ETSIINGENIO 2009 DIBUJO DE GRAFOS MEDIANTE ALGORITMOS GENÉTICOS

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1 ETSIINGENIO 2009 DIBUJO DE GRAFOS MEDIANTE ALGORITMOS GENÉTICOS EtsiIngenio Inteligencia Artificial 1 Raposo López Alejandro Sánchez Palacios Manuel

2 Resumen dibujo de grafos mediante algoritmos genéticos Este trabajo busca dibujar de un modo vistoso y claro un grafo buscando el corte mínimo de aristas, la separación de los puntos etc. haciendo uso de algoritmos genéticos. Su implementación aprovecha ventajas de lenguajes funcionales tales como lisp a la vez que incorpora una interfaz realizada con un lenguaje imperativo java. Ambos se comunican mediante archivos xml. EtsiIngenio Inteligencia Artificial 1 Raposo López Alejandro Sánchez Palacios Manuel

3 Descripción extensa del trabajo Este trabajo pretende aplicar técnicas de algoritmos genéticos para el dibujo de grafos. Dado un grafo mediante su matriz de adyacencia, existen numerosas maneras de disponer sus nodos en el plano, de manera que el dibujo resulte adecuado respecto a ciertos criterios "estéticos". Por ejemplo, una disposición de los nodos con una gran cantidad de cruces entre sus aristas puede resultar demasiado confusa para captar visualmente las relaciones entre los nodos. O la fabricación de circuitos integrados con miles o millones de componentes puede verse favorecida si existe una buena disposición de esos componentes sobre la placa base. Así, el estudio de algoritmos para dibujar grafos tiene aplicaciones en: Ingeniería de software, diseño de circuitos VLSI, análisis de redes sociales, criptografía, bioinformática,... En general, el dibujo de un grafo optimizando ciertos criterios estéticos (como por ejemplo, el número de cruces entre aristas) es un problema computacionalmente complejo. Un método aproximado que podría encontrar una disposición aceptable de los nodos en un tiempo razonable consiste en usar un algoritmo genético para minimizar algunas de las características que consideramos "malas" en el dibujo. Este trabajo pretende que se aplique esta idea. El trabajo consta esencialmente de dos partes: Implementación de un algoritmo genético concreto y resolución de algunos problemas sencillos de carácter numérico. Modificación de dicho algoritmo para aplicarlo al dibujo de grafos. En su mayor parte, este trabajo está descrito en el libro de Z. Michalewicz "Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs" ([GADSEP] en adelante). En concreto, bastará con leer el Tema 2 y la primera Sección del Tema 11 de la primera edición del libro para comprender el mismo. En la biblioteca de la Escuela está disponible para su consulta y préstamo la tercera edición. En esta tercera edición se puede consultar el tema 2 pero no aparece el tema 11 de la primera edición. Pueden acudir al despacho del profesor José Luis Ruiz Reina para consultar la primera edición. PARTE I: Implementación de un algoritmo genético En líneas generales, la descripción en pseudocódigo del algoritmo es: ENTRADA: S (tamaño de la población), N (número de generaciones), p_c (probabilidad de cruce), p_m (probabilidad de mutación). SALIDA: El fenotipo del mejor indivíduo de todas las generaciones, junto con su valor de función objetivo. ALGORITMO: Calcular una población inicial de tamaño S, P(0) y hacer t:= 0. Repetir un número de veces igual a N el cálculo de P(t+1) a partir de P(t) de la siguiente manera: Se seleccionan S individuos de P(t), siguiendo el método de la ruleta probabilística, obteniendo una población P'. Por cada individuo de P', sortear, con probabilidad p_c, si va a ser cruzado o no. De esa manera se seleccionan C individuos, con C<=S. Si C fuera impar, eliminar uno de los individuos. Con esos C individuos, hacer C/2 parejas y cruzarlas para obtener como resultado C nuevos individuos resultado de los cruces. La población P'' se obtiene a partir de P' reemplazando los C individuos que han sido seleccionados para ser cruzados, por el

4 resultado de sus cruces. La generación P(t+1) se obtiene como resultado de aplicar (a P'') mutaciones con probabilidad p_m. Hacer t:= t+1 Las poblaciones se almacenarán como un array de cromosomas. Además almacenamos cada cromosoma con su valor de función objetivo, y la suma parcial acumulada de las funciones objetivo de los anteriores cromosomas (esto último es útil para la implementación del método de selección por ruleta probabilística que se describe en el libro). En general obtenemos un algoritmo bastante eficiente. Por tanto, las optimizaciones en las estructuras de datos usadas y en los procedimientos implementados son importantes. En particular, buscamos minimizar el número de "recorridos" que el algoritmo necesite hacer sobre una población dada. También se ha tenido en cuenta la modularidad de la implementación, de manera que no haya que hacer muchos cambios si se cambia el problema sobre el que se aplica, la representación cromosómica, o el método se selección. Uno de los primeros problemas implementados es el cálculo de PI: Tal y como se describe en el tema 2 de [GADSEP], aplicarlo para encontrar el máximo de la función f(x,y) = x sen(4 pi x) + y sen(20 pi y), con -3 <= x <= 12.1, 4.1 <= y <= 5.8 El máximo debe ser calculado con una precisión de 4 decimales, tanto para x como para y. Encontrar los 10 primeros decimales del número pi (NOTA: en el intervalo [3,4] la función sen(x/2) tiene un máximo en pi). PARTE II: Aplicación para el dibujo de grafos En la Sección 11.1 de [GADSEP] se describe cómo aplicar técnicas basadas en algoritmos genéticos para el dibujo de grafos. La idea básica es la siguiente: Un cromosoma representa una disposición concreta de los nodos del grafo mediante sus coordenadas. La función objetivo cuantifica una serie de características "no estéticas" que tendría el dibujo del grafo disponiendo los nodos en dichas coordenadas. El algoritmo genético debe encontrar un cromosoma (o lo que es lo mismo, una disposición de los nodos del grafo en el plano) que tenga un valor mínimo de función objetivo (y por tanto su dibujo sea "estético"). En concreto, lo que implementamos está basado en la descripción del algoritmo GRAPH-2 de la Subsección , y partimos como base de la implementación del algoritmo genético de la primera parte, aplicando esta técnica sobre algunos grafos para tratar de encontrar de manera automática una buena disposición de sus nodos. Además introdujimos los parámetros propios de un algoritmo genético (tamaño de la población, probabilidades de cruce y mutación, generaciones, etc..) el algoritmo recibe el número de nodos del grafo, su matriz de adyacencia y las dimensiones de la cuadrícula donde se quiere dibujar. Se puede porbar el algoritmo con algunos grafos sencillos. Por ejemplo, con grafos que representan un ciclo simple (A1 -> A2 ->... -> An -> A1) o bien un ciclo simple con un nodo "central" (A1 -> A2 ->... -> An -> A1, Ai -> B (i=1,...,n)). Y podrá comprobar que el algoritmo es capaz de encontrar el dibujo más intuitivo para esos grafos. Además de la implementación incorporamos un método para visualizar el dibujo que representa el mejor cromosoma de cada generación, dando así una idea intuitiva de la evolución del algoritmo mediante una intuitiva interfaz gráfica implementada en Java. 1. Una de las características a calcular en la función objetivo es el número de cruces entre aristas en el dibujo que representa un cromosoma. Se implementó de la siguiente forma: Si

5 tenemos dos nodos P y Q entre los que hay una arista PQ y otro par de nodos R y S entre los que hay otra arista RS, se puede calcular la ecuación de la recta que pasa por P y Q, sustituir las coordenadas de R y de S en la ecuación y ver si dan algo de distinto signo (por ejemplo comprobando si es negativo su producto). Si ese producto da negativo, es que R y S están cada uno a un lado de la recta que pasa por P y Q. Si ocurre lo mismo sustituyendo ahora P y Q en la ecuación de la recta que pasa por R y S, entonces es que las aristas PQ y RS se cortan. En cualquier caso, nótese que un calculo eficiente del número total de cruces es fundamental para la eficiencia del algoritmo. 2. Nótese que la matriz de adyacencia no forma parte de la representación cromosómica, ya que es fija para todo el problema. Lo que buscamos es optimizar la disposición de los nodos. 3. La manera de seleccionar (por el método de la ruleta) que tiene el algoritmo que se pide en la primera parte tiene sentido cuando se buscar maximizar una función objetivo positiva. En este caso, se trata de un problema de minimización de una función F(x). Habrá por tanto que transformar el problema en un problema de maximización; esto se consigue fácilmente tomando como nueva función objetivo F'(x) = C - F(x), donde C es una cota superior de F (que puede ser calculada, por ejemplo, en función del número de nodos del grafo). 4. En cualquier caso, puede que el método de selección por ruleta no sea el más adecuado para este problema. Por ello hemos experimentado con otros métodos de selección. Una buena descripción de estos métodos usados se puede encontrar en esta página (http://lear.inforg.uniovi.es/ia/genetico-tsp/seleccion.htm)

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