Optimización de las constantes en una estrategia evolutiva mediante el método de Gauss-Newton

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1 MÁSTER EN MODELIZACIÓN MATEMÁTICA, ESTADÍSTICA Y COMPUTACIÓN TRABAJO FIN DE MASTER Optimización de las constantes en una estrategia evolutiva mediante el método de Gauss-Newton Autor: Borja ARTAMENDI Director: César ALONSO Colaborador: Enrique CRUZ 17 de agosto de 2010

2 2

3 Índice general 1. Introduccion 3 2. El Algoritmo Evolutivo Descripción Elementos de un algoritmo evolutivo Terminología SLP Evolucion-Coevolucion Objetivo Métodos para optimización de las constantes mudas Método de descenso del gradiente Método de Gauss-Newton Método del gradiente conjugado Entorno de Pruebas y Herramientas Estructura del programa Funciones del Algoritmo Evolutivo Funciones auxiliares del Método de Gauss Newton Función de Gauss Newton Aprende Diferenciación Automática

4 4 ÍNDICE GENERAL 5. Resultados Protocolo de experimentacion Interpretación de resultados Pruebas Conclusiones y trabajo futuro Conclusiones Trabajo Futuro A. UsoADOLC 71 Referencias 74

5 Índice de figuras 2.1. Representación de la población SLP Diagrama de flujo de una prueba típica de un algoritmo evolutivo[1] Método del descenso del gradiente [2] Zig-Zagging del descenso del gradiente Diagrama de dependencias para la función proslp Slp efectivo vector Args Ejemplo del método forward con un grafo [3] Ejemplo del método reverse con un grafo [3] Grafo Dirigido ejemplo SLP Grafo Dirigido ejemplo ADOLC diagrama cajas prueba1 para la función slp diagrama de cajas para función polinomios de la prueba convergencia para el grupo de funciones RmPol1 de prueba diagrama cajas para f

6 6 ÍNDICE DE FIGURAS 5.5. diagrama cajas para f convergencia para f diagrama cajas para f convergencia para f diagrama cajas para f

7 Resumen Los individuos del proceso evolutivo están representados mediante una estructura denominada Straight Line Program (SLP). Como se definirá posteriormente en la memoria, un SLP es una sucesión finita de asignaciones que tienen la propiedad de describir una función. Durante el proceso, poblaciones de SLP s evolucionarán durante generaciones. En un momento dado se extraerá el mejor individuo de la población (cuya calidad se mide mediante una función de fitness) y se iniciará con dicho individuo un proceso de optimización de las constantes o coeficientes de la función representada. Para evaluar las derivadas de la función expresada como un programa de computación se empleará la diferenciación automática haciendo uso de la regla de la cadena con acumulación hacia adelante (forward method). Todo ello haciendo uso de la herramienta ADOL-C, que utiliza la sobrecarga de operadores para llevar a cabo la derivada en la aritmética aumentada con números duales. Una vez optimizadas las constantes se introducirá de nuevo el individuo en la población y se continuará con el proceso evolutivo durante un nuevo número de generaciones. Este proceso de evolución-optimización de constantes se seguirá realizando hasta que se verifique un test de parada, que puede estar determinado por un número máximo de generaciones o evaluaciones de la función fitness aplicada sobre los SLP s. Uno de los objetivos de este trabajo consiste en comprobar la mejora que supone aplicar un método de este tipo para la optimización de las constantes, frente a la no óptimización de las mismas.

8 2 ÍNDICE DE FIGURAS

9 Capítulo 1 Introduccion El presente trabajo fin de master, se apoya en una serie de trabajos de investigación previos, realizados por José Luis Montaña y Cruz Enrique Borges de la Universidad de Cantabria y por César L. Alonso y Jorge Puente de la Universidad de Oviedo El objetivo principal del trabajo es la optimización de las constantes mudas de una función que aproxima unos puntos. Para ello se hace uso de un algoritmo evolutivo. El origen del problema reside en que creemos necesaria la optimización de las constantes mudas en el algoritmo evolutivo para así obtener unas mejores soluciones (funciones que aproximan unos puntos) que converjan más rápidamente hacia la solución ideal. Creemos que optimizando las constantes mudas puede ser una buena solución para hacer que el algoritmo evolutivo converga más rápidamente y consiga una aproximación a los puntos de entrada. Para ello se ha pensado en aplicar un método de búsqueda directa y se han analizado diferentes métodos de búsqueda, como los siguientes: descenso del gradiente, Gauss-Newton y gradiente conjugado. Todos estos métodos necesitan el valor de la derivada para obtener la dirección de convergencia del método y en consecuencia se necesita el cálculo de la derivada de una función, tarea nada trivial. Existen diferentes métodos para calcular la derivada de una función, ya sean métodos clásicos como la derivación simbólica o la derivación numérica. Sin embargo, hoy en día existe una técnica que reduce mucho el tiempo de cálculo de una derivada y el error de aproximación: la diferenciación automática. Esta técnica se basa en el uso de la regla de la cadena que se describe en la sección La presente memoria esta organizada de la siguiente manera. 3

10 4 En el capítulo 2 se presentan las bases de los algoritmos evolutivos. En él se realiza una descripción de los elementos de un algoritmo evolutivo y se introduce la terminología SLP que nos servirá de base para la correcta comprensión de todo lo que se describirá en las siguientes secciones. A continuación, en el capítulo 3 se analizarán los principales métodos de optimización para, conociendo las ventajas y desventajas de cada uno de ellos, decidir finalmente cuál se utilizará para las pruebas. Más adelante, en el capítulo 4 se exponen las herramientas en las que se apoya este trabajo. Por un lado, se describe la estructura del programa en C++ sobre el que se realizan las pruebas y por otro el uso de una herramienta de diferenciación automática que simplifica el trabajo del cálculo de las derivadas. Esta técnica es necesaria para la obtención de las derivadas de forma computacionalmente eficiente. El capítulo 5 muestra los resultados de las pruebas realizadas para dos conjuntos de puntos a aproximar por dos poblaciones diferentes. Finalmente, el capítulo 6 muestra las conclusiones del trabajo y las sugerencias para el trabajo futuro.

11 Capítulo 2 El Algoritmo Evolutivo 2.1. Descripción Todo algoritmo evolutivo se basa en la evolución biológica, en donde mantenemos un conjunto de individuos que representan posibles soluciones del problema, las cuales se mezclan y compiten entre sí, de tal manera que las más adaptadas son las que evolucionan hacia soluciones cada vez mejores. Los parámetros del problema son varios, pero en este apartado nos centraremos en describir las constantes mudas, constantes reales y variables del problema. Si partimos de una función de la siguiente forma: y = Ax 3 + Bx 2 + Cx + 4 Destacamos los siguientes aspectos: Variables del problema: en este caso tenemos las variables x e y, dónde x es la variable de entrada e y es la variable de salida. Las constantes reales: 4, una constante real pueden acompañar a una variable del problema (x en este caso) o no. 5

12 ELEMENTOS DE UN ALGORITMO EVOLUTIVO Las constantes mudas: Al tratar de predecir una función, digamos un polinomio de grado n, se tienen n+1 parámetros que constituyen los coeficientes de dicho polinomio. Una de las estrategias sería dar valores a dichos coeficientes para encontrar el polinomio que mejor se aproxima. Para ello, en nuestra estrategia evolutiva se consideran dichos coeficientes como constantes mudas y se realiza una búsqueda de los mejores valores para las mismas. Esta optimización de las constantes es lo que se realiza mediante los distintos métodos estudiados Elementos de un algoritmo evolutivo Al conjunto de los individuos que evolucionan se le llama población. Para representar cada uno de los individuos se necesita un modo de representación para que el algoritmo genético pueda ponerse a trabajare sobre el problema, es decir, se necesita definir un método para codificar las soluciones potenciales del problema de forma que una computadora pueda procesarlas. En nuestro algoritmo evolutivo cada uno de los individuos está codificado mediante un slp que será descrito en el siguiente apartado. Cada SLP está representado mediante una codificación o cromosoma, donde cada gen de dicho cromosoma no es otra cosa que cada una de la asignaciones del SLP. Figura 2.1: Representación de la población Figura 2.2: SLP Un algoritmo genético puede utilizar muchas técnicas diferentes para seleccionar a los individuos que deben copiarse hacia la siguiente generación. Una vez que la selección ha elegido a los individuos aptos, éstos deben ser alterados de cierta manera con la esperanza de mejorar su aptitud para la siguiente generación. Los individuos son modificados por operadores genéticos

13 CAPÍTULO 2. EL ALGORITMO EVOLUTIVO 7 que pueden ser: cruce, que consiste en mezclar la información de varios individuos, o mutación, que produce un cambio aleatorio en los individuos. Los individuos son evaluados mediante la función fitness que valora la calidad de cada individuo. En los siguientes subapartados se describen todos los tipos de operaciones genéticas (selección, mutación y cruce), asi como el tipo de población, tipo de fitness, etc, que permite el algoritmo genético de este proyecto. Aparecen en negrita los tipos que se utilizarán en las pruebas Población CTE: La población de las constantes está constituida por conjuntos de valores para los coeficientes de la expresión cuyas constantes mudas se pretende optimizar. SLP: La población de SLP s está formada por las representaciones de los SLP s que evolucionan durante el desarrollo del proceso evolutivo Tipo Selección Ruleta: Este tipo de selección consiste en escoger un individuo de la población, de manera que la probabilidad de que un individuo sea finalmente seleccionado es proporcional a su fitness o valor de calidad. Es como si cada individuo tuviese una serie de números de una ruleta, de manera que cuanto mejor sea el individuo más números tiene. Finalmente la ruleta se pone en marcha y se seleccionará aquel individuo que sea poseedor del número que salga. Torneo: En este método de selección se toman al azar un número de individuos, quedándonos finalmente con el mejor de ellos. Generalmente, en el método de selección por torneo, el número de individuos que se seleccionan aleatoriamente entre la población está comprendido entre 2 y Tipo Cruce 1 Punto: Se elige un punto aleatorio de los padres y se dividen en dos partes. Se toma la cola (de izquierda a derecha, la parte de la derecha) y se crean nuevos hijos intercambiando las colas.

14 ELEMENTOS DE UN ALGORITMO EVOLUTIVO 2 Puntos: Elegimos 2 puntos aleatorios, se divide cada padre en tres partes y la parte que queda entre los dos puntos de corte es la parte que se intercambian para crear los nuevos hijos. Uniforme: opera recombinando el material genético de una pareja de cromosomas gen a gen. A priori se define una probabilidad P u, con la cual para producir los dos descendientes, se procede así: Con P u se sortea cada gen, si el sorteo así lo indica se intercambian los genes homólogos de ambos padres, en caso contrario dichos genes permanecen inalterados. Normalmente se crea una máscara (un vector con 0s y 1s, que definirán si se cruza o no, este vector tendrá el tamaño de los cromosomas padres que estamos tratando), una vez definida la máscara se mira uno a uno los genes y en función del valor de la máscara se cruzan o no. Slp: Se selecciona al azar un gen de cada cromosoma y se intercambian los subgrafos definidos por cada gen. Dicho de otra manera, tenemos un Γ = {u 1,, u n } y un Γ = {u 1,, u n} que son dos slp. Tomamos una posición de Γ aleatoriamente 1 k n. Entonces, S uk = {u j 1,, u j m } es el código de Γ debido a la evaluación de u k asumiendo que j 1... j m. Luego cogemos aleatoriamente otro punto t pero esta vez de Γ con m t n y modifico Γ substituyendo las instrucciones del subconjunto {u t m+1,, u t} en Γ por las instrucciones de Γ en S uk renombrando adecuadamente. La función de renombramiento R (definida sobre S uk ), está definida como R(u ji ) = u t m+1, para todo i {1... m}. Con este proceso conseguimos el primer hijo de Γ y Γ. Para obtener el segundo hijo repetiremos simétricamente esta estrategia, pero ahora empezamos elegiendo una posición k en Γ. Para una mejor comprensión consultar el ejemplo de [4]. Slp-ext: Se selecciona al azar un gen de cada cromosoma y se inserta el subgrafo que define cada gen escogido en el otro cromosoma Tipo Mutacion Simple: La mutación se realiza en un único gen del cromosoma del individuo elegido para sufrir la mutación. Completa: Se recorren todos los genes del cromosoma y para cada uno de ellos se aplica una probabilidad de mutación de dicho gen. Generalmente dicha probabilidad es el inverso del número de genes del cromosoma.

15 CAPÍTULO 2. EL ALGORITMO EVOLUTIVO Tipo Fitness Fitness con una p norma para la clase SLP. Cálcula el error absoluto medio mediante la función: n i=0 error absoluto medio = f(x i) y i n Donde n son los puntos de evaluacion que tenemos. Error cuadrático medio con una p norma para la clase SLP. Parecido pero esta vez el operador de fitness viene definido como: error absoluto medio = n i=0 (f(x i) y i ) 2 n Donde n son los puntos de evaluacion que tenemos Error empírico cuadrático medio y teórico AIC (Akaike Information Criterion): operador de fitness viene definido por : AIC error = error 1 + h m 1 h m Donde error es el error cuadrático medio y h el índice de no linealidad. Por ejemplo, en el caso de polinomios h puede ser el grado o bien el número de coeficientes. Así, un polinomio en una variable de grado 2 posee 3 coeficientes: el de grado 2, el de grado 1 y el término independiente. Error empírico cuadrático medio y teórico BIC (Bayesian Information Criterion): operador de fitness con error empirico cuadratico medio y teorico BIC para la clase SLP viene definido como: BIC error = 1 + h ln(m) m h Donde error es el error cuadrático medio y h el índice de no linealidad. Error empírico cuadrático medio y teórico VC (Vapnik-Chernovsky): operador de fitness con error empirico cuadratico medio y teorico VC para la clase SLP viene definido como: V C error = error (1 h h ln m {1 ln( )} + m m 2m ) 1 Donde error es el error cuadrático medio y h el índice de no linealidad (ver [4] sección 4.1).

16 ELEMENTOS DE UN ALGORITMO EVOLUTIVO Tipo Fitness de las Constantes Normal: se clasifica cada uno de los individuos en base al fitness de cada uno, y se toma como fitness para esa población el fitness del mejor de todos. Elite: se clasifica los individuos en base al fitness de cada uno y luego se toma el mejor de todos como fitness. EliteMax: lo mismo, se clasifica y el fitness se obtiene mediante el fitness del mejor de la elite y uno al azar. EliteMed: el fitness será la media de la elite y uno al azar Tipo Semilla Describe si utilizamos todo el rato el mismo número aleatorio o no: Fija: utilizamos en todo momento el mismo número aleatorio que es generado al principio del algoritmo evolutivo. Aleatorio: generamos un número aleatorio cada vez que queramos utilizarlo. En el siguiente diagrama 2.3 mostramos el flujo de una prueba típica en nuestro algoritmo evolutivo. Primero cargamos los parámetros del problema como pueden ser tipo fitness, tipo cruce, tipo población,... y pasamos a crear los operadores y la población de slp s inicial. Una vez que tenemos la población inicial, evaluamos sus individuos y vemos si el mejor individuo aproxima los puntos con un valor menor al error permitido o si hemos llegado al número máximo de generaciones definidas en los parámetros iniciales. Si es menor al error definido o si hemos consumido el máximo de generaciones definidas en la carga de operadores pasamos a validar el resultado.

17 CAPÍTULO 2. EL ALGORITMO EVOLUTIVO 11 Figura 2.3: Diagrama de flujo de una prueba típica de un algoritmo evolutivo[1]

18 TERMINOLOGÍA SLP Si el mejor individuo aún no aproxima los suficientemente bien, entonces tomamos la población, le aplicamos las operaciones de cruce y mutación a sus individuos y volvemos a calificar la nueva población. Una vez que hayamos evaluado el resultado mostramos el mejor SLP Terminología SLP Un SLP (Straight Line Program) es un programa basado en una serie de funciones que se usan de forma recursiva. Es decir, un SLP consiste en un número finito de asignaciones, cada una de las cuales se obtiene aplicando unas determinadas operaciones y tomando una serie de argumentos que pueden ser variables, constantes o resultados anteriormente calculados (los u i que se describen más adelante)[5]. Una de las ventajas de utilizar este tipo de estructuras es que un slp reutiliza cálculos hechos con anterioridad durante el proceso de evaluación. Por ello se van a utilizar este tipo de estructuras en el algoritmo genético para resolver problemas de regresión simbólica. Cada uno de los SLP está constituido por: F : conjunto de funciones, por ejemplo, F = {+,*,-} aridad: n o de argumentos de un slp, más concretamente los argumentos de una función, por ejemplo: aridad(suma)=2. T : conjunto de terminales T = V C, por ejemplo: T ={1,x,y}, donde V: conjunto de variables {X 1,..., X n }, en este caso {x,y} C: conjunto de constantes {C 1,..., C n }, en este caso {1}. Las constantes puede ser reales o mudas. Γ : Es el conjunto de instrucciones, Γ = {I 1,..., I n }, donde I k U k. Cada uno de los slp s está compuesto por varias instrucciones o asignaciones, por ejemplo: u 1 := x u 2 := u 1 u 1 Γ u 3 := x 2 + x 2 (2.1) u 4 := u 2 u 3 u 5 := u 4 + u 5

19 CAPÍTULO 2. EL ALGORITMO EVOLUTIVO 13 O(Γ): conjunto de salida de un slp (Γ), por ejemplo O(Γ) = u 3 φ(γ): La función semántica, convierte el input en el output del programa. Para nuestro ejemplo, φ(γ) = (x + 1) 2 + y Por tanto, en nuestro algoritmo evolutivo cada uno de los individuos es un slp. A su vez cada slp tendrá un número de genes. Finalmente, cada uno de los genes será una instrucción formada por un operación (+,, ) y unos operandos (variables, constantes reales, constantes mudas u otras instrucciones) Evolucion-Coevolucion La evolución en respuesta a factores abióticos, tales como el clima, no son procesos coevolutivos ya que no son factores vivientes sujetos a la evolución biológica. En cambio la coevolución trata de procesos como las interacciones entre el predador y su presa, el parásito y su huésped, la flor y el polinizador, el árbol y la micorriza... etc. En muchos casos la coevolución tiene lugar entre una compleja red de especies que influyen unas en otras. En ese caso se habla de coevolución difusa, posiblemente éste es el tipo de coevolución más común [6]. Para comprender el interés de este Proyecto Fin de Máster, es importante resaltar la diferencia entre evolución y coevolución. La descripción de evolución y coevolución siguiente está centrada en un algoritmo evolutivo en donde utilizamos SLP para describir cada uno de los individuos. Cada individuo representa una función que aproxima unos puntos de entrada. La evolución es el proceso de Programación Genética que trabaja con las propias estructuras que codifican los SLP s y después de una serie de generaciones nos proporciona el mejor SLP obtenido. Sin embargo, nuestro método coevolutivo alterna un algoritmo de Programación Genética que trabaja con los SLP y un Algoritmo Genético que trabaja con las constantes. Mediante el algoritmo de Programación Genética intentamos averiguar la forma que tiene la función que se pretende averiguar, por ejemplo, si la función es un polinomio de grado 3 ó de grado n. En cambio con el algoritmo genético, una vez que sabemos la forma de la función, se trabaja con

20 OBJETIVO las constantes del problema (constantes reales y mudas). En concreto en nuestro problema, mediante el algoritmo evolutivo adivinamos el aspecto de la función, por ejemplo, el algoritmo evolutivo nos ha devuelto como mejor individuo: x 3 + 2x 2 + 3x + 4, de este individuo podemos imaginar que la función que aproxima los puntos es de grado=3 y tiene esa forma Ax 3 + Bx 2 + Cx + D, y luego mediante el algoritmo coevolutivo intentaríamos optimizar esas constantes mudas A, B, C y D. Por tanto este proyecto fin de master se centra en la parte coevolutiva dónde se tratará de optimizar las constantes mudas Objetivo El objetivo de este trabajo es hacer que el algoritmo evolutivo aproxime mejor un determinado número de puntos mediante la optimización de las constantes mudas del problema. Para ello al algoritmo evolutivo se le debe de definir lo siguiente: una serie de funciones, constantes, variables, tipo de cruce, tipo de mutación, etc, de tal manera que el algoritmo mediante esos datos de entrada genere una función que mejor aproxime los puntos, tomando el error cuadrático medio como medida de error (fitness). Para encontrar las mejores constantes mudas una opción es hacer una prueba-error que consiste en ir dando valores a las mismas y ver cual es la combinación que mejor aproxima a los puntos de coordenadas (x i, y i ). Pero en este proyecto, en vez de utilizar este método simple de prueba-error se intenta encontrar un método adecuado para la optimización de estas constantes. Se tratará de demostrar que optimizando las constantes mudas el algoritmo converge más rápido hacia la solución del problema. Como podemos ver en el apartado anterior, concretamente en los tipos de población (ver 2.2.1), tenemos la población de constantes y la población SLP s. Decimos que un algoritmo es coevolutivo cuando alterna la parte evolutiva que se encarga de ajustar la población SLP con la parte coevolutiva que se encarga de ajustar las constantes. Nuestro trabajo se centrará en este segunda parte (coevolución).

21 Capítulo 3 Métodos para optimización de las constantes mudas Existen diferentes métodos de optimización que pueden servir para el desarrollo de la coevolución del algoritmo, mediante la optimización de las constantes mudas, como se ha descrito en el capítulo anterior. En las siguientes líneas se presentan tres posibles métodos. Método de descenso del gradiente Método de Gauss Newton Método del gradiente conjugado 3.1. Método de descenso del gradiente Con el objeto de encontrar el mínimo local de la función, este método realiza en cada iteración un paso igual al gradiente pero con signo contrario. El descenso del gradiente se basa en que si una función f(x) está definida y es diferenciable en un punto a, entonces la función f(x) decrece más rápido si partimos de a en la dirección contraria del gradiente de F en a, - F (a). Es decir si tomamos un punto b tal que: b = a ɛ F (a), para un ɛ > 0 15

22 MÉTODO DE DESCENSO DEL GRADIENTE Entonces F (a) F (b). Si partimos de x 0 y consideramos la secuencia {x 0, x 1, }, tal que x n+1 = x n ɛ n F (x n ), n 0 Tenemos que: F (x 0 ) F (x 1 ) F (x n ), entonces la secuencia {x 0, x 1,, x n } converge hacia el mínimo local de F. A continuación se muestran los pasos del algoritmo. Algoritmo [7] 1. Consideremos un punto inicial x = x 0. Hacer k=0 2. Escoger una dirección de descenso d k = f(x k ) 3. Realizar una búsqueda lineal que seleccione un paso α k tal que: g k (α k ) = f(x k + α k d k ) < f(x k ) = g k (0) 4. Hacer que x k+1 = x k + α k d k 5. Hacer un test de convergencia (por ejemplo f(x k ) < ɛ), si converge se detiene el método, si no se hace k=k+1 y se vuelve al paso 2. Desventajas Es un método bastante lento cuando estamos próximos al mínimo de la función. Zig-zagea en cuanto se encuentra un valle (ver 3.2) Puede ser díficil encontrar el valor de ɛ La figura 3.1 muestra gráficamente cómo funciona el método de descenso del gradiente.

23 CAPÍTULO 3. MÉTODOS PARA OPTIMIZACIÓN DE LAS CONSTANTES MUDAS 17 Figura 3.1: Método del descenso del gradiente [2] Figura 3.2: Zig-Zagging del descenso del gradiente

24 MÉTODO DE GAUSS-NEWTON 3.2. Método de Gauss-Newton Para el problema que nos concierne, el objetivo es encontrar las constantes mudas ( β), en nuestro ejemplo de la sección 2.4, tal que la función del modelo y i = f(x i, β), aproxime mejor los puntos (x i, y i ). Las funciones r i son los residuales de la función f(x i, β): r i (β) = y i f(x i, β) (3.1) Entonces dadas m funciones r 1,, r m de n variables β = (β 1,, β n ) con m n el método de Gauss-Newton encuentra el mínimo de la suma de los cuadrados de los residuales: S(β) = m ri 2 ( β) i=1 El residual de la ecuación 3.1, será el residual del mejor SLP en esa generación del algoritmo evolutivo. Como se muestra a continuación, el método de Gauss Newton se basa en operaciones con la matriz jacobiana de la función. La matriaz jacobiana del vector residual con respecto de β, donde tenemos r = r 1,, r m puntos y n constantes mudas β = (β 1,, β n ), viene definida de la siguiente forma: J ri = ( dr 1 dβ 1, dr 2 dβ 1,, dr 1 dβ 2,, dr m dβ n ) Para aplicar el algoritmo, se necesitan definir los siguientes parámetros: Unos valores iniciales para las constantes (betas) β 0 Valor de convergencia, el error objetivo ɛ ALGORITMO [8] 1. Evaluamos f(x)

25 CAPÍTULO 3. MÉTODOS PARA OPTIMIZACIÓN DE LAS CONSTANTES MUDAS Calculamos el vector residual: r i = y i f i 3. Vemos el error que estamos cometiendo al amplicar cada constante en, y comparamos con el error objetivo propuesto: n 1 r2 i n < errorobjetivo 4. Si esto se cumple entonces paramos el algoritmo de Gauss-Newton para la optimización de las constantes mudas, si no continuamos en el paso siguiente. 5. Calculamos la matriz jacobiana (J f ) para el vector de funciones y su transpuesta (J f ) T, con respecto de los betas (en la primera iteración será con respecto a β 0 ). Sabemos que la jacobiana será la derivada de la función f i para cada una de las constantes mudas del slp. Las constantes mudas constituirán nuestro betas. 6. Resolver la siguiente ecuación para obtener el en cada paso: (J T f J f ) = J T f r (3.2) 7. Hacer : β (i+1) = β (i) + (3.3) β es un vector con las constantes mudas, por tanto incrementamos cada constante muda en, si las constantes mudas son A y B: A 1, B 1 = (A 0 + 1, B ) 8. Volvemos al PASO 1. La ecuación 3.2, que viene descrita como: (J T f J f ) = J T f r

26 MÉTODO DE GAUSS-NEWTON Es equivalente a: (J T r J r ) = J T r r (3.4) (Esta última es la que utilizaremos en nuestro algoritmo evolutivo ya que la función eval que explicaremos más adelante nos devuelve el valor de f(x i )) Por tanto podemos ver que el método de Gauss-Newton se obtiene ignorando la derivada segunda del método newton y ello conlleva a que tengamos que calcular la derivada primera de f (o r en nuestro caso). Se resuelve dando los siguientes pasos: Multiplicamos ambos lados de la ecuación por la inversa de (Jf T J f) y de esta manera conseguimos la matriz identidad o lo que es lo mismo dejar nuestro vector a un lado de la ecuación. En la subsección tenemos el código para calcular la inversa de una matriz. (J T r J r ) 1 (J T r J r ) = (J T r J r ) 1 J T r r (3.5) I = (J T r J r ) 1 J T r r (3.6) = (J T r J r ) 1 J T r r (3.7) Una vez definido el método de Gauss-Newton es conveniente hacer una aclaración sobre los siguientes parámetros: número de iteraciones Gauss-Newton y elección valores iniciales. Número iteraciones método Gauss-Newton : Dentro del algoritmo evolutivo existe un número determinado de generaciones y será necesario definir el número de generaciones que se utilizarán en las pruebas de este proyecto. Como es un algoritmo de rondas separadas, se aplica 75 % evolución y 25 % coevolución. A continuación, dentro de la coevolución, en cada generación, se intenta aproximar las constantes mudas mediante el método de Gauss-Newton. Esta aproximación de las constantes mudas se realizará como máximo en siete iteraciones. Eso quiere decir que se podrá parar el método de Gauss- Newton por varias razones: número de iteraciones (5), converge antes de las 5 iteraciones o diverge.

27 CAPÍTULO 3. MÉTODOS PARA OPTIMIZACIÓN DE LAS CONSTANTES MUDAS 21 Valores iniciales: Como se ha descrito anteriormente, el método de Gauss-Newton parte de unos valores para las constantes mudas. En este experimento se partirá de los valores que tengan las constantes mudas accediendo al vector CtesMudas. Existen métodos para obtener el valor inicial óptimo para que converja más rápidamente pero esto se tratará como trabajo futuro. Desventajas El método de Gauss-Newton no siempre converge. Sabemos que es la dirección de descenso, si el S(β n ) no es un punto estacionario, entonces se cumple que S(β n + α ) < S(β n ) siempre y cuando el α > 0 y suficientemente pequeño Otras versiones del algoritmo Si el método anterior diverge, lo que podemos hacer es coger la fracción de α del vector de incremento, de la fórmula 3.3. El método diverge porque el vector de incremento es demasiado largo, por tanto cogiendo la fracción de α, intentamos acortar el vector de tal manera que no nos diverja la solución. Para encontrar ese α óptimo podríamos utilizar un método de búsqueda directo en el intervalo 0 < α < 1. En los casos en los que α sea prácticamente cero, podemos utilizar el algoritmo de Levenberg- Marquardt [9] Otros métodos parecidos A parte del método anteriormente mencionado de descenso del gradiente (ver 3.1), hay métodos que se parecen mucho al de Gauss-Newton, como pueden ser el método de Quasi-Newton, donde la matriz Hessiana es estimada partiendo de las derivadas primeras Método del gradiente conjugado El método del gradiente conjugado es un algoritmo para resolver numéricamente los sistemas de ecuaciones lineales cuyas matrices son simétricas y definidas positivas. Cuando se da este

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