Una razón es el cociente entre dos cantidades. En una razón, el numerador se llama antecedente y el denominador se llama consecuente.

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1 GUIA Nº 1 DE MATEMÁTICA TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES Curso: 7ºE. Básica Razón Una razón es el cociente entre dos cantidades. En una razón, el numerador se llama antecedente y el denominador se llama consecuente. Por ejemplo: La razón entre a y b se anota: o 1. En cada caso, escriba la razón y determine su valor. a) Antecedente 1 y consecuente 2 b) Antecedente 5 y consecuente 15 c) Antecedente 9 y consecuente 5 d) Antecedente 108 y consecuente 4 2. En una razón el consecuente es 8 y su valor es 0,375. Determine el antecedente 3. En una razón el antecedente es 2 y su valor es 0,4. Determine el consecuente. 4. En un curso de 36 alumnos, 9 fueron reprobados. Cuál es la razón entre la cantidad de aprobados y la cantidad de alumnos del curso? 5. En un terreno, el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es de 80 metros cuadrados. Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total?

2 Proporción Una proporción es una igualdad entre dos razones. 6. Determine el valor de la incógnita en cada una de las siguientes proporciones. a) c) b) d) 7. En un curso, la razón entre la cantidad de hombres y de mujeres es 3:2. Si la cantidad de hombres es 18, cuál es el total de alumnos del curso? 8. Dos amigos deben repartirse $ en la razón 7:2. Cuánto dinero recibe cada uno? Proporción Directa a es directamente proporcional a b si al aumentar (disminuir) a, b aumenta (disminuye) en la misma proporción. 9. Tres metros de género valen $ 800. Cuánto valen ocho metros del mismo género? 10. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante? 11. Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones? 12. Teresa trabajó 3 horas y ganó $ A esa razón, cuánto tiempo le tomará ganar $ ?

3 Proporción Inversa a es inversamente proporcional a b si al aumentar (disminuir) a, b disminuye (aumenta) en la misma proporción. 13. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. Cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? 14. La rapidez de un automóvil es de 70 km/hrs y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia. Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 km/hrs? operarios se demoran 12 días en realizar un determinado servicio. Cuántos días se demoran 24 trabajadores en realizar el mismo servicio? 16. El año pasado se limpió un canal en 28 días con 60 hombres. Este año se quiere efectuar el mismo trabajo en sólo 14 días. Cuántos hombres hay que contratar? PROBLEMAS DE APLICACIÓN 17. Completar las siguientes tablas para que su distribución sea una proporcionalidad directa o inversa según corresponda. a) P. Directa b) P. Inversa Tiempo Porcentaje Velocida Tiempo ( días) d Una llave que arroja 26 litros por minuto de cierto líquido, demora 1,5 hrs. en llenar un estanque Cuánto demora en llenarse el mismo estanque, si otra llave arroja 45 litros por minuto?

4 19. En un estanque de cultivo de lenguado se necesita tener una densidad de 3 peces por litro. Si el estanque tiene una capacidad de 500 litros. Calcular cuántos lenguados se deben cultivar obreros hacen una zanja de 20 metros de longitud. Cuántos metros hacen, en el mismo tiempo, 42 obreros en las mismas condiciones? 21. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros. Cuál es la capacidad de los 3/8 del mismo estanque? metros de una plancha de zinc de 2 metros de ancho vale $ 6.000, Cuánto valen 4 metros de la misma plancha de zinc, pero de 3 metros de ancho? 23. Juan gana un sueldo base de $ La empresa en la que trabaja estimula a sus trabajadores multiplicando el sueldo base por una constante. Juan recibió $ Cuál es la constante de estímulo?, Cuánto debe recibir Pedro cuyo sueldo base es de $ ? 24. Un obrero hace un trabajo en 28 días con jornada normal de trabajo (8 hrs.). Cuántas horas diarias deberá trabajar, si debe hacer el mismo trabajo en 16 días? hombres deben hacer una obra en 12 días. En cuántos días podrían hacer la obra 6 hombres? 26. Para reunir un capital 6 socios, aportan $ cada uno. Cuánto deben aportar 15 socios para reunir el mismo capital? 27. Durante un año determinado. Las exportaciones de harina de pescado de dos pesqueras es en total toneladas, las cuales están en la razón de 13: 7 Cuántas toneladas exporta cada una de ellas respectivamente? 28. En un sector de una pesquera se trabaja desde las 8:00 hrs. hasta las 20:00 hrs. El proceso para maximizar la producción es el siguiente: del tiempo que de la se ocupa jornada, para la para reparación reparación de motores, de otros se utiliza instrumentos para. construir accesorios. del tiempo destinado a reparación de otros instrumento s, se utiliza para afinar detalles. del tiempo utilizado para los accesorios se destina para almorzar. El resto de la jornada se destina para actividades recreativas. Cuántas horas se destinan a cada actividad respectivamente? del tiempo se destina a reparar motores.

5 29. Diez operarios confeccionan 192 abrigos en 20 días de trabajo. Cuántos días deben trabajar 18 operarios para confeccionar la misma cantidad de abrigos? a) 15 días b) 8 días c) 9 días d) 16 días 30. Un automovilista condujo 600 km con 40 litros de gasolina. Cuántos litros necesitaría para recorrer 1500 km? a) 90 litros b) 100 litros c) 80 litros d) 60 litros trabajadores se demoran 30 días en arreglar una casa. Si la casa debe estar lista en sólo 20 días, cuántos trabajadores se necesitan? a) 8 b) 7 c) 6 d) 9

6 SOLUCIONES RAZONES Y PROPORCIONES 1. a) c) b) d) a) x = 5 b) x = 35 c) y = 7,5 d) y = $ y $ $ metros metros horas horas 14. 4,375 horas días hombres

7 17. Tiempo Porcentaje Velocidad Tiempo ( días) Tiempo: 0,87 hrs lenguados metros ,75 litros 22. $ K = 1,3, Pedro recibirá $ horas días 26. $ y horas Respuestas de selección múltiple Pregunta Respuesta c b c

8 EJERCICIOS ADICIONALES DE RAZONES Y PROPORCIONES 1.- Calcula el valor de cada razón y determina si estas razones forman una proporción, luego verifica si los productos cruzados son iguales: ) 2) 3) Calcula el valor de x en las siguientes proporciones: 2 x 3x x 3 x 5 1) 2) 3) x ) 0,6: 3 = 4: x 6) 2,6: 7,8 = 3: x 7) 2,01 = 6 8) 3: 2 = 5: x 5 9 4,02 x Resuelve los siguientes problemas 1. Los médicos recomiendan que una persona debiera dormir 8 horas diarias. En qué razón están el número de horas aconsejables de dormir y el número de horas de un día?. Haz los mismos cálculos para una semana. Qué información nos da esta razón? 2. Un automóvil varía su rapidez de 20 Km./h a 60 Km./h. Expresa este cambio por medio de una razón e interprétala. 3. La razón en que se encuentran los elementos que componen el agua H 2 O (hidrógeno y oxigeno) es 2:1 Qué significa esta relación? 4. En un cine, la razón entre el número de damas y el de varones que asisten a una función es 0,6. Según este indicador: a) Había más mujeres o más hombres en esa función? b) Si había 30 mujeres, cuántos varones asistieron a la función? c) Si había 25 varones, cuántas personas asistieron en total a la función? 5. Una prueba de matemática tiene 12 preguntas. Un alumno responde correctamente 8 preguntas y omite 2. Escribe la razón entre: a) el número de preguntas correctas y el número total de preguntas b) el número de preguntas incorrectas y el número total de preguntas c) el número de preguntas omitidas y el número total de preguntas 6. Las edades de dos hermanos están en proporción directa, 7 es a 9 y las edades de ellos suman 64, entonces la edad de cada uno de los dos hermanos es:

9 7. Determina si cada afirmación corresponde a una variable directamente proporcional, inversamente proporcional o a ninguna de ellas. Justifica cada una de ellas: 1.-La altura de una persona varía según su edad 2.-La velocidad con que un automóvil recorre 80 Km varía según el tiempo elegido para recorrer dicha distancia. 3.-La velocidad de lectura de una persona varía según la edad de la persona. 4.-El tiempo usado en llenar un estanque varía según la cantidad de agua que arroja una manguera 5.-Si en una función de teatro las entradas tienen un único valor, el dinero recaudo en esa función varía según el número de asistente 8. Rodrigo y un grupo de familiares y amigos organizaron un viaje a la playa muy singular: se trata de recorrer 100 km en cualquier vehículo. Lo importante no es cuánto demore sino que llegar!. El papá de Rodrigo se fue en automóvil para preparar la llegada, pero otros lo hicieron en autos viejos, en motocicletas antiguas y hasta en bicicletas. La tabla muestra algunos de los tiempos empleados y sus respectivas velocidades. Al graficar estos datos se obtuvieron los puntos marcados. VELOCIDAD TIEMPO En km/h en h /4 60 1⅔ / a) Se puede trazar una línea recta por esos puntos? b) Si la velocidad aumenta, qué pasa con el tiempo empleado? c) Traza una línea curva por los puntos dibujados. esta línea te ayuda a conocer aproximadamente cuanto tiempo empleara un vehículo que viaja a 70 Km./h? d) Podrías usar el grafico para saber aproximadamente a qué velocidad se deberá viajar para demorar 3 horas? e) Si en la tabla formas el cociente entre la velocidad y el tiempo, obtienes un valor constante? y si formas el producto de los valores en cada línea?

10 9. El curso de Alejandro, que tiene 35 niños, está planificando una visita a la casa de Pablo Neruda en isla Negra. Tendrán que arrendar un bus que cobra $ No hay seguridad de que ira el curso completo. a) Cuánto deberá pagar cada niño si el día del paseo asisten solamente 34, 33, 32 o 31 niños? b) Qué tipo de variación observas que se da en esta situación? c) Si llamamos x e y a las variables de este problema, calcula el valor de la constante k = x *y d) Qué valor representa k en el contexto del problema? 10. En una caballeriza hay suficientes fardos de pasto para que 4 caballos se alimenten 20 días, consumiendo la misma ración cada día. a) Si la cantidad de alimento y la ración diaria se mantiene constante, qué tipo de proporcionalidad se da entre la cantidad de caballos y el número de días que podrán alimentarse? b) Escribe una ecuación que represente este problema. c) Calcula para cuantos días alcanzaran los fardo si hay 1, 2, 5, 8 o 10 caballos en el establo. 11. Un estanque vacía se puede llenar vertiendo en él el contenido de 5 bidones de 10 litros de capacidad. a) Cuántos bidones de 2,5 litros se deben verter para llenar el mismo estanque vació? b) Repite este cálculo para bidones de 5, 8, 20 y 25 litros. c) Haz un grafico que represente esta situación d) Utiliza el grafico anterior para determinar la capacidad que debe tener un bidón para que con el contenido de dos de ellos se llene el estanque vació 12. Calcula, aplicando las propiedades de las proporciones: 6. Si a + b = 54 ^ a : 4 = b: 5, calcula a ^ b 7. Si x y = 21 ^ x : y = 7 : 4, calcular x e y 8. Calcula x, y, z si: x + y + z = 50 ^ x: y: z = 3: 5: 2 8. Calcula el valor de x, y, z si: x y + z = 10 ^ x: y: z = ½ : 3: 5 / a/7 = b/3 = c/2. Si a-b-c = 16, calcula a, b, c.

11 13. Resuelve los siguientes problemas aplicando las propiedades de las proporciones: 1.-Las edades de un padre y su hijo están en la razón 10: 3. Si entre ambos tienen 78 años, cuántos años más tiene el padre que el hijo? 2.-Dos personas se reparten $1.200, de modo que sus partes están en la razón 8: 4. Qué cantidad le toca a cada uno? 3.-Las aristas de dos cubos miden 3 y 5 cm respectivamente. En que razón están sus volúmenes? 4.-Los ángulos interiores de un triangulo están en razón 4:9:2. Cuál es la medida de cada uno? 5.-Se desea repartir $ entre cuatro personas de modo que sus partes estén en la razón 1:2:3: 4. Cuánto recibe cada una? 14. Resuelve los siguientes problemas analizando si se trata de una proporción directa, nversa o compuesta: 1.-En 12 días, cuatro personas hacen un trabajo. Cuántos días se demoraran 6 personas en realizar el mismo trabajo? 2.-Una casa se pinta en 20 días con 40 hombres. Cuántos hombres se necesitarían si se quiere pintar en 80 días? km 3.-Una travesía en velero por la bahía demora 50 minutos, a 80. h Si por problemas de viento y marejadas no se puede desarrollar más que una km velocidad de 50, h Cuánto tiempo demoraría en recorrer la misma distancia? 4.-A una velocidad de 80 km, h un auto demora 6 horas en recorrer cierta distancia. Si la velocidad fuera de 100 km, h Cuánto tiempo demoraría en recorrer la misma distancia? obreros hacen 144 m de un camino. Cuántos metros harán 42 obreros en las mismas condiciones? 6.-Un jardinero planta un sitio de 50 m 2 en 60horas. Cuánto demoraran dos jardineros en plantar un sitio de 60 m 2, en iguales condiciones? 7.-Doce animales consumen 300 kg de alimentos en 30 días. En cuantos días, 60 animales consumirán 600 kg de alimentos? 8.-6 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 40 m de un muro en 12 días. Cuántos días necesitan 4 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 m de la misma obra? 9.-8 llaves llenan un estanque de litros en 4 horas. En cuantas horas llenan 6 llaves un estanque de litros en iguales condiciones? 10.-Una modista cose 6 camisas en 8 horas. Cuántas horas tardaran 4 modistas en coser 12 camisas?

12 11.-Si con 600kg de algodón pueden trabajar 12 telares durante 4 días, a razón de 80 horas diarias, Cuántos kilogramos necesitaran 18 telares para trabajar 10 días, a razón de 6 horas diarias? 12.-En un criador de aves, una tonelada de alimento dura 15 días, siendo la ración de cada ave de 200 gramos. Si la ración fuera de 300 gramos, Cuántos días duraría el alimento? 13.-Una llave que entrega 15 litros por segundo tarda 24 horas en llenar un estanque. Cuánto tiempo tardara en llenarlo otra llave que entrega 25 litros por seg? 14.-Tres maquinas iguales trabajando 6 horas cada día fabrican piezas. Cuántas piezas pueden fabricar 5 maquinas trabajando 10 horas cada día?