Introducción a los Algoritmos Genéticos. Tomás Arredondo Vidal 17/4/09

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1 Introducción a los Algoritmos Genéticos Tomás Arredondo Vidal 17/4/09

2 Esta charla trata de lo siguiente: Introducción a algunos aspectos de los algoritmos genéticos. Introducción a algunas aplicaciones de los algoritmos genéticos.

3 Modelo Evolutivo Considerando los sistemas evolutivos Holland propuso un modelo de la evolución artificial basados en la evolución y la genética natural.

4 Modelo Evolutivo De acuerdo a Holland un sistema evolutivo contiene los siguientes elementos: E : el ambiente en el cual el sistema se esta adaptando τ : un plan evolutivo que determina modificaciones estructurales en los organismos artificiales μ : una medida de la capacidad de diferentes estructuras en el medio ambiente En este formalismo el plan evolutivo actúa en tiempos discretos t = 1,2,3,...

5 Modelo Evolutivo La acción del plan evolutivo τ es progresar dentro de un set de posibles estructuras A (genomas) hacia la que tenga la mejor capacidad de sobrevivencia A esta conformado por numero de genes en el cual cada gen A i tiene k alelos Ej: = 3, A ={A 1 A 2 A 3 } k = 2, A i = {0 o 1} Numero combinaciones = k = 2 3 = 8

6 τ E A(1) Ω(1) A(2) Ω(2) A(3) Ω(t) A(t) El plan τ va a producir una trayectoria a través de las posibles estructuras A(t) en el tiempo t (t=1, 2,...) a través de la selección de sucesivos operadores Ω(t). Cada estructura A(t) tiene asociada una capacidad μ(a(t))

7 Que es un algoritmo genético (GA)? Los algoritmos genéticos (GA) son algoritmos de búsqueda y optimización basados en los mecanismos de selección natural y genética. Los GA usan los siguientes mecanismos: 1. la sobrevivencia de los organismos con mejor capacidad dentro de una población 2. uso de secuencias de caracteres (generalmente 1s y 0s) en strings como representación del ADN de estos organismos 3. el uso de métodos aleatorios (random) para la generación de la población y para su reproducción

8 Población generación = n Mecanismo aleatorio de reproducción Población generación = n+1

9 Cómo se reproducen los algoritmos genético (GA)? Los GA se reproducen usando el siguiente algoritmo: 1. Esquema de codificación de la información de los miembros en strings (ADN de 1s y 0s) 2. Evaluación de capacidad (fitness) de cada miembro 3. Selección aleatoria de los miembros que se van a reproducir 4. Cruce de la información de los miembros (Crossover) 5. Mutación de la información

10 Condiciones necesarias para la evolución de los algoritmos genético (GA)? Las condiciones necesarias para la evolución son las siguientes: 1. Una entidad capaz de reproducirse 2. Una población de estas entidades 3. Una variedad en la reproducción 4. Alguna diferencia en la habilidad para sobrevivir de los miembros de la población (los mas capaces sobreviven) basada en el medio ambiente

11 Ejemplo de una máxima local y global f(x) = (x^3)*(sin(x))+x+2 máxima local (-2.22,3.58) máxima global (2.27, 8.11) Usando métodos basados en derivados (hill climbing) (df/dx)=0 podría resultar que nos quedáramos en la máxima local

12 Ejemplo de una función mas compleja ) ( 5 3 1) ( ) 5 10( ) 3(1 ), ( y x y x y x e e y x x e x y x f z + + = =

13 Resumen: Los algoritmos genéticos (GA) funcionan con una codificación de parámetros no los parámetros mismos Los GA son paralelos y evalúan múltiples posibles soluciones a las vez no en una dirección como los algoritmos basados en derivados (búsqueda lineal) Cada miembro de la población es una posible solución, los GA so algoritmos de búsqueda global no local Los GA usan funciones de costo no derivadas Los GA usan métodos estocásticos no determinísticos Al contrario de los métodos basados en derivados los GA no tiene un punto singular de búsqueda inicial Los métodos basados en derivados son mas rápidos ya que evalúan y buscan en una sola dirección a la vez

14 Ejemplo: Maximizar una función Encontrar el máximo de la siguiente función: f(x) = x 2 Dado que x es representada por 5 bits [1] parte 1: generar población inicial (generación = 1) (tamaño entre 50 a 100 miembros) (A 1 ) (B 1 ) (C 1 ) (D 1 ) 10011

15 Ejemplo (cont): parte 2: hacer reproducción para obtener nueva población (usando una ruleta) String Capacidad % Capacidad (A 1 ) (B 1 ) (C 1 ) (D 1 ) Total Ruleta: Se corre cuatro veces y da: A1 A1, B1, B1, D1 D1 B1 C1

16 Ejemplo (cont): parte 3: hacer cruce para obtener nueva generación (se eligen sitios de cruce aleatoriamente) Strings iniciales: (A 1 ) (B 1 ) (B 1 ) (D 1 ) Nuevos Strings (generación = 2) (A 2 ) (B 2 ) (C 2 ) (D 2 ) 10000

17 Ejemplo (cont): parte 4: se introducen mutaciones en la nueva población usando una probabilidad de mutación de cada gen (Ej. pm=.001) Nuevos Strings (generación = 2) (A 2 ) (B 2 ) (C 2 ) (D 2 ) Se vuelve a la parte 1 para las siguientes generaciones = 3,4,

18 Ejemplo2: Optimización con variables reales. Max f(x,y) = x sin(4π x) + sin(20π y) -3.0 x y

19 Ejemplo2 (cont): Representación: si el dominio de la variable x j es [a j, b j ] y la precisión requerida es 5 dígitos después del punto decimal el rango del dominio debe ser dividido en al menos (b j - a j )*10 5 rangos de igual tamaño. Los bits requeridos (m j ) serán: 2 m j 1 < ( b j a j )* m j 1

20 Ejemplo2 (cont): Bits necesarios para las variables: x: (12.1-(-3.0))*10.000= => 2 17 < => m 1 =18 y: ( )*10.000= => 2 14 < => m 2 =15 Longitud Total del cromosoma : m 1 + m 2 = 33 bits

21 Ejemplo2 (cont): Conversión de string a un número real: x j = a j + decimal ( substring b ) * 2 j m j a j 1 Número Binario Número Decimal x y x = * [12.1 (-3.0)] / [2 18 1] = y = * [ ] / [2 15 1] =

22 Ejemplo2 (cont): Algoritmo Parte 1: Crear Población Inicial Aleatoria generacion = 1 V 1 = [ ] V 2 = [ ]... V 50 = [ ] Corresponde a: V 1 = [x 1,x 2 ]= [ , ] V 2 = [x 1,x 2 ]= [ , ]... V 50 = [x 1,x 2 ]= [ , ]

23 Ejemplo2 (cont): Parte 2: Evaluación de capacidad f(x,y) = xsin(4π x) + sin(20π y) Eval(v 1 ) = f( , ) = Eval(v 2 ) = f( , ) = Eval(v 50 ) = f( , ) =

24 Ejemplo2 (cont): Parte 3: Selección de Cruces basado en Evaluación de capacidad y Ruleta Parte 4: Mutación Iterar para generaciones = 2, 3,... Cuando parar iteraciones: Hay varias condiciones posibles para parar iteraciones, algunas de ellas son: cuando generaciones sean un valor determinado cuando evaluación da un porcentaje del máximo valor deseado cuando capacidad máxima no cambia mucho en porcentaje muchas otras posibilidades!

25 Ejemplo3: Optimización de rutas en redes WDM. Definir conjunto de rutas que permite la comunicación entre todos los nodos deseados en una red Hay muchas posibles opciones por ejemplo entre (0,3): 0-1-3, 0-2-3, La idea es optimizar las rutas entre los nodos para minimizar el costo total de conexión de la red

26 Ejemplo3 (cont): Representación: cada individuo de la población codifica todas la rutas usadas por los m nodos de la red se utiliza un arreglo de 2 dimensiones, la primera dimensión indica el numero de la ruta la segunda indica todos los nodos usados en esta ruta el arreglo completo denominado padres contiene todos los individuos de la población

27 Ejemplo3 (cont): los pares de nodos de inicio y termino en una ruta (nodo1 y nodo2) se generan de acuerdo al código: for(j = 0 ; j < (m*m) - m ; j++) { nodo1 = j/(m - 1); nodo2 = (j/(m - 1) > j%(m - 1))? j%(m - 1) : (j%(m - 1) + 1); } para m=5 los pares de nodos generados son: (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (1,0), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,3), (2,4),..., (4,0), (4,1), (4,2), (4,3)

28 Ejemplo3 (cont): Por ejemplo, una población de 6 individuos (con m = 5) y las rutas para el primer individuo padres [ 0 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] Max población (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (1,0) (1,2) (4,3) [ ] [ 0 ] [ 4 ] [ 1 ] [-1 ] [ ] [ ] [ 0 ] [ 2 ] [-1 ] [ ] [ ] [ ] [ 0 ] [ 4 ] [ 1 ] [ 3 ] [-1 ] [ ] [...] [...] [...] [ 4 ] [ 1 ] [ 3 ] [-1 ] [ ] [ ] Para el primer individuo la ruta (0,1) es Fin de la rutas indicada por un -1

29 Ejemplo3 (cont): Algoritmo: 1- Crear población de padres inicial aleatoria, utiliza: elegir_ruta(m, nodo1, nodo2, matriz, padres[i][j], tipo_nodo, file_results); 2- Evaluar fitness de cada miembro de la población: fit[i].val = fitness(padres[i], m, beta, Nl, Ll); 3- Imprimir promedio, mejor y peor fitness 4- Generar ruleta usando metodo Fitness Proportionate: ruleta[0] = fit[0].val / fit_total; for (i = 1 ; i < tampobla ; i++) ruleta[i] = ruleta[i - 1] + (fit[i].val / fit_total);

30 Ejemplo3 (cont): 5- Elegir pares a cruzar (i1 e i2) usando ruleta: for(i = 0 ; i < tampobla/2 ; i++) { indiv1 = aleatorio(); indiv2 = aleatorio(); for(i1 = 0 ; indiv1 >= ruleta[i1] ; i1++); for(i2 = 0 ; indiv2 >= ruleta[i2] ; i2++); i1=3 i2=

31 Ejemplo3 (cont): 5(cont)- Cruzar pares seleccionados (i1 e i2) si aleatorio( ) es menor que probcruce (0 < probcruce 1): for(i = 0 ; i < tampobla/2 ; i++) { }... for(j = 0 ; j < (m*m - m) ; j++) copiar_ruta(padres[i1][j], hijos[2*i][j], m); for(j = 0 ; j < (m*m - m) ; j++) copiar_ruta(padres[i2][j], hijos[2*i + 1][j], m); if(aleatorio() < probcruce) cruce(hijos[2*i], hijos[2*i + 1], m); Nota: cruce( ) intercambia todas las rutas entre los pares

32 Ejemplo3 (cont): 6- Hacer mutación: for(i = 0 ; i < tampobla ; i++) { if(aleatorio() < probmut) mutacion(hijos[i], matriz, m, tipo_nodo,...); } Nota: mutación llama elegir_ruta(...) para mutar cada ruta si aleatorio() < P_MUTAC 7- Si quedan iteraciones por ejecutar volver al paso 2 8- Determinar el fitness del mejor individuo 9- Imprimir rutas del mejor individuo

33 Schema (o Esquema o Molde): Para analizar las características de los AG se introducen don t care bits usando el simbolo * para crear esquemas (schemata) usando el alfabeto {0, 1, *} Un esquema explícitamente reconoce las similitudes en una población de strings y eso ayuda en el análisis de los AG. Entonces, un esquema es un aparato para reconocer patrones: *0000 {10000, 00000} *111* {01110, 11110, 01111, 11111} Con estos bits se seleccionan todos los strings que corresponden a don t care bits

34 Teorema Fundamental: Let A = string binario (A=a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ) a n = 0 o 1 (alelos) then A =a 5 a 4 a 1 a 2 a 3 a 6 a 7 (nuevo orden) Definiciones a n un gen A i un string en una población A una población A(t) una población en una generación especifica

35 Teorema Fundamental (cont): Orden del esquema o(h): El orden de la esquema H es el numero de posiciones fijas presentes en una esquema. O(011*1**) = 4 Distancia definitoria del esquema δ(h): La distancia entre la primera y ultima posición definitiva δ(011*1**) = 5 1 = 4

36 Teorema Fundamental (cont): Asumamos que los strings son copiados a la nueva generación con una probabilidad basada en su valor de capacidad (fitness f i ) dividida por la total capacidad en la generación (fitness proportional reproduction): pi = f i / i fi

37 Teorema Fundamental (cont): Asumamos que m es el numero de copias de un esquema en una población de tamaño n en particular en la generación t m(h,t) Nota: f(h) es la capacidad promedio de todos los strings que corresponden al esquema H en la generación t Entonces en promedio, m(h, t + 1) = m(h, t) i n f i f(h)

38 Teorema Fundamental (cont): Si f = f es la capacidad promedio de la población completa, i fi / n i Entonces, m(h, t + 1) = (m(h, t) f(h)) / f

39 Teorema Fundamental (cont): Para ver cuales esquemas son afectados por un cruce y cuales no los son, consideren un string y dos esquemas asociados que lo representan ( = 7). A = H 1 = * 1 * * * * 0 H 2 = * * * 1 0 * * Si ocurre un cruce en la posición 3 y el material genético a la izquierda del cruce es intercambiado se ve que el esquema no sobrevive el cruce

40 Teorema Fundamental (cont): B = A = H 1 = * 1 * * * * 0 H 2 = * * * 1 0 * * Si ocurre un cruce en la posición 3 (entre A y B por ejemplo) el material genético a la izquierda del cruce es intercambiado se ve que el esquema H 1 no sobrevive el cruce porque tiene un elemento fijo (el 1) que va a ser intercambiado por un 0 en el string B

41 Teorema Fundamental (cont): Basado en el ejemplo previo se ve que no es muy difícil generalizar esta situación ya que mientras mas largo es el esquema (el valor de δ(h) vs ) mas pequeñas son las probabilidades de sobrevivencia. p d = δ(h x )/( -1) y p s = 1- p d = 1 - δ(h x )/( -1) mas generalmente (incluyendo la probabilidad de cruce p c que es siempre de 0 a 1) p s = 1 - p d 1 - δ(h x )/( -1) p c

42 Teorema Fundamental (cont): Entonces: p s = 1- p d 1 - δ (H) -1 Llegamos a la conclusión del teorema fundamental que es una versión analítica de algo que ya sabíamos intuitivamente y que combina los efectos de reproducción y cruce en el numero de un esquema en la próxima generación considerando su estado en la generación actual. p c m(h, t + 1) m(h, t) f(h) f 1- p c δ ( H ) 1

43 Teorema Fundamental (cont): Finalmente incluyendo la probabilidad de mutación p m y considerando que mientras mas posiciones fijas tiene el esquema (o(h)) mayor es la probabilidad de que sea destruido. Para que sobreviva un esquema todas las posiciones fijas tienen que sobrevivir, dado que la mutaciones son estadísticamente independientes obtenemos la probabilidad de sobrevivir una mutación de (1 p m ) o(h). Para valores pequeños (p m << 1) se aproxima con 1 o(h) p m El resultado final [1] se denomina Teorema Fundamental de los AG: m(h, t f(h) δ ( H ) + 1) m(h, t) 1- pc o( H ) p m f 1

44 Teorema Fundamental (cont): En el siguiente ejemplo se ve como de acuerdo a mf(h 1 )/ f del esquema H 1 se espera que sobrevivan 3.2 esquemas después del cruce. El promedio de la capacidad del esquema es: f(h 1 ) = ( )/2 = El promedio de fitness de la población es: Multiplicando por el numero de esquemas H 1 en el tiempo t (m(h 1,t) = 2) obtenemos m(h 1,t+1) = m(h 1,t)f(H 1 )/ f = (2*468.5)/293 = 3.2 f = 293

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46 Teorema Fundamental (cont): También basado en δ(h 1 ) = 0 se ve que el cruce no afecta ni un bit. Por ultimo con un P m = se que deberíamos tener m * P m = 3 * = bits afectados (o sea probablemente ninguno en este caso).

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48 Paralelismo en la búsqueda: El siguiente grafico ilustra el paralelismo en los esquemas en la búsqueda de soluciones de los algoritmos genéticos. B = A = H 1 = 1 * *

49 Algunos ejemplos de aplicaciones: Diseño de controlador PID usando GA [3] Diseño de controlador difuso usando GA [3] Navegación robótica usando GA [3], [4] Calibración de imágenes usando GA [4] Diseño de controlador H 2 usando GA [4] Generación de datos de prueba para programas usando GA [4] Minería de datos usando GA [4] Optimización de red neural usando GA [4]

50 Referencias: [1] Goldberg, D., Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison Wesley, NY, 1989 [2] Holland, J., Adaptation in Natural and Artificial Systems, MIT Press, 1995 [3] Jamshidi, M., et al., Robust Control Systems with Genetic Algorithms, CRC Press, Boca Raton, 2001 [4] Karr, C., Freeman. L, Industrial Aplications of Genetic Algorithms, CRC Press, Boca Raton, 2001

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