La actividad se centrará en dibujar alguna de estas curvas con instrumentos. efecto durante dos clases.

Transcripción

1 CURVAS TÉCNICAS Curvas cíclicas. Cicloide. Epicicloide. Hipocicloide. Pericicloide. Envolvente de la circunferencia TEMA. Objetivos y orientaciones metodológicas Para el estudio de estas curvas se hará ver al alumno que todas ellas son la trayectoria que describe un punto de una línea que rueda sin resbalar sobre otra. En cada caso se le indicarán la línea fija (base) y la línea móvil (ruleta), así como el punto generador de la curva. Igualmente se le indicará la forma tan sencilla de obtener puntos de las diversas cíclicas. Al menos se le citarán las aplicaciones de estas curvas en mecánica. La actividad se centrará en dibujar alguna de estas curvas con instrumentos. efecto durante dos clases. El desarrollo puede llevarse a Aplicación de las curvas cíclicas al trazado del perfil de los dientes de un engranaje. DIBUJO TÉCNICO" - Bachillerato 67

2 1. Curvas cíclicas Se llaman curvas cíclicas aquellas que se obtienen por el movimiento de un punto de una circunferencia o de una recta que rueda sin resbalar sobre otra circunferencia o sobre otra recta. La circunferencia móvil o la recta móvil se llama "ruleta" y la línea sobre la que se mueven se llama "base". Las curvas CÍclicas tienen gran importancia en dibujo industrial y en mecánica, sobre todo en el trazado de engranajes. Todas ellas se pueden trazar, como cualquier curva, por medio de arcos de circunferencia determinando un número suficiente de centros de curvatura, pero lo más práctico es determinar una serie de puntos de ellas, unirlos a lápiz a mano alzada y después pasar a tinta con la plantilla de curvas. De esta forma se han dibujado las curvas que se estudian a continuación. 2. La cicloide (Fig. 1) Se llama "cicloide normal" a la curva que describe un punto P de una circunferencia ruleta que rueda sin resbalar sobre una recta base. Para su trazado, se rectifica la ruleta de centro y radio O-P sobre la base; se tiene así el segmentop-p 2; este segmento y la ruleta se dividen en un número igual de partes iguales, doce en la figura; por los puntos 1', 2', 3'" de la base (que son puntos de tangencia instantáneos, llamados centros instantáneos de curvatura de la cicloide), se trazan perpendiculares a ella, con lo que se obtienen 01' 02' ", en la recta de 3 centros, que es la paralela por a la base. Para obtener puntos se opera así: la circunferencia de centro O y radio 0-1' y la paralela por 1 a la base se cortan en el punto P, de la cicloide normal. De la misma forma, la circunferencia de centro en 02 y la paralela por 2 se cortan en P 2 ; así se obtienen P 3 ' P 4 ' P s "" P 2 y al unirlos se obtiene una arcada de la cicloide normal. Cicloide acortada. A partir de la cicloide normal se obtiene la cicloide acortada, cuyo punto generador es R, interior a la ruleta y solidariamente unido a ella. En todas las posiciones se conserva constante la distancia 0- R. Se lleva el segmento O-R sobre el radio O -P a partir de O y se tiener ; llevandoo-r sobre 02-P2 se obtiene R 2 y así sucesivamente se obtienenr, 3 R 4, R 2' puntos de la cicloide acortada. Cicloide alargada. A partir de la cicloide normal se obtiene la cicloide alargada, cuyo punto generador es 0, exterior a la ruleta y solidariamente unido a ella. En todas las posiciones se conserva constante la distancia O-o. Se lleva O-O sobre los radios O -P, 02-P2' etc., a partir de los centros O, 02' etc., y se obtienen los puntos O, 02' " Si la ruleta sigue rodando, se forma otra 3 arcada de cicloide alargada y se produce un lazo, cuya mitad está dibujada en la figura. Las tangentes en puntos cualesquíeraic, P 7 y 0 7 de las tres curvas son perpendiculares a las rectasfc- 7', P 7-7' Y 7-7', que son las respectivas normales en los citados puntos. ACORTADA Fig DIBUJO TÉCNICO" - Bachillerato

3 3. La epicicloide (Fig. 2) Si imaginariamente se curva la Fig. 1 de forma que la base se transforme en una circunferencia, se obtiene la Fig. 2. Según esto, las construcciones son similares. La epicicloide es la curva que describe un punto P de una circunferencia ruleta que rueda sin resbalar sobre otra circunferencia que hace de base y exteriormente a ella. La base es la circunferencia de centro O' y radio O'-P y la ruleta exterior es otra circunferencia tangente a ella enp, de centro O"y radio O"-P Se divide la ruleta en un número de partes iguales, doce en la figura; se llevan estas partes sobre la base, para lo cual se calcula el ángulo central de n grados que abarca la longitud 2nO"-Pde la ruleta, curvificada sobre la base; este ángulo de n? se calcula por medio de una regla de tres: nO'-P no 2nO"-P O" P c::> no = r O'-P R El ángulo central de ri? se divide también en doce partes y se opera luego como en la cicloide. La circunferencia de centro 0 1 y radio 0 1-1' y la circunferencia concéntrica con la base que pasa por 1 se cortan enp 1 Así se obtienen P z ' P3, P. En la figura 6 están dibujadas dos medias arcadas de la curva. La epicicloide acortada y la epicicloide alargada se engendran por el movimiento de los puntos R yo, respectivamente, ligados solidariamente a la ruleta. La obtención de los puntos de estas curvas es la misma que para la cicloide. En la figura se trazan las tangentes curvas en los puntos P; 05 y R5 t, t' Y t" a las RULETA NORMAL ALARGADA ACORTADA O' 6' BASE Fig. 2. DIBUJO TÉCNICO 11- Bachillerato 69

4 4. La hipocicloide (Fig. 3) Esta curva está engendrada por el punto P de la circunferencia "ruleta" de centro que rueda sin resbalar interiormente sobre la circunferencia base de centro 0'. Para la obtención de puntos de esta curva se divide la ruleta en partes iguales, doce en la figura; se obtiene el ángulop-0'-p 12 de la base, cuyo arco tenga una longitud igual a la longitud de la ruleta; esto se consigue como en la curva anterior no= siendo r y R los radios de la ruleta y de la base, respectivamente. Se divide el arcop-p 12 en doce partes iguales, puntos 1',2',3', etc., y se unen cono'; estos radios cortan en 01' 2, 3,etc., a la circunferencia de centro O'y radio 0'-0, que son los centros de las sucesivas posiciones de la ruleta. r R Se trazan la ruleta de posición Yla circunferencia en 1 de centro O' y que pase por 1; ambas se cortan en el puntop 1 de la hipocicloide normal; igualmente, la ruleta de centro 02y la circunferencia concéntrica con la base que pase por 2 se cortan enpz; así se obtienen los puntos P 3, P 4, P 12 Para la hipocicloide alargada se elige el punto generador R, exterior y solidariamente unido a la ruleta; se une 01 conp 1 y se lleva a partir dep 1 el segmentop-r, con lo que se obtíene P.: igualmente, uníendo O, conp 2 y llevando a partir de P, el segmentop-r, se obtiene R, así se obtienen los puntos x; R 4, R 12 Para la hipocicloide acortada se elige el punto generador O, interior y solidariamente unido a la ruleta; en la recta 01-P 1 se toma = O-O Yse obtiene 0 1 ; en la recta 02-P2 se lleva O = O-O y se obtiene O 2 ; igualmente se obtienen los demás puntos de la curva. NORMAL ALARGADA { ACORTADA RULETA Fig DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato

5 5. La pericicloide. Normal, alargada y acortada. Tangente y normal en un punto de cada una de ellas (Fig.4) La circunferencia base es la de centro O y la ruleta es la de centro O'. Los puntos generadores sonp yr l' 1 1 de la normal, alargada y acortada, respectivamente. Para obtener un punto de la normal, por ejemplo elp, 4 se trazan la posición de la ruleta con centro 0 4 y radio hasta 4 y la circunferencia de centro Oque pasa por 4', punto correspondiente de las divisiones de la ruleta en su posición inicial. En la figura se ha curvificado la base sobre la ruleta de forma que el arco 1-2 de la base tiene la misma longitud que el arco 1-2' de la ruleta. Para los puntos de la acortada y de la alargada, se lleva, por ejemplo, para el punto P 4 ' sobre la recta 04P4' la distancia PIR para la acortada y obtenemos R4 y p O para la alargada y obtenemos 04' La normal en P 4 es la recta4-p 4 ; eti R es la recta4-r 4, y en Q4' la recta 4-04 Las tangentes en estos puntos son perpendiculares a las respectivas normales. 05 RULETA Fig. 4. DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 71

6 6. Envolvente de una circunferencia (Fig. 5) Esta curva se define como el lugar geométrico de las posiciones que va ocupando un punto de una recta que, siendo tangente a una circunferencia, camina sin resbalar sobre ella. El punto generador es el punto T; la circunferencia base es la de centro O y la ruleta es la recta t tangente en el punto T. 8 Para su trazado se divide la circunferencia en una serie de partes iguales, cuantas más, mejor, y se trazan las tangentes en los puntos obtenidos. Haciendo centro en los puntos de intersección de cada dos tangentes consecutivas y con radio hasta el punto anterior obtenido, se traza un arco de la curva. El segmento T-16 sobre la tangente en T, resulta ser la longitud de la circunferencia base. Esta curva se emplea para el trazado del perfil de los dientes de las ruedas dentadas (método de envolvente). 7. La envolvente de la circunferencia como pericicloide (Fig. 6) La envolvente de la circunferencia se puede construir también como una pericicloide. Así, en la Fig. 6, se divide la circunferencia base en un número de partes iguales, se rectifica ésta sobre la ruletas y se divide esta rectificación en el mismo número de partes iguales Un punto, por ejemplo elp4' se obtiene trazando la tangente a la base en 4 hasta que corte al arco de centro e y radio hasta la división 4 de la ruleta. Los demás puntos se obtienen de la misma forma. Fig. 5. s l.i..j...., --.J cv ~ a:: 16 2nr 2nr Fig DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato