Desarrollo de un sistema integrado para tratamiento de geometría, generación de malla y datos para el análisis por el método de los elementos finitos

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1 Desarrollo de un sistema integrado para tratamiento de geometría, generación de malla y datos para el análisis por el método de los elementos finitos por Ramon Ribó Rodríguez Ingeniero de caminos, canales y puertos por la UPC entregada en el Departament de resistència de materials i estructures a la enginyeria como requerimiento parcial para el grado de Doctor en la UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA febrero 2000 c Universitat Politècnica de Catalunya 2000 Firma del autor... Departament de resistència de materials i estructures a la enginyeria febrero 2000 Certificado por... Eugenio Oñate Ibáñez de Navarra Catedrático de Universidad Supervisor de la tesis Certificado por... Gabriel Bugeda Castelltort Profesor titular de Universidad Supervisor de la tesis

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3 iii Desarrollo de un sistema integrado para tratamiento de geometría, generación de malla y datos para el análisis por el método de los elementos finitos por Ramon Ribó Rodríguez entregada en el Departament de resistència de materials i estructures a la enginyeria on febrero 2000, como requerimiento parcial para el grado de Doctor Resumen En esta tesis se describe el desarrollo e implementación de un sistema informático para el tratamiento de toda la información necesaria para un análisis por el Método de los Elementos Finitos o por otros métodos numéricos basados en la discretización de ecuaciones diferenciales (diferencias finitas, volúmenes finitos, métodos de contorno, métodos de puntos, etc.). Algunas de sus partes se refieren principalmente al diseño y organización de un sistema de estas características. En otras, se describen los nuevos algoritmos que ha sido necesario desarrollar para cumplir los objetivos propuestos. Las diversas disciplinas que se describen a lo largo de la tesis se pueden clasificar en: Organización del sistema. Consiste en definir el tratamiento de todos los datos de un análisis genérico de manera uniforme. También se dan criterios sobre el ordenamiento interno de los datos. Modelación geométrica. Se presenta una serie de algoritmos que se han desarrollado para tratar y modificar la geometría del modelo. Generación de malla. Se describen diferentes técnicas y algoritmos para poder realizar la generación de la malla. Adaptabilidad del sistema a diferentes análisis. Se describe como se ha diseñado y como se realiza la adaptación del sistema a un código de análisis cualquiera. La implementación del conjunto de criterios y algoritmos descritos a lo largo de esta tesis ha permitido la creación de un sistema que da soporte al proceso de análisis mediante métodos numéricos de modelos, tanto a nivel académico como industrial. Supervisor de la tesis: Eugenio Oñate IbáñezdeNavarra Ttulo: Catedrático de Universidad Supervisor de la tesis: Gabriel Bugeda Castelltort Ttulo: Profesor titular de Universidad

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5 Aquesta tesi va ser llegida el dia... a l Escola Tècnica Superior d Enginyers de Camins, Canals i Ports de Barcelona, i va obtenir la qualificació de... El President El Secretari El Vocal El Vocal El Vocal

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7 vii A Lara, por sus ánimos, paciencia y por que ya es parte de mi trabajo y de mi vida. A mis padres, por su apoyo incondicional.

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9 ix Agradecimientos El proceso de desarrollo y finalmente de escritura de una tesis doctoral, es un largo camino en el que necesariamente se crean unas fuertes vinculaciones con las personas que coexisten en el entorno cercano. Sean vinculaciones de tipo profesional o académico, o sean vinculaciones de tipo más personal, en ambos casos influyen de manera profunda en el esfuerzo de creación e investigación que va asociado a un trabajo de esta índole. Agradezco su ayuda, por tanto, a todas aquellas personas con las que hemos ido creando vínculos de un tipo u otro a lo largo de todo este tiempo. Con el completo convencimiento de acortar en exceso una lista que debiera ser mucho más larga, citaré a algunas de las personas que han influido de manera más directa a que este documento diera fin y culminación al trabajo de estos últimos años. AEugenioOñate, codirector de esta tesis, por animarme a iniciarla, dirigirla en su avance y creer en ella en todo momento. AReinaldLöhner, por ser el inspirador y el originador de tantas ideas que han permitido progresar a este trabajo. También quiero agradecer a toda su familia, por la calurosa acogida que siempre me dispensaron en mis estancias en Washington. A Ramon Codina, fuente de conocimientos vastísimos y variopintos, por ser capaz de dar respuesta a las dudas más inesperadas. A Miquel Riera y Enrique Escolano, por el trabajo conjunto y las largas discusiones que siempre originaban nuevas ideas y mejores planteamientos. A Julio García, Chris Morton, Carlos Sacco y Javier Mora, compañeros y contertulios de las más variadas conversaciones, que han posibilitado la maduración de algunos conceptos básicos para este trabajo. A Lara, por sus ánimos, paciencia y, sobretodo, por estar cerca en todo momento. A mis padres, por ese apoyo incondicional e inagotable desde el primer día hasta el último. Y finalmente, a todos los usuarios de GiD, que con sus sugerencias, críticas y más criticas, han ido definiendo como quieren que sea un programa de este tipo y, al mismo tiempo, han creado la línea de avance hacia un nuevo concepto de valoración de la calidad.

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11 Índice General 1 Introducción MOTIVACIÓN ANTECEDENTES OBJETIVOS PRESENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS DE LA TESIS Organización del sistema GiD INTRODUCCIÓN LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN Y LIBRERÍAS CRITERIOS PARA LA CREACIÓN DE LA INTERFAZ DE USUARIO DESCRIPCIÓN BÁSICA DEL SISTEMA Y DE SU CONFIGURACIÓN AGRUPACIÓN Y ESTRUCTURA DE LOS DATOS Malla Condiciones Materiales Datos generales del problema Datos generales de interv alo SISTEMAS DE UNIDADES Problemática Esquema escogido Control de unidades por el usuario Unidades en el postproceso APORTACIONES A LA ORGANIZACIÓN DE GiD CONCLUSIONES A LA ORGANIZACIÓN DE GiD

12 xii ÍNDICE GENERAL 3 Tratamiento y modelización geométrica DEFINICIONES DESCRIPCIÓN Y COMPARACIÓN DE DIVERSOS MODELOS GEOMÉTRICOS CAD tradicional CAD con geometría booleana de sólidos Superficies como contenedoras de superficies Modelo jerárquico de entidades geométricas MODELO ESCOGIDO EN LA TESIS ENTIDADES PUNTO ENTIDADES LÍNEA ENTIDADES SUPERFICIE VOLÚMENES CONTACTOS IMPORTACIÓN DE MODELOS GEOMÉTRICOS Importación y ficheros de intercambio Filtros de corrección de la geometríaimportada Colapsado de entidades Corrección en la lista de knots Reparametrizaciones Conversión a cúbicasimilar Unión de líneas Subdivisión de líneas Reorientación del contorno de las superficies Colapso de ángulos pequeños ALGORITMOS DE MODELACIÓN GEOMÉTRICA Cálculo del centro de una superficie Mov imiento de puntos Reposicionamiento o mapping sobreunasuperficie Intersecciones de líneas y líneas-superficies Intersección de superficies Visualización de superficies Las superficies-malla Creación de volúmenes

13 ÍNDICE GENERAL xiii 3.11 APORTACIONES EN LA MODELIZACIÓN GEOMÉTRICA CONCLUSIONES A LA MODELACIÓN GEOMÉTRICA Generación de malla INTRODUCCIÓN TIPOS DE ELEMENTOS ENTIDADES GEOMÉTRICAS QUE DEBEN SER MALLADAS MALLA ESTRUCTURADA VERSUS NO ESTRUCTURADA MALLA CONFORME Y MALLA NO CONFORME TAMAÑO DEL ELEMENTO PARA MALLA NO ESTRUCTURADA TRANSICIÓN DEL TAMAÑO DEL ELEMENTO ENTRE ZONAS Asignación de tamañosporerrorcordal Corrección de tamaños GENERACIÓN DE MALLA ESTRUCTURADA Malla estructurada con polilíneas de superficie múltiple Malla estructurada en superficies NURBS de másde4lados Generación de los nodos interiores en una superficie estructurada Generación de los nodos interiores en un volumen estructurado Concentración de elementos en mallas estructuradas GENERACIÓN DE MALLA EN LÍNEAS Cálculo de los parámetrosdeespaciamientodenodos Corrección para líneasnurbs Generación para polilíneas GENERACIÓN DE MALLA NO ESTRUCTURADA EN SUPERFICIES Introducción GENERACIÓN DE MALLA EN EL PLANO Transformación del espacio paramétrico al espacio equivalente ALGUNAS ESTRUCTURAS DE DATOS USADAS EN LOS ALGORITMOS DE GENERACIÓN Algoritmos de búsqueda de puntos cercanos: Quadtree y Octtree Estructura de árbolbinario Estructuras de nodos, elementos y caras Cubos MinMax

14 xiv ÍNDICE GENERAL 4.13 MÉTODOS DE GENERACIÓN DE MALLA TRIANGULAR EN 2D Y TETRAÉDRICA EN 3D GENERACIÓN FRONTAL Incremento del tamañodeloselementos Elección del punto para la creación del nuev o elemento Borrado de elementos Disminución de tolerancias Ordenación de intentos MÉTODO DE DELAUNAY Ventajas e inconvenientes del MétododeDelaunay ALISADO Indicador de calidad I c Proceso de mejora de la malla Algoritmos de mejora de la malla GENERACIÓN DE MALLA DE SUPERFICIE EN EL ESPACIO Cálculo del punto óptimo Intersecciones entre caras Control de calidad de los elementos Comparación de la generación en el plano versus en el espacio Tiempos relativos de computación GENERACIÓN DE MALLA EN LAS SUPERFICIE-MALLA Búsqueda del elemento activ o Cálculo de la nuev a normal Reposicionamiento del punto APORTACIONES EN LA GENERACIÓN DE MALLA CONCLUSIONES A LA GENERACIÓN DE MALLA Adaptación a un tipo de análisis INTRODUCCIÓN CONCEPTO DE TIPO DE PROBLEMA ABSTRACCIÓN DE DATOS APLICACIÓN A LOS DATOS DEL ANÁLISIS CONEXIÓN PREPROCESO-PROCESO

15 ÍNDICE GENERAL xv 5.6 LENGUAJE BAS DE DESCRIPCIÓN DEL FICHERO DE ENTRADA DEL ANÁLISIS EXTENSIONES MEDIANTE LENGUAJES DE SCRIPT APORTACIONES EN LA ADAPTACIÓN AL ANÁLISIS CONCLUSIONES A LA ADAPTACIÓN Ejemplos de aplicación Conclusiones y líneas futuras de investigación PRINCIPALES APORTACIONES DE LA TESIS CONCLUSIONES GENERALES LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN A Descripción matemática de las NURBS 181 A.1 ESPACIO EUCLÍDEO A.2 DIFERENTES TIPOS DE LÍNEAS A.3 CURVAS DE BÉZIER A.3.1 Curvas de Bézier expresadas en términos de los polinomios de Bernstein. 186 A.3.2 Diversas propiedades de las curvas de Bézier A.4 SPLINES A.5 B-SPLINES A.5.1 Construcción de la B-spline cuadrática (C 1 ) A.5.2 Construcción de la B-spline cúbica (C 2 ) A.5.3 Definición de las curv as B-spline A.5.4 Ejemplo de evaluación de una línea B-spline cuadrática A.5.5 Parametrizaciones A.5.6 La base B-spline A.5.7 Deriv ada de una curv a B-spline A.5.8 Efectos de la multiplicidad de knots y puntos sobre la continuidad de la curv a A.5.9 Representación gráficadeunab-spline A.5.10 InterpolaciónmedianteB-splines A.6 CURVAS RACIONALES. LAS CÓNICAS A.7 LÍNEAS NURBS

16 xvi ÍNDICE GENERAL A.7.1 Evaluación recursiv a A.7.2 Evaluación mediante la base B-spline A.7.3 Derivada de una líneanurbs A.7.4 Definición de la circunferencia como línea NURBS A.7.5 Influencia de los pesos en la curva A.8 SUPERFICIES NURBS A.8.1 Cálculo de la normal A.8.2 Interpolación a partir del contorno A.9 SUPERFICIES NURBS TRIMADAS

17 Capítulo 1 Introducción 1.1 MOTIVACIÓN Con el desarrollo de los ordenadores en los últimos años, se ha llegado a una situación en la que es posible realizar análisis de modelos extremadamente complejos. Además, los programas de cálculo y simulación por métodos numéricos han ido sofisticándose con el paso del tiempo para modelizar, de manera cada vez más aproximada, los fenómenos reales. Ello conlleva que la complejidad de los datos que requieren dichos programas haya ido aumentando. Otro efecto de esta evolución radica en que las mallas necesarias deben cumplir unas especificaciones muy determinadas y ser capaces de modelar situaciones muy especiales de la geometría 1 en el contexto del problema bajo estudio. El resultado de esta necesidad ha sido que, actualmente, el proceso que generalmente consume más tiempo-hombre en el conjunto de un análisis es la preparación de datos y la generación de la malla. El segundo problema reside en que, en muchos casos, ni tan siquiera es posible llegar a obtener una malla y unos datos que cumplan los requerimientos de un análisis determinado. Otra necesidad que aparece es la de conectar de manera adecuada el sistema de preproceso con el de análisis, con el objetivo de minimizar el tiempo y la dificultad de la transferencia de datos. Finalmente, ha llegado el momento de que los métodos numéricos traspasen la barrera de la investigación y se introduzcan de pleno en la producción industrial. Un sistema sólo será 1 No es suficiente con una malla que describa al sólido. Hay que pensar en otros factores como contactos, juntas, simetrías espaciales, multi-volúmenes y otros que requieren una malla especializada para realizar con éxito el análisis.

18 2 Introducción usable industrialmente cuando se supere toda la problemática de la interacción con el usuario así como cuando una persona, con conocimientos técnicos adecuados, sea capaz de utilizar un programa sin excesivas dificultades prácticas. 1.2 ANTECEDENTES Los primeros estudios de modelación geométrica se remontan a los años y se originaron en las grandes compañías fabricantes de automóviles. En un inicio, estas compañías fueron las creadoras y las usuarias, al mismo tiempo, de estos primeros programas de diseño asistido por ordenador (CAD). Más tarde, los programas de este tipo se han ido extendiendo a todos los ámbitos de la ingeniería y del procesamiento industrial hasta el extremo de que, hoy en día, prácticamente cualquier diseño o mecanización en la ingeniería se realiza mediante este tipo de programas. Puede considerarse que se ha llegado a un estado del arte, tanto en investigación como en programas comerciales, que cumple con eficacia su cometido. A este respecto, deben tenerse en cuenta los trabajos de Bézier, Coon, Gerald Farin [Far93], Foley, van Dam,Feiner y Hughes [FvDFH93] y otros que han permitido que, en unos pocos años, todo el conocimiento matemático sobre geometría computacional se haya extendido y sea ampliamente usado en todos los programas de modelación geométrica tridimensional. La generación de malla ha sido durante los últimos 15 años y sigue siendo hoy en día objeto de investigación por parte de multitud de grupos tanto en la universidad como en el ámbito de la explotación comercial. Actualmente, existen ya metodologías que funcionan razonablemente bien para algunos de los casos en que se subdivide esta disciplina. Otros apartados, como generación no estructurada de hexaedros, capas límite para análisis de fluidos viscosos gobernados por la ecuación de Navier-Stokes y otros pueden considerarse como no resueltos o, al menos, como muy mejorables. Además, el proceso de relación entre geometría y generación de malla provoca una problemática que requiere procesos de adaptación del modelo geométrico, corrección de imperfecciones asociadas y preparación para la generación, que puede considerarse como un problema no resuelto de manera totalmente satisfactoria. Los primeros trabajos sobre generación de malla no estructurada bi y tridimensional se deben a R. Lohner [LP88], J. Peraire [PPLFZ88] y J. Peiró [J.89]. Más tarde, el número de investigadores y grupos que se han dedicado a las mejoras en las metodologías de generación ha ido aumentando progresivamente. Entre ellos pueden citarse a P.L. George y H. Borouchaki [GB98], Buscaglia, Gustavo C. y Enzo A. Dari [BD97], Peter Möller y Peter Hansbo [MH95],

19 OBJETIVOS 3 R. Kreiner [Kre95], Jas Frykestig [Fry94], A. Rassineux, J-M. Savignat, O. Stab y P. Villon [RSSV99] y muchos otros. Los programas comerciales que permiten generación de malla comienzan a ser capaces de tratar modelos geométricos complejos con poca intervención del usuario. Sin embargo, no pueden considerarse aún del nivel de calidad que atribuíamos a los programas de CAD del apartado anterior. Adolecen de una cantidad demasiado alta de problemas y dificultad de uso. Por otro lado, estos programas sólo son utilizables para tratar con problemas muy específicos y por tanto, no aptos para tratar con tipos de análisis distintos al originalmente planteado. Los problemas referidos anteriormente se centran en la dificultad de obtener una malla que cumpla con unos requisitos prefijados por el usuario. Ejemplos de programas comerciales de generación de malla son: PATRAN [Eng91], HyperMesh [Hyp00], Femgen/Femview [Fem00], FEMAP [ados00], ICEM CFD [Eng00] y otros. En relación a la adaptabilidad, entendiéndose como la capacidad de relación entre un sistema de preproceso y un programa de cálculo, la mayoría de los programas de preproceso y postproceso existentes en el mercado no permiten su adaptación fácil a códigos determinados de análisis. Si se acepta que deben existir gran cantidad de códigos de cálculo, tanto para poder realizar investigación con ellos como para resolver problemas especializados, y se reconoce que no es posible que cada código de análisis contenga su propio sistema de pre-postproceso, se puede concluir que es necesaria la creación de un sistema de pre-postproceso que tenga gran capacidad de adaptación para dar soporte a los códigos antes mencionados. 1.3 OBJETIVOS A partir de las motivaciones y criterios ya mencionados, el objetivo de esta tesis es la creación de un sistema de preproceso con capacidad de tratamiento de modelos geométricos complejos, que permita la generación de mallas que se adapten a todas las posibles tipologías de análisis y con posibilidad de tratamiento de todos los datos asociados a dichos análisis. El sistema debe ser capaz de crear un entorno de trabajo que permita a un usuario preparar todos los datos que requiera un cálculo y minimizar el coste de tiempo que requiere esta preparación. Asimismo, la curva de aprendizaje del sistema debe resultar en un tiempo mínimo de iniciación y en una alta eficiencia de proceso al final de este período inicial. Finalmente, se debe proporcionar una alta adaptabilidad entre el preproceso y el programa de simulación numérica. Se considerará óptimo si este proceso de adaptación puede realizarse

20 4 Introducción exteriormente a ambos programas y con un coste de tiempo que se mantenga dentro de límites razonables. 1.4 PRESENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS DE LA TESIS Esta tesis presenta un conjunto de materias cuyo hilo común reside en que han sido necesarias para la implementación de un sistema de preproceso para el análisis por métodos numéricos (elementos finitos, diferencias finitas, volúmenes finitos, etc.), cuyo nombre es GiD. Cada capítulo cubre una parte de este conjunto común, diferenciada de las otras, y que pretende ilustrar las técnicas y algoritmos que han sido necesarias para llegar a los objetivos propuestos. En general, cada capítulo incluye una serie de definiciones y consideraciones generales. Seguidamente describe el conjunto de algoritmos implementados, intentando hacer hincapié en los que han aportado conceptos e ideas novedosas al tema propuesto. En muchos casos ha sido necesario referise a conceptos e ideas que forman parte del estado del arte para permitir una comprensión global. Al final de cada capítulo se incluye un apartado donde se especifica que ideas, algoritmos y metodologías se consideran como aportación de esta tesis al tema descrito. A continuación se incluye una breve descripción de cada capítulo y de la temática que aborda. El Capítulo 2 de la tesis describe la organización general del sistema que se ha desarrollado como preproceso para el análisis mediante métodos numéricos. En él se introducen algunos conceptos importantes relativos a la programación y estructuras de datos que se han implementado. También se proponen criterios para la definición de la interfaz de usuario y se especifica el tratamiento del sistema de unidades. El Capítulo 3 aborda el tratamiento de la modelización geométrica. Para su correcta comprensión es interesante consultar el apéndice dedicado a la descripción matemática de las NURBS. Dicho capítulo da, en una primera parte, un conjunto de definiciones y criterios sobre las diversas formas de tratar la geometría. Seguidamente introduce el tema de la importación de modelos geométricos y describe un conjunto de algoritmos que se han implementado para la corrección de la geometría y su adaptaciónalageneración de malla. Finalmente, describe un conjunto de algoritmos relativos al tratamiento geométrico, cuya característica común consiste en que han requerido de un cierto estudio e investigación en contraposición a otros algoritmos que ya pertenecen al estado del arte. Algunos de estos algoritmos se describen en el mencionado apéndice sobre las NURBS.

21 PRESENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS DE LA TESIS 5 El Capítulo4trataeltemadelageneración de malla. En su inicio, se dan algunas consideraciones de tipo general sobre en que consiste dicha generación y en las particularidades y casuísticas que contiene. Seguidamente se procede a la descripción de las técnicas usadas para la generación. Durante todo el capítulo, se intenta hacer hincapié en los algoritmos que han sido creados o mejorados en la presente tesis y que, en algunos casos se mezclan con algoritmos ya existentes y extraídos de la bibliografía. Al final del capítulo se incluye un apartado en el que se precisan las aportaciones de esta tesis a las técnicas y metodologías de generación de malla. El Capítulo 5 se refiere a la adaptación del sistema para un tipo de análisis. En él se describe qué se considera por adaptación y como se ha tratado dentro del sistema implementado. Asimismo, se crea el paralelo entre la abstracción de datos necesaria para un sistema genérico de preproceso y su implementación práctica. El Capítulo 6 describe un conjunto de ejemplos de aplicación. Su objetivo consiste en ir introduciendo una serie de modelos, que crearon en su momento la necesidad de implementar nuevos algoritmos que pudieran tratarlos correctamente. Al mismo tiempo, dan una idea de que tipologías y en que nivel de dificultad se pueden resolver con los algoritmos desarrollados e implementados en el sistema GiD, que es el resultado más notable de esta tesis. El apéndice A versa sobre la descripción matemática de las NURBS. Este apéndice contiene la descripción de las principales entidades que se consideran hoy en día imprescindibles para un sistema de modelado tridimensional. Al mismo tiempo, se incluyen algunos de los algoritmos más ampliamente conocidos y necesarios para el tratamiento de dichas entidades geométricas. La inclusión de este apéndice proviene del hecho de que muchas de las definiciones y algoritmos contenidos en él son de necesario conocimiento para comprender correctamente el Capítulo3y algunas partes del 4.

22 6 Introducción

23 Capítulo 2 Organización del sistema GiD 2.1 INTRODUCCIÓN En este capítulo se van a describir las principales pautas de diseño y de organización empleadas en el sistema de preproceso desarrollado en la tesis (denominado en adelante GiD). Es necesario tener en cuenta que dada la complejidad y las posibilidades que este ofrece, un diseño correcto es básico para que pueda ser usado de manera eficiente. A esto hay que añadir el hecho de que debido a que es un tipo de sistema orientado hacia el usuario final, la coherencia de uso cobra especial importancia. Se va a describir la organización a nivel del código interno en cuanto al empleo de herramientas y utilidades externas así como a la utilización de librerías gráficas o de librerías de otros tipos. Otra de las partes que se tratarán en este capítulo será lainterrelación con el usuario 1 ylas técnicas para definir un uso coherente y una metodología sencilla de aprendizaje. Se va a dividir el conjunto de datos necesarios para el análisis en una serie de subconjuntos lógicos y funcionales que se han implementado en el sistema GiD. Se especificarán con detalle las estructuras de los datos perceptibles por el usuario y se describirán los criterios lógicos para la adopción de tales estructuras. Además, se describirá la metodología para tratar dentro del sistema el tema de las unidades y su adaptación a códigos de análisis que pueden o no incluir el tratamiento de éstas. 1 Usualmente llamada interfaz de usuario o user interface.

24 8 Organización del sistema GiD 2.2 LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN Y LIBRERÍAS El lenguaje principal de programación ha sido C++. Por ser un lenguaje orientado a objetos, facilita el desarrollo de códigos que no tengan un flujo lineal de ejecución. En comparación a un típico programa de cálculo por ordenador, donde hay una secuencia ordenada de operaciones a realizar, en este caso el flujo, es fuertemente no continuo. Esto se debe al hecho de que está guiado por la interacción con el usuario. La consecuencia de ello es que interesa más ordenar el código por unas entidades abstractas llamadas objetos y que representan conceptos reales en lugar de definir el habitual conjunto de funciones. Para facilitar el trabajo de programación y evitar la repetición de trabajo ya existente, se han utilizado diversas librerías. Se entiende por librerías, un conjunto de funciones escritas en un lenguaje compatible con el del programa y que están especializadas en realizar un trabajo concreto y muy bien definido. Las librerías usadas han sido: OpenGL: Librería para dibujo en 3D. Dadas unas primitivas de dibujo como líneas, superficies o triángulos, y dados un tipo de visualización y unos parámetros de posicionamiento, dibuja las primitivas en pantalla. Tcl-Tk: Librería para el uso de scripts 2 yparalaconstrucción de la interfaz de usuario. Sirve para crear todos los menús, botones y ventanas que interaccionan con el usuario. La posibilidad de ejecución de scripts permite que una tercera persona pueda añadir funcionalidad al programa para realizar tareas concretas o para crear nuevas ventanas. Gettext: Librería de soporte para internacionalización. Facilita la traducción del programa a otros idiomas. Otras: Se han usado diversas librerías y código existente para operaciones tales como: escritura de ficheros de impresión, creación de ficheros de vídeo, etc. Por ser Tcl-Tk una librería que opera con scripts, se puede desarrollar todo el código que gobierna la creación de la interfaz de usuario mediante este nuevo lenguaje que no necesita de compilación y por tanto implica un desarrollo más rápido y sencillo. Por la misma razón de que la compilación no es necesaria, una tercera persona puede añadir nuevas opciones y ventanas al programa para especializarlo en una tarea determinada. Esta unión entre el código en C++ 2 Un script es una secuencia de comandos que realizan acciones y que no necesita ser compilada.

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