ÀQUƒ ES LA TOPOLOGêA?

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1 Qué s l Topologí? ÀQUƒ ES LA TOPOLOGêA? Mrt Mho Stdlr (*)... Admás d qull prt d l gomtrí qu trt sor ntidds y qu s h studido n todo timpo on grn ddiión, l primro qu mnionó l otr prt, hst ntons dsonoid, fu G. Liniz, l ul l llmó gomtrí d l posiión. Liniz dtrminó qu st prt s tní qu oupr d l sol posiión y d ls propidds provnints d l posiión n todo lo ul no s h d tnr n unt ls ntidds, ni su álulo... Por llo, undo rintmnt s mnionó irto prolm qu prí rlmnt prtnr l gomtrí, pro st dispusto d tl mnr qu ni pris l dtrminión d ntidds ni dmití soluión mdint l álulo d lls, no dudé n rfrirlo l gomtrí d l posiión... L. Eulr. L topologí s prolmnt l más jovn d ls rms lásis d ls mtmátis. En ontrst on l álgr, l gomtrí y l torí d los númros, uys gnlogís dtn d timpos ntiguos, l topologí pr n l siglo diisit, on l nomr d nlysis situs, ésto s, nálisis d l posiión. D mnr informl, l topologí s oup d qulls propidds d ls figurs qu prmnn invrints, undo dihs figurs son plgds, diltds, ontríds o dformds, d modo qu no przn nuvos puntos, o s hgn oinidir puntos difrnts. L trnsformión prmitid prsupon, n otrs plrs, qu hy un orrspondni iunívo ntr los puntos d l figur originl y los d l trnsformd, y qu l dformión h orrspondr puntos próximos puntos próximos. Est últim propidd s llm ontinuidd, y lo qu s rquir s qu l trnsformión y su invrs sn ms ontinus: sí, trjrnos on homomorfismos. El topólogo onsidr los mismos ojtos qu l gómtr, pro d modo distinto: no s fij n ls distnis o los ángulos, ni siquir d l linión d los puntos. Pr l topólogo un írulo s quivlnt un lips; un ol no s distingu d un uo: s di qu l ol y l uo son ojtos topológimnt quivlnts, porqu s ps d uno l otro mdint un trnsformión ontinu y rvrsil. El ojtivo d st txto s indir lgunos d los prolms qu studi l topologí y l noión d invrinz topológi. Trs un rv rvisión históri d los hhos ruils n l voluión d l topologí, s studin d mnr muy intuitiv trs torís topológis: l torí d grfos, insistindo n dos jmplos lásios, l prolm d los sit punts d Könisrg y, l torm d los utro olors qu prn un jugo d niños, pro qu involurn n su rsoluión omplids torís mtmátis; l torí d nudos, on sorprndnts pliions n Biologí Molulr, Físi,... l torí d suprfiis, prtdo dsrrolldo on más rigor mtmátio qu los ntriors: s trt quí d lsifir tods ls suprfiis ompts... y lsifir s l ojto ntrl d l Topologí. (*) Profsor d l Univrsidd dl Pís Vso-Euskl Hrriko Unirtsitt Frro 2002 Otsil

2 Mrt Mho Stdlr 1. Un poo d histori En 1679, G. Liniz ( ) puli su fmoso liro Chrtristi Gomtri, n l ul (n términos modrnos) intnt studir más ls propidds topológis qu ls purmnt métris d ls figurs. Insist n qu, prt d l rprsntión oordnd d figurs, s nsit d otro nálisis, purmnt gométrio o linl, qu tmién dfin l posiión (situs), omo l álgr dfin l mgnitud. Los mtmátios n l siglo XVIII mustrn poo intrés n topologí, on l xpión d L. Eulr ( ) uyo gnio omprnd tods ls mtmátis. En 1736, Eulr puli un rtíulo on l soluión l fmoso Prolm d los punts d Königsrg, tituldo Solutio prolmtis d gomtrim situs prtinntis. El título y indi qu Eulr s onsint d qu stá trjndo on un ls difrnt d mtmáti, n l qu l gomtrí y no s importnt. El siguint pso n st lirión d l mtmáti tmién s d Eulr. En 1750 sri un rt C. Goldh ( ) n l qu d l fmos fórmul d Eulr pr un polidro: - I + = 2, dond s n númro d vértis dl polidro, I s l númro d rists y l númro d rs. Est fórmul, d somros simpliidd, pr qu fu olvidd por Arquímds (287 AC AC) y R. Dsrts ( ), unqu los dos sriiron xtnsmnt sor polidros. L rzón d sr qu, pr todo l mundo nts d Eulr, prí imposil pnsr n propidds gométris sin qu l mdid stuvir involurd. Eulr puli los dtlls d st fórmul n 1752 n dos rtíulos, dond d un dmostrión sd n l disión d sólidos n rodjs ttrédris. Eulr ps por lto lgunos prolms n su pru; por jmplo, supon qu los sólidos son onvxos. A.J. Lhuilir ( ) ontinú l mino iniido por Eulr on su fórmul poliédri. En 1813, Lhuilir puli un importnt trjo, dond indi qu l fórmul d Eulr s fls pr sólidos on ss sor llos: si un sólido tin g ss (un s s un toro djuntdo l spio mdint sum onx), Lhuilir pru qu l fórmul s sri - I + = 2-2g. Est s l primr rsultdo onoido sor invrints topológios. A.F. Möius ( ) puli un dsripión d l nd qu llv su nomr n Intnt sriir l propidd d un úni r d l nd n términos d no orintilidd. J.B. Listing ( ) s l primro n usr l plr topologí. Sus ids topológis s dn priniplmnt su mstro C.F. Guss ( ). Listing sri un rtíulo n 1847 llmdo Vorstudin zur Topologi y n 1861, puli otro rtíulo, n l ul dsri l nd d Möius (utro ños nts qu Möius) y studi l noión d onxión d ls suprfiis. Listing no s l primro n xminr ls omponnts onxs d ls suprfiis; B. Rimnn ( ) studi st onpto n 1851 y d nuvo n 1857 undo introdu ls suprfiis d Rimnn. C. Jordn ( ) puli n 1882 su Cours d Anlys, qu ontin prus riguross d rsultdos topológios intuitivmnt ovios sor urvs n l plno, introduindo dmás otro método pr studir l onxión d ls suprfiis. Listing xmin l onxión n l spio ulído d dimnsión trs, pro E. Btti ( ) xtind sts ids dimnsions ritrris. L id d onxión s dsrit on rigor por H. Poinré ( ) n un sri d rtíulos jo l título d Anlysis situs n Poinré introdu l onpto d homologí y d un dfiniión pris d los númros d Btti soidos un spio. E. d Jonquièrs ( ) gnrliz n 1890 l fórmul pr polidros onvxos d Eulr polidros no 64 SIGMA Nº 20 SIGMA zk. 20

3 Qué s l Topologí? nsrimnt onvxos. Así mismo, n rlión on l onxión, Poinré introdu l onpto d grupo fundmntl d un vridd y l noión d homotopí. Un sgundo mino n l ul s dsrroll l topologí s trvés d l gnrlizión d ids d onvrgni. Est proso s inii n rlidd n 1817 undo B. Bolzno ( ) soi l onvrgni on un suonjunto otdo infinito d númros rls, n vz d pnsr xlusivmnt n onvrgni d susions d númros. G. Cntor ( ) introdu n 1872 l onpto d onjunto drivdo (o fmili d puntos límit) d un onjunto. Dfin los suonjuntos rrdos d l rt rl omo qullos ontnindo su onjunto drivdo, introdu l id d onjunto irto, un onpto lv n l topologí d onjuntos. Y s dfin l onpto d ntorno d un punto. En 1906, M. Fréht ( ) llm un spio ompto si d suonjunto infinito otdo ontin un punto límit (s dir, n l drivdo). Fréht s pz d xtndr l noión d onvrgni d un spio ulído, dfinindo los spios métrios. Pru qu los onptos d irto y rrdo d Cntor s xtindn nturlmnt spios métrios. En l Congrso Intrnionl d Mtmátios d Rom d 1909, F. Risz ( ) propon un nuvo rminto xiomátio l topologí, sdo n un dfiniión onjuntist d puntos límit, sin un onpto d distni suynt. Unos untos ños más trd, n 1914, F. Husdorff ( ) dfin los ntornos trvés d utro xioms, d nuvo sin onsidrions métris. Est trjo d Risz y Husdorff rlmnt d lugr l dfiniión d spio topológio strto. Hy un trr ví n l qu los onptos topológios ntrn n ls mtmátis, sr, trvés dl nálisis funionl. Est s un ár qu surg d l físi mtmáti y l stronomí, dido qu los métodos dl nálisis lásio rn indudos l ordr lgunos tipos d prolms. J. Hdmrd ( ) introdu l plr funionl n 1903 undo studi los funionls linls F d l form F (f ) = lim n f (x) g n (x) dx. Fréht ontinú l dsrrollo d st torí, dfinindo l drivd d un funionl n E. Shmidt ( ) xmin n 1907 l noión d onvrgni n spios d funions; l distni s dfin trvés d un produto intrior. S. Bnh ( ) rliz un pso postrior n l strión n 1932, undo ps d los spios on produto intrior los spios normdos. Poinré dsrroll muhos d sus métodos topológios undo studi uions difrnils ordinris qu provinn dl studio d irtos prolms stronómios. Est olión d métodos s trnsform n un omplt torí topológi n 1912, on los studios d L.E.J. Brouwr ( ). 2. L tor d grfos El studio d grfos stá ligdo hitulmnt l topologí. Un grfo s snillmnt un onjunto d puntos, los vértis, lgunos d los uls stán ligdos ntr llos por mdio d líns, ls rists. L nturlz gométri d stos ros no tin importni, sólo unt l mnr n l qu los vértis stán ontdos. Frro 2002 Otsil

4 Mrt Mho Stdlr 2.1 El prolm d los sit punts d Konisrg En 1700, los hitnts d Könisrg (hoy n dí Kliningrdo, Rusi), s prguntn si r posil rorrr st iudd psndo un vz y sólo un por d uno d los punts sor l río Prgl, y volvindo l punto d prtid. En qull épo, Könisrg tní sit punts (,,, d,, f y g n l figur) unindo ls utro prts d l iudd (A, B, C y D) sprds por ls gus, y dispusts omo s indi: C d g d g A D f B f En 1736 Eulr proó qu l rspust r ngtiv, usndo un grfo: s diujn sor un hoj d ppl utro vértis qu simollzn ls utro prts sprds d l iudd, dspués s trzn ntr stos vértis ls rists, simolizndo los punts: Un grfo s llm onxo si xist un mino ligndo d pr d vértis. Un mino sor un grfo s llm ulrino, si ps por d rist xtmnt un vz. Un iruito s un mino rrdo. El grdo d un vérti s l númro d rists qu llgn l él. Tnindo n unt sts dfiniions, Eulr dmustr: Torm d Eulr. Exist un iruito ulrino n un grfo si y sólo si l grfo s onxo y d vérti tin grdo pr. Es stnt fáil omprndr hor l rzón por l qu l prolm d los sit punts d Könisrg no tin soluión: un psnt qu llg uno d los utro rrios d l iudd d forzosmnt irs y tomndo un punt difrnt. En l grfo, ésto s trdu por l hho d qu d vérti d str soido un númro pr d rists. Pro, l onfigurión d los punts d Könisrg no vrifi ovimnt st ondiión, prod por Eulr omo nsri y sufiint. 66 SIGMA Nº 20 SIGMA zk. 20

5 Qué s l Topologí? 2.2 El torm d los utro olors F. Guthri ( ) plnt n 1852 l siguint onjtur: pr olorr ulquir mp gopolítio plno (suponindo d pís formdo por un únio trozo), d tl modo qu dos píss on frontr omún sn d distinto olor, st (omo máximo) on utro olors. A.B. Kmp ( ) puli un dmostrión d l onjtur n Est pru s n prinipio ptd, hst qu P. Hwood ( ) dsur n 1890 un rror n l dmostrión d Kmp. Sin mrgo, Kmp dsrroll n su pru l llmdo método d ls dns d Kmp (sdo n torí d grfos), qu ontin ls ids ásis qu s usrán dspués pr l pru dfinitiv d l onjtur. Hwood sigu trjndo n l prolm pro no lo soluion, unqu onsigu pror qu on ino olors si s pud olorr ulquir mp. Tmién s s qu trs olors no son sufiints, d modo qu sólo qud por onfirmr o rfutr l onjtur d los utro olors. En 1976, K. Appl y W. Hkn (Univrsidd d Illinois) dn un pru dl torm, dmostrndo mdint un omplido progrm d ordndor qu, ftivmnt, utro olors son sufiints pr olorr ulquir mp plno. Algunos mtmátios tinn muhs rsrvs on rspto st dmostrión. Pro, n 1996, N. Rortson, D. P. Sndrs, P. Symour y R. Thoms (Gorgi Institut of Thnology), pulin un nuv pru, sin los inonvnints d l dmostrión d Appl y Hkn. El torm d los utro olors s igulmnt irto pr mps diujdos sor un sfr. Al ontrrio, sor un toro, pudn sr nsrios hst sit olors. Cuál s l rlión on l torí d grfos? Si s lij un punto n d pís rprsntdo y s trz un lín unindo dos puntos d vz qu orrspondn dos píss dynts, s otin un grfo. El prolm dl olordo onsist ntons n triuir un olor d vérti dl grfo, d mnr qu dos vértis ontdos tngn simpr un olor difrnt. 2.3 Alguns otrs pliions Los grfos no sólo intrsn los mtmátios puros. S usn tmién pr rprsntr iruitos létrios, pr rlizr álulos tórios rltivos prtíuls lmntls,... L torí d grfos tin igulmnt un importni onómi dirt, por sus numross pliions n invstigión oprtiv. Por jmplo, pr dtrminr l tryto óptimo (l mnos ostoso, l más rápido) d mions qu dn rprtir y rogr produtos numrosos lints spridos por todo l pís, l rd d rrtrs pud modlizrs por un grfo, uys rists son ls rrtrs d un iudd otr, d rist s l soin vrios númros (longitud dl mino orrspondint, timpo d rorrido, ost dl pj,...). Usndo álulos y lgoritmos vs ompljos, s dtrminn un o vris soluions, y s trt ntons d nontrr l mjor d lls. 3. L tor d nudos L téni d tjido, qu pris rus y nuddos d hilos, s ono y n l nolítio. Aún n épos ntriors, xistn y métodos qu prmitn unir un lámin d silx su mngo, on trips, nrvios d nimls o firs vgtls. Lmntlmnt, l dsomposiión d tods sts ligdurs orgánis no prmitirá nun onor on prisión l dd d los primros nudos... En l épo tul, los mrinos s hn propido d st téni, snil pr su trjo. En 1944, l pintor C.W. Ashly ( ) dsri y diuj n su liro Th Ashly Book of Knots xtmnt nudos. Frro 2002 Otsil

6 Mrt Mho Stdlr Los nudos stán prsnts n ámitos tn disprs omo l dorión, l industri txtil, l mgi, l lpinismo o l irugí. Su studio mtmátio prmit n l tulidd vr su rlión on l físi, l quími o l iologí molulr. Pr l mtmátio, un nudo s un urv ontinu, rrd y sin puntos dols. Est urv stá situd n un spio d dimnsión trs y s dmit qu pud sr dformd, stird, omprimid, pro stá prohiido hr orts. Cundo s pud, trvés d mnipulions d st tipo (s dir, por mdio un homomorfismo) psr d un nudo otro, s di qu son quivlnts. En gnrl, s muy difíil didir undo dos nudos son quivlnts, y grn prt d l torí d nudos stá prismnt ddid intntr rsolvr s ustión. Por jmplo, l nudo trivil (no hy nudo) quivl st otro d prini omplid: Los nudos stán tlogdos tnindo n unt su ompljidd. Un mdid d l ompljidd s l númro d ru, s dir,, l númro d puntos dols n l proyión pln más simpl dl nudo. El nudo trivil tin númro d ru ro. El tréol y l figur d oho son los únios nudos on númro d ru trs y utro, rsptivmnt. Nudo trivil Nudo tréol Nudo figur d oho Hy dos nudos on númro d ru ino, trs on sis y sit on númro d ru sit. Pro l númro r rdilmnt: hy nudos on tr o mnos rus n un proyión miniml, y on diisis o mnos rus... Los nudos s pudn sumr, rstr, multiplir inluso dividir (l álgr d los nudos). Pro undo los nudos s omplin, su simpl dsripión no st pr distinguirlos. Así, prtindo d su form (l gomtrí dl nudo), s hn dsrrolldo fórmuls qu funionn pr todos los nudos, hy invrints topológios qu s otinn l studir l omplmntrio dl nudo SIGMA Nº 20 SIGMA zk. 20

7 Qué s l Topologí? 3.1 Apliions n iolog molulr El ADN, l mtril gnétio más importnt n l myorí d los orgnismos, s v hitulmnt omo un dol héli, n l qu dos dns d nulótidos omplmntrios s nrolln lo lrgo d un j omún. El j d st héli dol no s linl, sino urvo. L dol héli pud movrs n l spio pr formr un nuv héli d ordn myor; n st so s hl d ADN sornrolldo. Pr qu un grn prt d los ADN onoidos s mustrn d st mnr sornrolld n lgún momnto dl ilo d su vid. El ADN irulr sornrolldo s un dol héli d moléuls, dond d dn d polinulótidos form un nillo. Cd propidd físi, quími y iológi dl ADN (omportminto hidrodinámio, n rgétio,...) s ftdo por l irulridd y ls dformions soids l sornrollminto. Fotogrfí ADN Nudo qu l rprsnt L omprnsión dl mnismo dl sornrollminto y ls onsunis d sts rtrístis struturls pr l ADN, s un prolm mtmátio stnt ompljo, qu h intrvnir dos rms d l mtmáti: l topologí y l gomtrí difrnil. Pr studir mtmátimnt l sornrrollminto, hy qu onstruir un modlo n l qu l strutur s rprsnt omo un strho lzo torido d spsor infinitsiml. Por llo, s nsrio dsriir los nudos, nontrr rtrístis snils qu prmitn ditinguirlos, n otrs plrs, lsifirlos sin risgo onfusión. Est rtrístis, qu dn prmnr inltrls lo lrgo d l dformión dl nudo, s llmn invrints dl nudo. En l studio d l rpliión dl ADN lulr, s nuntrn sos d nudos. El ADN stá más o mnos nrolldo sor si mismo y n l momnto d l rpliión s formn nudos qu stán ontroldos por protins qu s llmn topoisomrss. Conoindo mjor sts protins y su intrión on l ADN, s rn nuvs prsptivs n l luh ontr ls nfrmdds gnétis, los virus, ls tris o l ánr. 3.2 Otrs pliions n Cini Estudios rints d ls uions qu dtrminn flujos (omo l d l tmósfr lrddor d nustro plnt) mustrn omo ls prtíuls pudn movrs n omplidos minos d nudos. Cominndo l torí d nudos on l torí físi d urds, s h podido dr un dsripión unifid d ls utro furzs fundmntls d l nturlz: grvdd, ltromgntismo, y ls intrions furts y déils ntr prtíuls. Frro 2002 Otsil

8 Mrt Mho Stdlr Los químios rn n l lortorio moléuls nudds, uys propidds ls prmitn modifir su form o dsplzrs n funión d ftors létrios, químios o luminosos, dididos por l prson qu dirig l xprini. Ests nuvs moléuls s prn n lguns osions qulls qu, n l nturlz, stuviron n l orign d l vid. Otrs, prmitn imginr mmoris pr futuros ordndors molulrs y y no ltrónios. 4. Clsifii n topol gi d suprfiis ompts Los topólogos stán prtiulrmnt intrsdos n l studio d vridds, nomr qu sugir multipliidd d forms. Un lón d fútol, por jmplo, s un vridd d dimnsión 2, s topológimnt un sfr S 2 : lo podmos mnipulr omo qurmos, pro sin romprlo, y sguirá sindo un lón d fútol. Un suprfii topológi s un vridd d dimnsión 2, s dir, un spio n l qu d punto pos un ntorno homomorfo B 2 = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}, l ol irt ulíd. Así, s trt d un spio modldo por l plno ulído R 2. Los primros jmplos d suprfiis son l plno R 2, l sfr S 2 y l toro T 2. L dsripión d ls suprfiis no ompts s muy omplid; quí, vmos lsifir únimnt ls suprfiis ompts (s dir, rrds y otds). Pr su studio, s onvnint tnr un mnr uniform d rprsntrls. El prototipo s l toro T 2, qu s dfin omo l oint dl udrdo [0,1] x [0,1] R 2, idntifindo rists por prs siguindo l rgl (0, t) ~ (1, t) y (t,0) ~ (t,1), si 0 t 1: Nustro ojtivo s prismnt pror qu tod suprfii ompt s pud rprsntr omo l oint d un rgión poligonl n l plno por un rlión d quivlni qu idntifi los ldos prs. Como jmplos ásios, tnmos: 70 SIGMA Nº 20 SIGMA zk. 20

9 Qué s l Topologí? Lm 1 L sfr S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} s homomorf l oint dl udrdo [0,1] x [0,1], por l rlión d quivlni (0,t ) ~ (t,0) y (1,t ) ~ (t,1), si 0 t 1. Lm 2 El plno proytivo rl RP 2 (qu s dfin omo l oint d l sfr S 2, otnido trs idntifir puntos ntipodls) s homomorfo l oint dl udrdo [0,1] x [0,1], por l rlión d quivlni (0,t ) ~ (1,1 - t ) y (t,1) ~ (1 - t,0), si 0 t 1. A B = C C D = A C A = D B = C Un rgión poligonl P n l plno s un onjunto ompto, uy frontr topológi s unión d un fmili finit d sgmntos rrdos llmdos rists, on puntos finls dnomindos vértis, tls qu: (i) pr d punto q (qu no s un vérti) n un rist, xist un ntorno U n R 2, tl qu P U = U H, dond H = {(x, y ): x + y + 0} s un smiplno rrdo; (ii) d vérti v pos un ntorno V n R 2, tl qu P V = V H, dond H son dos smiplnos rrdos uys frontrs s ortn n v. L importni dl siguint rsultdo s qu, n muhs osions, s más snillo mnipulr ojtos (urvs, funions,...) sor un rgión poligonl qu sor l propi suprfii. Proposii n 1 (rprsnti n pln d un suprfii ompt) S P un rgión poligonl n l plno on un númro pr d rists y s ~ un rlión d quivlni qu idntifi d rist on xtmnt otr, por mdio d un homomorfismo linl qu nví los puntos finls d un rist n los puntos finls d l otr. El oint rsultnt s un suprfii ompt. L otll d Klin K 2 s dfin omo l oint d [0,1] x [0,1] por l rlión d quivlni ~ qu idntifi (0, t ) ~ (1, t ) y (t,1) ~ (1- t, 0), si 0 t 1. Pr visulizrlo, s d pnsr primro n pgr ls rists izquird y drh pr formr un ilindro, y dspués psr l tp suprior dl ilindro trvés d su prd, on l fin d pgr l írulo suprior on l infrior dsd dntro. Dsd lugo, ésto no pud rlizrs on un modlo físio; d hho l suprfii d Klin no s un suspio d R 3. Sin mrgo, l proposiión 1 pru qu s un suprfii ompt. ^ ^ Frro 2002 Otsil

10 Mrt Mho Stdlr Pr onstruir otros jmplos, vmos introduir un mnr stándr d frir suprfiis ompts, pgndo otrs más snills. Hrmos lo qu n topologí s dnomin irugí: sn M 1 y M 2 dos suprfiis ompts y onxs (s dir, d un piz). Eliminmos un pquñ ol irt d d un d ls suprfiis y pgmos los spios rsultnts, trvés d ls irunfrnis frontr. El spio rsultnt M 1 # M 2 s llm sum onx d M 1 y M 2. M 1 M 2 M 1 M 2 M 1 # M 2 S pud pror qu l sum onx no dpnd d ls lions d ls ols liminds d d un d ls suprfiis, on lo qu s trt d un oprión in dfinid. Es fáil pror qu M 1 # M 2 sigu sindo un suprfii ompt y onx. Los siguints son jmplos snillos d sums onxs: (i) si M s un suprfii, M # S 2 s homomorf M: # (ii) l sum onx T 2 # (... n ) # T 2 s l toro d n gujros o sfr d n ss; st últim nomnltur s d qu, d hho, st suprfii s homomorf l sum onx S 2 # T 2 # (... n )# T 2, y d toro ñdido pr un s pgd l sfr s. # Como hmos mniondo nts, pr dr l torm d lsifiión d suprfiis ompts prismos un mnr uniform d dsriir tls ojtos. Vmos rprsntr tods sts suprfiis omo oints d rgions poligonls on 2n ldos. D mnr informl, podmos dsriir d rlión d quivlni ntr rists, nomrndo ls rists on ltrs 1,..., n y diujndo sor d un d lls un flh puntndo hi uno d sus vértis, d modo qu los vértis on l mismo nomr s idntifin, on ls flhs indindo l modo n qu ls rists s pgn. Con un tl dnominión pr un polígono, l soimos un susión d símolos, otnidos l lr ls tiquts d los ords n l sntido d ls gujs dl rloj: pr d símolo i n l frontr, sriimos i n l susión si l flh pos l sntido d ls gujs dl rloj y ponmos i si l flh v n l sntido ontrrio ls gujs dl rloj. Por jmplo, l rlión d quivlni d [0,1] x [0,1] qu d lugr l toro, rsult n un susión d símolos. 72 SIGMA Nº 20 SIGMA zk. 20

11 Qué s l Topologí? Formlmnt, un prsntión d un suprfii s un pr, ( 1,..., n W 1,... W k ), qu onsist n un fmili finit d símolos { 1,..., n } y otro onjunto finito d plrs {W 1,... W k } d un d ls uls s un susión finit d lmntos, qu pudn sr i ó i (dond ( i ) = i ), pr lgún i n l list, d tl mnr qu: (1) d símolo i ourr xtmnt un númro pr d vs n W 1,... W k (ontndo mos i ó i omo un priión); (2) d plr W j pos longitud (númro d ltrs) trs l mnos, slvo n l so n qu l prsntión omplt tng sólo un plr, n uyo so, l plr simpl s l sign l longitud dos. Un prsntión dtrmin un spio topológio on l siguint rt (1) s soi d plr W j un polígono onvxo P j d k j ldos n l plno, dond k j s l longitud d W j, y dond los polígonos lgidos son disjuntos (n l so spil d k j = 2, s us n su lugr un diso rrdo, porqu no xist un polígono d dos rs, y s onsidrn ls rists omo los smiírulos izquirdo y drho); (2) s dfin un orrspondni uno uno ntr ls ltrs d W j y ls rists d P j, siguindo l ordn d ls gujs dl rloj, mpzndo por un rist ritrri; (3) s idntifi d pr d rists qu tinn l mismo símolo, d urdo on l homomorfismo fín qu pg los primros vértis n ordn d ls gujs dl rloj, si dos rists tinn l mism tiqut i ó i, y qu s l primr vérti d un on l sgundo vérti d l otr si ls rists stán tiqutds i ó i M Por l proposiión 1, l spio topológio rsultnt s un suprfii ompt. Los intriors, rists y vértis d los polígonos P j s llmn rs, rists y vértis d l prsntión. El númro d rs s l mismo qu l númro d plrs, l ntidd d rists d l prsntión s l dol qu l númro d símolos 1,..., n. Pr un rist tiqutd i, l vérti iniil s l primro siguindo l ordn d ls gujs dl rloj, y l vérti finl s l otro; pr un rist tiqutd i, sts dfiniions s invirtn. En términos d nustr dsripión informl d nts, si s tiqut d rist on un flh puntndo n l sntido d ls gujs dl rloj, undo l símolo s i, y n sntido ontrrio ls gujs dl rloj, undo s i, l flh v dl vérti iniil l vérti finl. Ls únis lions ritrris involurds n st onstruión son forms, tmños y uiions d los polígonos y l disión d ul s l primr rist (pr sguir lugo, prtir d ll, l ordn d ls gujs dl rloj); s fáil vr qu, difrnts lions n st sntido, dn lugr suprfiis homomorfs. Frro 2002 Otsil

12 Mrt Mho Stdlr Ls siguints suprfiis stán dtrminds por ls prsntions indids: (1) l sfr S 2 : ( ) ó (, ); (2) l toro T 2 : (, ); (3) l plno proytivo RP 2 : ( ) ó (, ); (4) l otll d Klin K 2 : (, ). Ahor vmos dsriir ls prsntions stándr d suprfiis formds por sum onx. L lv s l siguint proposiión: Proposii n 2 Sn M 1 y M 2 suprfiis dfinids por prsntions ( 1,..., n W 1 ) y ( 1,..., m W 2 ) rsptivmnt. Entons, l sum onx M 1 # M 2 tin omo prsntión ( 1,..., n, 1,..., m W 1 W 2 ), dond W 1 W 2 indi l plr formd ontnr W 1 y W 2. S tinn ls siguints prsntions, llmds stándr: (1) l toro on n gujros: ( 1, 1..., n n n 1n n n ) (2) l sum onx d n opis d RP 2 : ( 1,..., n n n ) Hy irts rgls pr trnsformr prsntions d suprfiis n otrs difrnts d l mism suprfii (jo homomorfismo). S di qu dos prsntions son quivlnts, si dtrminn suprfiis homomorfs. Proposii n 3 Ls siguints oprions sor un prsntión produn prsntions quivlnts: Rnomrminto: mir ls ourrnis d un stmolo i, por un nuvo símolo, ún no xistnt n l prsntión; intrmir tods ls ourrnis d dos símolos i y j o intrmir tods ls ourrnis d i y i, pr lgún i ; Rfljo: ( 1,..., n 1... m, W 2,...W k ) ( 1,..., n m... 1, W 2,...W k ); SIGMA Nº 20 SIGMA zk. 20

13 Qué s l Topologí? Rotión: ( 1,..., n m, W 2,...W k ) ( 1,..., n 2... m 1, W 2,...W k ); Cort: si W 1 y W 2 son plrs on l mnos longitud 2, ntons ( 1,..., n W 1 W 2 ) ( 1,..., n, W 1, W 2 ); W 1 W W 2 2 W 1 Pgdo: ( 1,..., n, W 1, W 2 ) ( 1,..., n W 1 W 2 ); Doldo: si W 1 y W 2 tinn ms longitud l mnos 2, ( 1,..., n, W 1 W 2 ) ( 1,..., n W 1 W 2 ); Utilizndo ls ntriors trnsformions, s fáil ompror: Lm 3 S vrifin ls propidds: (1) l otll d Klin s homomorf l sum onx RP 2 # RP 2 ; Frro 2002 Otsil

14 Mrt Mho Stdlr (2) l sum onx Ts 2 # RP 2 s homomorf RP 2 # RP 2 # RP 2. d d d d d d d d Así, podmos nunir l torm d lsifiión nunido, qu di d mnr informl, qu tod suprfii onx y ompt s homomorf un sfr on lguns ss (toros) y onts ruzdos (plnos proytivos) pgdos: Torm d lsifiión d suprfiis ompts. S M un suprfii onx y ompt. Entons M s homomorf un d ls siguints: (1) un sfr S 2 ; (2) un sum onx T 2 (n) #... # T 2 ; (3) un sum onx RP 2 # (n)... # RP 2. Pr omprndr mjor ls suprfiis, hy irts rtrístis simpls qu pturn sus propidds ulittivs snils: son sus invrints topológios, s dir, propidds qu s prsrvn jo homomorfismos. Aquí itmos dos d stos invrints: l orintilidd: un suprfii s no orintl n unto pos lgún ont ruzdo. Así, son orintls l sfr S 2, l toro T 2, l dol toro T 2 # T 2. Y son no orintls l plno proytivo RP 2, l otll d Klin K 2,... l génro, s dir, l númro mximl d orts susivos l ul s pud somtr l suprfii sin qu s disont. El génro s dtt ontndo l númro d ss (pr suprfiis orintls) o d onts ruzdos (pr suprfiis no orintls). Si s ort un sfr siguindo un urv rrd simpl, s ul s l spto d dih urv, s otndrán simpr dos trozos disjuntos: l sfr tin génro 0 (d otro modo, l sfr no pos ss). Pro si s ort un toro siguindo irts urvs (por jmplo, írulos prllos y mridinos) l suprfii sguirá d un úni piz: l toro tin génro 1 (d otro modo, l toro s otin l pgr un s l sfr). Dl mismo modo, pud vrs qu l plno proytivo tin génro 1, l otll d Klin tin génro 2, l dol toro tin génro 2, SIGMA Nº 20 SIGMA zk. 20

15 Qué s l Topologí? 5. Alguns dfiniions n topolog Pr finlizr, s d un rápido rpso d lgunos d los onptos ásios qu prn n sts líns. Un pliión ontinu ntr los spios X Y, s un pliión f:x Y qu llv puntos rnos n puntos rnos. El onpto d rní dpnd dl spio n l qu s stá trjndo; l id intuitiv s qu s trj on trnsformions qu plgn, diltn, ontrn o dformn, sin rompr los spios involurdos. Un homomorfismo ntr los spios X Y s un pliión f:x Y iytiv, ontinu y tl qu l invrs f :Y X s tmién ontinu. Un invrint topológio s ulquir propidd d un spio qu s prsrv jo homomorfismos. Un spio onxo s un spio d un sol piz. Un spio ompto s (l mnos n l so ulído) un spio otdo y rrdo (s dir, qu ontin sus puntos límit). Un ntorno d un punto n un spio X s un onjunto d puntos rnos x. Por jmplo, si = ( 1,..., n ) R n, un ntorno d s un onjunto N R n tl qu xist > 0 y B n (, ) = {(x 1,..., x n ) R n : ( 1 - x 1 ) ( n - x n ) 2 < 2 } N. Un vridd d dimnsión n s un spio n l qu d punto pos un ntorno homomorfo B n = { (x 1,..., x n ) R n 2 : x x n < 1 } : l ol irt unidd n l spio ulído d dimnsión n, R n. Un suprfii s un vridd d dimnsión 2. Un mnr d onstruir suprfiis prtir d ls suprfiis ásis onoids, s prtir dl proso d sum onx: dds M 1 y M 2 dos suprfiis ompts y onxs, s lirnin un pquñ ol irt d d un d ls suprfiis y s pgn los spios rsultnts, trvés d ls irunfrnis frontr; l spio rsultnt M 1 # M 2 s l sum onx d M 1 y M 2 6. Biliogrf [AKL] A. D. Alxndrov, A.N. Kolmogorov, M.A. Lurntiv y otros; Ls mtmátis: su ontnido, mtódos y signifido, Alinz Editoril, [B] S. Brr, Expérins d Topologi, Lysimqu, [D] J. Diudonné, En honor dl spíritu humno. Ls mtrnátis hoy, Alinz Editoril, [F] G.K. Frnis, A topologil pitur ook, Springr, [K] M. Klin, El pnsminto mtmátio d l ntigüdd nustros dís, Alinz Editoril, [M] W. S. Mssy, Introduión l topologí lgri, Rvrté, [Po] J.C. Pont, Topologi lgériqu ds origins Poinré, Prsss Univrsitirs d Frn, [Pr] V.V. Prsolov, Intuitiv topology, A.M.S., [S] I. Stwrt, Conptos d Mtmáti Modrn, Alinz Editoril, Frro 2002 Otsil

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