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1 Juan Carlos Caicedo Juan Carlos Mendivelso Maestria en Ingenieria de Sistemas y Computacion Universidad Nacional de Colombia 20 de marzo de 2007

2 Agenda

3 Outline

4 Clasificador lineal que utiliza la siguiente metodología Mapear puntos de entrenamiento a un espacio dimensional mayor Construir un hiperplano que separa los puntos en las clases respectivas Clasificar un punto nuevo de acuerdo a su ubicación con respecto al hiperplano de separación

5 Outline

6 Preliminares Para el caso de 2 clases: Los x k son los patrones de entrenamiento en R j, k = 1,..., n Los patrones x k tienen un atributo z k que determina la clase z k { 1, 1} Los patrones x k son transformados a y k = ϕ(x k ) Los y k están en R d, con d > j

7 Discriminador lineal Se construye un discriminador lineal en el espacio aumentado de la forma g(y) =< w, y >= w t y

8 Hiperplano de Separación Este discriminador es una familia de hiperplanos y el hiperplano de separación es: w t y = 0

9 Escala del vector w El vector w puede tener cualquier escala y sigue generando el mismo hiperplano. Aunque el plano y los patrones permanezcan estáticos la distancia entre ellos depende de la norma de w:

10 Escala del vector w Un patrón y puede expresarse como: w y = y p + r w Teniendo en cuenta que g(y p ) = 0 : ) g(y) = w t y = w (y t w p + r w g(y) = r w 2 w = r w Entonces, la distancia del patrón y k al plano es: r = g(y k) w

11 Definición Como hay varios vectores w que generan el mismo plano, seleccionaremos uno con el siguiente criterio: El vector de pesos w es llamado forma canonica del hiperplano w t y = 0 con respecto a los patrones y 1, y 2,..., y n, si se escala de manera que: min i=1,...,n < w, y i > = 1 Este plano asegura que: z k g(y k ) 1

12 Hiperplano Figura: Forma canónica del hiperplano. La margen medida 1 perpendicularmente al hiperplano es w

13 Outline

14 Funcion ϕ El conocimiento del diseñador en dominio de aplicación Funciones polinomiales o gausianas Otras funciones base (kernel trick)

15 Propósito El propósito del entrenamiento de un SVM es maximizar la distancia entre los patrones y k y el hiperplano de separación. max : r = z kg(y k ) w

16 Optimización Esto se logra minimzando w dado que es inversamente proporcional a r: sujeto a la restricción: minimizar : τ(w) = 1 2 w 2 g(y k ) = z k w t y k 1

17 Optimización Se utilizan los multiplicadores de Lagrange para minimizar w: L(w, α) = 1 n 2 w 2 α k (z k w t y k 1) k=1

18 Encontrando el mínimo Si existe un mínimo local, entonces: δ L(w, α) = 0 δw ( ) δ 1 n δw 2 w 2 α k (z k w t y k 1) = 0 δ δw (1 2 w 2 ) w k=1 n k=1 α k δ δw (z kw t y k 1) = 0 n α k z k y k = 0 k=1

19 Condiciones KKT Según las condiciones de KKT, α k 0: α k [z k w t y k 1] = 0, k = 0,..., n Esto significa que los vectores de soporte están en la margen. Los demás vectores de entrenamiento son irrelevantes, porque z k g(t k ) 1 y no satisfacen la condición

20 Problema Dual Al reemplazar la solución de w en la fórmula de Lagrange se obtiene la forma dual del problema de optimización, que es el que se resuelve en la práctica: max : W (α) = m α k 1 2 k=1 m m α i α j z i z j < y i, y j > i=1 j=1 Sujeto a: α k 0, k = 1,..., m m α i z i = 0 i=0

21 Funcion de Decisión Utilizando la solución para w tenemos que: ( m ) f (x) = sng z k α k < x, x k > k=1

22 Outline

23 Problema XOR Figura: Este problema no puede resolverse con un clasificador lineal

24 Formulacion Los vectores de entrenamiento son los siguientes: k x 1 x 2 z k ω ω ω ω 2 En primer lugar se mapean a otro espacio.

25 Funcion ϕ Existen varias funciones que pueden aplicarse, se eligió la siguiente expansión de segundo orden: ϕ : R 2 R 6 (x 1, x 2 ) (1, 2x 1, 2x 2, 2x 1 x 2, x 2 1, x 2 2 )

26 Optimizacion Se requiere maximizar: 4 α k 1 2 k=1 n i n j α i α j z i z j y t i y j Sujeto a: α 1 α 2 + α 3 α 4 = 0 α k 0, k = 1, 2, 3, 4

27 Optimizacion La solución puede encontrarse mediante algún procedimiento de optimización como el descenso del gradiente En este problema pequeño se puede encontrar anaĺıticamente La solución óptima es w = (1/8, 1/8, 1/8, 1/8) Todos los patrones se utilizan como vectores de soporte, debido a la simetría del problema, algo que es inusual

28 Discriminante Lineal La función lineal es g(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 y el hiperplano de separación es g = 0 La longitud de la margen es r = 1 w = 2 La solución se puede visualizar en un sub-espacio 2d proyectado

29 Solucion

30 Software El método más utilizado para entrenar SVM solucionando el problema dual es SMO (Sequential Minimal Optimization) Está implementado en: SVM-JAVA: Weka:

31 Fin Gracias.

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