NOTAS SOBRE ESTADÍSTICA APLICADA A LA CALIDAD

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1 NOTAS SOBRE ESTADÍSTICA APLICADA A LA CALIDAD 1. CONCEPTO DE ESTADÍSTICA : Es la ceca que estuda la terpretacó de datos umércos. a) Proceso estadístco : Es aquél que a partr de uos datos umércos, obteemos uos resultados medate uas reglas y uas operacoes. Proceso estadístco: Eleccó de la udad estadístca. Recogda, aálss y presetacó de los datos. Ordeacó de los datos. Cálculo de las meddas de poscó y dspersó. Represetacó gráfca. Aálss y predccó de resultados. Aálss de errores. Sgfcacó. Fabldad Detro de la estadístca se dstgue dos ramas: Estadístca Iductva Estadístca Descrptva. Nota: E estas otas, sólo veremos la Estadístca Descrptva. b) Estadístca Descrptva : Es u modelo que permte acumular formacó, aalzarla y stetzarla, para descrbr u feómeo.. POBLACIÓN, CARACTERÍSTICA Y MUESTRA : El objetvo formal de la descrpcó estadístca es la masa estadístca. Masa estadístca: Es el cojuto de udades que tee característcas de detfcacó comparables e cada estudo. Se llama frecuetemete poblacó, auque estas poblacoes o se lmta a u cojuto de persoas, so que podrá se, por ejemplo, u cojuto de coches, u cojuto de productos agrícolas, etc. El objetvo de u proceso estadístco es observar y cometar las dsttas característcas de ua poblacó estadístca, ua vez que ésta se ecuetra be defda. De esta forma la característca se dvde o clasfca a la poblacó orgal e masas parcales o subpoblacoes estadístcas, por ejemplo, de ua poblacó de coches los de.000 cc, etc. Subpoblacó: Exste ua subpoblacó, cuado sus elemetos reúe característcas especales que o se preseta e los demás elemetos de la poblacó. Es evdete que o sempre se puede hacer ua vestgacó exhaustva de la poblacó, es decr, sobre todos y cada uo de sus elemetos, y que, por tato hay que recurrr a la ecuesta por sodeo; se dce etoces que el objeto de la vestgacó es ua muestra o subcojuto del total de casos de la poblacó. Por ejemplo, de ua poblacó de estudates, queremos saber cuatos ha asstdo a u cocerto que se ha celebrado e la cudad. CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 1

2 Para que ua muestra sea represetatva debe cumplrse que todos los elemetos de la poblacó tega la msma posbldad de formar parte de la muestra. La muestra puede ser: Aleatora: cuado la recogda de datos es al azar. No aleatora: cuado los datos se obtee segú uos crteros: Etrevstas. Ecuestas. 3. CONCEPTOS: INDIVIDUO Y MODALIDAD : Idvduos: so los elemetos que compoe la poblacó estudada. Cada dvduo puede descrbrse segú uo o varos caracteres o característcas, que elegremos atededo a los aspectos de la poblacó sobre los que estemos teresados. Por ejemplo de ua poblacó de persoas, ua característca puede ser la estatura, la edad, etc. Modaldades: so las dferetes stuacoes posbles de u carácter. Los caracteres de u dvduo puede presetar dos o más modaldades. Por ejemplo, las modaldades del carácter sexo e la poblacó de persoas so: masculo y femeo; las modaldades de la característca estatura, por ejemplo, sera 160 cm, 170 cm y 180 cm, etc. 4. CLASES DE CARACTERES: CUALITATIVOS Y CUANTITATIVOS : E la vestgacó estadístca podemos dstgur dos clases de caracteres o característcas: cualtatvos y cuattatvos. a) Característcas cualtatvas o atrbutos: So las que expresa ua cualdad que geeralmete o tee represetacó umérca. De ellas lo úco que puede determarse es la frecueca co que aparece. Este tpo de característcas clasfca la poblacó e categorías. b) Característcas cuattatvas: So las que permte asgar a cada elemeto de la poblacó u úmero real. Ejemplos: la edad de u colectvo de dvduos, el úmero de alumos de cada clase, etc. Varable: desde el puto de vsta matemátco, es aquel ete que puede tomar u valor cualquera de u cojuto determado de valores. La característca cuattatva es ua varable matemátca, que osotros cuado os refermos a la característca cuattatva la deomaremos varable estadístca. Las varables o característcas cuattatvas puede ser de dos tpos: 1) Dscreta: Cuado la varable sólo puede tomar valores umércos aslados. Por ejemplos: el úmero de automóvles que pasa por ua calle e ua hora; el úmero de alumos de ua clase, ya que o podrá tomar el valor, por ejemplo, 5,37. ) Cotua: Es el caso cotraro, cuado puede tomar cualquer valor real. Por ejemplo, la estatura de las persoas. E geeral todas las magtudes relacoadas co el tempo (edad, duracó de u feómeo,...), la masa (volume, peso,...) y el espaco (logtud, superfce,...) o ua combacó de éstos (velocdad, desdad, capacdad,...) so varables cotuas. Falmete, llamaremos domo de ua varable estadístca al cojuto de valores que ésta puede tomar detro del feómeo estudado (es equvalete al domo de ua varable matemátca) CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága:

3 5. INTERVALO DE CLASE : Para estudar u hecho e el que la ampltud de la poblacó es grade, dode la varable cotua puede tomar u úmero elevado de valores, se defe las clases de valores o tervalo de clases. Clases de valores o tervalo de clases: so subcojutos del cojuto de valores que puede tomar ua varable cotua. Estas clases puede teer ua ampltud costate o varable. Por ejemplo, s se trata del estudo de la estatura de ua poblacó de dvduos, es coveete dvdr e clases las posbles estaturas de los dvduos vestgados. Podría hacerse de la sguete forma: Meos de 160 cm. De 160 a 170 cm. De 170 a 180 cm. Igual o más de 180 cm. Se puede observar que la prmera y últma clase tee ua ampltud determada, metras las otras dos tee ua ampltud costate de 10 cm. Los extremos de los tervalos so 160 cm, 170 cm y 180cm; y las marcas de clase, 165 cm y 175 cm. Límtes del tervalo: So los valores extremos de dcho tervalo. Por ejemplo, dado el tervalo del ejercco ateror ( cm), el 160 cm es el límte feror y el 170 cm el límte superor. Los crteros que se debe segur para elegr las ampltudes de las clases y el úmero de estas, so los sguetes: E cuato a la ampltud de cada clase: estará codcoada por la preocupacó de obteer efectvos comparables de ua clase a otra. La eleccó acertada suele ser: elegr clases mayor ampltud e las regoes dode el carácter es más raro (e uestro ejemplo, las clases de los extremos tee ampltud lmtada), y de meor ampltud e el resto. E cuato al úmero de clases a adoptar: depederá de la precsó de las meddas y del efectvo de la poblacó estudada. Es coveete que o sea feror a 4 ó 6, pues s el úmero de clases es muy reducdo os coduce a ua pérdda de formacó (el úmero de clases optmo se stúa etre 10 y 15 clases). 6. SERIES ESTADÍSTICAS : A. Cocepto de sere estadístca: Ua sere estadístca es u cojuto de observacoes o meddas realzadas e ua poblacó, atededo a ua o varas característcas determadas. Habtualmete las seres estadístcas se dspoe e tablas que llamaremos Tablas estadístcas, que srve para coteer los datos de la sere de ua forma ordeada y fácl de cosultar. B. Frecuecas: a) Frecueca absoluta: Dada ua poblacó estadístca de dvduos, y cosderada ua modaldad cocreta de ua varable estadístca, se deoma frecueca absoluta (o smplemete frecueca de la modaldad) al úmero de veces que esa modaldad aparece e el total de casos posbles que se preseta e la muestra. CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 3

4 Dada ua modaldad A, a la frecueca co que se repte la otaremos por. Por ejemplo, s cosderamos ua poblacó formada por 50 mujeres, y elegmos como varable el color del pelo, y como modaldad el color egro, la frecueca de esta modaldad será el úmero de dvduos que tee pelo egro. Es de destacar que la suma de las frecuecas absolutas os dará el úmero de casos posbles o total de dvduos de la muestra. b) Frecueca relatva: Se deoma frecueca relatva de ua modaldad al valor de ua fraccó cuyo umerador es la frecueca absoluta de esa modaldad y cuyo deomador es el úmero de dvduos de la poblacó. La frecueca relatva estará sempre compredda etre 0 y 1. S es la frecueca de ua certa modaldad A, y es el úmero de dvduos, la frecueca se calcula: c) Frecueca porcetual: = S la frecueca relatva la expresamos medate porcetajes, ecotramos la frecueca porcetual. Se calcula multplcado por 100 el valor de la frecueca relatva. La frecueca porcetual estará compredda lógcamete etre 0 y 100 y la represetaremos por ρ ρ = 100 = 100 d) Frecueca acumulada: Cosderada ua modaldad determada, la frecueca acumulada os da la suma de las frecuecas de las modaldades aterores a ésta, es decr, la frecueca que se ha acumulado después de cosderar las modaldades aterores. Como es lógco, podemos hablar de frecueca absoluta acumulada, frecueca relatva acumulada y frecueca porcetual acumulada; s embargo, es más usual calcular sólo la frecueca absoluta acumulada para cada modaldad; e el caso de las otras dos frecuecas suele calcularse la frecueca total acumulada que puede servr como comprobate de o haber currdo e error e los cálculos aterores C. Tpos de sere estadístcas : No todas las seres estadístcas se ocupa de característcas de la msma ídole. a) Seres estadístcas smples y agrupadas: Esta clasfcacó correspode a la forma e que se puede presetar los datos. (a).seres estadístcas smples: Nos refermos a las seres estadístcas e las que cada dato del hecho estudado se le asga de forma uívoca el valor extraído de la observacó. Ejemplos: de estas seres so los úmeros de habtates de cada país de u cotete, el úmero de pezas que cada empleado de ua fabrca costruye cada día, etc. CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 4

5 (b).seres estadístcas agrupadas: Se refere fudametalmete a varables estadístcas cotuas o dscretas co u gra úmero de valores E éstas seres estadístcas los datos se agrupa por clases, y a cada clase se le asga u valor llamado marca de clase que suele cocdr co el valor cetral. Ejemplos de estas seres so las estaturas de los dvduos de ua muestra o poblacó, las dmesoes de las pezas de ua máqua, etc. b) Seres croológcas o temporales: Se ocupa del comportameto de los hechos a lo largo del tempo. c) Cuadros estadístcos: Se deoma así a las tablas estadístcas resultate de agrupar varas seres estadístcas. Los cuadros estadístcos se dfereca del resto de las seres estadístcas e que cosdera más de u carácter. Los cuadros estadístcos tee doble etrada y podría cosderarse cluso co más de dos. Ejemplo de cuadros de doble etrada e los que los caracteres examados correspode: el prmero de ellos, a las flas del cuadro y, el segudo, a las columas. Dstrbucó por colores y sexo de u cojuto de palomas de ua famla. Blacas Negras Otros colores Total Machos Hembras Totales MEDIDAS DE LA DISTRIBUCIÓN : E geeral, se llama meddas de la dstrbucó a certos valores característcos que represeta los aspectos más destacables de dcha dstrbucó y faclta su estudo. Podemos dstgur fudametalmete tres ppos de meddas de dstrbucó: Meddas de poscó. Meddas de dspersó. Meddas de deformacó. A. Meddas de poscó : També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Supogamos que queremos descrbr de ua forma breve y precsa los resultados obtedos por u cojuto de alumos e u certo exame; dríamos: (a).la ota meda de la clase es de 6,5. (b).la mtad de los alumos ha obtedo ua ota feror a 5. (c). La ota que más veces se repte es el 4,5. E la expresó (a) se utlza como medda la meda artmétca o smplemete meda. E la (b) se emplea como medda la medaa, que es el valor promedo que deja por debajo de ella la mtad de las otas y por ecma la otra mtad. Y e la (c) se usa el valor de la ota que más veces se ha repetdo e ese exame; este valor es la moda. Estos tres valores, meda, medaa y moda, so s duda los más usados e estadístca. Veamos como se calcula cada uo de ellos. CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 5

6 a) Meda artmétca: Normalmete se suele dstgur etre meda artmétca smple y meda artmétca poderada. (a).meda artmétca smple: Es la suma de todos los elemetos de la sere dvdda por el úmero de ellos. Se calcula así: x = Ejemplo: Hallar la meda artmétca smple de los sguetes valores: 5, 7, 8, 10, 15. Solucó: x 45 x = = 45 ; = 5 ; x = = = 9 de meda. 5 k = 1 (b).meda artmétca poderada: Por lo geeral, e estadístca, los datos se os preseta agrupados medate ua dstrbucó de frecuecas que hace que o todos los elemetos de la sere tega el msmo peso específco, y eso fluye a la hora de calcular la meda; por eso se llama meda poderada. La meda poderada se defe como la suma de los productos de cada elemeto de la sere por su frecueca respectva dvdda por el úmero de elemetos de la sere. Se calcula así: x = k = 1 x x Ejemplo: Durate el mes de septembre del 00 los salaros recbdos por u obrero fuero: Salaros e euros Frecueca e días 6 5 6, ,41 4 Hallar el salaro medo durate ese mes. x = k = 1 x = ( 6 5 ) + ( 6,61 15 ) + ( 8,41 4 ) (c). Cálculo de la meda artmétca a partr de datos agrupados e clases: Hay dos métodos prcpalmete para calcular la meda de ua dstrbucó co datos agrupados: método drecto (o largo) y método abrevado (o corto), de este últmo exste ua varate llamado método clave. Nosotros solo veremos e método drecto.. Método drecto: Cosste e aplcar la fórmula ya vsta para el cálculo de la meda poderada, co la úca salvedad de que se toma como valores represetatvos de la varables los putos medos de cada tervalo, que se deota co X m X m x = 4 = 6, 78 CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 6

7 b) Medaa: Ua vez dspuestos todos los valores que toma la varable e ua sere crecete o decrecete, el valor cetral de esa sere, s exste, es la medaa. Así pues, la medaa deja el msmo úmero de valores a su zquerda que a su derecha. Cuado o exste u valor cetral se puede defr como la meda artmétca de los dos valores medos. Para su cálculo dstguremos tres casos: (a) Cálculo de la medaa co datos o agrupados: Se ordea los elemetos e orde crecete o decrecete, y la medaa es el valor que ocupa +1 el lugar Ejemplos: Ejemplo 1º: Sea la sere: 5, 6, 9, 11, 15, 19, 3, 6, = = 5; La Medaa es 15 Ejemplo º: Sea la sere: 5, 7, 10, 15, 0, 1, 4, 7 E este caso el úmero de datos es par. Etoces el valor medo sera = = 4,5; Es decr, estaría compreddo etre el cuarto y el quto; como el elemeto cuarto es 15 y el quto es 0, la medaa será el valor medo de ambos = 17,5; La Medaa es 17,5 Ejemplo 3º: E los ejemplos aterores ocurría que la frecueca de cada elemeto era 1. Pero o sempre sucede así. Sea ahora la sere: 3, 4, 4, 4, 6, 8, dode el elemeto 4 tee ua frecueca de 3. Cosderemos el tervalo que cada elemeto desde 0,5 udades a la zquerda hasta 0,5 udades a la derecha. E uestra sere, los tres elemetos 4 se dstrbuye etre el 3,5 y 4,5. Los represetamos e el eje real de la sguete forma: ,5 3,83 4,16 4,5 Vemos que el valor 4,16 deja a su zquerda tres elemetos 3, 4 y 4 y a su derecha otros tres 4, 6 y 8, luego la Medaa es 4,16 Lo que hemos hecho es dvdr el tervalo udad 3,5-4,5 e tres partes guales de 0,33 udades cada ua. Veamos otro ejemplo de este tercer caso. Hallar la medaa de 5, 6, 8, 8, 8, 8, 10, 1, 13, doe el elemeto 8 tee ua frecueca 4; y se dstrbuye los 4 elemetos e el tervalo udad que va de 8,5 a 9,5 de la sguete forma: ,5 7,75 8 8,5 8,5 CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 7

8 E este caso es el tercer ocho el que deja 4 elemetos a su zquerda 5, 6, 8 y 8, y cuatro a su derecha 8, 10, 1 y 13. Y los extremos del tervalo de ese tercer ocho so 8 y 8,5. Etoces: 8 + 8,5 = 8,15; La Medaa es 8,15 (b) Cálculo de la medaa co datos agrupados (e tervalos y frecuecas): Cuado los datos covee agruparlos por tervalos debdo al elevado úmero de ellos, la medaa se calcula de la sguete forma: 1) Se calcula. ) A la vsta de las frecuecas acumuladas, se halla el tervalo que cotee a la medaa. (El que deje el msmo úmero de elemetos a ambos lados suyos). 3) Se calcula la frecueca del tervalo que cotee la medaa. 4) Se halla uo cualquera de los lmtes exactos (el superor o el feror) del tervalo que cotee a la medaa. (Llamábamos límtes exactos de u tervalo a-b, a los úmeros a 0,5 y b + 0,5.). 5) Se halla la frecueca de los valores que queda por debajo, (a), del tervalo que cotee la medaa, o la frecueca de los valores que queda por ecma, (b), y segú hayamos decddo (a) o (b), calculamos la medaa por algua de estas dos fórmulas: a M =l I M sedo: M = Medaa. b M =L I M s l = Límte feror del tervalo de la meda. L = Límte superor del tervalo de la medaa. I = Ampltud del tervalo de la medaa. M = Frecueca del tervalo de la meda. = Frecueca acumulada de los valores ferores al tervalo de la medaa. s = Frecueca acumulada de los valores superores al tervalo de la medaa. = Número total de valores. CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 8

9 (c) Cálculo de la medaa co datos agrupados por frecuecas, pero o e tervalos: Se puede decr que es u caso partcular del método ateror. El procedmeto es el sguete: ua vez calculado el úmero alrededor del cual se ecuetra la medaa, se cosdera este úmero como cetro de u tervalo de ampltud 1 ; a cotuacó se aplca la fórmula ateror para el cálculo co datos agrupados e tervalos. Ejemplo: x a = 89 =44,5 Por tato, la medaa es u valor próxmo a 5. M =4,5 1 44,5 30 =5, 5 0 c) Moda: La moda de ua sere de úmeros es el valor que se preseta co mayor frecueca; es decr, el que se repte u mayor de úmero de veces. Es, por tato, el valor más comú. E muchos caso la moda es úca, pero puede ocurrr també que e ua dstrbucó haya dos más modas. Etoces se habla de dstrbucó bmodal, trmodal, etc. Icluso o exstr moda, como e la sere, 3, 4, 5, 7, 10. (a) Cálculo de la moda co datos agrupados: E el caso de ua dstrbucó de frecuecas co datos agrupados, s hcéramos ua gráfca o curva de frecuecas, la moda sería el valor (o valores) de la varable correspodete al máxmo (o máxmos) de la curva. La moda se puede calcular aplcado la sguete fórmula: Δ MODA=Mo=l 1 Δ 1 Δ I dode: l = Límte feror de la clase que cotee a la moda. (Clase modal). Δ 1 = Dfereca etre la frecueca de la clase modal y la frecueca de la clase cotgua feror. Δ = Dfereca etre la frecueca de la clase modal y la frecueca de la clase cotgua superor. I = Ampltud del tervalo de la clase modal. (Y de las demás clases). CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 9

10 Ejemplo: Hallar la moda de la sguete dstrbucó de frecueca: Clase Frecueca l =40 extremo feror de Δ 1 =30 1=9 Δ =30 18=1 I =10 luego: Mo= =44,8 9 1 B. Meddas de Dspersó : A pesar de la gra mportaca de las meddas de tedeca cetral y de la catdad de formacó que aporta dvdualmete, o hay que dejar señalar que e muchas ocasoes esa formacó, o sólo o es completa, so que puede troducr errores e su terpretacó. Veamos alguos ejemplos. Cosderamos dos grupos de persoas extraídas como muestra respectvas de dos poblacoes dsttas: el prmero está compuesto por 100 persoas que asste a la proyeccó de ua película para ños, y el segudo de 100 persoas elegdas etre los asstetes a ua dscoteca juvel. Pudera ocurrr que, au sedo las dstrbucoes de las edades de ambos grupos dsttas, la meda y la medaa cocdera para ambas. Igualmete ocurre e este otro ejemplo. La caja de u restaurate regstra las sguetes etradas e mles de euros, a lo largo de dos semaas correspodetes a épocas dsttas del año. 1ª semaa ª semaa La Meda: La medaa: E ambos casos es x= k x = =350 =50 e ambos casos 7 CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 10

11 Como vemos la meda y la medaa de ambas dstrbucoes cocde (el valor de ambas es 50 e los dos casos) y, s embargo, las cosecuecas que se podría dervar de ua y otra tabla so dsttas. A la vsta de estos ejemplos, se comprede la ecesdad de coocer otras meddas, a parte de los valores de cetralzacó, que os dque la mayor o meor desvacó de cada observacó respecto aquellos valores. a) Rago, ampltud total o recorrdo : El rago se suele defr como la dfereca etre los dos valores extremos que toma la varable. Comparemos, por ejemplo, estas dos seres: Sere 1: Sere : b) Desvacó meda : 1 R= X max X m =17 1=16 R= X max X m =18 =16 E teoría, la desvacó puede referrse a cada ua de las meddas de tedeca cetral: meda, medaa o moda; pero la más utlzada es la medda de desvacó co respecto a la meda, que llamaremos desvacó meda. Puede defrse como la meda artmétca de las desvacoes de cada uo de los valores co respecto a la meda artmétca de la dstrbucó. Y se dca así, e el caso de datos s agrupar: DM = x x Se toma las desvacoes e valor absoluto, es decr, que la fórmula o dstgue s la dfereca de cada valor de la varable co la meda es e más o e meos. Ejemplo: Las calfcacoes de 10 alumos e el exame de Estadístca ha sdo las sguetes:,, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8. Averguar la desvacó meda de estos valores. Su cálculo es el sguete: x x x x x x= k x = x x =50 10 =5 DM = = =1,8 CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 11

12 Veamos ahora el caso de datos agrupados e tervalos: DM = x x Además, las desvacoes so de cada cetro, o marca de clase, a la meda artmétca, Es decr: DM = x m x Ejemplo: Hallar la desvacó meda de las edades de los 100 empleados de ua certa empresa: Clase X m. X m X m X X m X ,7 1,7 8,7 4,7 0,7 3,8 7,8 11,8 15,8 33,44 101,76 69,76 84,96 14,40 59,84 109,0 90,4 45, ,44 X = X m = 347 N 100 =34,7 DM = X m X = 609,44 N 100 =6,09 La desvacó meda vee a dcar el grado de cocetracó o de dspersó de los valores de la varable. S es muy alta, dca gra dspersó; s es muy baja refleja u bue agrupameto y que los valores so parecdos etre sí. CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 1

13 c) Desvacó típca : Es s duda la medda de dspersó más mportate, ya que además srve como medda preva al cálculo de otros valores estadśtcos. La desvacó típca se defe como la raíz cuadrada de la meda de los cuadrados de las desvacoes co respecto a la meda de la dstrbucó, es decr, para datos s agrupar: S= X X N (a) Cálculo de la desvacó típca para datos agrupados e clses y agrupados por frecuecas: 1) Método largo: S= X m X N ) Método abrevado o corto: S= I d N dode: I = ampltud de las clases (costate). d) Varaza: d N d = dstaca e clases desde cada ua e cocreto a la clase que cotee a la meda supuesta: A. La varaza se defe como el cuadrado de la desvacó típca, es decr, S, Se utlza frecuetemete e lugar de la desvacó típca. Cuado la desvacó típca se calcula para todos los elemetos de la poblacó, se utlza el sgo σ para desgarla, reservado S para cuado medmos úcamete los elemetos de la muestra. Aálogamete llamaríamos S a la varaza muestral y σ a la varaza poblacoal. CALIDAD-ESTADÍSTICA Pága: 13

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