PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA Rafael Correa Delgado MINISTRO DE EDUCACIÓN Augusto Espinosa Andrade VICEMINISTRO DE EDUCACIÓN Freddy Peñafiel Larrea

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2 PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA Rafael Correa Delgado MINISTRO DE EDUCACIÓN Augusto Espinosa Andrade VICEMINISTRO DE EDUCACIÓN Freddy Peñafiel Larrea VICEMINISTRO DE GESTIÓN EDUCATIVA Jaime Roa Gutiérrez SUBSECRETARIA DE FUNDAMENTOS EDUCATIVOS Paulina Dueñas Montero DIRECTORA NACIONAL DE CURRÍCULO (E) Isabel Ramos Castañeda GRUPO EDEBÉ Proyeto: Matemátias,, y Eduaión Seundaria Obligatoria DIRECCIÓN GENERAL Antonio Garrido González DIRECCIÓN EDITORIAL José Luis Gómez Cutillas DIRECCIÓN DE EDICIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA José Franiso Vílhez Román DIRECCIÓN PEDAGÓGICA Santiago Centelles Cervera DIRECCIÓN DE PRODUCCIÓN Juan López Navarro EQUIPO DE EDICIÓN GRUPO EDEBÉ Grupo edebé, 8 Paseo San Juan Boso, 8 Barelona En alianza on EDITORIAL DON BOSCO OBRAS SALESIANAS DE COMUNICACIÓN GERENTE GENERAL Marelo Mejía Morales DIRECCIÓN EDITORIAL María Aleandra Próel Alarón ADAPTACIÓN Y EDICIÓN DE CONTENIDOS Equipo Editorial Don Boso Humberto Buitrón A. CREACIÓN DE CONTENIDOS NUEVOS Maria Peña Andrade Saúl Serrano Aguirre Lorena Valladares Perugahi REVISIÓN DE ESTILO Hernán Hermosa Mantilla Isabel Luna Riofrío Pablo Larreátegui Plaza COORDINACIÓN GRÁFICA Y REDIAGRAMACIÓN EDITORIA L Pamela Cueva Villavienio DIAGRAMACIÓN DE PÁGINAS NUEVAS Susana Zurita Beerra Franklin Ramírez Torres Patriio Lliviura Piedra Freddy López Canelos Erika Delgado Chávez Sofía Vergara Anda ILUSTRACIÓN DE PORTADA Eduardo Delgado Padilla Darwin Parra Ojeda Editorial Don Boso, MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR Primera ediión, febrero Séptima reimpresión febrero Quito Euador Impreso por: EL TELÉGRAFO. La reproduión parial o total de esta publiaión, en ualquier forma que sea, por ualquier medio meánio o eletrónio, no autorizada por los editores, viola los derehos reservados. Cualquier utilizaión debe ser previamente soliitada. DISTRIBUCIÓN GRATUITA IMPORTANTE El uso de un lenguaje que no disrimine ni reproduza esquemas disriminatorios entre hombres y mujeres es una de las preoupaiones de nuestra Organizaión. Sin embargo, no hay auerdo entre los lingüistas aera de la manera de haerlo en español. por usar la forma masulina en su tradiional aepión genéria, en el entendido que es de utilidad para haer referenia tanto hombres y mujeres sin evitar la potenial ambigüedad que se derivaría de la opión de usar ualesquiera de las formas de modo genério. Tomado de UNESCO, Situaión eduativa de Améria Latina y El Caribe: Garantizando a leduaión de alidad para todos. UNESCO. Santiago de Chile, agosto 8.

3 Presentaión Los tetos M atemátia 8, 9 y están orientados a trabajar, de manera progresiva, distintas destrezas on riterios de desempeño, a partir de situaiones de aprendizaje-enseñanza que eigen onoimientos, razonamientos y apliaiones en la prátia. La estrutura metodológia se fundamenta en el aprendizaje signifiativo, siempre dentro de un enfoque globalizador e interdisiplinar, que permita a los y las estudiantes adoptar progresivamente métodos y estrategias matemátios, a la par de valores omo la equidad etaria, la demoraia y el respeto a la naturaleza, al ser humano, a la soiedad y a las ulturas. Los tetos busan poteniar atitudes y hábitos de trabajo; desarrollar la autonomía personal para onstruir relaiones interpersonales dignas; afianzar un omportamiento partiipativo y de respeto a las diferenias, valorar la importania de las herramientas tenológias y de la ienia en la vida otidiana y fomentar un espíritu rítio y refleivo. Persiguen un triple objetivo: Formativo. Contribuir al desarrollo de las apaidades ognitivas abstratas y formales de razonamiento, deduión y análisis que permiten onstruir una visión alternativa de la realidad, a través del desarrollo de modelos matemátios. Lo anterior se enamina a ubrir las marodestrezas de omprensión de oneptos y omprensión de proesos. Funional. Desarrollar un onjunto de proedimientos, estrategias de resoluión de problemas y ténias de álulo que permiten soluionar problemas de la vida otidiana y sistematizar proesos de produión, es deir, se enfoa a la marodestreza de apliaión de onoimientos. Instrumental. Por una parte, interpretar hehos de la vida otidiana y, por otra, epresar y omuniar los onoimientos matemátios en otros ámbitos del aprendizaje. Se vinula on la marodestreza de aprender a aprender. Metodología El proeso de aprendizaje reurre iniialmente a métodos indutivos que parten siempre del entorno onoido por los estudiantes. La manipulaión y la eperimentaión son instrumentos básios para el onoimiento y dominio de oneptos y ténias de trabajo neesarios en matemátias. Los métodos dedutivos y el uso de lenguajes abstratos se onvierten en un punto de llegada y en la ulminaión del aprendizaje. De auerdo on la propuesta para el área de Matemátia del nuevo doumento de Atualizaión y Fortaleimiento Curriular de la Eduaión General Básia, los tetos de Matemátia de.º a.º años trabajan los onoimientos en módulos, es deir, integrando los bloques urriulares matemátios (Relaiones y Funiones, Estadístia y Probabilidad, Numério, Geométrio, de Medida) para omprender la fuerte relaión que guardan entre sí. En este sentido, en ada módulo de los tetos se relaionan, al menos, dos bloques urriulares matemátios. Los proedimientos que se aprenden y se utilizan failitan esta interrelaión.

4 Epliaión de las seiones generales en el teto para estudiantes Atividad iniial Plantea una atividad relaionada on la vida otidiana, a través de la ual se pueden inferir los onoimientos que se trabajarán en el módulo. El estudiante intentará resolverla antes de omenzar on el aprendizaje, utilizando las estrategias que onoza hasta ese momento, ya que, esto le permitirá tener onienia de sus apaidades y limitaiones. En este sentido, es un reto de motivaión para los nuevos onoimientos. Prerrequisitos Ativaión de onoimientos previos, tanto de oneptos omo de proedimientos para el estudio del módulo. Se sugieren atividades de evaluaión diagnóstia. Cómo resolver problemas Esta seión es de gran ayuda para los doentes y para los estudiantes, ya que, fomenta el autoaprendizaje y permite adquirir herramientas para la resoluión de problemas. Aunque se enfoa al ámbito matemátio, la metodología puede ser apliada en ualquier área o tipo de problema. En resumen Síntesis de los prinipales onoimientos de la unidad y un esquema gráfio que muestra la relaión entre éstos. Ejeriios y problemas integradores Seión en la que se desarrolla un problema que integra los onoimientos que son parte de los bloques urriulares matemátios trabajados en el módulo. Se sigue un método para la resoluión de problemas, se sigue el proeso hasta llegar al resultado. Al finalizar, se plantea un problema de araterístias similares que deberá ser resuelto en forma autónoma o en grupo por los estudiantes. Ejeriios y problemas Una vez finalizada la omprensión de oneptos y proesos, se presenta esta seión en la que se aplian los onoimientos. La resoluión de ejeriios y problemas se onvierte en un indiador para los doentes sobre el avane logrado o de la neesidad de refuerzo. Demuestra tu ingenio Plantea atividades donde los estudiantes ponen a prueba su razonamiento y lógia matemátia y podrán apliar diferentes proedimientos y estrategias para resolver aertijos, enigmas, juegos, problemas, Buen Vivir Seión en la que se artiulan los prinipios fundamentales del Buen Vivir on aspetos de la realidad de nuestro país. Busa motivar la refleión, la toma de deisiones y posterior ejeuión de aiones positivas a favor del ambiente, de la soiedad y de las relaiones demorátias y para la paz. Al iniio de ada módulo se muestra un artíulo de la Constituión de la Repúblia del Euador relaionado on el eje elegido y al finalizar el módulo se desarrolla el tema on profundidad. Autoevaluaión y oevaluaión Permite omprobar el desarrollo de las destrezas on riterios de desempeño que están propuestas y trabajadas en ada uno de los módulos.

5 Seión de historia Una reseña de la evoluión história de los onoimientos que se aprenden en el módulo. Crónia matemátia Conjunto de notiias, uriosidades, anédotas relaionadas on los onoimientos del módulo. Adiionalmente, al interior de ada módulo, se utilizan estrategias relaionadas on el álulo mental, el uso de la aluladora, el uso de las TIC, el trabajo grupal, entre otras. Resultados esperados on el uso de los tetos Matemátia 8, 9 y Se busa una formaión integral de los estudiantes, mediante el desarrollo de: Destrezas matemátias. Destrezas de omuniaión. Destrezas de interaión interpersonales. Destrezas de interaión on el mundo físio. Destrezas para el tratamiento de la informaión. Destrezas para la omprensión del mundo digital. Valores soiales y iudadanos. Valores ulturales y artístios. Autonomía e iniiativa personal. Autoevaluaión y evaluaión onjunta. Capaidad de aprender a aprender. Estrategias motivaionales para la enseñanza de la matemátia Según Good y Brophy (998), los doentes en el proeso de enseñanza deben lograr seis objetivos motivaionales:. Crear un ambiente de aprendizaje favorable en el aula para minimizar la ansiedad haiendo que los alumnos logren un mejor desempeño.. Los doentes neesitan estimular la motivaión para lograr aprender en oneión on ontenidos o atividades espeífias proyetando entusiasmo, induiendo uriosidad, disonania, formulando objetivos de aprendizaje y proporionando retroalimentaión informativa que ayude al alumno a aprender on onienia, sensatez y efiaia.. El eduador debe disutir on los alumnos la importania e interés de los objetivos impartidos, relaionándolos on el quehaer diario, inentivándolos haia la búsqueda de nuevas informaiones en libros, Internet, videos, programas de televisión en donde se traten temas atuales que se relaionen on la asignatura.. Ejeutar las evaluaiones, no omo una forma de ontrol, sino omo medio de omprobar el progreso de ada alumno.. Ayudar al estudiante a adquirir una mayor onienia de sus proesos y diferenias referente al aprendizaje, mediante atividades de refleión, estimulando la onienia metaognitiva de los alumnos. En virtud de lo señalado, el doente puede alanzar una enseñanza efiaz. Debe poner en prátia su reatividad para diversifiar la enseñanza, on un poo de imaginaión, los trabajos de pupitre rutinarios los puede transformar en atividades desafiantes para el alumno.. Epliar y sugerir al estudiante que se espera que ada uno de ellos disfrute el aprendizaje.

6 Módulo Bloques: Numério. Relaiones y funiones Números reales Sistemas de dos euaiones lineales on dos inógnitas Objetivo del módulo Resolver operaiones ombinadas on números reales mediante la apliaión de sus reglas, propiedades y leyes para relaionarlas on los polinomios y soluionar problemas on sistemas de euaiones. DCD Destrezas on riterios de desempeño Resolver operaiones ombinadas de adiión, sustraión, multipliaión, división, poteniaión y radiaión on números reales. Raionalizar epresiones numérias. Evaluar y simplifiar potenias de números enteros on eponente fraionario. Simplifiar epresiones de números reales on eponentes fraionarios on la apliaión de las reglas de poteniaión y radiaión. Utilizar las estrategias y las herramientas matemátias adeuadas para resolver problemas y onfiar en sus apaidades. Calular el error ometido en operaiones on aproimaiones de números reales. Representar y resolver un sistema de dos euaiones lineales on dos inógnitas, on gráfios y algebraiamente. Estrategias metodológias Relaionada on la DCD: Resolver operaiones ombinadas de adiión, sustraión, multipliaión, división on números reales. Para la ativaión de onoimientos previos Antes de abordar los números reales, es neesario repasar todos los onjuntos de números que se han estudiado. Naturales ( ) Enteros ( ) Raionales ( ) Reales ( ) Enteros negativos Fraionarios ) ) Irraionales ( Deben subrayarse las diferenias entre las propiedades de ada uno de ellos, de modo que los estudiantes sepan reonoerlas. Para ello, será muy útil reurrir a ejemplos (ontar objetos para los naturales, las plantas de un edifiio para los enteros, el reparto de un pastel para los fraionarios).

7 Revise la seión de Prerrequisitos de la página 9 del libro del alumno. Verifique que sus estudiantes logren resolver on agilidad el segundo y uarto ejeriio de la evaluaión diagnóstia. Realie un repaso de la obtenión de la fraión generatriz. Proponga ejemplos senillos en los uales se evidenie que se umplen las propiedades de la suma y la potenia en el onjunto de los números reales. Para la onstruión del onoimiento Busque ejeriios que ombinen las operaiones estudiadas en el módulo. Resuelva on los estudiantes uno de los ejeriios justifiando ada paso. Por ejemplo, en el ejeriio deben evideniarse las propiedades de las operaiones, la ley de los signos, las reglas para suprimir signos de agrupaión, la raionalizaión y la onversión de un número deimal periódio a fraionario. Puede utilizar ejeriios omo los siguientes: a) ( )( + )( ) ) ( 9 ) ( + ) b) ) ( 8 Para la apliaión del onoimiento Además de las atividades que onstan en el libro del alumno, sugiera que los estudiantes resuelvan ejeriios omo los siguientes. ) a) b) d) ( ) Forme grupos de trabajo. Soliite a los estudiantes que planteen un ejeriio en el ual se ombinen varias de las operaiones estudiadas. Previa la evaluaión usted debe planifiar para ada grupo ondiiones que deben tener los ejeriios que se plantearán así omo la forma de evaluaión. Ejemplo: El ejeriio debe ontener: Operaiones: suma, resta, multipliaión, división, potenia y radiaión. Dos números irraionales y un deimal periódio. Paréntesis y orhetes. Evideniar al menos una propiedad de la poteniaión. Resoluión del ejeriio argumentando los proesos. Observaiones Cumplen on todas las ondiiones soliitadas. Aplian propiedades y leyes en la resoluión del ejeriio Las justifiaiones tienen relaión on los onoimientos desarrollados. Para la evaluaión

8 Relaionada on la DCD: Representar y resolver un sistema de dos euaiones lineales on dos inógnitas, on gráfios y algebraiamente. Para la ativaión de onoimientos previos Es impresindible señalar que las dos euaiones que forman un sistema epresan dos ondiiones que deben verifiarse simultáneamente, para evitar que los alumnos onsideren que las euaiones del sistema están desvinuladas entre sí. Una vez iniiado el estudio de los métodos algebraios de resoluión, debe realarse que el método elegido para resolver un sistema es, en prinipio, indiferente, puesto que las soluiones no dependerán del método utilizado. Sin embargo, la eleión de un método determinado puede simplifiar la resoluión, dependiendo de las euaiones. Así pues, los alumnos deben estar dispuestos a invertir un ierto tiempo para deidir qué método de resoluión resulta más apropiado en ada aso. Para la onstruión del onoimiento Realque que las retas se enuentran en el mismo plano ya que se trabaja en. Trabaje el onepto de sistema de euaiones a partir de una situaión en la que deban verifiarse simultáneamente dos euaiones. Si le es posible, pida ayuda al doente de Computaión para presentar a sus estudiantes algunos videos olgados en páginas de internet sobre resoluión de sistema de euaiones lineales de dos inógnitas. Al representar gráfiamente los sistemas de euaiones tome en uenta lo siguiente: Y. Si las retas se ortan en un punto, el sistema tiene soluión únia. Deimos que es ompatible determinado o onsistente determinado. X +y + y y. Si las dos retas oiniden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluiones. Es un sistema ompatible indeterminado o onsistente indeterminado. 8 X +y + y Y y + y Y 9. Si las retas no se ortan, es deir, son paralelas, el sistema es inompatible o inonsistente no tiene soluión X +y8 +y + y 8 y Guie a los estudiantes que deduzan ómo será la gráfia de un sistema de euaiones analizando los términos de ada uno de los miembros de las euaiones que onforman el sistema. Para la apliaión del onoimiento Presente a los estudiantes varios sistemas representados gráfiamente y los sistemas orrespondientes, para que sus estudiantes realien las asoiaiones debidas. Proponga a sus estudiantes sistemas ompatibles y soliite que planteen problemas. 8

9 Para la evaluaión Plantee problemas en los que se evidenie omo alternativa la resoluión de un sistema de euaiones on dos inógnitas y el sistema iniial que se plantee. Sugiera el uso de uno de los métodos estudiados. Ejemplos: ) El preio de las entradas de un iro es de $ 8 para los adultos y $ para los niños. Si en el iro hay personas y han reaudado $, uántos adultos y uántos niños hay? ) Halla un número de tres ifras que umpla todas las ondiiones siguientes: Está omprendido entre y. La suma de la ifra de las unidades on la de las deenas es 8. La ifra de las unidades es el triple de la ifra de las deenas. Guíe a los estudiantes para que luego de obtener los datos y el planteo de las euaiones, seleione el método más adeuado para el problema. Aplique una esala de evaluaión, en la misma que puede onsiderar: ) Identifia datos ) Plantea un sistema de euaiones ) Convierte un sistema en otro equivalente ) Utiliza el método adeuado para la resoluión del sistema Reomendaiones para doentes () () () () Seión para uso elusivo del eduador Raíz uadrada Para el tratamiento de la raíz uadrada es importante realar lo siguiente: Sea b un número real positivo o ero, su raíz uadrada real (si eiste), es el número real positivo a o ero, tal que el uadrado de a sea b. b a, si y solo si: a b ; on a, b + a) d) b) () ) ( ) e) -, no tiene raíz uadrada en los reales. Reuerde que es un error afirmar que la es y. Buen Vivir: Inlusión y equidad En este sentido, se puede proponer la elaboraión de una ampaña esolar aera de la inlusión y la igualdad. Cree grupos de trabajo para que puedan abarar diversos aspetos: la inlusión étnia, laboral, de las personas on apaidades espeiales, de migrantes y eiliados; la equidad en el aeso a los serviios de eduaión, salud, movilidad, seguro soial, entre otros. Reuerde reforzar la idea de un enfoque propositivo, orientado a que los estudiantes se onviertan en atores ativos del ambios, omprometidos on el desarrollo y el bienestar de su país. Motívelos para que reen un eslogan, onsigan una imagen de ampaña, desarrollen mensajes dirigidos a la omunidad para que puedan presentar este trabajo ante los estudiantes y padres de familia on oasión de las fiestas patronales, pero, lo más importante, motívelos para que se omprometan a respetar y haer respetar estos valores demorátios y a rear una ultura de paz. Bibliografía RESS, Paul y SPARKS, Fred, Álgebra elemental, MGraw Hill Interameriana, Méio, 999. Durante este módulo es posible que el profesor/a trabaje on sus estudiantes la importania de rear hábitos inluyentes y equitativos. Para esto, iniie on el artíulo de la Constituión de la Repúblia que se ofree al omienzo del módulo y destaque el heho de que estos valores son un dereho elemental de las personas, que debe ser garantizado y respetado. Luego de esto, refleione aera de diversas situaiones otidianas en las que los alumnos/as periban injustiia, desigualdad y elusión. Este análisis debe servir omo un punto de partida, nuna de llegada, ya que desde allí debe iniiarse la búsqueda de alternativas de ambios y mejoramiento para la soiedad. A lo largo del módulo, refuere valores y atitudes adyaentes omo el respeto, el diálogo, la fraternidad, entre otros. 9

10 Fiha Refuerzo Potenia de eponente raional. Radiales. Operaiones on radiales Nombre:... Curso:... Feha:.... Reuerda que las potenias uyo eponente es un número raional negativo pueden transformarse en potenias de eponente un número raional positivo. Observa y ompleta: ; ; 9... ;.... Observa ómo se opera on potenias de eponente raional y ompleta los ejeriios propuestos. Produto de potenias de igual base y eponente raional: se esribe la misma base y se suman los eponentes reduiéndolos a omún denominador. ( ) ( ) a ) ( ) ( ) + b) + ) 9 9 Coiente de potenias de igual base y eponente raional: se esribe la misma base y se restan los eponentes reduiéndolos a omún denominador. : e) (......)... d) : : 9 ( ) : ( ) f) Potenia de una potenia de eponente raional: se esribe la misma base y se multiplian los eponentes. g) (9 ) h) ( ) Potenia raional de un produto: se eleva ada fator de la base al eponente de la potenia. ( ) ( ) ( ) ( ) i) j) ( )( ) 8. Los siguientes radiales son semejantes: ; 8 ; ;. Observa qué tienen en omún y ompleta: los radiales semejantes tienen en omún el... y el..... Completa siguiendo el modelo:. Resuelve ahora estas operaiones. a ) + ( )... a ) b ) + (......) + (......) b )... ) + ) 9 d) + + d )......

11 Refuerzo Representaión de las soluiones de una euaión on dos inógnitas Nombre:... Curso:... Feha:.... Epresa en lenguaje algebraio la siguiente frase: El triple de un número más otro es igual a. A ontinuaión, onstruye una tabla de valores on las soluiones de la euaión obtenida y represéntalas gráfiamente. Representamos el primer número por y el segundo por y para obtener la euaión y... Despejamos una de las inógnitas de la euaión. y Construimos la tabla de valores dando valores arbitrarios a para alular los orrespondientes valores de y. y y ( )... y y y y Representamos los pares de valores obtenidos en un sistema de oordenadas artesianas. Unimos los puntos representados para obtener la reta orrespondiente a las soluiones de la euaión. Y X Comprueba si los puntos A (, ), B(, ) y C(, 8) orresponden a soluiones de la euaión.. La gráfia de la dereha orresponde a las soluiones de la siguiente euaión. y Cómo omprobarías, a partir de la gráfia, si las oordenadas de un punto orresponden a una soluión de la euaión? Y a partir de la euaión? Y X Fiha

12 Módulo Nombre: Fiha de evaluaión Curso:......, y. Construye tres segmentos on las siguientes longitudes: Feha:..... Representa sobre la reta los siguientes números reales: ;, ;, ; ;,. Esríbelos ordenados de menor a mayor.. India: hasta las milésimas. b) Una aproimaión por defeto de hasta las entésimas. a) Una aproimaión por eeso de ) El valor de redondeado hasta las entésimas.. Epresa en forma de potenia de base real y eponente raional: a) b) ) π d). Epresa en forma de raíz las siguientes potenias y agrupa los radiales semejantes. a ) b) ) d ). Efetúa las siguientes operaiones. ( ) a) + + d) b) + e) f) ) 8. Desubre los errores que eisten en las siguientes igualdades y orrígelos. a) + b) + + ) 8. Resuelve gráfiamente el siguiente sistema de euaiones. y + y 9. Resuelve algebraiamente estos sistemas de euaiones. a ) + y y b ) y 8 + y 9. Tradue al lenguaje algebraio el siguiente enuniado. Un padre tiene 9 años más que su hijo y dentro de años le doblará la edad.. Se han envasado litros de lehe en botellas de litros y de litro. Cuántas botellas de ada tipo se han utilizado?. El perímetro de un retángulo es de 9 m. Calula sus dimensiones sabiendo que mide m más de largo que de anho.. El triple de un número más el doble de otro es y el segundo más el uádruple del primero es. Cuáles son estos números?

13 Módulo Fiha de evaluaión. Soluionario. < <, <, <. a ), ; b ) <, a ) ;b ) ;) π ;d) ; ) ; d ) Son radiales semejantes: a) y d); b) y ). 9. a ) + y y La soluión del sistema es, y. b ) y 8 + y 9 a ) ; b ) a ) ;b ) ; ). d ). a) + b) + ) ; ; e ) ; f ). Las euaiones orrespondientes al enuniado son: 9 y (y ). A partir del enuniado, obtenemos el siguiente sistema de euaiones: + y + y Cuya soluión es, y. Se han utilizado botellas de litros y botellas de litro.. Denominamos a la altura del retángulo e y a la base, y obtenemos el siguiente sistema: + y 9 y + 8. Construimos las tablas de soluiones de ada una de las euaiones. Primera euaión Segunda euaión y La soluión del sistema es, y. ( ) X Las dos retas se ortan en el punto (, ), así que la soluión del sistema es, y., ; ) ,, Y Representamos gráfiamente las soluiones de las dos euaiones en un sistema de oordenadas artesianas. y Cuya soluión es, y. El retángulo mide m de base por m de altura.. A partir del enuniado, se obtiene el sistema siguiente: + y + y,,, Cuya soluión es, y. Los números son y. Puede ontinuar Indiadores eseniales de evaluaión Opera on números reales. Epresa en forma de intervalo un segmento de la reta real y representa intervalos sobre la reta real. Efetúa aproimaiones de números reales por redondeo y por trunamiento. Resuelve euaiones e ineuaiones de primer grado. Resuelve un sistema de dos euaiones on dos inógnitas por medio de gráfios y proesos algebraios. Neesita refuerzo % de alumnos/as

14 Módulo Bloques: Numério. Relaiones y funiones Notaión ientífia Funión lineal Funión eponenial Objetivos del módulo Representar antidades grandes y pequeñas mediante notaión ientífia para failitar su letura y ompresión. Reonoer una funión lineal a través del análisis de su tabla de valores, gráfio o euaión para omprender y predeir variaiones onstantes en los problemas de la vida otidiana. DCD Destrezas on riterios de desempeño Transformar antidades epresadas en notaión deimal a notaión ientífia on eponentes positivos y negativos. Construir patrones de reimiento lineal en su euaión generadora. Evaluar si una funión lineal es reiente o dereiente en su tabla de valores, gráfio o euaión. Determinar la euaión de una funión lineal si su tabla de valores, su gráfio o dos puntos de esta funión son onoidos. Reonoer si una funión eponenial es dereiente o reiente. Estrategias metodológias Relaionada on la DCD: Transformar antidades epresadas en nota- ión deimal a notaión ientífia on eponentes positivos y negativos. Para la ativaión de onoimientos previos Repase las propiedades de la poteniaión y algunas potenias de base diez. Ejemplos: Letura Potenia de base diez milésima, entésima, déima, diez ien mil Hay que insistir en el uso razonable de la aluladora, la ual ha de ser una herramienta utilizada solo uando sea neesaria.

15 Para la onstruión del onoimiento Presente informaión que ontenga grandes antidades omo la veloidad de la luz ( m/s) y pequeñas antidades omo la longitud de onda de los rayos ósmios (, m), para que los estudiantes analien la neesidad de utilizar epresiones abreviadas. Soliite que epresen las antidades indiadas omo produtos, realque que uno de los fatores debe ser una potenia de base diez y el otro un número deimal ualquiera. Disuta sobre la utilidad del onoimiento sobre la notaión ientífia, menione que una apliaión inmediata es optimizar álulos en operaiones ombinadas on números muy grandes o muy pequeños. Presente antidades epresadas en notaión ientífia y soliite que esriban el número orrespondiente en forma deimal. Luego de un proeso lógio y razonado enamine a los estudiantes a onluir que:. Un número epresado en notaión ientífia tiene tantas ifras signifiativas omo ifras hay esritas.. Un número epresado en notaión ientífia onsta de un número deimal uya parte entera tiene una sola ifra no nula, multipliado por una potenia de diez de eponente entero.. El número deimal,8 esrito en notaión ientífia sería,8 porque la oma reorre espaios haia la dereha para formar el número,.. Por medio de la notaión ientífia se onluye que un número menor a se onvierte en un produto de un deimal mayor que y menor que por una potenia de base diez, uyo eponente es el opuesto al número de espaios que reorrió la oma a la dereha.. Si el número es mayor a, por medio de la notaión ientífia, se esribirá omo el produto del deimal (mayor que y menor que ) por una potenia de base diez, uyo eponente es igual al número de espaios que reorrió la oma a la izquierda. Utilie la aluladora para epresar números en notaión ientífia. Para la apliaión del onoimiento Los estudiantes elaborarán un resumen sobre los prinipales aspetos de la notaión ientífia. Respondiendo a interrogantes ómo, uándo se utiliza, ómo se esribe. Ejemplos para indiar uántos lugares se ha orrido la oma deimal. Las posibles formas de esribir. Indique a los alumnos los pasos a seguir para utilizar este onoimiento dentro de una hoja de álulo ualquiera.. Seleione las eldas a las que desea dar formato.. En el menú Formato, haga li en Celdas y después en la fiha Número.. En la lista Categoría, haga li en Científia. En el uadro Posiiones deimales, esriba el número de posiiones deimales que desee mostrar. Reuerde que al trabajar en una hoja de álulo los números en notaión ientífia se esriben de diferente forma, ejemplo: El número 8, se podría también esribir omo 8, e-. Se sugiere seleionar atividades de la guía Algebra Eerises in Spanish Chapter 8 MDougal Littell In. que podrá desargar de la direión web para realizar un trabajo grupal. Tome en uenta los siguientes aspetos:. Que ada grupo valore el tanto por iento de partiipaión de sus integrantes.. Cómo se ha organizado la tarea y si se ha trabajado respetando las opiniones de todos sus miembros.. Si reen que el trabajo en grupo ha ayudado a resolver mejor los problemas o ha sido un obstáulo. Para la evaluaión

16 Relaionada on la DCD: Reonoer si una funión eponenial es dereiente o reiente. Para la ativaión de onoimientos previos Revise on los estudiantes la seión de prerrequisitos del libro, página. La epresión algebraia de una funión (su regla), y f(), es la fórmula que nos india las operaiones que debemos efetuar on ada valor de la variable, para obtener el orrespondiente valor de la variable y. Repase las definiiones de:. La variable independiente es aquella que toma ualquier valor del dominio de la funión sin más requisito.. Variable dependiente: el valor que toma y luego de apliar en la regla de la funión un valor de la variable independiente, se die que y depende (es imagen) de.. El onjunto de todos los valores que toma la variable dependiente se denomina rango, reorrido o onjunto de imágenes. Para la onstruión del onoimiento Eamine las araterístias y la forma de la gráfia de la funión eponenial, apóyese en los ejeriios de la página 8. Guie a que el estudiante reonoza el valor de la base en sus asos (a > o > a > ), luego de reonoerlo ompare on las gráfia y onluya que un aso india la monotonía reiente y el otro dereiente respetivamente. Proure que los estudiantes determinen la monotonía de la funión eponenial sin que sea neesario trazar la gráfia. Comente y disuta que estos oneptos matemátios tienen apliaiones, por ejemplo en determinar la intensidad de un terremoto, la intensidad del sonido, el estudio del reimiento de poblaiones entre otros. Para la apliaión del onoimiento Proponga se onstruya la urva que indique la evoluión de la poblaión del Euador y que ompare on las gráfias de la funión eponenial, proponga la regla de una funión que responda a ese reimiento. Año Poblaión Enuentre la regla, pero debe aproimarse a P P at, por ejemplo: P,t, donde t es el número de años desde 9. Resuelva justifiando proesos el problema 8 de la página 8. La representaión gráfia del problema 8 puede relizarla utilizando un programa de ódigo abierto omo Geogebra.

17 Para la evaluaión Soliite resolver ejeriios omo:. Dadas las siguientes funiónes: + y ; y ; y, a) Reonoer la ordenada al origen. b) Indiar si es reiente o dereiente. Por qué? Entregue el problema 9 de la página 8 resuelto on una gráfia que no orresponda, soliite que los estudiantes verifiquen que el proeso es adeuado y que justifiquen si la gráfia es o no orreta. Reomendaiones para doentes Seión para uso elusivo del eduador Monotonía Sea f una funión real (Para ser funión real, su dominio A y su reorrido B son subonjunto de los reales), uya regla es y f (), diha funión es:. Creiente si para:, A on < ; entones f () f ().. Dereiente si para:, A on < ; entones f () f ().. Estritamente reiente si para:, A on < ; entones f () < f ().. Estritamente dereiente si para:, A on < ; entones f () > f ().. Monótona, si solo es reiente o solo es dereiente.. Estritamente monótona, si solo es estritamente reiente o solo es estritamente dereiente. Utilie ejemplos de gráfias en la que se evidenien los seis aspetos menionados. Buen Vivir: Cienia, tenología e innovaión Durante este módulo es posible que el profesor/a estimule el interés y las preoupaiones ientífias de sus estudiantes, al desubrir omo la tenología, los proesos ientífios y la innovaión permiten ampliar el onoimiento de nuestro universo y de algunos proesos de la vida otidiana. Aprovehe las atividades de este módulo para onversar aera de las onseuenias positivas y negativas del uso de la tenología. Motive para que el uso de estas no aísle a los jóvenes de sus familias, amigos y de la atividad al aire libre. También utilie las redes soiales e Internet para motivar la investigaión matemátia y rear foros o blogs interesantes on respeto a avanes tenológios o desubrimientos ientífios. Interatúe en dihos foros. Bibliografía ICM-ESPOL, Fundamentos de Matemátia para Bahillerato,. RESS, Paul y SPARKS, Fred, Álgebra elemental, MGraw Hill Interameriana, Méio, 999. Planifique una visita a las ofiinas del Instituto Naional de Estadístia y Censos (INEC) o realie los trámites para que algún funionario de esta ofiina públia dite una harla informativa sobre las aiones que lleva adelante.

18 Fiha Refuerzo Euaión de una reta Nombre:... Curso:... Feha:.... Dibuja las retas dadas por las siguientes euaiones. a) y b) y + ) y d) Para poder dibujar una reta en un sistema de oordenadas, de uántos puntos, omo mínimo, debemos alular sus oordenadas?. Completa las euaiones de las retas representadas en la siguiente figura. a y +... b y +... d y y +... Cómo son las pendientes de las retas a y b? Son retas paralelas? Ordena las retas de mayor a menor ordenada en el origen.. Obtén la euaión de la reta de ordenada en el origen y pendiente, siguiendo este razonamiento. Una reta uya euaión es y m + b tiene por el valor m y por.. el valor b; por lo tanto, la euaión de la reta que busamos es y +... Obtén la euaión de la reta de ordenada en el origen y pendiente.. Halla la euaión de la reta que pasa por el punto de oordenadas (, ) y es paralela a la reta de euaión y + 8. Sigue estos pasos. La pendiente de la reta de euaión y + 8 es.. Si la reta que busamos ha de ser paralela a y + 8, tendrá por pendiente busamos será de la forma y + b. 8.., luego la reta que Para hallar b, sustituimos el punto de oordenadas (, ). Reuerda que el primer valor del punto orresponde a y el segundo, a y : + b Despejamos b : b ; b Obtén la euaión de la reta que pasa por el punto (, ) y es paralela a la reta y.. Calula: a) La ordenada en el origen de la reta que pasa por el punto (, ) y uya pendiente vale. b) La pendiente de la reta que pasa por los puntos (, ) y (, ). Es paralela al eje de ordenadas?

19 Refuerzo Nombre: Gráfia de una funión y funión de proporionalidad inversa Curso: Feha:.... Inti sale de su asa para ir al olegio y se detiene en una librería para omprar un esferográfio. Continúa su amino y se enuentra on Andrés. Los dos amigos se quedan un rato mirando los esaparates de una tienda de omputadores. De repente, Inti se da uenta de que se ha quedado su uaderno de Matemátias en asa y regresa a busarlo. Cuál de las siguientes gráfias desribe la anterior situaión? a d(m) d(m) a 8 9 t(min) 8 9 t(min) d(m) b t(min) t(min) Observa la gráfia a de la figura y responde: a) A qué distania se enuentra la librería de la asa de Inti? b) Cuánto tiempo pasa Inti omprando en la librería? ) Cuál es la distania total reorrida por Inti hasta llegar a la tienda de omputadores? d) Cuánto tiempo tarda Inti en volver a su asa desde la tienda de omputadores?. Representa gráfiamente la siguiente funión de proporionalidad inversa y. Comprueba que el produto de ualquier par de valores orrespondientes es onstante y determina la onstante de proporionalidad inversa. Confeionamos la tabla de valores y representamos gráfiamente la funión.,, y ( ) ( ) (,) (...) ( ) ( ) () (...) (,) () () (...)... Por tanto, la onstante de proporionalidad inversa es.... Para ada una de las siguientes hipérbolas onstruye una tabla de valores, representa gráfiamente y determina la onstante de proporionalidad inversa. a) y b) y ) y. Para adquirir una vivienda de proteión ofiial en un determinado muniipio eiste una subvenión relaionada on el sueldo de los soliitantes. Esta informaión se reoge en la siguiente tabla. Sueldo anual en dólares () 8 Subvenión en dólares (y) 9 8 Representa gráfiamente esta funión de proporionalidad inversa. Determina la onstante de proporionalidad inversa. Fiha 9

20 Módulo Nombre: Fiha de evaluaión Curso:... Feha: Queremos enmarar varias ventanas uadradas de diferentes dimensiones. El material para onstruir el maro uesta $ /dm. a) Cuánto ostará enmarar una ventana de m de lado? Y una ventana de, m de lado? b) Eiste alguna relaión de dependenia entre la longitud del lado y el preio del maro? Se trata de una funión? ) Identifia las variables que apareen en esta situaión. Cuál es la variable independiente? Y la dependiente? d) Si es la longitud del lado de la ventana en metros e y el preio del maro, esribe la epresión algebraia que relaiona e y.. Al alentar un determinado líquido on una temperatura iniial de C, su temperatura aumenta C ada s. a) Las magnitudes temperatura y tiempo, siguen una relaión de proporionalidad direta? Cuál es la onstante de proporionalidad? b) Obtén la epresión algebraia de la funión que hae orresponder a ada temperatura el tiempo invertido en alanzarla. Es una funión de proporionalidad direta? ) Dibuja la gráfia de esta funión.. Obtén la epresión algebraia de las funiones epresadas mediante las siguientes gráfias. Y Y Y X X X a b. Una tortuga se halla a m de una señal de un rue de arreteras y empieza a desplazarse en línea reta, alejándose de la señal a una veloidad de, m/s. a) Construye una tabla de valores que relaione la distania de la tortuga a la señal, medida en metros, respeto del tiempo transurrido, medido en minutos. Y b) Representa gráfiamente la funión y obtén su epresión algebraia. ) Al abo de uánto tiempo se hallará a metros de la señal? d) Qué espaio reorrerá en minutos? A qué distania se hallará de la señal? X. Representa gráfiamente la funión dada por la siguiente tabla de valores. Volumen en litros () Presión en atmósferas (y) India qué tipo de funión has representado. Determina la onstante de proporionalidad.

21 Fiha de evaluaión. a) m $ /m $ ; Soluionario b), m $ /m $ 8. Y y +, b) Sí, pues a ada valor del lado del maro de una ventana uadrada le orresponde un únio preio del maro. ) Variable independiente: lado del maro de una ventana uadrada. Variable dependiente: preio del maro. ) ; b) y, sí. Y X, d), m/min min m y +, m Al abo de min. y ) +, d) $ /dm $ /m; y. a) Sí, k. X. a) y ; b) y + ; ) y. a), m / s s min, m / min Tiempo transurrido en minutos y Distania a la señal en metros Una funión de proporionalidad inversa. y,,,,8 La onstante de proporionalidad inversa es. Puede ontinuar Indiadores eseniales de evaluaión Neesita refuerzo % de alumnos/as Resuelve raíes uadradas eatas y enteras, y efetúa operaiones ombinadas on potenias y raíes. U[LYWreta números epresados en notaión ientífia y esribe números en diha notaión. Distingue y representa gráfiamente las funiones de proporionalidad inversa y las eponeniales. Calula la funión inversa de funiones de primer grado, de funiones uadrátias y eponeniales. Utiliza de forma adeuada la aluladora y la omputadora en la realizaión de álulos y en la presentaión de funiones. Reonoe una funión lineal a partir de su euaión, tabla de valores y gráfio; además, a partir de una de ellas, determina las otras dos. Diferenia una funión lineal de una funión eponenial por medio de su gráfio de la tabla de valores y de la euaión. Determina, a partir de la euaión de una reta, la euaión de una reta paralela o de una reta perpendiular a ella. Muestra interés y perseverania en el trabajo on funiones onstantes, lineales y afines. Módulo

22 Módulo Bloques: Numério. Relaiones y funiones. Epresiones algebraias y numérias Polinomios y fraiones algebraias Objetivo del módulo Operar on números reales mediante la apliaión a polinomios y las estrategias de resoluión de problemas para soluionar situaiones matemátias del entorno. DCD Destrezas on riterios de desempeño Utilizar el lenguaje algebraio on preisión para epresar e interpretar informaión. Operar on números reales apliados a polinomios. Efetuar operaiones on polinomios y fraiones algebraias. Presentar de manera lara y ordenada la resoluión de problemas. Confiar en las apaidades propias para resolver problemas. Estrategias metodológias Relaionada on la DCD: Operar on números reales apliados a polinomios. Para la ativaión de onoimientos previos La utilizaión y manipulaión de símbolos, impresindibles para el trabajo on polinomios, son difiultades on las que se enuentra gran parte del alumnado. Por ello, es neesario failitar la asimilaión del lenguaje algebraio: puede ambiarse, en oasiones, la letra de la indeterminada para que no siempre sea ; también puede introduirse el onepto de polinomio utilizando ejemplos físios, omo las fórmu gt ). las del movimiento on veloidad onstante ( v t), o las de aída libre de un uerpo (y Antes de introduir las diversas operaiones on polinomios, deben reordarse las propiedades de las operaiones on números raionales y, en aso neesario, trabajarlas de nuevo. Al introduir la regla de Ruffini para la división de polinomios, debe subrayarse el heho de que el divisor debe ser un polinomio uya epresión sea del tipo a. Para ello pueden efetuarse ejeriios preparatorios, antes de epliar la regla, en la que el alumno, una vez reonoida una división que pueda realizarse mediante esta regla, debe detetar la a del dividendo. Para la onstruión del onoimiento Para multipliar polinomios es importante que el estudiante mantenga un orden al realizar los proesos, entones, se multiplia ada término del primer polinomio por ada término del segundo polinomio, ombinando los términos semejantes y epresando el resultado lo más simple posible. Justifique los proesos on un ejeriio modelo, menione onstantemente las leyes de los signos, las propiedades de la multipliaión y la poteniaión. Monomio por monomio Para multipliar un término por otro, primero se multiplia las onstantes, después multiplia ada variable y ombina el resultado. (y)(y) 8y

23 Monomio por binomio Multiplia el término que está solo por los otros dos términos, así: ( + y) + y Binomio por binomio Cada uno de los dos términos en el primer binomio se multiplia por ada uno de los dos términos del segundo binomio. Son uatro multipliaiones diferentes. (a + b) ( y) a ay + b by Binomio por trinomio Multiplia ada término del primer polinomio por ada término del segundo polinomio ( + a) ( + y ) + y + a + ay a Permita que los estudiantes realien también las multipliaiones en forma vertial. Utilizando alguno de los busadores en Internet, enuentre videos que hagan referenia a la apliaión de la regla de Ruffini para la resoluión de ejeriios on polinomios. Pida a los estudiantes que los observen y preparen uno similar. Algunas de las direiones pueden ser: Para la apliaión del onoimiento Pida a los alumnos que realien ejeriios omo: Sean los polinomios A () ² +, B() ² y C() + Calular: a) A() + B() C() b) A() B() ) A() B() d) B(). C() e) A() C() Para la evaluaión Resuelva el problema de la página del teto del alumno utilizando menos pasos de los que allí se indian. Muestre el proeso de resoluión del problema planteado por usted y el del teto. Organie una mesa de disusión sobre el proeso de resoluión del problema de la página del teto del alumno. Utilizando un registro de observaión evalúe la partiipaión de los estudiantes. Soliite que resuelvan el problema de la seión Pratia, de la página del teto del alumno. Relaionada on la DCD: Efetuar operaiones on polinomios y fraiones algebraias. Para la ativaión de onoimientos previos En este apartado tienen que subrayarse los paralelismos entre los oneptos numérios y los algebraios. Fraión numéria a definiión: equivalenia: b a b on b d a.db. Fraión algebraia p() Q(X) on Q() equivalenia: a. a. b d b.d

24 Para la onstruión del onoimiento Analie los proedimientos para efetuar la suma, resta, multipliaión y división de fraiones algebraias y, aplíquelos orretamente en la resoluión de ejeriios.. Se detalla a ontinuaión el proeso para la división de fraiones algebraias. y y y y Paso : Dividimos ada término del numerador entre y. y y y y y y y y y y Paso : Simplifiamos. y y y y y y También se puede trabajar, obteniendo el fator omún del numerador y simplifiando luego on el denominador. Así: y (y y ) y y y. Ahora para epresiones fraionarias Paso : Multipliar la primera por la inversa de la segunda. 9 8 Paso : Dividir Paso : Simplifiar desomponiendo primero en fatores. 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Para la apliaión del onoimiento Empleando diagramas de flujo, los estudiantes resumirán los pasos neesarios para realizar estos proesos, y junto a estos ubiarán ejemplos. P() Q() R() S() P() S() Fórmula general Q() R() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se fatorizan el numerador y el denominador. Se identifian los fatores omunes en ambos términos. Se simplifia eliminando los fatores omunes del numerador y denominador.

25 Para la evaluaión Utilie la seión de Coevaluaión del módulo, página del teto, para que los alumnos en parejas desarrollen las atividades. Reomendaiones para doentes Seión para uso elusivo del eduador Algoritmo de Eulides El algoritmo de Eulides sirve para obtener el máimo omún divisor (m..d.) de dos números enteros positivos. Reibe este nombre por Eulides, pensador griego que vivió haia el a. C. y que reogió en tree libros titulados Elementos las noiones de geometría y aritmétia onoidas hasta entones. Este algoritmo es de enorme importania para el álgebra moderna, ya que permite apliar el álulo del m..d. a la resoluión de polinomios. Se reomienda visitar la página esape.om, en la que se presenta valiosa informaión al respeto de los algoritmos del m..d y m..m., así omo de otros temas matemátios para onsulta y formaión del doente. Con relaión al tema de este apartado se meniona: Sean a, b dos números, tal que a > b.. Se efetúa la división entera entre a y b. Obtenemos un oiente y un resto r.. Se efetúa la división del divisor b entre el resto r y obtenemos un oiente y un resto r.. Se divide r entre r y obtenemos y r.. Se repite el proeso hasta llegar a una división eata, de resto ero.. El último divisor empleado es el m..d. de los números a y b. Ejemplo: Hallemos el m..d. de y. a) y r d) y r 8 b) y r e) 8 y r ) y r f) 8 y r El último divisor es, por lo tanto, es el m..d. de los números y. Adaptado de esape.om Finalmente, se sugiere el álgebra superior de Hall-Knight para ampliar el onoimiento sobre el algoritmo propuesto. Buen Vivir: Eduaión, ultura y saberes anestrales Así también, es una oportunidad para aerar a los estudiantes al arte y a la ultura. A lo largo del módulo, el profesor/a puede presentar otras manifestaiones artístias, por ejemplo, las fiestas tradiionales de los pueblos indígenas de la Sierra y Amazonía, las tradiiones de los pueblos montubios y afroeuatorianos de la Costa y Sierra, los tejidos on diversos materiales orgánios y fibras, modelado en barro, yeso, mazapán, las esulturas en piedra y distintos metales, las artesanías on materiales orgánios e inorgánios. Aprovehe este tema para reforzar el sentido de identidad y de unidad que debe eistir entre los euatorianos/as. Las diferenias en las epresiones ulturales deben servir para valorar la riqueza de los pueblos, pero deben permitir el enuentro de puntos en omún dentro del sentido de patria y naionalidad. Bibliografía MINISTERIO DE EDUCACIÓN, Atualizaión y Fortaleimiento Curriular de la Eduaión Básia, Quito,. ICM-ESPOL, Fundamentos de Matemátia para Bahillerato,. RESS, Paul y SPARKS, Fred, Álgebra elemental, MGraw Hill Interameriana, Méio, 999. La atividad iniial puede servir para que el profesor/a aborde el tema de la riqueza ultural de las diferentes naionalidades y omunidades étnias del país. Se ha elegido la pintura naif de la omunidad de Tigua; sin embargo eisten otras epresiones pitórias importantes.

26 Fiha Refuerzo Operaiones on fraiones algebraias Nombre:... Curso:... Feha:.... Halla el valor de k para que: a) el polinomio k sea divisible entre. b) el polinomio k sea divisible entre.. Halla el valor de a para que: a) + a sea divisible entre. b) 9 a sea divisible entre.. Halla el oiente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios. a) ( ) ( ) ) ( ) b) (. Sea P() a 8a 8a, en el que a es un número raional. Determina el valor P( ), sabiendo que P().. Halla los valores de a para que sea divisor de los siguientes polinomios. a) a a b) a a. Enuentra el valor de a para que a a tenga una raíz igual a.. Halla el valor de a en este polinomio: P() (a ) 9a para que tenga dos raíes iguales. 8. Enuentra el valor de a en este polinomio: Q() a, si una de las raíes es el doble de la otra. 9. Al dividir el polinomio P(), uyos términos no onoemos, entre se obtiene de resto. Al dividir P() entre también se obtiene de resto. Cuál es el resto que se obtiene al dividir P() entre ( )( )?. Las raíes del polinomio P() son y. Las raíes del polinomio Q() son y. Cuáles son las raíes del polinomio P() Q()?. Cuál es el resto de la división de b entre a, siendo a un número desonoido?. Halla el polinomio uyo uadrado es 9.. Divide a entre, y determina a para que la división sea eata.. Halla el número que umpla que la división de P() entre tenga de resto R(). a) P() ; R() b) P() ; R()

27 Refuerzo Nombre: Operaiones on fraiones algebraias... Curso:... Feha:.... Fatoriza estos polinomios. a) b) 9. Un polinomio de segundo grado tiene estas raíes. Calula la forma reduida y ordenada de ada polinomio. a) + b) ; m m ; n n ) ±. Demuestra que el polinomio m am es divisible por a, siendo a un número real ualquiera, y m un número natural ualquiera. Calula el oiente de esta división. (m am) ( a). Demuestra que el polinomio m am es divisible por a, siendo a un número real ualquiera, y m un número natural par. Demuestra también que, si m es un número impar, el polinomio no es divisible.. Simplifia estas fraiones. a) - + b) ) Simplifia estas epresiones. a) b) a a a a siendo a un número real ualquiera. Fiha