FORMULACIÓN DE UN ALGORITMO GENÉTICO PARA EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE ÓRDENES DE TRABAJO DE UNA EMPRESA DE ARTES GRÁFICAS

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1 FORMULACIÓN DE UN ALGORITMO GENÉTICO PARA EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE ÓRDENES DE TRABAJO DE UNA EMPRESA DE ARTES GRÁFICAS PROYECTO DE GRADO Javier mauricio gamboa salgado Código: John alexander gómez marulanda Código: FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE INGENIERÍA IX SEMESTRE DE INGENIERÍA DE SISTEMAS BOGOTÁ 1

2 FORMULACIÓN DE UN ALGORITMO GENÉTICO PARA EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DE ÓRDENES DE TRABAJO DE UNA EMPRESA DE ARTES GRÁFICAS PROYECTO DE GRADO JOHN ALEXANDER GÓMEZ MARULANDA Código: JAVIER MAURICIO GAMBOA SALGADO Código: Proyecto investigativo para optar al título de Ingeniero de Sistemas Director de proyecto de grado Ingeniero JUAN CARLOS GALEANO HUERTAS FUNDACIÓN UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE INGENIERÍA IX SEMESTRE DE INGENIERÍA DE SISTEMAS BOGOTÁ 2

3 NOTA DE ACEPTACIÓN Presidente del Jurado Jurado Jurado 3

4 4 A los futuros individuos Konradistas.

5 AGRADECIMIENTOS A mi familia, especialmente a mis padres, Enrique y Clara, y a mi esposa, Carolina, por la compresión y aliento inagotables. Javier Gamboa A Dios porque en él está mi vida, a mi esposa, Heidi, porque sin ella no habría empezado esta parte del camino que hoy culmina y a mi hijo, Jiordie, porque en él retomo fuerzas. Alexander Gómez 5

6 CONTENIDO Pág. 1 EXISTE UN PROBLEMA DEFINICIÓN DE ENTRADAS DEL PROBLEMA Orden de Producción Proceso Centro de Producción Orden de Trabajo CUAL ES LA PROPUESTA PARA SOLUCIONARLO? PARA COMENZAR CON ALGORITMOS GENÉTICOS QUÉ SON LOS ALGORITMOS GENÉTICOS? DESCRIPCIÓN DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS AG Problema de optimización MODELAMIENTO DEL ALGORITMO GENETICO TRABAJOS REALIZADOS Programación de tienda abierta Programación de producción Secuenciación dinámica DEFINICIONES PROPIAS DEL ALGORITMO GENÉTICO Individuos Cromosomas Alelos GENERACIÓN DE LA POBLACIÓN INICIAL PROCESO DE SELECCIÓN PROCESO DE CRUCE PROCESO DE MUTACIÓN DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DE EVALUACIÓN (FITNESS) Cumplimiento (C ) Colisiones (T ) Ocupación de centros de producción (P ) FUNCIÓN DE EVALUACIÓN (FITNESS) EVALUACIÓN DE PROTOTIPOS CONDICIONES PARA LA GENERACIÓN DE PROTOTIPOS Datos de trabajo Proceso de selección Probabilidades de cruce y mutación PROTOTIPO Condiciones del algoritmo Resultados del prototipo

7 4.2.3 Análisis de la situación en el prototipo Acciones para el siguiente prototipo Consideraciones para tener en cuenta en el próximo prototipo PROTOTIPO Condiciones del algoritmo Resultados del prototipo Análisis de la situación en el prototipo Acciones para el siguiente prototipo PROTOTIPO Condiciones del algoritmo Resultados del prototipo Análisis de la situación en el prototipo Acciones para el siguiente prototipo PROTOTIPO Condiciones del algoritmo Resultados del prototipo Análisis de la situación en el prototipo Acciones para el siguiente prototipo PROTOTIPO Condiciones del algoritmo Resultados del prototipo Análisis de la situación en el prototipo Acciones para el siguiente prototipo COMPARACIÓN DEL PROTOTIPO EVALUACIÓN Y COMPARACIÓN DE RESULTADOS TIEMPO DE EJECUCIÓN Comparación en tiempo de ejecución MEJOR INDIVIDUO Comparación del mejor individuo PROMEDIO DE EVALUACIÓN GENERACIÓN MEJOR INDIVIDUO CUMPLIMIENTO Comparación del cumplimiento COLISIONES Evaluación de las colisiones CONCLUSIONES SUGERENCIAS REFERENCIAS

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9 LISTA DE ILUSTRACIONES Pág. Ilustración 1 - Pasos para solucionar analíticamente el problema de programación de planta de producción Ilustración 2 - Esquema general del funcionamiento de un AG Ilustración 3 - Gráfica de la función a optimizar Ilustración 4 - Modelo general del AG propuesto Ilustración 5 Vista previa de la ejecución del prototipo Ilustración 6 Vista previa de la ejecución del prototipo Ilustración 7 - Vista previa de la ejecución del prototipo Ilustración 8 - Vista previa de la tabla de resultados obtenida en la ejecución del prototipo Ilustración 9 - Vista previa de la ejecución del prototipo

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11 RESUMEN En el desarrollo del presente trabajo se propone generar una solución al problema de programación de planta de producción mediante la utilización de algoritmos genéticos, usándolos como técnica que permita no sólo cubrir las necesidades que ya abordan soluciones analíticas sino ir mas allá proponiendo una nueva organización de los recursos y de los trabajos a realizar, y permitiendo a través de ellos explorar al máximo el universo de posibilidades que se pueden presentar para solucionarlo. Se plantea un enfoque práctico que guía al lector por la conceptualización y el modelamiento de un algoritmo genético elemental, para luego proponer un modelo que represente una solución del problema planteado. 11

12 INTRODUCCION Procesar alrededor de trescientos pedidos diarios de clientes que necesitan cada uno el suyo sin retraso, cada pedido con una serie de pasos que deben ser ejecutados minuciosamente para cumplir con los requerimientos exigidos, contando sólo con noventa máquinas para llevar a cabo los procesos, es una tarea que de entrada suena titánica. Adicionalmente, si a lo anterior se agrega que las tareas deben ser ejecutadas en un orden específico, que dependen en cierta proporción de la mano de obra y que día a día están llegando nuevos pedidos de clientes que exigen el mismo cumplimiento y una excelente calidad, el procesamiento de los pedidos se convierte en una tarea bastante compleja. Durante mucho tiempo se han solucionado estos y otros problemas de igual o mayor envergadura realizando análisis complejos o aplicando una metodología que pocas personas se atreven a modificar y mucho menos tratan de cuestionar la idoneidad o la obtención de una mejor solución. Un escenario bastante desalentador se vislumbra cuando se verifica que obtener una solución a estos problemas puede demandar grandes cantidades de tiempo y recursos tanto técnicos como humanos. Es por esto que se realiza un algoritmo genético que pueda ser utilizado en la programación de planta de producción de una empresa de artes gráficas. En el desempeño de esta labor, es necesario realizar una representación válida de los elementos que componen el problema y una función que permita evaluar cada una de las soluciones obtenidas. De igual forma, es prioritario evaluar la calidad de las soluciones obtenidas respecto a la utilizada en una empresa del sector productivo objeto del presente trabajo. 12

13 El anterior panorama, plantea entonces la utilización de la tecnología representada en elementos de hardware y software como una herramienta para modelar este tipo de procesos complejos, de modo que sus resultados puedan llegar a ser tan confiables, que la administración y organización de los recursos de producción se puedan dejar prácticamente en sus manos. 13

14 1 EXISTE UN PROBLEMA 1 El sector manufacturero transforma materias primas en productos mediante la ejecución de procesos manuales o automáticos. De este sector se divide un grupo de empresas que se dedican a elaborar productos a la medida de las necesidades, es decir, las especificaciones, materias primas a utilizar y condiciones entre otras características son definidas por el cliente, lo que hace que cada producto sea totalmente nuevo a la hora de producirlo; las empresas de artes gráficas se encuentran en este grupo. Al no tener productos que se elaboren de la misma forma y en cantidades regulares, es necesario hacer una programación dinámica de la planta de producción en la cual se asegure el cumplimiento de los compromisos adquiridos con el cliente. Esta programación debe tener en cuenta todos los procesos que se deben ejecutar para terminar la elaboración de un producto, los tiempos que se toma para terminar cada proceso, la complejidad del mismo a la hora de ejecutarlo y el proceso que debe estar terminado antes de poder empezar uno nuevo. El problema consiste en hacer la programación de la planta de producción de una empresa de artes gráficas considerando las situaciones expresadas anteriormente, permitiendo optimizar los recursos que se utilizan para la ejecución de los procesos y cumpliendo los compromisos adquiridos. 1 La información de este capítulo es obtenida a partir de la experiencia de los autores en el sector manufacturero, específicamente en empresas de artes gráficas. 14

15 1.1 DEFINICIÓN DE ENTRADAS DEL PROBLEMA Es de vital importancia realizar una buena definición de las entradas que influyen en su problema, dado que con base en ellas se desarrollará el proceso que intentará solucionar el problema específico. Para este problema se definen las variables especificadas a continuación Orden de Producción. La orden de producción (OP) corresponde a la orden que el área de ingeniería de producto o planeación hace a la planta de producción, en la cual consigna todas las especificaciones técnicas necesarias para llevar a cabo la producción del producto según lo acordado previamente con el cliente. Adicionalmente, en la OP se ingresan los datos correspondientes a cantidades, fechas de entrega, condiciones de negociación y aspectos técnicos adicionales de relevancia para el proceso productivo. De acuerdo a lo anterior y según el conocimiento y la experiencia de la industria gráfica y manufacturera, el área de ingeniería de producto o planeación plasma en la orden de producción la respuesta a las preguntas: qué se hace? y cómo se hace? Características de la orden de producción. A continuación se presentan las características de la orden de producción que se tendrán en cuenta para el desarrollo del algoritmo propuesto. Cantidad: Es la cantidad de ejemplares o productos completos que la planta de producción debe elaborar. Fecha de entrega: La fecha de entrega corresponde al día en que se debe terminar de procesar la orden de producción en la planta para preparar la entrega del producto terminado al cliente. 15

16 1.1.2 Proceso. Es la acción o actividad que se ejecuta durante el proceso productivo sobre una orden de producción o parte de ella, en consecuencia, el proceso siempre es ejecutado por un centro de producción. En cualquier planta de producción un proceso debe poder ser ejecutado por al menos un centro de producción, sin importar si la acción se desempeña de forma manual o automática Características del proceso. A continuación se presentarán las características del proceso que se tendrán en cuenta para el desarrollo del algoritmo propuesto. Predecesor: Esta característica es de vital importancia para la programación de la planta de producción ya que corresponde al proceso que debe ser ejecutado antes de realizarse el proceso actual. Para este trabajo se define que un proceso sólo puede tener un predecesor, aunque no necesariamente deba tener uno Centro de Producción. Como centro de producción (CP) puede catalogarse el lugar específico en el que se desarrolla uno o más procesos. La naturaleza de los CP está dada por la forma como se llevan a cabo las actividades dentro de él. Por lo tanto pueden ser de tipo manual, que corresponde a una persona o grupo de ellas que se dedica a realizar actividades manuales sobre una orden de producción o automático en el que una máquina ejecuta acciones o actividades sobre una orden de producción. Con base en los anteriores conceptos, se puede concluir que el CP es la máquina, persona o grupo de personas que ejecutan una serie de procesos sobre la orden 16

17 de producción para lo cual pueden consumir o transformar una materia prima determinada. Un CP debe ejecutar una serie de procesos secuencialmente. Sin embargo, si un centro de producción ejecuta dos procesos simultáneamente sobre una OP, éstos deben ser agrupados y nombrados como uno solo para que se puedan llevar a la programación en la planta Características del centro de producción. A continuación se presentarán las características del centro de producción que se tendrán en cuenta para el desarrollo del algoritmo propuesto. Disponibilidad: Es una variable sumamente importante para la programación de la planta ya que expresa el tiempo en horas al día que el centro de producción está disponible para ejecutar los procesos. Procesos que ejecuta: Esta es una lista de los procesos que pueden ser ejecutados en el centro de producción. En cada uno de los procesos se debe especificar su rendimiento. Rendimiento por proceso: Corresponde a la cantidad de unidades que el centro de producción puede hacer por hora ejecutando un proceso determinado Orden de Trabajo La orden de trabajo (OT) es la especificación técnica en cuanto a la ejecución de los procesos, los tiempos en que deben ser ejecutados y las cantidades que deben salir al fin de la ejecución. Una orden de trabajo corresponde a un solo centro de producción y a un único proceso a ser ejecutado en dicho centro, por lo tanto se crean tantas órdenes de trabajo por orden de producción como procesos se empleen para realizarla. 17

18 Las órdenes de trabajo se crean de acuerdo a la explosión de procesos que se hace en la ingeniería de producto o planeación Características de la orden de trabajo. A continuación se presentarán las características de la orden de trabajo que se tendrán en cuenta para el desarrollo del algoritmo propuesto. Orden de producción: Orden de producción a la cual pertenece la orden de trabajo. Proceso: Identifica el proceso que se debe ejecutar en la orden de trabajo. Centro de producción: Así como el proceso, esta característica identifica el centro de producción que ejecutará el proceso correspondiente. Prioridad: La prioridad es puesta por defecto desde ingeniería de producto o planeación con el mismo nivel para todas las órdenes de trabajo nuevas, sin embargo, el programador de la planta de producción puede modificar la prioridad en caso de que se deba ejecutar una orden de trabajo en cierto orden específico, dando una prioridad mayor a esta en el proceso de programación. Cantidad: Contrario a lo que se puede pensar, la cantidad de la OT no siempre corresponde a la cantidad de la orden de producción. Con mayor exactitud, en la OT la cantidad refleja el número de unidades que se deben procesar. En la mayoría de los procesos, la cantidad a ejecutar es mayor a la cantidad de la orden de producción, dado que se agregan desperdicios o en algunos casos de acuerdo al proceso, este se debe ejecutar dos o más veces. Se debe aclarar que esta cantidad es determinada por el proceso de ingeniería de producto o planeación de la orden de producción. Eficiencia: Corresponde a la eficiencia con que el centro de producción ejecuta un proceso en una orden de trabajo determinada, por defecto, la 18

19 eficiencia es definida en planeación, pero igualmente el programador puede cambiar la eficiencia de acuerdo a las condiciones físicas del trabajo a realizar. Tiempo: De acuerdo al rendimiento que tiene el centro de producción configurado para ejecutar un proceso, a la cantidad que se debe ejecutar y a la eficiencia con que esté configurada la orden de trabajo, se calcula el tiempo que se va a tardar para procesar la cantidad requerida. Esta característica se ingresa durante el proceso de programación ya que es allí cuando se conoce el tiempo de ejecución. Fecha de inicio: De acuerdo al proceso de programación esta variable es calculada y corresponde a la fecha y hora en que el centro de producción debe empezar a procesar la orden de trabajo. Fecha final: Es el resultado de sumar a la fecha de inicio de ejecución del proceso, el tiempo que se tarda en realizarse el mismo, es decir, corresponde a la fecha y hora en que el centro de producción debe finalizar la ejecución de la orden de trabajo. 1.2 CUAL ES LA PROPUESTA PARA SOLUCIONARLO? La ilustración 1 muestra la forma analítica de solucionar el problema, tal y como se hace en varias empresas de artes gráficas: 19

20 Ilustración 1 - Pasos para solucionar analíticamente el problema de programación de planta de producción En las soluciones analíticas del problema, resulta bastante complicado agregar variables de decisión, tales como dividir el trabajo para que sea ejecutado paralelamente, o ejecutar el trabajo utilizando un recurso más eficiente o por lo menos diferente al inicialmente configurado. 20

21 De igual forma, cuando el número de órdenes de producción crece o se introducen nuevas variables, hacer el análisis se vuelve una tarea dispendiosa y complicada. Debido al anterior panorama, se propone dar solución al problema mediante la utilización de la técnica de algoritmos genéticos. 21

22 2 PARA COMENZAR CON ALGORITMOS GENÉTICOS 2.1 QUÉ SON LOS ALGORITMOS GENÉTICOS? Los algoritmos genéticos (AG) son métodos utilizados para resolver problemas complejos de búsqueda y optimización, inspirados en la naturaleza y específicamente en el proceso evolutivo de los seres vivos. Según Charles Darwin [7], a lo largo de las generaciones, las poblaciones evolucionan en la naturaleza de acorde con los principios de la selección natural y la supervivencia de los más aptos. El medio ambiente ejerce una presión sobre las especies de tal forma que algunos individuos sobreviven y otros no. Aquellos seres que sobreviven tienen la oportunidad de reproducirse y al hacerlo se dice que sus características pasan a la siguiente generación. Estas características son transmitidas por los padres a sus hijos a través de los genes. Por imitación de este proceso, los AG son capaces de ir creando soluciones para problemas del mundo real. La evolución de dichas soluciones hacia valores óptimos del problema, depende en buena medida de una adecuada evaluación de las mismas. Goldberg en [1] define los algoritmos genéticos de la siguiente manera. Los algoritmos genéticos, AG, con algoritmos de búsqueda basados en mecanismos de selección y de genética natural. Ellos combinan la ley del más fuerte entre estructuras de cadenas con intercambio de información estructurada y aleatoria para formar un algoritmo de búsqueda con algunas de las innovadoras bondades de la búsqueda humana. En cada generación, es creado un nuevo conjunto de criaturas artificiales usando bits y partes de los más fuertes de las anteriores 22

23 generaciones; una nueva parte opcional es asumida para una buena medida. Mientras combinan, los AG no son una simple ruta aleatoria. Ellos eficientemente explotan la información histórica para especular en nuevos puntos de búsqueda con una mejora esperada en la ejecución. 2.2 DESCRIPCIÓN DEL FUNCIONAMIENTO DE LOS AG De acuerdo a lo planteado en [2], es posible observar el esquema general del funcionamiento de un algoritmo genético a través de la ilustración 2. Ilustración 2 - Esquema general del funcionamiento de un AG 23

24 Cada uno de los elementos, operadores y procesos que componen un AG son ilustrados a continuación mediante un ejemplo práctico Problema de optimización En [2] se encuentra el siguiente problema en el cual se desea maximizar la siguiente función: Ilustración 3 - Gráfica de la función a optimizar Como parámetros iniciales se asignan los siguientes intervalos de las variables para reducir el espacio de búsqueda de solución: 24

25 Representación del problema La representación del problema es el proceso que permite establecer la forma como un dato va a ser procesado a través del algoritmo. Para describir mejor esta etapa es necesario utilizar los conceptos de genotipo y fenotipo. El genotipo es la forma utilizada para representar las características de un elemento, mientras que el fenotipo es el conjunto de características de ese organismo. Para este caso se decide representar el problema en cadenas binarias. La longitud de cada cadena depende de la precisión requerida en la solución. Por ejemplo, el dominio de la variable x j es [a j, b j ] y la precisión requerida es de cinco posiciones decimales después del punto. Este parámetro de precisión implica que el rango de dominio de cada variable debería estar dividida en por lo menos (b j - a j ) x 10 5 tamaños. Los bits requeridos (m j ) para una variable se calcula como se muestra a continuación: Una representación de una cadena binaria para un número real de la variable x j es: donde representa el valor decimal de. Si se supone que la precisión se estima en cinco posiciones después del punto decimal, los bits requeridos para las variables x 1 y x 2 se calculan así: Para x 1 : 25

26 Para x 2 : Por lo tanto la longitud del cromosoma es de 33 bits y se representa de la siguiente forma: 33 bits 18 bits 15 bits Para ver la representación de las variables x 1 y x 2, los valores correspondientes de las mismas y su conversión a números reales, están dados los siguientes procedimientos: Variable Cadena binaria Número decimal 26

27 x 1 x Población inicial Una población es una representación abstracta de un segmento o conjunto de individuos. Para el caso específico de los AG, existe una serie de poblaciones que se van generando en la medida en que el algoritmo se ejecuta. La población inicial es aquella que se toma como base para iniciar el proceso evolutivo. Con el paso del tiempo, se espera que los individuos de las nuevas generaciones tengan genes o características de los mejores individuos de las poblaciones anteriores. Para el ejemplo, la población inicial consta de diez (10) individuos generados de forma aleatoria tal y como se muestra a continuación: donde sus respectivos valores reales son: 27

28 Evaluación La evaluación es el proceso que permite determinar el valor de un individuo dada una función de comparación denominada función de evaluación. La definición acertada de la función de evaluación es uno de los elementos cruciales en el comportamiento de los AG. Idealmente interesa construir funciones objetivo con ciertas regularidades en cuanto a su comportamiento, es decir, funciones objetivo que verifiquen que para dos individuos que se encuentren cercanos en el espacio de búsqueda, sus respectivos valores en las funciones objetivo sean similares. Un problema habitual en las ejecuciones de los AG surge debido a la velocidad con la que el algoritmo converge, es decir, el tiempo que tarda el algoritmo en estabilizar los valores de evaluación. En algunos casos la convergencia es muy rápida, lo que suele denominarse convergencia prematura, en la cual el algoritmo converge hacia óptimos locales, mientras que en otros pasos el problema es justo el contrario, es decir se produce una convergencia lenta del algoritmo. Una posible solución a estos problemas pasa por efectuar transformaciones en la función objetivo. El proceso de evaluación de un cromosoma consiste en los siguientes tres pasos: 28

29 Convertir el genotipo del cromosoma a su fenotipo. En otras palabras, esto significa convertir la cadena de caracteres a sus valores reales. Evaluar la función objetivo con los valores anteriormente obtenidos. Convertir el valor de la función objetivo en un valor valido para realizar una evaluación y una posterior comparación. En el caso de este ejercicio, cabe anotar que se utiliza como función de evaluación la misma función objetivo. Los valores de evaluación de cada cromosoma se muestran a continuación: De acuerdo a la anterior evaluación es simple ver que el cromosoma v 4 es el más fuerte, mientras que el cromosoma v 3 es el más débil Selección La selección es la encargada de transmitir y conservar aquellas características de las soluciones que se consideran valiosas a lo largo de las generaciones. Existen diversos métodos de selección dentro de los más usados están la selección por ruleta y por torneo. En la ruleta, la probabilidad que tiene un individuo de 29

30 reproducirse es proporcional a su valor de función de evaluación, es decir, a su adaptación. Si consideramos la población Q que consta de n individuos y a f i como el valor de evaluación de un individuo i que es miembro de Q, la probabilidad p i de seleccionar un individuo i, está dada por: La selección por torneo reporta un valor computacional muy bajo debido a su sencillez. Se selecciona un grupo de t individuos (normalmente t = 2, torneo binario) y se genera un número aleatorio entre 0 y 1. Si este número es menor que un cierto umbral K (usualmente K = 0,75), se selecciona para reproducirse al individuo con mejor adaptación, y si este número es menor que K, se selecciona, por el contrario, al individuo con peor adaptación. En la mayoría de casos, es adoptada la rueda de ruleta como método de selección; con esto se logra una selección proporcional de la evaluación y se puede seleccionar una nueva población con respecto a la distribución de probabilidad basada en los valores de evaluación. Para el ejemplo, la rueda de ruleta puede ser construida de la siguiente forma: Calcular los valores de evaluación eval(v k ) de cada cromosoma v k. Calcular la evaluación total de la población. 30

31 Calcular la probabilidad de selección p k de cada cromosoma v k. Calcular la probabilidad de selección acumulada q k para cada cromosoma v k. El proceso de selección inicial lanzando la rueda de ruleta n veces, donde n es igual al tamaño de la población; cada vez que se lance la ruleta, un cromosoma simple es seleccionado para una nueva población de la siguiente forma: Generar un número aleatorio r dentro del rango [0, 1]. Si, entonces se selecciona el cromosoma v 1 ; en caso contrario se selecciona el k esimo cromosoma tal que. La evaluación total de la población es: La probabilidad de selección p k para cada cromosoma v k (k=1,2,,10) es la siguiente: p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = p 7 = p 8 = p 9 = p 10 =

32 La probabilidad de selección acumulada q k para cada cromosoma v k (k=1,2,,10) es la siguiente: q 1 = q 2 = q 3 = q 4 = q 5 = q 6 = q 7 = q 8 = q 9 = q 10 = Ahora se lanza diez veces la rueda de ruleta, y con cada lanzamiento se selecciona un cromosoma simple para la nueva población. Una secuencia aleatoria de diez números entre el rango [0,1] se muestra a continuación: El primer número aleatorio r 1 = es más grande que la probabilidad acumulada q 3 y es más pequeño que q 4, lo que significa que el cromosoma v 4 es seleccionado para la nueva población; el segundo número aleatorio r 2 = es más grande que q 3 y es más pequeño que q 4, con lo cual nuevamente el cromosoma v 4 es seleccionado para la nueva población. Una vez realizado el análisis de los diez números aleatorios la nueva población está conformada de la siguiente forma: 32

33 Cruce El operador de cruce permite realizar una exploración de toda la información almacenada hasta el momento en la población y combinarla para crear mejores individuos. Es una buena idea que, tanto la codificación como la técnica de cruce, se hagan de manera que las características buenas se hereden o al menos, no sea mucho peor que el peor de los padres. Para lo anterior no se tiene un modo formal para seleccionar la técnica de mejor adaptación a un problema específico, sin embargo es recomendable analizar la naturaleza de la cadena y los genes del individuo, con el fin de conocer que elementos se pueden cruzar para lograr la creación de un individuo que combine las mejores características de los padres. Para realizar el cruce entre parejas de cromosomas se utiliza el método de un punto de corte en el cual se selecciona aleatoriamente un punto de corte con rango [1, tamaño del cromosoma] y se intercambian las partes derechas de los padres para generar dos cromosomas hijos. Como ejemplo se toman los cromosomas v 1 y v 2 de la población inicial, si el punto de corte se estableció en el gen 17 el proceso de cruce se puede visualizar de la siguiente manera: Punto de corte Los cromosomas resultantes del intercambio de los genes a la derecha del punto de corte son: 33

34 Para el ejemplo se determina que la probabilidad de cruce es p c = 0.25, lo cual indica que solo el 25% de los cromosomas tienden a ser cruzados. Al lanzar una secuencia de diez números aleatorios para analizar la probabilidad de cruce de cada cromosoma se obtiene los siguientes resultados: Por lo que se identifica que solo los cromosomas v 5 y v 7 son seleccionados para ser cruzados. Si se lanza un nuevo número aleatorio con rango [1, 33] para elegir el punto de corte (se obtuvo el número 15) se obtiene la siguiente operación: Punto de corte Los nuevos hijos resultantes de la operación de cruce son: Mutación La mutación se considera un operador básico, que proporciona un pequeño elemento de aleatoriedad en el entorno de los individuos de la población mediante la alteración de uno o más genes con una probabilidad igual a la tasa de mutación. Si bien se admite que el operador de cruce es el responsable de efectuar la búsqueda a lo largo del espacio de posibles soluciones (exploración), también parece desprenderse de los experimentos efectuados por varios investigadores que 34

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