prof. Gudberto Leó PARTE I: (Cada respuesta correcta tiee u valor de 1 puto) E los siguietes gráficos se represeta distitas distribucioes

Más detalles

MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN. MEDIDA DE DIPERIÓN. Las medidas de tedecia cetral solamete da ua medida de la localizació del cetro de los datos. Co mucha frecuecia, es igualmete importate describir la forma e que las observacioes está

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...} ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.)

Más detalles

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 9: Estadística LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es

MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 9: Estadística LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es MATEMÁTICAS I 1º Bachillerato Capítulo 9: 393 Ídice 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL 1.1. INTRODUCCIÓN 1.. MÉTODO ESTADÍSTICO 1.3. CONCEPTOS BÁSICOS 1.4. TIPOS DE VARIABLES 1.5. DISTRIBUCIONES

Más detalles

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20

Técnicas Cuantitativas II Muestra y Estadísticos Muestrales. TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Técicas Cuatitativas II 2012-2013 Muestra y Estadísticos Muestrales TC II Muestra y Estadísticos Muestrales 1 / 20 Ídice Ídice Cocepto de muestra y Alguos ejemplos de variaza de la media Cocepto de muestra

Más detalles

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- PROGRESIONES ARITMÉTICAS.- Ua progresió aritmética es ua sucesió de úmeros tales que cada uo de ellos, excepto el primero, se obtiee sumado al aterior ua costate d, que se deomia diferecia de la progresió.

Más detalles

GLOSARIO ESTADÍSTICO. Fuente: Murray R. Spiegel, Estadística,, McGraw Hill.

GLOSARIO ESTADÍSTICO. Fuente: Murray R. Spiegel, Estadística,, McGraw Hill. GLOSARIO ESTADÍSTICO Fuete: Murray R. Spiegel, Estadística,, McGraw Hill. CONCEPTOS Y DEFINICIONES ESPECIALES Es el estudio cietífico de los La estadística posee tres campos métodos para recoger, orgaizar,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES (2007)

IES Fco Ayala de Granada Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES (2007) IS Fco Ayala de Graada Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua INTRVALOS D CONFIANZA PARA PROPORCIONS (007) jercicio 1- Tomada, al azar, ua muestra de 10 estudiates de ua Uiversidad, se ecotró que 54 de ellos

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

TEMA 5 ESTADÍSTICA. 3. Cómo debe de ser una muestra para ser correcta?

TEMA 5 ESTADÍSTICA. 3. Cómo debe de ser una muestra para ser correcta? TEMA 5 ESTADÍSTICA Estadística obteció, estudio e iterpretació de grades masas de datos Població es el cojuto de todos los elemetos que cumple ua determiada característica. Muestra es cualquier parte de

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS DEF. Se dice que ua serie de úmeros está e progresió aritmética cuado cada uo de ellos (excepto el primero) es igual al aterior más ua catidad costate llamada diferecia de la progresió.

Más detalles

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE:

Si la razón es q, y el primer termino es a, la progresión se escribe. POR LO TANTO EL ENÉSIMO TÉRMINO DE UNA P.G SE DETERMINA A PARTIR DE: Ua progresió es geométrica, si cada termio después del primero se obtiee multiplicado el aterior por u valor costates Este valor costate se llama razó geométrica (q) E geeral: a a : a......... a ; 3 Si

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

DETERMINACION DEL COSTO POR ALUMNO EGRESADO DE EDUCACION PRIMARIA

DETERMINACION DEL COSTO POR ALUMNO EGRESADO DE EDUCACION PRIMARIA DETERMINACION DEL COSTO POR ALUMNO EGRESADO DE EDUCACION PRIMARIA U Modelo de Costeo por Procesos JOSE ANTONIO CARRANZA PALACIOS *, JUAN MANUEL RIVERA ** INTRODUCCION U aspecto fudametal e la formulació

Más detalles

ESTADÍSTICA. Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas:

ESTADÍSTICA. Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas: ESTADÍSTICA Ejercicio º.- Al pregutar a 0 idividuos por el úmero de persoas que vive e su casa, hemos obteido las siguietes respuestas: Elabora ua tabla de frecuecias. Ejercicio º.- E ua empresa de telefoía

Más detalles

Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD. X- μ. f(x) = e para - < x < Z 2. . e para - < z <

Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD. X- μ. f(x) = e para - < x < Z 2. . e para - < z < Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD La distribució ormal: La distribució ormal, campaa de Gauss o, curva ormal, tambié defiida por De Moivre. Características y propiedades: La siguiete fórmula

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 Tema 1 Los úmeros reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1 TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úmeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E forma

Más detalles

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:

Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir: Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.

Más detalles

2.- Estudio Poblacional y Muestral Univariante

2.- Estudio Poblacional y Muestral Univariante .- Estudio Poblacioal y Muestral Uivariate Població: Colectivo de persoas o elemetos co ua característica comú, objeto de estudio. Imposibilidad de estudio de esta característica e toda la població - Coste

Más detalles

LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS

LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS 11 LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS Págia 266 1. Ua gaadería tiee 3 000 vacas. Se quiere extraer ua muestra de 120. Explica cómo se obtiee la muestra: a) Mediate muestreo aleatorio simple. b) Mediate muestreo

Más detalles

MUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA

MUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA 1 MUESTREO Y ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA Muestreo. Métodos de muestreo Se llama població al cojuto de idividuos que posee cierta característica. Ua muestra es ua parte de esa població. Muestreo es el proceso

Más detalles

Tema 4. Estimación de parámetros

Tema 4. Estimación de parámetros Estadística y metodología de la ivestigació Curso 2012-2013 Pedro Faraldo, Beatriz Pateiro Tema 4. Estimació de parámetros 1. Estimació putual 1 1.1. Estimació de la proporció e la distribució Bi(m, p).......................

Más detalles

Intervalos de confianza para la media

Intervalos de confianza para la media Itervalos de cofiaza para la media Ejercicio º 1.- Las vetas diarias, e euros, e u determiado comercio sigue ua distribució N(950, 200). Calcula la probabilidad de que las vetas diarias e ese comercio:

Más detalles

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.

Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series. CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

MEDIDAS RESUMEN: Numéricas y Gráficas. Ejemplo.

MEDIDAS RESUMEN: Numéricas y Gráficas. Ejemplo. MEDIDAS RESUMEN: Numéricas y Gráficas. Ejemplo. Admítelo ua salchicha o es ua zaahoria. Así decía la revista El Cosumidor e u cometario sobre la baja calidad utricioal de las salchichas. Hay tres tipos

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció A Juio, Ejercicio 4, Opció B Reserva 1, Ejercicio 4, Opció

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES

6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES 6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 3, Parte II, Opció A Juio, Ejercicio 3, Parte II, Opció B Reserva

Más detalles

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL.

INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. INTERÉS SIMPLE COMO FUNCIÓN LINEAL. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Grafica las fucioes Moto e Iterés: a) C = + 0, co C e miles de pesos ; : meses y R. Para graficar estar fucioes, debemos dar valores a, por

Más detalles

Ejercicios de intervalos de confianza en las PAAU

Ejercicios de intervalos de confianza en las PAAU Ejercicios de itervalos de cofiaza e las PAAU 2008 1 1.-El úmero de días de permaecia de los efermos e u hospital sigue ua ley Normal de media µ días y desviació típica 3 días. a)determiar u itervalo de

Más detalles

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza.

Tema 9. Inferencia Estadística. Intervalos de confianza. Tema 9. Iferecia Estadística. Itervalos de cofiaza. Idice 1. Itroducció.... 2 2. Itervalo de cofiaza para media poblacioal. Tamaño de la muestra.... 2 2.1. Itervalo de cofiaza... 2 2.2. Tamaño de la muestra...

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA.

INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA. Població: El cojuto de todos los elemetos o idividuos que posee ua determiada característica o cualidad de iterés. Existe situacioes e las que o es posible aalizar

Más detalles

MATEMÁTICA. Unidad 3 Utilicemos funciones Reales de variable Real. Utilicemos medidas de tendencia central. Trabajemos con medidas de posición

MATEMÁTICA. Unidad 3 Utilicemos funciones Reales de variable Real. Utilicemos medidas de tendencia central. Trabajemos con medidas de posición MATEMÁTICA Uidad Utilicemos fucioes Reales de variable Real. Utilicemos medidas de tedecia cetral. Trabajemos co medidas de posició Objetivos de la Uidad: Resolverás situacioes que implique la utilizació

Más detalles

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Muestreo. Tipos de muestreo. Iferecia Itroducció Nota.- Puede decirse que la Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida

Más detalles

CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES

CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES CAPÍTULO 6 DISTRIBUCIONES MUESTRALES Uo de los objetivos de la estadística es coocer acerca del comportamieto de parámetros poblacioales tales como: la media ( μ ), la variaza ( ) o la proporció ( p ).

Más detalles

Estadística Teórica II

Estadística Teórica II tervalos de cofiaza Estadística Teórica NTERVALOS DE CONFANZA Satiago de la Fuete Ferádez 77 tervalos de cofiaza CÁLCULO DE NTERVALOS DE CONFANZA PARA LA MEDA CON DESVACÓN TÍPCA POBLACONAL CONOCDA Y DESCONOCDA.

Más detalles

2 CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

2 CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS 2 CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS Cualquier característica de calidad que pueda ser clasificada de forma biaria: cumple o o cumple, fucioa o o fucioa, pasa o o pasa, coforme o discoforme defectuoso, o

Más detalles

Unidad N 2. Medidas de dispersión

Unidad N 2. Medidas de dispersión Uidad N 2 Medidas de dispersió Ua seguda propiedad importate que describe ua serie de datos uméricos es ua variació. La variació es la catidad de dispersió o propagació e los datos. Dos series de datos

Más detalles

Notas Docentes. Estadística para Economistas. Carlos Casacuberta. Nota Docente No. 08

Notas Docentes. Estadística para Economistas. Carlos Casacuberta. Nota Docente No. 08 Notas Docetes Estadística para Ecoomistas Carlos Casacuberta Nota Docete No. 08 Diploma e Ecoomía 004 Departameto de Ecoomía Facultad de Ciecias Sociales Estadística Notas de clase. Itroducció La estadística

Más detalles

Límite y Continuidad de Funciones.

Límite y Continuidad de Funciones. Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por

Más detalles

Juan Fernández Maese Angeles Juárez Martín Antonio López García

Juan Fernández Maese Angeles Juárez Martín Antonio López García EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA MATEMÁTICAS APLICADAS CC. SS. Jua Ferádez Maese Ageles Juárez Martí Atoio López García ESTADÍSTICA 1 ESTADÍSTICA ÍNDICE TEMÁTICO CAPÍTULO 1: TABLAS Y GRÁFICOS...5 1.1.- INTRODUCCIÓN

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de una variable. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: Fucioes de ua variable Elea Álvarez Sáiz Dpto. Matemática Aplicada y C. Computació Uiversidad de Catabria Igeiería de Telecomuicació Fudametos Matemáticos I Ejercicios:

Más detalles

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias Sociales

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias Sociales ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA VARIABLES ALEATORIAS TEORÍA DE MUESTRAS INTERVALOS DE CONFIANZA TEST DE HIPÓTESIS Matemáticas º de Bachillerato Ciecias Sociales Profesor: Jorge Escribao Colegio Imaculada Niña

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones*

TEMA 19 Cálculo de límites de sucesiones* CURSO -6 TEMA 9 Cálculo de límites de sucesioes* Propiedades aritméticas de los límites de sucesioes. b tales que : a = a b = b, dode ab, R Sea las sucesioes { } a y { } Etoces podemos obteer su suma,

Más detalles

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7

( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

Más detalles

Fórmulas Estadísticas. Recuerde: Hay k Categorías; n Datos en una muestra, N datos en una población.

Fórmulas Estadísticas. Recuerde: Hay k Categorías; n Datos en una muestra, N datos en una población. Uiversidad Diego Portales Facultad de Ecoomía y Negocios Fórmulas Estadísticas Capítulo 2 Recuerde: Hay k Categorías; Datos e ua muestra, N datos e ua població. Frecuecia Relativa de Clase (f) Cuátas Clases

Más detalles

(finitas o infinitas)

(finitas o infinitas) Series ifiitas. SUCESIONES: Es u cojuto de úmeros: a,a a, dispuestos e u orde defiido y que guarda ua determiada ley de formació, que se expresa por ua formula Sucesió fiita: umero itado de térmios:, 5,8-5.

Más detalles

Entrenamiento estatal.

Entrenamiento estatal. Etreamieto estatal. Combiatoria. Coteo. Problemas de caletamieto. 1. Cuátos códigos diferetes de cico dígitos puede hacerse? 2. Si para ir de A a B hay 3 camios, para ir de A a C hay dos camios, Para ir

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

TRABAJO PRACTICO Nº 1

TRABAJO PRACTICO Nº 1 TRABAJO PRACTICO Nº 1 DEMANDA DE TRANSPORTE: ELASTICIDAD OFERTA DE TRANSPORTE: COSTOS AJUSTE DE FUNCIONES ANÁLISIS DE REGRESIÓN Objetivo: Aplicar a u caso práctico utilizado las herramietas básicas de

Más detalles

BIOESTADÍSTICA I 1. DEFINICIONES

BIOESTADÍSTICA I 1. DEFINICIONES BIOESTADÍSTICA I 1. DEFINICIONES 1.1 ESTADÍSTICA. Es ua disciplia, que hace parte de la matemática aplicada, que provee métodos y procedimietos para colectar, clasificar, resumir y aalizar iformació (datos)

Más detalles

Teorema del límite central

Teorema del límite central Teorema del límite cetral Carles Rovira Escofet P03/75057/01008 FUOC P03/75057/01008 Teorema del límite cetral Ídice Sesió 1 La distribució de la media muestral... 5 1. Distribució de la media muestral

Más detalles

Planificación contra stock

Planificación contra stock Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica

Más detalles

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES La serie estadística de Ídice de Precios al por Mayor se iició e 1966, utilizado e

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 6: TEORÍA DE MUESTRAS Juio, Ejercicio 4, Opció A Reserva, Ejercicio 4, Opció A Reserva, Ejercicio 4, Opció

Más detalles

Tema 7 (IV). Aplicaciones de las derivadas (2). Representación gráfica de curvas y fórmula de Taylor

Tema 7 (IV). Aplicaciones de las derivadas (2). Representación gráfica de curvas y fórmula de Taylor Tema 7 (IV) Aplicacioes de las derivadas () Represetació gráfica de curvas y fórmula de Taylor Aplicacioes de la derivada primera El sigo de la derivada primera de ua fució permite coocer los itervalos

Más detalles

Intervalo de confianza para µ

Intervalo de confianza para µ Itervalo de cofiaza para p y ˆp1 ˆp ˆp1 ˆp ˆp z 1 α/ ; ˆp + z 1 α/, 7.6 ˆp + z 1 α/ ± z 1 α/ 1 + z 1 α/ ˆp1 ˆp + z 1 α/ 4 7.7 siedo ˆp = x/ y z 1 α/ el cuatil 1 α/ de la distribució ormal estádar. El itervalo

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS.

CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 8º. PRESTAMOS. 1.- Coceptos básicos de préstamos. CONCEPTOS BÁSICOS DE PRESTAMOS. Coceptos básicos de prestamos. Préstamo. U préstamo es la operació fiaciera que cosiste e la etrega,

Más detalles

UNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL

UNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIDAD 7: ESTADÍSTICA INFERENCIAL ÍNDICE DE LA UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN.... 1.- VARIABLES ESTADÍSTICAS. PARÁMETROS... 3.- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD... 3 3.1.- Distribució Biomial... 4 3..- Distribució

Más detalles

Parámetros de tiempo para

Parámetros de tiempo para Parámetros de tiempo para cotrol y diagóstico INTRODUCCIÓN. Ua de las actividades importates a ivel de sistemas que se debe desarrollar e toda etidad que cuete co u recurso computacioal de soporte para

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD CURSO 009-010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y,

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. CURSO 8-9 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder

Más detalles

ANALISIS ESTADISTICO DE VALORES EXTREMOS

ANALISIS ESTADISTICO DE VALORES EXTREMOS ANALISIS ESTADISTICO DE VALORES EXTREMOS Aplicacioes e hidrología Gloria Elea Maggio Dr. Jua F. Aragure 84 - Bueos Aires 4988 0083 www.oldor.com.ar oldor@oldor.com.ar R E S U M E N El objetivo de este

Más detalles

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 6 Aula + Laboratorio

PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 6 Aula + Laboratorio 26 PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 6 Aula + Laboratorio 1. Los siguietes valores so medicioes del peso (e miles de toeladas) de grades taques de petróleo. 229, 232, 239, 232, 259, 361, 220, 260,

Más detalles

INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL. 1. Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos

INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL. 1. Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos 1 INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL La mayoría de estos problemas ha sido propuestos e exámees de selectividad de los distitos distritos uiversitarios españoles. 1. Ua muestra aleatoria de 9 tarrias

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua fábrica de muebles dispoe de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 estates.

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

Muestreo e Intervalos de Confianza

Muestreo e Intervalos de Confianza Muestreo e Itervalos de Cofiaza PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD RESUELTOS MUESTREO E INTERVALOS DE CONFIANZA 1) E ua població ormal co variaza coocida se ha tomado ua muestra de tamaño 49 y se ha calculado su

Más detalles

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL. (a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media y desviación típica,

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL. (a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media y desviación típica, 1 MAJ04 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL 1. E u servicio de ateció al cliete, el tiempo de espera hasta recibir ateció es ua variable ormal de media 10 miutos y desviació típica 2 miutos. Se toma muestras

Más detalles

1 Valores individuales del conjunto

1 Valores individuales del conjunto 5/03/00 METROLOGÍA ESTADÍSTICA ANÁLISIS DE DATOS Cuado se obtiee uo o más grupos de datos, producto de repeticioes i e ua medida, la mejor forma de represetarlas, es mediate las Medidas de tedecia cetral

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD INTRODUIÓN L PROBBILIDD EXPERIMENTOS LETORIOS Y DETERMINISTS Los experimetos o feómeos cuyo resultado o puede coocerse hasta haber realizado la experiecia se llama aleatorios o estocásticos. uado el resultado

Más detalles

Problemas de Estimación de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Problemas de Estimación de Una y Dos Muestras. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Problemas de Estimació de Ua y Dos Muestras UCR ECCI CI-35 Probabilidad y Esradística Prof. M.Sc. Kryscia Daviaa Ramírez Beavides Iferecia Estadística La teoría de la iferecia estadística cosiste e aquellos

Más detalles

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y

FUNCIONES. ( a) IGUALDAD DE FUNCIONES Sí y son dos funciones, diremos que las funciones f y CALCULO P.C.I. PRIMER SEMESTRE 04 FUNCIONES Sí A y B so dos cojutos o vacío, ua fució de A e B asiga a cada elemeto a perteeciete al cojuto A u úico elemeto b de B que deomiamos image de a. Además diremos

Más detalles

TEMA IV. 1. Series Numéricas

TEMA IV. 1. Series Numéricas TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 0 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A ( 5 putos) Halle la matriz X que verifique la ecuació

Más detalles