ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 Estadístca Estadístca Descrptva. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Itroduccó.. Coceptos geerales. 3. Frecuecas y tablas. 4. Grácos estadístcos. 4. Dagrama de barras. 4. Hstograma. 4.3 Polgoal de recuecas. 4.4 Dagrama de sectores. 5. Meddas de cetralzacó. 5.. Meda. 5.. Moda Medaa. 6. Meddas de poscó. 7. Meddas de dspersó. 7.. Rago o recorrdo. 7.. Varaza y desvacó típca Coecete de varacó. 8. Iterpretacó de los parámetros estadístcos x y σ Ejemplos Problemas Itroduccó La Estadístca es la parte de la Matemátca que estuda los eómeos que se presta a cuatcacó, que geera cojutos de datos. La msó del estadístco es la de smplcar al máxmo la ormacó dspoble, a de que pueda ser clara y útl. Además, s el eómeo lo permte, tratará de err las leyes que explque el comportameto de ese eómeo. Por tato, podemos dstgur dos aspectos de la Estadístca: El de la Estadístca descrptva, que se ocupa de examar todos los elemetos de u cojuto, descrbr la ormacó dspoble co la ayuda de tablas y grácos, y de resumrla al máxmo medate los parámetros estadístcos. El de la Estadístca erecal, que trata de geeralzar, para todo u cojuto (poblacó), los resultados obtedos al estudar ua parte del msmo (muestra) Tampoco puede olvdarse que la Estadístca debe su ombre al Estado. E el sglo pasado se etedó que la Estadístca era la "Ceca del Estado", esto es, que para goberar de maera racoal a los pueblos se hacía precso dspoer de coocmetos acerca de su poblacó y rqueza, coocmeto que debía proporcoar la Estadístca. Más tarde, la ueva ceca desbordó este ámbto. Hoy, la aplcacó de la Estadístca es uversal y srve tato para cotrastar el eecto de los medcametos, como para cotrbur a la toma de mportates decsoes. Coceptos geerales La Estadístca, como sabes, tee por objeto el desarrollo de téccas para el coocmeto umérco de u cojuto de datos empírcos (recogdos medate expermetos o ecuestas) Vamos a der alguos coceptos báscos: Poblacó: Es el cojuto de todos los elemetos cuyo coocmeto os teresa y que será sujetos de uestro estudo Muestra: Es u subcojuto, extraído de la poblacó, cuyo estudo srve para err característcas de toda la poblacó. Al úmero de elemetos de la muestra se le llama tamaño de la muestra. U ceso es ua muestra que cosste e elegr a toda la poblacó. EJEMPLOS Los 8690 alumos de ua certa uversdad. 650 alumos de esa uversdad, elegdos al azar. Idvduo: Es cada uo de los elemetos de la poblacó o Cada uo de los alumos matrculados e esa uversdad muestra. Caracteres o varables: Caracteres so los aspectos que Edad, sexo, úmero de años que ha estado matrculado, deseamos estudar e los dvduos de ua poblacó. Cada estatura,...so caracteres. Cada uo de ellos lleva asocada carácter puede tomar dsttos valores o modaldades. Ua ua varable. La edad toma valores etre 7 años y 45 años, por ejemplo varable estadístca recorre todos los valores de u certo El sexo toma los valores o modaldades V y M carácter. Clascacó de las varables estadístcas: Cualtatvas: o toma valores umércos Cuattatvas dscretas: Toma valores umércos aslados Cuattatvas cotuas: Puede tomar todos los valores e u tervalo. El sexo, la carrera que estuda. úmero de años matrculados, úmero de hermaos. Estatura, peso. IES Fuerte de Cortadura Pága de 7

2 Estadístca Estadístca Descrptva. 3 Frecuecas y tablas Imagemos que hemos hecho observacoes de valores de ua varable estadístca. La lsta de valores o permte aprecar áclmete lo que sucede co esa varable e el colectvo estudado, máxme s, como suele ocurrr, es grade. S la varable estudada es cuattatva, o es ordal, puede dspoerse ordeadamete las observacoes, segú los valores obtedos. o obstate, a meudo sucede que u msmo valor se preseta e varos de los dvduos estudados. Por eso damos las sguetes decoes: Se llama recueca absoluta del valor x de ua varable X al úmero de veces que se ha presetado dcho valor, e las observacoes hechas. La represetaremos por (Es obvo que debe cumplrse: = ) Se llama recueca absoluta acumulada del valor x al úmero de veces que se ha presetado los valores erores o guales a x. La represetaremos por F. Evdetemete, es la suma de las recuecas absolutas de todos los valores de X erores o guales a x. La recueca absoluta de u valor os dce, pues, s se preseta muchas o pocas veces. o obstate, "ses de cada dez veces" puede ser "mucho", metras que "ses de cada ml veces" puede ser "poco". Por eso, para determar s u valor es muy recuete, o o, es mejor utlzar su recueca relatva: Se llama recueca relatva del valor x de ua varable X, al cocete etre la recueca absoluta de x y el úmero total de datos () que tervee e la dstrbucó: r = / (ó h ). Se llama recueca relatva acumulada del valor x a la suma de las recuecas relatvas de todos los valores de X erores o guales a x. Se represeta por Fr o H.Así pues Fr = r + r +...+r = F /. El valor de la recueca relatva debe hallarse etre 0 y, por su msma decó. Además, la suma de las recuecas relatvas de todos los valores posbles debe ser, pues La recueca relatva puede expresarse co ua raccó (la raccó / que la dee), co u úmero real etre 0 y (obtedo al pasar a decmal la raccó /), o co u porcetaje (obtedo al multplcar por 00 el decmal ateror). S se represeta co u porcetaje, deberá hallarse etre 0% y 00%, y todas las recuecas sumará el 00%. Volvamos ahora al mometo e qué sólo teíamos ua "smple lsta de valores". Podemos ver qué valores se ha presetado, hacer su recueto y calcular sus recuecas, co ua smple tabla. Las tablas estadístcas o de recuecas está ormadas por ua columa e la que colocamos los dsttos valores de la varable estadístca y, por otras e las que aparece las correspodetes recuecas y/o porcetajes. Veamos cómo, co u ejemplo. Supogamos que las otas obtedas por los 40 alumos de ua clase, e ua prueba de Matemátcas, ha sdo éstas: E la tabla que sgue se procede a ordear, recotar las otas y calcular las recuecas de cada ua: ota x Frecueca absoluta Frecueca absoluta acumulada F Frecueca relatva h Frecueca relatva acumulada H Porcetajes h x00 0 /0 / /40 3/ /0 7/ /8 / /5 0/ /0 4/ /0 30/ /0 34/ /40 37/ /0 39/ / IES Fuerte de Cortadura Pága de 7

3 Estadístca Estadístca Descrptva. E la tabla ateror se cluye recuecas de todo tpo, pero ormalmete sólo cosderaremos las recuecas absolutas. Las recuecas acumuladas, relatvas y porcetajes o los cluremos, s o se pde expresamete o o so ecesaras para cálculos posterores. E caso de que la varable sea cotua, o be dscreta pero co u úmero de datos muy grade, e vez de cotablzar las recuecas de cada valor por separado, suele agruparse los valores e tervalos, deomados clases o tervalos de clase. Después se detca todos los elemetos que ha sdo agrupados e u msmo tervalo co el puto medo de éste, llamado marca de clase. Esta es la deomada técca de agrupacó de datos. Ahora be, cuál es el úmero dóeo de clases que debemos escoger a la hora de agrupar? cómo realzamos este agrupameto? o exste ua cotestacó tajate a estas pregutas; exste cluso varos crteros para dar respuesta a estas cuestoes. Co carácter muy geeral podemos dar varos crteros y etapas para realzar el agrupameto: Se localza los valores extremos a y b y se halla su dereca r = b - a. Se decde el úmero de tervalos que se quere ormar, teedo e cueta el úmero de datos que se posee. E geeral etre 5 y 5 tervalos puede ser u úmero adecuado. Se toma u tervalo total algo mayor que el recorrdo r y que sea múltplo del úmero de tervalos, co objeto de que éstos tega ua logtud etera. Se orma los tervalos de modo que el extremo eror del prmero sea algo meor que a y el extremo superor del últmo sea algo superor a b. Es deseable que los extremos de los tervalos o cocda co guo de los datos; de hacerlo, cluremos e el tervalo u extremo y excluremos el otro (Ej.: [,5) ó (,5]) Para evtarlo, puede cover que dchos extremos tega valores o eteros. Es coveete que todos los tervalos tega la msma logtud; ello aclta los cálculos. S los datos so muy dspersos habrá que optar por logtudes dsttas. Cuado se elabora ua tabla co datos agrupados se perde algo de ormacó (pues e ella se gora cada valor cocreto, que se duma e u tervalo). A cambo se gaa e clardad y ecaca. Veamos cómo se realza el agrupameto, co u ejemplo. A los 00 empleados de ua empresa de pezas de precsó, se les ha realzado ua prueba de habldad maual. E ua escala de 0 a 00 se ha obtedo las sguetes putuacoes: Observamos que los valores extremos so 5 y 94. La ampltud total etre los datos es de 80 putos, ya que ambas putuacoes está cludas. Agruparemos los datos e 8 tervalos de ampltud 0: (4,4], (4,34],.., (84,94]. Realzado el recueto co atecó, se obtee la tabla de recuecas. Clases Marcas clase x de (4,4] 9 0 (4,34] 9 (34,44] 39 7 (44,54] 49 8 (54,64] 59 3 (64,74] 69 3 (74,84] 79 3 (84,94] IES Fuerte de Cortadura Pága 3 de 7

4 Frecueca (º de persoas) recueca(º de persoas) Estadístca Estadístca Descrptva. 4 Grácos estadístcos Las tablas estadístcas muestra la ormacó de orma esquemátca y está preparadas para cálculos posterores. La msma ormacó estadístca puede mostrarse de orma global y más vsual, utlzado los grácos estadístcos. Los grácos posee u uerte poder de comucacó de los resultados de u estudo estadístco. Como e las tablas, hay que dcar la uete de los datos y las udades e qué estos ha sdo meddos. Asmsmo, covee ttularlos y umerarlos. Detallamos a cotuacó, los tpos de grácos más recuetes: 4.. Dagrama de barras. Cosste e dbujar u rectágulo por cada ua de las modaldades de la varable, de modo que las bases sea todas guales y apoyadas e el eje de ordeadas, e el que se dca las modaldades, y la altura de cada rectágulo debe ser proporcoal a la recueca de la modaldad represetada. Este tpo de gráco está dcado para varables cualtatvas y cuattatvas o agrupadas e tervalos. El úmero de errores cometdos por 80 persoas al realzar ua tarea Errores º persoas Errores 4.. Hstograma. El hstograma se usa para varables agrupadas e tervalos, asgado a cada tervalo u rectágulo de superce proporcoal a su recueca. Para costrur el hstograma se represeta sobre el eje de abscsas los límtes de las clases. Sobre dcho eje se costruye uos rectágulos que tee por base la ampltud del tervalo y por altura la recueca absoluta de cada tervalo, sempre que todos los tervalos tega gual ampltud. E caso cotraro, las alturas de los rectágulos ha de ser calculadas teedo e cueta que sus áreas recueca debe ser proporcoales a las recuecas de cada tervalo (altura = ampltud del t erv alo ) úmero de pulsacoes por muto e u grupo de 30 persoas. Itervalo (puls/m) (º persoas) [50,56) [56,6) [6,68) 4 [68,74) 9 [74,80) 6 [80,86) 5 [86,9) pulsacoes /muto Tempo empleado por 80 persoas e realzar ua tarea Itervalo (m) (º persoas) [0,) 4 [,3) 5 [3,4) 0 [4,5) [5,7) 8 [7,0) 80 Observa que la ampltud de los tervalos o es la msma. El tervalo 0- represeta ua recueca de 4; su altura es 4/=. El tervalo -3 represeta ua recueca de 5; su altura es 5/= 5. El tervalo 3-4 represeta ua recueca de 0; su altura es 0/= 0. El tervalo 4-5 represeta ua recueca de ; su altura es /=. El tervalo 5-7 represeta ua recueca de 8; su altura es 8/= 4. El tervalo 7-0 represeta ua recueca de ; su altura es /3= Tempo (mutos) IES Fuerte de Cortadura Pága 4 de 7

5 Frecueca (º de persoas) recueca(º de persoas) Estadístca Estadístca Descrptva Polgoal de recuecas. Los hstogramas y alguos dagramas de barras, també se puede represetar por ua polgoal de recuecas, que es la líea que ue los putos correspodetes a las recuecas de cada valor (extremos superores de las barras). S esta polgoal es smple, las ordeadas se stúa e la marca de clase de cada tervalo. S se hace ua polgoal de recuecas acumuladas, el prmer tervalo empeza e cero y alcaza, e su extremo superor, la ordeada de su recueca; el segudo tervalo cotúa la msma líea, elevádola e él la recueca correspodete, y así sucesvamete. La polgoal de recuecas que represeta el úmero de errores cometdos al realzar ua tarea (ver ejemplo del dagrama de barras) se da e la gura adjuta Errores 9 úmero de pulsacoes por muto e u grupo de 30 persoas. La polgoal de recuecas que represeta el úmero de pulsacoes por muto e u grupo de 30 persoas (ver ejemplo del hstograma) se da e la gura adjuta pulsacoes /muto Vamos a costrur la polgoal de recuecas acumuladas correspodete al ejemplo dode se medía el tempo empleado por 80 persoas al realzar ua tarea. Prmero costruremos la tabla de recuecas co las acumuladas y después dbujaremos la polgoal. Itervalo (m) F [0,) 4 4 [,3) 5 9 [3,4) 0 9 [4,5) 3 [5,7) 8 59 [7,0) Dagrama de sectores. Es muy utlzado para varables cualtatvas o cuattatvas e las que el úmero de estados e que clasquemos sea pequeño. Cada sector crcular debe ser proporcoal a la recueca de la clase. Es muy útl para represetar stuacoes smlares y hacer comparacoes. E u sttuto de Secudara, se ha obtedo los sguetes resultados al acabar el curso e la asgarura de Matemátcas: otas º de alumos Suspeso 35 Sucete 45 Be 65 otable 40 Sobresalete 30 Suspeso Sucete Be otable Sobresalete IES Fuerte de Cortadura Pága 5 de 7

6 Estadístca Estadístca Descrptva. 5 Meddas de cetralzacó Para estudar u cojuto de datos estadístcos, además de los grácos y las tablas de recuecas, covee dar alguas meddas objetvas que descrba de u modo cocso el comportameto y las característcas geerales de los datos estudados. Estas meddas, que recbe el ombre de parámetros estadístcos, se suele agrupar e las sguetes categorías: Meddas de cetralzacó: está relacoadas co el promedo de los datos. Es u valor lo más represetatvo posble del cojuto de datos. De ellas, la prcpal es la meda, també se usa la medaa y la moda. Meddas de poscó: dca, ua vez ordeados, cuátos elemetos queda a la zquerda o derecha de uo dado. Las más usadas so los cuartles y los percetles. Meddas de dspersó: da ua dea de las desvacoes que sure los datos respecto de los valores cetrales, e especal co relacó a la meda. A mayor parámetro, más dspersó. Etre estas se ecuetra: ragos, varaza, desvacó meda y desvacó típca. 5.. Meda artmétca. La meda artmétca de ua sere de valores se obtee sumádolos, y dvdedo la suma por el úmero de datos. Se represeta por x. Su cálculo se realza, segú las expresoes que sgue, atededo a la presetacó de los datos: Para datos smples (s agrupar por recuecas): S la varable toma los valores x, x,., x, la meda artmétca adopta la expresó: x x... x x x Para datos agrupados por recuecas: S la varable toma los valores x, x,...,x, sedo,,..., las recuecas absolutas correspodetes de la dstrbucó, la meda artmétca se calcula co la expresó: x x x... x x... Cuado los datos está agrupados e tervalos, para hallar la meda artmétca basta co tomar como valores de la varable x las marcas de clase respectvas. La meda també se puede calcular como: x x h, sedo h las recuecas relatvas. Cosderacoes: La meda artmétca es el parámetro de cetralzacó más utlzado. Preseta la vetaja de teer e cueta todos los datos de la dstrbucó, además de resultar muy secllo su cálculo. Tee el coveete de que s la dstrbucó pose valores extremos, éstos puede producr ua dstorsó sobre el valor de la meda, alterado el sgcado de ésta. o sempre es posble realzar el cálculo de la meda artmétca: s los datos so cualtatvos o cuado, estado los datos agrupados e clases, algua de ellas está aberta. S se suma ua costate a todos los valores de ua varable, su meda aumeta e dcha costate. S se multplca todos los valores de la varable por ua costate, la meda queda multplcada por dcha costate. 5.. Moda. Se deoma moda de ua varable estadístca al valor de la varable que tee mayor recueca absoluta. Se represeta por Mo. La moda de ua varable dscreta es ácl de calcular, basta buscar el valor de la varable que preseta mayor recueca. Puede ocurrr que la moda o sea úca, es decr, la dstrbucó puede teer,3 o más modas, recbedo el ombre de bmodal, trmodal, etc. IES Fuerte de Cortadura Pága 6 de 7

7 Estadístca Estadístca Descrptva. E el caso de que los datos se ecuetre agrupados e tervalos de la msma ampltud, la clase co mayor recueca se deoma clase modal. Puede tomarse como moda la marca de clase de la clase modal S los datos se agrupa e tervalos de dstta ampltud, la clase modal es aquella a la que le correspode e recueca el hstograma u rectágulo de mayor altura (altura = ) ampltud del t erv alo Cosderacoes: Puede ocurrr que exsta dstrbucoes que o tega moda (cuado todos los datos so guales) La moda es meos represetatva que la meda artmétca, pero a veces es más útl que ésta; por ej. cuado se trata de datos cualtatvos. E la moda o tervee todos los datos de la dstrbucó. La moda o tee por qué stuarse e la zoa cetral. La moda represeta el valor domate e la dstrbucó 5.3 Medaa. La medaa de ua varable estadístca es el valor que dvde el cojuto de datos e dos partes guales, es decr, el úmero de datos meores que ella es gual al úmero de datos mayores. Se represeta por Me o M. Para calcular la medaa dstgumos: Para datos smples (s agrupar por recuecas): E este caso se ordea los datos de orma crecete y la meda será el valor cetral: S el úmero de datos es mpar, el valor cetral es úco:,3,5,6,9,, Me=6 S el úmero de datos es par se toma la meda de los dos valores cetrales:,3,5,6,,3 Me = = 5.5 Para datos agrupados por recuecas: La medaa vee dada por el prmer valor de la varable cuya recueca absoluta excede a la mtad del úmero de datos. E el caso de que la mtad del úmero de datos cocda co la recueca absoluta acumulada correspodete a u valor, la medaa es la meda etre ese valor y el sguete. Para datos agrupados e tervalos: La clase que cotee a la medaa se llama clase medaa o tervalo medao. Puede tomarse como medaa, e ua prmera aproxmacó, la marca de la clase del tervalo medao. S se desea mayor precsó e el cálculo de la medaa, ésta puede obteerse detro del tervalo medao, medate la expresó: F Me L c sedo: L = extremo eror de la clase medaa c = ampltud de los tervalos = úmero total de datos F - = recueca absoluta acumulada de la clase ateror a la clase medaa. = recueca absoluta de la clase medaa La medaa es especalmete útl e los sguetes casos: a) Cuado etre los datos exste alguo ostesblemete extremo que aecta a la meda. b) Cuado los datos está agrupados e clases y algua de ellas es aberta. Como cosecueca de la decó de medaa, se tee que el 50% de los datos so meores o guales que ella y el 50% so mayores o guales. La medaa es u parámetro de cetralzacó que depede del orde de los datos y o de su valor. 6 Meddas de poscó La medaa de los valores de ua varable estadístca dvde a la dstrbucó e dos partes guales. Es decr, la medaa parte la dstrbucó e dos mtades, cada ua correspodete al 50%. Geeralzado la dea ateror, se puede pesar e obteer valores que dvde a los datos e dversas partes guales. Estás da lugar a los coceptos que sgue: Los valores de la varable que supera, exactamete, al 5%, 50% y 75% de los datos se llama, respectvamete, cuartl prmero (Q ), segudo (Q ) y tercero (Q 3). IES Fuerte de Cortadura Pága 7 de 7

8 Estadístca Estadístca Descrptva. De la msma maera, podemos dvdr la dstrbucó e 00 partes, co lo cual podemos llegar a coocer cuál es el valor de la varable que deja u porcetaje de casos a su zquerda y derecha. El percetl de orde k o k-ésmo (P k) de ua dstrbucó es u valor que, ua vez ordeados los datos de orma crecete, el k% so guales o erores a él. Para el cálculo de Q se parte de /4, para el de Q 3 de 3/4 y para el de P k de k/00. Después se procede como e el caso de la medaa, tato para varable dscreta como para varable cotua. Así para varables agrupadas e tervalos se tee: F Q 4 L c Q 3 3 F L 4 c k F P 00 k L c Cuartles y percetles se deoma parámetros de estructura o de poscó. Se tee que Q = P 5 ; Q = Me = P 50 ; Q 3 = P 75 7 Meddas de dspersó Cosderemos el sguete ejemplo: se ha aplcado a dos grupos de ocho alumos de 8º de EGB u test de 00 pregutas sobre capacdad umérca, obteédose los sguetes resultados: Grupo A Grupo B S calculamos la meda, la moda, y medaa de ambas dstrbucoes, observamos que todas so 50. E cambo, los dos grupos de alumos so be dsttos. Así pues, la vestgacó acerca de la dstrbucó queda completa s sólo se estuda las meddas de cetralzacó, sedo mprescdble coocer s los datos umércos está agrupados o o alrededor de los valores cetrales, e especal co relacó a la meda artmétca. A esto se llama dspersó. Las meddas o parámetros de dspersó más usuales se descrbe a cotuacó. 7.. Recorrdo o rago. Se llama recorrdo o rago de ua dstrbucó a la dereca etre el mayor y el meor valor de la varable estadístca. E el ejemplo ateror los recorrdos so: de A, = 8, y de B, 90-0 = 80. Por tato, al teer el msmo úmero de datos, dremos que la dstrbucó del grupo A está más cocetrada que la del grupo B. Cuato meor es el recorrdo de ua dstrbucó, mayor es el grado de represetatvdad de los valores cetrales. El recorrdo tee la vetaja de su secllez de cálculo. Tee gra aplcacó e procesos de cotrol de caldad, y de ua maera geeral, e aquellos procesos que se preteda vercar logtudes, pesos, volúmees, estado prejados de atemao los límtes permtdos. El recorrdo tee el coveete de que sólo depede de los valores extremos. Para palar de algua maera este coveete se utlza e ocasoes otros ragos: Rago tercuartílco: Q 3 - Q Rago etre percetles: P 90 - P 0 Estos ragos so algo más estables que el rago, ya que tede a elmar aquellos valores extremadamete alejados. 7.. Varaza y desvacó típca. La varaza que deotamos por σ, es la meda artmétca de las derecas la cuadrado de cada dato respecto a la meda de todos ellos. Su órmula es: σ (x x) (x x)... (x x)... (x x) La varaza, al obteerse a partr del cuadrado de las derecas de los datos respecto de la meda, hace que los valores más alejados tega mayor peso e el resultado: e cosecueca, dstgue mejor que la ampltud la varabldad de los datos de las dstrbucoes. Otra órmula equvalete, de mayor utldad práctca, es: σ x x... x... x x x IES Fuerte de Cortadura Pága 8 de 7

9 Estadístca Estadístca Descrptva. La varaza tee el coveete de que su valor vee dado e udades al cuadrado. Por ejemplo, para datos meddos e cetímetros la varaza se expresa e cetímetros cuadrados. Esto se resuelve cosderado la desvacó típca. σ La desvacó típca, σ, es la raíz cuadrada de la varaza. E cosecueca: (x x) x = x La varaza y la desvacó típca també se deota por s y s. Tato la varaza como la desvacó típca depede de todos los valores de la dstrbucó. S a los valores de ua varable se les suma la msma costate, la varaza y la desvacó típca o varía. S a los valores de ua varable se les multplca por la msma costate postva, la varaza queda multplcada por el cuadrado de la costate y la desvacó típca queda multplcada por dcha costate Coecete de varacó. Los pesos de los toros de lda de ua gaadería se dstrbuye co Los pesos de los perros de ua exposcó caa se dstrbuye co x t = 50 kg y σ t = 5 kg. x p = 9 kg y σ p = 0 kg. La desvacó típca de la maada de toros bravos es superor que la de los perros (σ t= 5 > σ p= 0). S embargo, esos 5 kg so poca cosa para el eorme peso de los toros ( es decr, los toros de esa maada so muy parecdos e peso), metras que 0 kg e relacó co el peso de u perro es mucho. Para poder comparar la dspersó de dos poblacoes muy dsttas, o es buea la desvacó típca. Por eso se dee ua ueva medda de dspersó, llamada coecete de varacó: σ CV x Al dvdr la desvacó típca etre su meda, x, se está relatvzado la varacó. Así como la meda y la desvacó típca se da e las udades e que vee dados los datos, el coecete de varacó es u úmero abstracto (o tee udades). Cuato más pequeño sea este coecete de varacó, los datos está más cocetrados alrededor de la meda, sedo ésta más represetatva. E el ejemplo de los toros y los perros, sus respectvos coecetes de varacó so: 5 0 CV t CV p A veces el coecete de varacó se da e tatos por ceto. E este caso sería: CV t = 0.049x00 = 4.9 % CV p = 0.56x00 = 5.6% Co este parámetro se ve claramete que el peso de los perros de la exposcó caa es mucho más dsperso que el de los toros de la maada. 8 Iterpretacó de los parámetros estadístcos x y σ La desvacó típca y la meda so las dos meddas más utlzadas para descrbr u cojuto de datos. La meda: Es el valor del promedo, el que se obtedría al repartr gualtaramete u todo etre sus elemetos. Grácamete es el cetro de gravedad de la dstrbucó. Es decr, s las barras tuvera peso, la meda es el puto dode habría que sosteer la tabllla e que se stúa para mateerse e equlbro. Aálogamete ocurre co las dstrbucoes dadas medate hstogramas. La desvacó típca: os dce cómo de alejados de la meda, cómo de dspersos, se ecuetra los datos. Es ua medda de las derecas habdas e ese reparto supuesto gualtaro; a mayor desvacó típca meor gualdad. x Utlzado la meda artmétca y la desvacó típca cojutamete podemos obteer resultados muy mportates sobre la dstrbucó. Observemos la sguete amla de dstrbucoes. Todas ellas tee la msma meda. Sus desvacoes típcas, s embargo, so dsttas: IES Fuerte de Cortadura Pága 9 de 7

10 Estadístca Estadístca Descrptva E la prmera, todos los valores está acumulados e la meda. Su desvacó típca es cero (o hay dspersó. Al pasar a la seguda aumeta la dspersó, pues alguos dvduos está separados de la meda. Y, e geeral, para pasar de cada ua a la sguete, alguos dvduos se aleja de la meda y, por tato, aumeta la dspersó. * Ejemplos ) U alumo obtuvo las sguetes calcacoes e Matemátcas: 3,8,5,8,3,9 y 6: = ota meda: x =6 Moda: Mo= 3 M o = Medaa: 3, 3, 5, 6, 8, 8, 9 Me = 6 Cuartles: Percetles: (/4) = (/4)7 =.75 Q = 3 (30/00) 7 =. P 30 = 5 Q = Me = 6 (3/4) = (3/4) 7 = 5.5 Q 3 = 8 (67/00) 7 = 4.69 P 67 = 8 Recorrdo: 9 3 = 6 Rago tercuartílco: Q 3 Q = 8 3 = 5 Varaza: σ (x x) ó σ (3 6) (3 6) (5 6) (6 6) (8 6) (8 6) (9 6) = x x 6 = Desvacó típca: σ = 5.4 =.6 Coecete de varacó: CV =.6/6 = 0, % ) Las calcacoes e la asgatura de Hstora del Arte de los 40 alumos de ua clase vee dada por: Calcacoes º de alumos x F x x x x 3x4 4x5 5x8 6x9 7x3 8x4 9x3 Meda : x 5' Moda: Mo = 6 Medaa: (/) 40 = 0 Me = 5 Cuartles: Q deja la cuarta parte de la dstrbucó a la zquerda; como /4=40/4=0, se verca que Q = 4. Q = Me = 5 Q 3 deja tres cuartas partes de la dstrbucó a la zquerda; como 3/4 = 340/4 = 30, se tee que Q 3 =(6+7)/ = 6.5 IES Fuerte de Cortadura Pága 0 de 7

11 Estadístca Estadístca Descrptva. Percetles: P 0 deja el 0% de la dstrbucó a la zquerda; como 0/00 = 4,se obtee P 0 =.5 P 30 deja el 30% de la dstrbucó a la zquerda; como 30/00 =,se obtee P 30 =4 P 40 deja el 40% de la dstrbucó a la zquerda; como 40/00 = 6,se obtee P 40 =5 P 70 deja el 70% de la dstrbucó a la zquerda; como 70/00 = 8, se obtee P 70 = 6 Recorrdo: 9 = 8 Recorrdo tercuartílco: Q 3 Q = =.5 Varaza: σ (x x) = x = x Desvacó típca: σ = Coecete de varacó: CV =.08/ 5.3 = 0,39 39.% = ) La estacó meteorológca de Pueblaseca regstró 88 días de lluva el pasado año, segú se muestra e la tabla sguete: Ltros/m (0,5) [5,0) [0,5) [5,0) [0,5) [5,30) [30,35] º de días Meda: x x Clases x F x x (0,5) [5,0) [0,5) [5,0) [0,5) [5,30) [30,35] = 8 5 l/m Moda: El mayor valor de la recueca, 3, da como clase modal el tervalo [5,0). E ua prmera aproxmacó, la moda es la marca de clase del tervalo ateror, es decr, Mo=7.5. Medaa: E la ctada dstrbucó, el º total de datos es 88. El tervalo medao es [5,0), ya que cotee el dato úmero 44. Utlzado la expresó que permte calcular la medaa aplcada al tervalo ateror, se tee: F 88 9 Me L c l/m 3 Cuartles: Q deja la cuarta parte de la dstrbucó a la zquerda: como /4 =, resulta que la clase que cotee el prmer cuartl es [0,5). Aplcado ua expresó aáloga a la de la medaa, se tee: F 4 0 Q L c Q 3 deja tres cuartas partes de la dstrbucó a la zquerda: 3/4 = 66, resulta que la clase que cotee el tercer cuartl es [0,5). Se tee que: 3 F Q3 L c Percetles: P 40 deja el 40% de la dstrbucó a la zquerda; como 40/00= 35., resulta que la clase que cotee el percetl de orde 40 es [5,0). Aplcado la expresó correspodete: 40 F P40 L c IES Fuerte de Cortadura Pága de 7

12 Estadístca Estadístca Descrptva. P 90 deja el 90% de la dstrbucó a la zquerda; como 90/00=79., resulta que la clase que cotee el percetl de orde 90 es [5,30). Por tato: 90 F P90 L c Rago o recorrdo: 35 0 = 35 Rago tercuartílco: Q 3 Q = = 0.7 Varaza: σ (x x) = x = Desvacó típca: : σ = x Coecete de varacó: 7.35/ 8.5 = 0, % * Problemas = ) Clasca las varables que sgue e cualtatvas y cuattatvas, dca el tpo, y po ejemplos de los valores que puede tomar cada ua: a) Temperatura regstrada cada hora del día b) El úmero de membros de cada ua de las amlas de u certo país c) E u cetro, cojuto muscal preerdo por los alumos. d) úmero de espectadores que ha asstdo a u pabelló durate los partdos de balocesto de toda la lga. e) Las velocdades co las que crcula los automóvles por u determado lugar ) E u cetro, úmero de alumos de cada clase. g) El sexo de los habtates de ua cudad h) Duracó de las llamadas teleócas hechas e ua caba. ) E u grupo de º de Bachllerato, lugar preerdo para realzar u vaje de curso. j) La talla de ropa que utlza los habtates de las Islas Caaras k) Opó de los españoles sobre ua decsó polítca Dígase cuál es la poblacó estudada e cada uo de los casos ctados e el problema ateror. ) E ua poblacó de 5 amlas se ha observado la varable úmero de coches y se ha obtedo los sguetes datos: 0,,,3,,0,,,,4,3,,,,,,,,,,,,3,,. Elabora la tabla de recuecas de la dstrbucó de X. 3) Las meddas de cocetracó de ozoo e la atmósera de ua cudad uero las sguetes: 3,5,4 6,6 6,0 4, 4,4 5,3 5,6 6,8,5 5,4 4,4 5,4 4,7 3,5 4,0,4 3,0 5,6 4,7 6,5 3,0 4, 3,4 6,8,7 5,3 4,7 7,4 6,0 6,7,7 5,5, 5, 5,6 5,5,4 3,9 6,6 6, 7,5 6, 6,0 5,8,8 6, 4, 9,4 3,4 5,8 3, 5,8 7,6,4 3,7,0 3,7 6,8 3, a) Agrupa estos datos e tervalos de clase de logtud y e clases de logtud b) Realza ua tabla co las recuecas absolutas, relatvas y acumuladas, porcetajes y porcetajes acumulados para cada uo de los casos. 4) E ua clase de 8 alumos las otas de Matemátcas ha sdo las sguetes: MD T T SB T T SF SF MD MD BI T SF IS SB MD T T MD SF BI SB IS MD SF SF BI BI dode: MD: Muy decete ( de 0 a 3 putos) IS: Isucete (de 3 a 5 putos) SF: Sucete ( de 5 a 6 putos) BI: Be ( de 6 a 7 putos) T: otable ( de 7 a 9 putos) SB: Sobresalete (de 9 a 0 putos) Determa los tervalos de clase de cada ota y agrupa los datos segú los tervalos determados. Preseta estos datos e ua tabla co las recuecas absolutas, relatvas y acumuladas, porcetajes y porcetajes acumulados. 5) Completa los datos que alta e la sguete tabla estadístca, dode, F y h represeta, respectvamete, la recueca absoluta, acumulada y relatva. x F h 0,08 0,6 0,4 IES Fuerte de Cortadura Pága de 7

13 º de alumos Estadístca Estadístca Descrptva. 6) Completa los datos que alta e las tablas estadístcas sguetes: Calcacó h º de hjos h x F h Isucete Sucete otable Sobresalete TOTAl TOTAL TOTAL 7) Las produccoes de trgo (e toeladas) de uas grajas so las que gura e la tabla adjuta: Graja A B C D E F Produccó Represeta grácamete estos datos e u dagrama de barras. 8) Las daas logradas e u campeoato por 5 tradores uero: 8, 0,,, 0, 0,,, 0, 3, 9,, 0, 9, 9,,, 9, 0, 9, 0, 9, 0, 8, 0 Resume los datos aterores e ua tabla de recuecas absolutas y relatvas, y dbuja el correspodete dagrama de barras. 9) Se ha realzado u test de habldad umérca a los alumos de ua clase. Los resultados obtedos so: Putuacoes [0,5) [5,0) [0,5) [5,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] º de alumos Represeta los datos medate u hstograma. 0) Se ha aplcado u test a los empleados de ua ábrca, obteédose la sguete tabla: Putuacoes (38,44] (44,50] (50,56] (56,6] (6,68] (68,74] (74,80] º de trabajadores Costruye el hstograma y el polígoo de recuecas absolutas acumuladas. ) U pedatra realzó u estudo sobre la edad a la que comezaro a adar 50 ños de su cosulta: Meses ños Realza el dagrama de barras, el polígoo de recuecas y el polígoo de recuecas acumuladas. ) De ua muestra de 75 plas se ha obtedo los sguetes datos sobre la duracó e horas: Duracó e horas (5,30] (30,35] (35,40] (40,45] (45,50] (50,55] º de plas a) Represeta los hstogramas correspodetes, el de recuecas y el acumulado. b) A partr de los hstogramas del apartado ateror, costruye los dos polígoos de recueca. 3) El sguete hstograma represeta el úmero de daas obtedas por u grupo de 40 alumos de u sttuto e uas competcoes de tro º de daas a) Obté la tabla de recuecas asocada a esta represetacó b) Represeta el polígoo de recuecas acumuladas 8 IES Fuerte de Cortadura Pága 3 de 7

14 Estadístca Estadístca Descrptva. 4) Halla la tabla de recuecas asocada a este hstograma: 5) Los sueldos mesuales e ua empresa so los sguetes: drector, 3000 ; 3 jees, 500 ; 6 ecargados, 500, y 9 operaros, 800 Calcula el sueldo medo 6) La dreccó de tráco ha recogdo la sguete ormacó relatva al úmero de multas daras, e u período de 50 días, que sus agetes ha mpuesto a los coductores que crcula por ua autopsta. º de multas (0,5] (5,0] (0,5] (5,0] Días Halla el úmero medo de multas daras. 7) E prmero de Bachllerato de u cetro escolar hay tres grupos, A, B y C, co 30,35 y 5 alumos, respectvamete. La ota meda e Matemátcas ue, també respectvamete, de 5.3, 6.5 y 5.6. Halla la ota meda de Matemátcas de todos los alumos de prmero. 8) A u cojuto de cco úmeros cuya meda artmétca es 7.3 se le añade 4.47 y 0.5. Cuál es la meda del uevo cojuto de úmeros? 9) Para el sguete cojuto de datos: 0,3,4,7,8,,0,6,8,,3,6,9,9,4,3,0,7,5,0,7,0,6,4,8,8 Obté su meda, moda y medaa. 0) Los gastos mesuales e lectura (peródcos, revstas y lbros) de 7 persoas uero, e euros, 7, 9, 9, 8, 7.5, 30 y 8.5. a) Calcular la meda y la medaa de los datos aterores. Cuál de ellas es más represetatva para estos datos? b) S el preco del tabaco sube e u 0 % y se matee el cosumo, deducr los uevos valores de la meda y la medaa a partr de los resultados obtedos e el apartado ateror. ) Supogamos que los precos de los dsttos artículos producdos por ua empresa vee dados por: Precos Frecuecas 5 k k 3 a) Deduce el valor de k sabedo que el preco medo es 5. b) Calcula la moda y la medaa. ) Los sguetes datos correspode a la altura e cetímetros de los alumos de ua determada clase: 50, 69, 7, 7, 7, 75, 76, 77, 78, 79, 8, 8, 83, 84, 84 Calcula la moda, medaa y los cuartles de la varable. Idca el sgcado de los parámetros ecotrados. 3) Se ha pasado u test de 79 pregutas a 600 persoas. El úmero de respuestas correctas se releja e la sguete tabla: Respuestas [0,0) [0,0) [0,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) º de persoas a) Represeta los datos medate u hstograma. b) Calcula la meda y la moda de respuestas correctas. c) Calcula la medaa y el prmer cuartl. Qué mde estos parámetros? 4) La calcacó obteda por u grupo de 00 alumos e la asgatura de matemátcas es: Calcacó º de alumos a) Calcula el rago tercuartílco. b) Calcular los percetles de orde 0 y 70. IES Fuerte de Cortadura Pága 4 de 7

15 Estadístca Estadístca Descrptva. 5) Dada la sguete dstrbucó estadístca, calcula el prmer y tercer cuartl, Q y Q 3, y los percetles de orde 40 y 80, P 40 y P 80. Clases [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55) [55,60) ) Habédose meddo el coecete telectual (C.I.) de los alumos de u colego se ha obtedo los sguetes resultados: C.I º de alumos Qué putuacó correspode al percetl 80? Qué putuacó correspode a u alumo que es superado por el 30% de los alumos? Qué tato por ce de los alumos represeta aquellos que tee u CI e el tervalo 93-3? 7) Para reclascar a sus empleados, ua empresa decde hacer uas pruebas que arroja los sguetes resultados: Putuacó º de empleados La ueva estructura de la empresa exge que el 64% de los empleados perteezca a la categoría básca, el 0% a la categoría meda, el 0% a la superor y el resto sea cargos drectvos. Cuáles debe ser las dsttas putuacoes mímas exgdas para que u empleado pase a ormar parte de las deretes categorías, supoedo que éstas va aumetado segú la putuacó de la prueba? 8) Calcula todos los parámetros de dspersó para las sguetes dstrbucoes estadístcas: a) Calcacoes de 0 estudates: 6, 3,, 5, 7, 5, 9, 7, 6,, 4, 6, 6, 4,, 0, 8, 7, 5, 9. b) Goles por partdo e la lga de útbol 86-87: Goles º de partdos c) Prueba, co putuacó de 0 a 0, a 0 persoas: Itervalo [0,) [,4) [4,6) [6,8) [8,0) º de persoas ) Las putuacoes obtedas e u test de razoameto abstracto por 0 alumos so las sguetes:6,,, 0, 3,, 7, 5, 3,, 7, 8, 0, 7,, 6, 3,,, 8. Hallar la moda, la meda, los percetles de orde 30 y 70, el recorrdo y la varaza 30) U versor ha adqurdo 000 accoes de ua determada socedad e cco sesoes deretes de Bolsa. Los cambos de adquscó se regstra e la tabla adjuta. Halla el cambo medo, la medaa, la moda y la desvacó típca. Cambo º de accoes ) Se ha cotrolado el peso e 50 recé acdos, obteédose los resultados de la tabla. Hallar los cuartles, la desvacó típca y el recorrdo tercuartílco. Peso (e kg) º de ños ) Para comprobar la ressteca de uas varllas de ylo, se somete 50 a u test de ressteca, que cosste e comprobar s se rompe o o cuado se aplca ua uerza sobre 5 putos deretes. El úmero de roturas por varlla esayada es: º de varllas º de roturas a) Calcula el úmero medo de roturas por varlla y el porcetaje de varllas que sure más de dos roturas. b) Halla la moda, meda y varaza de la sere. 33) E la sguete dstrbucó de recuecas: X (60,76] (76,9] (9,08] (08,4] (4,40] (40,56] Frecueca Cuátos valores hay e el tervalo x, x? Qué porcetaje del total represeta? IES Fuerte de Cortadura Pága 5 de 7

16 Estadístca Estadístca Descrptva. 34) La altura (e cm) y el úmero de zapato que usa ses alumas de prmero de Bachllerato so: Altura Zapato a) Halla la meda y la desvacó típca de los datos. b) Qué cojuto es más dsperso, el de alturas o el de úmero de zapato? 35) Las edades, e años, de los asstetes a certo curso uero: 37, 35, 38, 36, 37, 40, 38, 5, 38. a) Cuál es la edad meda de los asstetes? b) La varaza del cojuto de datos ateror es 6.9. Las msmas persoas asstrá a otro curso detro de dos años. Obté razoadamete la meda, la varaza y la desvacó típca del uevo cojuto de datos a partr de los correspodetes al cojuto de datos cal. 36) Cosdérese los sguetes valores:,3,3,5,7. Obteer otro cojuto de 5 datos que cluya los valores,3,6, y que tega la msma meda, la msma medaa y mayor varaza. 37) Iveta ses otas (eteras) cuya meda sea 5 y cuya desvacó típca sea a) la meor posble,b) la mayor posble. Justícalo. 38) Iveta ses otas deretes (eteras) cuya meda sea 5 y cuya desvacó típca sea a) la meor posble, b) la mayor posble. 39) U test aplcado a 40 alumos de º de ESO ha dado los sguetes resultados: Putuacoes (4,0] (0,6] (6,3] (3,38] (38,44] (44,50] (50,56] º de alumos Se pde: a) Calcula la moda, la meda, la medaa, el recorrdo, el rago etre percetles, la varaza y el coecete de varacó de las putuacoes. b) Calcula a partr de qué putuacó se ecotrará el 30% de la clase co mayor putuacó c) d) S debdo a u error e la correccó de los test las putuacoes debería ser u 0% erores a las de la tabla cuál es la verdadera meda? 40) El úmero de hjos de 3 matrmoos se dstrbuye segú la tabla adjuta º de hjos º de matrmoos a) Represeta grácamete el dagrama de barras y la polgoal de recuecas acumuladas b) Calcula la moda, los cuartles, la meda y la varaza IES Fuerte de Cortadura Pága 6 de 7

17 Estadístca Estadístca Descrptva. 4) Se cosdera ua dstrbucó de datos agrupados e tervalos cuyo polígoo de recuecas acumuladas es el de la gura Calcular razoadamete: a) Tabla de dstrbucó de recuecas absolutas b) Meda y desvacó típca c) Medaa 4) Al pregutar a u grupo de persoas cuáto tempo dedcaro a ver televsó durate u de semaa se obtuvero estos resultados: Tempo (e horas) [0,0.5) [0.5,.5) [.5,.5) [.5,4) [4,8) º de accoes Dbuja el hstograma correspodete y halla la meda y la desvacó típca. 43) La tabla sguete da las gaacas brutas, e mlloes de pesetas, durate ses años cosecutvos, de dos tedas de guales característcas stuadas e barros dsttos: Año Teda A 5,9,5 7,4 8, 4,8 3,7 Teda B 4,5 3,8 5,7 3,5 5,5 4,6 a) Qué teda da mayores beecos? b) Qué teda es más estable? 44) Dos abrcates de baterías de automóvles orece sus productos a ua ábrca de automóvles, al msmo preco. Ésta, para elegr la más duradera, hace ua prueba co 50 baterías de cada marca, obteedo los sguetes resultados : Vda de la batería(e meses) Marca A (rec. absoluta) Marca B (rec. absoluta) Realce los cálculos que cosdere ecesaros para justcar la eleccó eectuada por la ábrca. 45) Se ha meddo el colesterol e cuatro grupos de persoas sometdas a deretes detas. Las medas y las desvacoes típcas so las que gura e esta tabla: DIETA A B C D x Las grácas so, o respectvamete: Asoca a cada deta la gráca que le correspode. IES Fuerte de Cortadura Pága 7 de 7

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