Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

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1 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES 5. CONDICIONES DE FRONTERA: Dbido a qu muchos problmas fnómnos pudn sr rprsntados mdiant cuacions difrncials, mu frcuntmnt s conoc información adicional d s fnómno o d sa cuación, lo qu s quivalnt a sabr l valor d las variabls o d las drivadas bajo condicions spcíficas. Esas condicions spcials, qu prmitn ajustar los problmas a condicions spcíficas, s conocn indistintamnt como Condicions d Frontra, Condicions d Bord o Condicions Inicials. Ejmplo : En la siguint cuación difrncial s conoc qu la variabl tin un valor d cuando la variabl indpndint t val 0. d dt + 5t = 0 La condición d bord s pud rprsntar: (0) = O altrnativamnt: t = 0 = Ejmplo : En la siguint cuación difrncial s conoc qu la primra drivada d tin un valor d 0 cuando la variabl indpndint val p. + = 0 La condición d bord s pud rprsntar: ( p) = 0 O altrnativamnt: x = π = 0 5. MODELAMIENTO NUMÉRICO Y GRÁFICO: La intrprtación d los fnómnos qu son dscritos mdiant cuacions difrncials s v fortalcida cuando s pudn crar tablas gnrar gráficos apropiados qu rprsntn a dichos fnómnos. Los mcanismos qu prmitn transformar la cuación difrncial, con sus condicions d bord, n valors spcíficos constitun l modlaminto numérico dl problma. I-005

2 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador En l modlaminto numérico s vital la dfinición d todos los parámtros d la cuación difrncial o la convrsión d dichos parámtros n lmntos d pruba sistmáticos para la cuación difrncial. El Método d las Difrncias Finitas constitu una d las hrramintas más vrsátils intuitivas qu facilitan l modlaminto d difrnts tipos d funcions cuacions. Para l fcto s dfinn pquños intrvalos d variación para la variabl indpndint, s prdic l comportaminto d la variabl dpndint a partir d las cuacions difrncials condicions d bord corrspondints. Las hipótsis utilizadas para la prdicción matmática pudn variar n su compljidad, lo qu pud significar la dtrminación scuncial d los valors d las variabls o la dfinición d sistmas d cuacions algébricas qu, al sr analizados, conducn a la dtrminación d tals valors. 5. PROBLEMAS RESUELTOS MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS DE PRIMER ORDEN: Problma Rsulto : Rsolvr la siguint cuación difrncial: x. + t = 0 dt Si: x () = Solución: Sparando las variabls: x = t dt x. = t.dt Intgrando: x. = t. dt Ejcutando las intgrals: x t = + C Multiplicando por ragrupando: x = t + C x + t = C Rmplazando l valor C por la constant : x + t = Solución gnral Dond: I-005

3 : Constant arbitraria d intgración TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador NOTA: Para valors positivos d, la solución corrspond a una familia d lipss con cntro n l orign j principal sobr l j d las x. Los valors ngativos d no proporcionan solución dntro dl campo d los númros rals. La condición d bord dl problma s: x () = Qu s quivalnt a: t = x = Rmplazando la condición d bord n la solución gnral (t=; x=): x + t = () + () = = = Rmplazando l valor d n la solución gnral s tin: x + t = Solución spcífica NOTA: Es important obsrvar qu una vz fijadas las condicions d bord suficints para l problma, s tin una solución spcífica n lugar d una familia d solucions. Vrificación: La primra tapa d la vrificación corrspond a la solución gnral. La solución gnral s: x + t = Drivando rspcto a t : x + t = 0 dt 5 I-005

4 Simplificando: x + t = 0 Vrificada la solución gnral dt TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador La sgunda tapa d la vrificación corrspond a la solución spcífica. La solución spcífica s: x + t = La condición d bord (condición d frontra o condición inicial) s: t = x = Rmplazando los valors d t x n la solución spcífica s tin: () + () = = = Vrificada la solución spcífica Problma Rsulto *: Rsolvr la siguint cuación difrncial: d = x ( + ) Si: (0) = Solución: Sparando las variabls: d = x. + Intgrando: d x. + = Ejcutando las intgrals: ln(+ ) + C = x Por facilidad d simplificación s pud rmplazar la constant C por l logaritmo natural d la constant : x ln(+ ) + ln( ) = El logaritmo d un producto s la suma d logaritmos. 6 I-005

5 ln [.( + ) ] x = TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador La xprsión xponncial quivalnt a la xprsión logarítmica prvia s:.( + ) = ( x / ) Dspjando : + = (x ( x / ) / ) = - Solución gnral Dond: : Constant arbitraria d intgración La condición d bord dl problma s: (0) = Qu s quivalnt a: x = 0 = Rmplazando la condición d bord n la solución gnral (x=0; =): = = ( x 0 / ) Cualquir númro lvado a la potncia 0 s la unidad. = Dspjando : + = = = Rmplazando l valor d n la solución gnral s tin: = ( x / ) 7 I-005

6 ( x / ) = - Solución spcífica TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Vrificación: La solución gnral s: = ( x / ) Drivando rspcto a x : d x = ( ) (x Simplificando: d = x (x / ) / ) Pro dspjando d la solución gnral la función xponncial dividida para s tin: + = ( x / ) Rmplazando n la xprsión difrncial antrior s tin: d = x ( + ) d = x ( + ) Vrificada la solución gnral La solución spcífica s: = ( x / ) 8 I-005

7 La condición d bord s: x = 0 = TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Rmplazando los valors d x n la solución spcífica s tin: ( 0 / ) = Simplificando: = 0 = () = = Vrificada la solución spcífica Problma Rsulto *: Rsolvr la siguint cuación difrncial: d = x.cos () Si: p (0) = Solución: Sparando las variabls: d = x. Cos () Intgrando: d Cos () = x. Ejcutando las intgrals: Tan() = x + C Solución gnral Dond: C: Constant arbitraria d intgración La condición d bord dl problma s: π (0) = Qu s quivalnt a: 9 I-005

8 π x = 0 = TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Rmplazando la condición d bord n la solución gnral (x=0; =p/): π Tan = 0 + C = 0 + C C = Rmplazando l valor d C n la solución gnral s tin: Tan() = x + Solución spcífica Vrificación: La solución gnral s: Tan() = x + C Drivando rspcto a x : d Sc (). = x Dspjando la drivada: d x = Sc () Exprsando la Scant como l invrso dl Cosno s tin: d = x.cos () Vrificada la solución gnral La solución spcífica s: 0 I-005

9 Tan() = x + La condición d bord s: π x = 0 = TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Rmplazando los valors d x n la solución spcífica s tin: π Tan( ) = (0) + = 0 + = Vrificada la solución spcífica Problma Rsulto *: Rsolvr la siguint cuación difrncial: Si: + (+ x)d = 0 (0) = Solución: Sparando las variabls: = ( + x)d = ( + x) d Exprsando l radical como potncia: d = ( + x) (/ ) Trasladando la potncia d al numrador: ( / = ). d ( + x) Intgrando: ( / = ) +.d ( x) Ejcutando las intgrals: ( / ) ln(+ x) + C = I-005

10 Simplificando: ln( + x) + C = ( / ) TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Para facilitar la simplificación s rmplaza la constant C por l logaritmo natural d la constant : ln( + x) + ln( ) = ( / ) El logaritmo d un producto s la suma d los logaritmos: ln ( ) (.( + x) = / ) Rmplazando la potncia fraccionaria por la radicación quivalnt: ln (.( + x) ) = Rmplazando la xprsión logarítmica por la xprsión xponncial quivalnt:.( + x) = Dspjando x : + x = x = - Dond: - Solución gnral C: Constant arbitraria d intgración NOTA: Por la forma d la solución s mucho más sncillo xprsar x n función d : La condición d bord dl problma s: (0) = Qu s quivalnt a: x = 0 = Rmplazando la condición d bord n la solución gnral (x=0; =): 0 = Simplificando dspjando : 0 = = = I-005

11 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Rmplazando l valor d n la solución gnral s tin: x = Simplificando: x = ( ) ( ) (- x = ) - Solución spcífica NOTA: La solución dntro dl campo d los rals solo admit valors positivos para. Vrificación: La solución gnral s: x = Rmplazando la raíz d por su quivalnt xponncial: ( / ) x = Obtnindo difrncials n toda la xprsión: ( ) ( / ) ( ) /.d = Simplificando: ( ) ( ) / /.d = I-005

12 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Rmplazando la xprsión ntr llavs, dividida para por su quivalnt d acurdo a la solución gnral s tin: ( / = ).(x + ). d Trasladando la variabl con xponnt fraccionario ngativo al dnominador: (x + ) = ( / ). d Rmplazando l xponnt fraccionario por la xprsión radical quivalnt: (x + ) =.d Trasladando la xprsión radical al mimbro izquirdo:. = (x + ).d Trasladando todas las xprsions al mimbro izquirdo: + (+ x)d = 0 Vrificada la solución gnral La solución spcífica s: ( x = ) La condición d bord s: x = 0 = Rmplazando los valors d x n la solución spcífica s tin: ( 0 = ) Simplificando: 0 = 0 = 0 0 = 0 = 0 Vrificada la solución spcífica Problma Rsulto 5: Utilizando l modlaminto numérico d cuacions difrncials obtnr l valor aproximado d d, rprsntar gráficamnt la función xponncial = x. Solución: En primr lugar buscamos una cuación difrncial cua solución puda sr la función xponncial = x. D los problmas rsultos n l capítulo antrior s dduc qu tal cuación difrncial sría: - = 0 I-005

13 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador La solución d la cuación difrncial propusta sría una familia d curvas rprsntada por: x = A. Para asgurars qu, d la familia d curvas, s ha scogido xclusivamnt aqulla función cuo valor d A s (= x ), s ncsita fijar la siguint Condición d Bord para cuando x valga 0 : x = 0 = Qu s podría lr así: Cuando x val 0, tndrá un valor d. La condición d bord prvia s pud vrificar rápidamnt pus al rmplazar x n la función qu qurmos obtnr por l valor 0, s obtin un valor d para la variabl. Otra forma d rprsntar la condición d bord sría: (0) = Para modlar l problma mdiant una hoja lctrónica s part d la cuación difrncial: = 0 Qu s quivalnt a: d = 0 Dspjando n la cuación difrncial: d = Ponindo la misma xprsión n términos d los incrmntos finitos d las variabls s tin: = x Dspjando D qu s l incrmnto d la variabl cuando xist un incrmnto d la variabl x igual a Dx : D =. Dx El valor d i n cualquir tapa dl procso numérico pud calculars n bas al valor prvio d ( i- ), mdiant la siguint xprsión: i = i- + D Llvadas stas xprsions a una hoja lctrónica s pud calcular la variación aproximada d la función = x, si s toma como punto d partida l valor x=0 l corrspondint valor =. S db tomar n cunta qu los incrmntos d x (Dx) dbn sr lo suficintmnt pquños para qu l modlaminto sa apropiado (tntativamnt s han scogidos incrmntos d 0. ): 5 I-005

14 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador S db notar qu n las fórmulas mpladas n la hoja lctrónica s utiliza l valor d i- para prdcir D i i. La validz d sta aproximación dpndrá d qu los valors d i i- san suficintmnt crcanos, lo qu s consigu con un valor d Dx pquño. Por otro lado, las condicions d bord inicials facilitan l procso pus 0 =. Graficando la tabla s tin: Es important mncionar qu, para incrmntos d x d 0., n la tabla prsntada, l valor aproximado para s d.59, pro si los incrmntos d x s rducn a 0.0, l valor d s d.70, bastant crcano al ral, l valor d s d 7.. En st sgundo caso las curvas (xacta aproximada) s suprponn n l gráfico. NOTA: El objtivo dl problma rsulto no s calcular l valor d d, pus xistn manras más ficints d hacrlo, sino introducirs intuitivamnt al modlaminto 6 I-005

15 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador numérico mdiant l uso d difrncias finitas, mpzar a manjar critrios rspcto a solucions aproximadas. Problma Rsulto 6: Modlar numéricamnt una función sinusoidal simpl =Sn(x) mdiant cuacions difrncials dtrminar l valor d la función para ángulos d radián d radians. Solución: En primr lugar buscamos una cuación difrncial cua solución puda sr la función sinusoidal =Sn(x). D los problmas rsultos n l capítulo antrior s dduc qu tal cuación difrncial sría: + = 0 La solución d la cuación difrncial propusta sría una familia d curvas rprsntada por: = A.Sn(x) + B.Cos(x) Para asgurars qu, d la familia d curvas, s ha scogido la función =Sn(x) ( A val B val 0 ) s ncsitan fijar dos Condicions d Bord : x = 0 = 0 x = 0 = Qu s podría lr así: Cuando x val 0, tndrá un valor d 0 pus l Sno d 0 s 0. Cuando x val 0, tndrá un valor d pus l Cosno d 0, qu s la drivada d la función Sno, s. Otra forma d rprsntar las condicions d bord sría: (0) = (0) = 0 Para modlar l problma mdiant una hoja lctrónica s part d la cuación difrncial: + = 0 Pro la sgunda drivada s la drivada d la primra drivada: d + = 0 Dspjando n la cuación difrncial: d = Ponindo la misma xprsión n términos d los incrmntos finitos d las variabls s tin: 7 I-005

16 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador = x Dspjando D qu s l incrmnto d la primra drivada d la variabl cuando xist un incrmnto d la variabl x igual a Dx : D = -. Dx El valor d i n cualquir tapa dl procso numérico pud calculars n bas al valor prvio d ( i- ), mdiant la siguint xprsión: i = i- + D i Para podr compltar l modlaminto con la variación d n cada intrvalo d x, s ncsario rcurrir a otra cuación qu provin d la dfinición d primra drivada d : = d Ponindo la xprsión n términos d los incrmntos d las variabls s tin: = x Dspjando D qu s l incrmnto d la variabl cuando xist un incrmnto d la variabl x igual a Dx : D =. Dx El valor d i n cualquir tapa dl procso numérico pud calculars n bas al valor prvio d ( i- ), mdiant la siguint xprsión: i = i- + D i Llvadas stas xprsions a una hoja lctrónica s pud calcular la variación aproximada d la función =Sn(x), si s toma como punto d partida l valor x=0 los corrspondints valor =0 = : 8 I-005

17 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Graficando la tabla s tin: El Sno d radián s aproximadamnt 0.85, l d radians s 0.9. NOTA: El objtivo dl problma ra comprndr la mcánica dl modlaminto numérico d las cuacions difrncials d ordn suprior. 5. PROBLEMAS PROPUESTOS: Problma Propusto : Utilizando l modlaminto numérico d cuacions difrncials obtnr l valor aproximado d / rprsntar gráficamnt la función xponncial = -x. Problma Propusto : Modlar numéricamnt una función cosnoidal simpl =Cos(x) mdiant cuacions difrncials dtrminar l valor d la función para ángulos d radián d radians. ***** Problma Propusto : Rsolvr la siguint cuación difrncial: x. + t = 0 dt Si: x() = - Problma Propusto : Rsolvr la siguint cuación difrncial: d = x ( + ) 9 I-005

18 Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Si: (0) = Problma Propusto 5: Rsolvr la siguint cuación difrncial: d = x.cos () Si: p (0) = Problma Propusto 6: Rsolvr la siguint cuación difrncial: + (+ x)d = 0 Si: (0) = 5.5 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Tagl R. Knt, Saff Edward B. Zindr Artur David, Ecuacions Difrncials Problmas con Valors n la Frontra, Parson Educación, Trcra Edición, 00. Spigl Murria R., Matmáticas Avanzadas para Ingniría Cincias, Mc Graw Hill, Primra Edición, 00. Campbll Stphn L. Habrman Richard, Introducción a las Ecuacions Difrncials con Problmas d Valor d Frontra, Mc Graw Hill, Primra Edición, 999. Ars Fran, Ecuacions Difrncials, Mc Graw Hill, Primra Edición, I-005

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