Integración por el método de Monte Carlo

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1 Integración por el método de Monte Carlo Georgina Flesia FaMAF 7 de abril 2015

2 El método de Monte Carlo El método de Monte Carlo es un procedimiento general para estudiar procesos mediante la seleccion de muestras aleatorias de una población. La denominación Monte Carlo fue popularizado por los científicos Stanislaw Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann, y Nicholas Metropolis, entre otros, quienes ya trabajaban sobre muestreo estadístico. Hace referencia al Casino de Montecarlo en Mónaco, dado que uno de los primero sistemas estudiados fue el de la ruleta de dicho casino.

3 Aplicación en cálculos matemáticos Este método se utiliza para calcular numéricamente expresiones matemáticamente complejas y difíciles de evaluar con exactitud, o que no pueden resolverse analíticamente. Algunos ejemplos son: Cálculo de integrales definidas Aproximaciones al valor de π. y el número de Euler e

4 Cálculo de integrales definidas Se tienen en cuenta los siguientes resultados: Si X es una variable aleatoria con densidad f y g : R R es una función, entonces el valor esperado de la v. a. g(x) es E[g(X)] = g(x) f (x) dx. Ley Fuerte de los Grandes Números: Si X 1, X 2,... es una sucesión de v. a. i. i. d., todas con media µ, entonces lim n X 1 + X 2 + X n n = µ.

5 Integración sobre (0, 1) Ejemplo Calcular θ = 1 0 g(x) dx. Si U U(0, 1), entonces θ = E[g(U)]. Si U 1, U 2,... v.a.i.i.d., uniformes en (0, 1), entonces g(u 1 ), g(u 2 ),... son v.a.i.i.d., con media θ. Luego lim n n i=1 por la ley de los grandes numeros g(u i ) n = θ.

6 g(x) = (1 x 2 ) 3/2 n = 20, Área=

7 g(x) = (1 x 2 ) 3/2 n = 100, Área=

8 g(x) = (1 x 2 ) 3/2 n = 300, Área=

9 g(x) = (1 x 2 ) 3/2 Analíticamente, comenzamos usando la sustitución x = sen(θ), dx = cos(θ)dθ. Entonces (1 x 2 ) 3/2 dx = (1 sen(θ) 2 ) 3/2 cos(θ)dθ = = (cos(θ) 2 ) 3/2 cos(θ)dθ = (cos(θ) 4 )dθ Aplicando las fórmulas trigonométricas: cos(θ) 2 = (1 + cos(2θ))/2 (1) cos(2θ) 2 = (1 + cos(4θ))/2 (2)

10 g(x) = (1 x 2 ) 3/2 Se puede reducir la integral a integrales de términos constantes y términos de cosenos: cos(θ) 4 dθ = ((1 + cos(2θ))/2) 2 )dθ = = (1/4)dθ + (1/4) cos(2θ) 2 dθ + (1/2) cos(2θ)dθ y se vuelve a aplicar la relación trigonométrica (2) al segundo término, las otras dos son inmediatas: cos(2θ) 2 dθ = (1 + cos(4θ))/2)dθ

11 g(x) = (1 x 2 ) 3/2 Así,pues, te queda: (cos(θ) 4 )dθ = (1/4)dθ + (1/4)(1 + cos(4θ))/2)dθ+ aplicando que: + (1/2) cos(2θ)dθ = (1/4)θ + (1/8)(θ + (1/4)sen(4θ)) + (1/4)sen(2θ) = (3/8)θ + (1/32)sen(4θ)) + (1/4)sen(2θ) cos(aθ)dθ = (1/a)sen(aθ)

12 g(x) = (1 x 2 ) 3/2 Analíticamente: 1 0 g(x) dx = π/2 0 (cos(θ) 4 )dθ = (3/8) π 2 +(1/4).sen(π)+(1/32).sen(2π) = 3 π Por Monte Carlo n Aproximación

13 Integración sobre (a, b) Ejemplo Calcular θ = b a g(x) dx, con a < b. Realizamos el cambio de variables y = x a b a, dy = 1 b a dx b g(x) dx = 1 a 0 g(a + (b a)y)(b a) dy = 1 0 h(y) dy.

14 Integración en (a, b) g(x) = e x+x 2 en ( 1, 1)

15 Integración en (a, b) g(x) = sen(x) en (0, 2π)

16 Integración en (a, b) g(x) = cos(x) en (π, 3π)

17 Integración sobre (0, ) Ejemplo Calcular θ = 0 g(x) dx. Realizamos el cambio de variables 0 y = 1 x + 1, dy = 1 (x + 1) 2 dx = y 2 dx g(x) dx = 0 1 g( 1 y 1) 1 g( 1 y y 2 dy = 1) 0 y 2 dy = 1 0 h(y) dy.

18 Integración sobre (0, ) g(x) = e x

19 Integración sobre (0, ) g(x) = 1 (2 + x 2 )

20 Integración sobre (0, ) g(x) = x (1 + x 2 ) 2

21 Integración sobre (0, ) Si usamos el siguiente cambio de variables y = 1 1 x + 1, dy = (y 1)2, entonces la transformación está dada por una función creciente y : [0, ] [0, 1). Se tienen entonces los siguientes gráficos:

22 Integración sobre (0, ) g(x) = e x

23 Integración sobre (0, ) g(x) = 1 (2 + x 2 )

24 Integración sobre (, ) Para resolverla tenemos que identificar la paridad de la función. 1. Si la función es par, la integral en el rango (, ) es dos veces la integral en (0, ). 2. Si la función no es par, entonces debo partir el rango (, ) en 2.1 (0, ) hacer cambio de variables al [0, 1] 2.2 (, 0), por ejemplo, mandar al (0, ) usando el negativo de la función y luego al [0, 1] con un cambio de variables

25 Integrales múltiples El método de Monte Carlo para el cálculo de integrales en una variable no es muy eficiente, comparado con otros métodos numéricos que convergen más rápidamente al valor de la integral. Pero sí cobra importancia en el caso del cálculo numérico de integrales múltiples: g(x 1,..., x l ) dx 1... dx l

26 Integrales múltiples Para calcular la cantidad θ = g(x 1,..., x l ) dx 1... dx l utilizamos el hecho que θ = E[g(U 1,..., U l )] con U 1,..., U l independientes y uniformes en (0, 1).

27 Si U 1 1,..., U 1 l U 2 1,..., U 2 l. U n 1,..., U n l son n muestras independientes de estas l variables, podemos estimar n g(u1 i θ,..., Ui l ) n i=1

28 g(x, y) = e (x+y) en (0, 1) (0, 1)

29 Calculo aproximado del valor del numero de Euler e El número de Euler aparece como resultado de muchas ecuaciones, en especial e = n=0 Si vemos que este límite como la esperanza de una variable aleatoria, podemos estimarlo por Monte Carlo 1 n!

30 Calculo aproximado del valor del numero de Euler e Supongamos que U 1, U 2,..., U n son v.a. uniformemente distribuidas n en el (0, 1), definimos como S n = U i. y como N a la variable i=1 aleatoria dada por { } n N = min n : U i > 1 = min {n : S n > 1}. i=1 La variable N cumple que E[N] = e. Por lo cual, el valor de e puede ser aproximado por Monte Carlo. e N min { n : Sn i > 1 } i=1 N

31 Calculo aproximado del valor del numero de Euler e U 1, U 2,..., U n i.i.d. U(0, 1), S n = n U i., N = min {n : S n > 1}. i=1 E[N] = n P[N = n]. n=2 P[S n > 1] = P[S n 1 > 1] + P[N = n], por lo cual P[N = n] = P[S n > 1] P[S n 1 > 1].

32 Cálculo de P[S n > 1] Sea f n la función de densidad de la variable aleatoria S n, n 1. Entonces f n (x) = x n 1 (n 1)! para todo 0 < x < 1 EJERCICIO DEL PRACTICO!!!!!!

33 Cálculo de E[N] Tenemos que P[S n > 1] = 1 P[S n 1] = 1 P[N = n] = E[N] = n=2 1 0 f n (t)dt = 1 1 n!. ( 1 1 ) ( ) 1 1 = n 1 n! (n 1)! n! n n 1 n! = n=2 1 (n 2)! = 1 n! = e. n=0

34 Cálculo aproximado el valor de π Recordemos que el área de un círculo de radio r es π r 2, y por lo tanto π es el área del circulo de radio 1 centrado en el cero. Supongamos elegir un punto de coordenadas (X, Y ) al azar en el cuadrado, la probabilidad de que dicho punto este dentro del circulo es P((X; Y )este en el circulo = P(X 2 + Y 2 < 1) = area del circulo areadelcuadrado = π 4

35 Cálculo aproximado el valor de π Por lo cual si simulamos puntos al azar en el cuadrado, podemos aproximar esta probabilidad por la fraccion de puntos simulados que caen dentro del circulo.

36 Cálculo aproximado el valor de π Si X e Y son v.a.i.i.d., uniformes en ( 1, 1), ambas con densidad f (x) = 1 en ( 1, 1), entonces su densidad conjunta será: 2 f (x, y) = f (x)f (y) = 1, en ( 1, 1) ( 1, 1). 4 Por lo tanto (X, Y ) es un vector con distribución uniforme en ( 1, 1) ( 1, 1).

37 Cálculo de π Si U 1, U 2 U(0, 1) independientes entonces X = 2U 1 1 Y = 2U 2 1 son independientes con distribucion X, Y U( 1, 1). La variable indicadora { 1 si X 2 + Y 2 1 I = 0 c.c. cumple E[I] = P(X 2 + Y 2 1) = π 4.

38 Algoritmo para el cálculo de π Algorithm 1: Generar π PI 0; for i = 0 to n do Generar U, V U(0, 1); X 2U 1; Y 2V 1; if X 2 + Y 2 1 then PI PI + 1 end end PI 4 PI/n

39 La aguja de Buffon Un problema planteado en el s. XVIII por Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, fue la siguiente: Se tienen rectas paralelas equidistantes entre sí, y se arroja una aguja de longitud mayor o igual a la distancia entre dos rectas. Cuál es la probabilidad que una aguja corte a una de las rectas?

40 La aguja de Buffon

41 La aguja de Buffon θ l x l 2 sen(θ) t

42 La aguja de Buffon t la distancia entre las rectas. l la longitud de la aguja. θ la medida del ángulo agudo entre la aguja (o su prolongación) y una de las rectas. x la distancia entre el punto medio de la aguja y la recta más cercana x y θ son v.a. uniformes con distribución f (x) y g(θ): f (x) = 2 t, g(θ) = 2 π.

43 La aguja de Buffon Una aguja cortará la recta si y sólo si la distancia de su centro a una de las rectas es menor que l 2 sen(θ), es decir x < l 2 sen(θ). P(la aguja corte la recta) = π/2 0 l 2 sen(θ) P(la aguja corte la recta) = 2l π t. Tomando l = t, obtenemos aproximaciones a 2 π dx dθ t π

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