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1 etsii Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática Universidad de Sevilla Departamento de Lenguajes y Sistemas TÉCNICAS AVANZADAS DE PREDICCIÓN Y OPTIMIZACIÓN APLICADAS A SISTEMAS DE POTENCIA TESIS DOCTORAL por Alicia Troncoso Lora Memoria presentada para optar al grado de Doctora por la Universidad de Sevilla Directores: D. José Cristóbal Riquelme Santos D. José Luis Martínez Ramos Sevilla, Junio de 2005.

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3 José Cristóbal Riquelme Santos, Profesor Titular de Universidad, adscrito al área de Lenguajes ysistemas Informáticos yjosé Luis Martínez Ramos, Profesor Titular de Universidad, adscrito al área de Ingeniería Eléctrica, CERTIFICAN QUE Alicia Troncoso Lora ha realizado bajo nuestra supervisión el trabajo de investigación titulado: Técnicas Avanzadas de Predicción y Optimización aplicadas a Sistemas de Potencia Una vez revisado, autorizan la presentación del mismo como Tesis Doctoral en la Universidad de Sevilla yestiman oportuna su presentación al tribunal que habrá de valorarlo. Fdo. José C. Riquelme Santos Profesor Titular de Universidad Área de Lenguajes ysistemas Informáticos Fdo. José Luis Martínez Ramos Profesor Titular de Universidad Área de Ingeniería Eléctrica Sevilla, Junio de 2005

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5 etsii Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática Universidad de Sevilla Departamento de Lenguajes y Sistemas TÉCNICAS AVANZADAS DE PREDICCIÓN Y OPTIMIZACIÓN APLICADAS A SISTEMAS DE POTENCIA TESIS DOCTORAL Autora: Directores: Dña. Alicia Troncoso Lora D. José Cristóbal Riquelme Santos D. José Luis Martínez Ramos TRIBUNAL CALIFICADOR Presidente: Secretario: Vocales: D. José Miguel Toro Bonilla D. Rafael Morales Bueno D. Antonio Gómez Expósito Dña. María Amparo Vila Miranda D. Antonio Jesús Conejo Navarro Obtuvo la calificación de Sobresaliente Cum Laude por unanimidad Sevilla, 3 de Junio de 2005

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7 Esta Tesis Doctoral ha obtenido el premio de investigación Fundación Sevillana de Electricidad para Licenciados, Ingenieros y Arquitectos de las Universidades de Andalucía. Programa conjunto que realiza la Consejería de Educación y Ciencia de la Junta de Andalucía y la Fundación Sevillana Endesa. Tesis Doctoral financiada por el Ministerio de Ciencia y Tecnología (PB ) y la Junta de Andalucía (ACC-1021-TIC-2002).

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9 A mi futuro sobrino

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11 El libro de la naturaleza está escrito en un lenguaje matemático. Galileo Galilei.

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13 Agradecimientos Quisiera que las primeras líneas de esta tesis fueran el agradecimiento a todas las personas que me han ayudado a la realización de la misma. En primer lugar quiero agradecer la buena dirección realizada por D. José C. Riquelme Santos yd. José Luis Martínez Ramos. A Pepe le quiero reconocer que bajo su dirección no hayan faltado buenos consejos en todos los aspectos yun punto de vista práctico. La confianza que siempre ha depositado en mí desde un primer momento yla paciencia que en estos años me ha mostrado han sido ejemplares. A José Luis le agradezco todo lo que he aprendido de él, tanto a nivel técnico como personal. Su meticulosidad ysu claridad de ideas en la dirección de este trabajo de investigación siempre han sido de gran ayuda. A D. Antonio Gómez Expósito porque su admirable capacidad de trabajo ysu gusto por las cosas bien hechas es una fuente inagotable de estímulo para cualquier investigador que esté a su lado. También quisiera recordar a D. Carlos Izquierdo Mitchell por la paz que siempre transmitía en el día a día de un departamento. A D. Miguel Toro Bonilla por la constante innovación docente que transmite a todo el departamento de Lenguajes ysistemas Informáticos. A todos mis compañeros del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Sevilla porque sin ese ambiente de trabajo en equipo yesa alegría que transmiten, hacer una tesis sería algo muydiferente a lo que ha sido. A Esther porque en estos años no ha sido sólo una compañera de trabajo; a José María mi mejor vecino por su ambición yvoluntad de trabajo; a Manuel Burgos por su incondicional apoyo desde un principio. En especial a Jesús no tengo palabras para agradecerle todo el tiempo que me ha dedicado desinteresadamente, tengo que destacar su brillantez como investigador ysu calidad humana puesto que siempre está luchando por lo que considera justo. A Remedios por el ahorro de trabajo que supone tener a la eficiencia personalizada como secretaria de un departamento. A mis compañeros del grupo de investigación por toda la ayuda desinteresada que me han ofrecido: a Jesús por su inagotable fuerza en todo lo que respecta a investigación; a Paco por las horas de tutoría que me ha regalado en mi primer año de docencia; a Raúl por facilitarme ayuda en muchos aspectos tanto técnicos como de organización; a Dani por su buen entendimiento en los grupos de práctica que hemos compartido; a Roberto porque siempre me ha animado; a Domingo e Isa por su constante interés. A mis compañeras ycompañeros del Departamento de Lenguajes ysistemas de la Universidad de Sevilla por su constante ánimo ysu predisposición siempre a ayudarme en todo lo que he necesitado. En especial a Rafa, Mayte,

14 Toñi yoctavio porque sin ellos la adaptación hubiera sido mucho más dura. A mi familia por creer en mí en todo momento de mi carrera profesional. Mi ilusión por la realización de esta tesis también ha sido su ilusión. A mis amigas yamigos por los buenos momentos que me han aportado, momentos necesarios para desconectar del trabajo que supone la realización de una tesis.

15 Índice general 1. Introducción Motivación de la Investigación Objetivos de la Tesis Principales Contribuciones Estructura de la Memoria Estado del Arte Minería de Datos Preprocesado de Series Temporales Métodos de Predicción Predicción basada en reglas Métodos Lineales Metodología de Box and Jenkins Modelos ARMA Modelos ARIMA Árboles de Regresión Métodos no Lineales Métodos Globales Redes Neuronales Artificiales Programación Genética Métodos Locales: Vecinos Técnicas de Optimización Programación Dinámica Programación Lineal Entera-Mixta: Ramificación ycota Relajación Lagrangiana Métodos de Punto Interior Algoritmos Genéticos i

16 Índice General I Predicción de Series Temporales Método basado en los Vecinos más Cercanos Representación de los Datos Método basado en los Vecinos más Cercanos La función distancia Número de Vecinos Acotación del Error Aplicación a los Precios de la Energía en el Mercado Eléctrico Precios. Optimización de Venta/Compra de Energía Descripción del problema Obtención del modelo Con predicción directa Con predicción iterada Predicción. Resultados Con predicción directa Con predicción iterada Análisis heurístico del error Comparación con Redes Neuronales Estructura de la red neuronal Resultados Conclusiones Aplicación a la Demanda de Energía Eléctrica Demanda. Programación Horaria de Centrales Descripción del problema Obtención del modelo Predicción. Resultados Estudio Cualitativo ycomparativo de la Demanda ylos Precios de la Energía en el Mercado Eléctrico Español Comparación con Árboles de Regresión: Algoritmo M Transformación de atributos no numéricos Valores perdidos Cortes Suavizado Poda Resultados Conclusiones ii

17 Índice General II Programación con Múltiples Mínimos Locales Programación no Lineal no Convexa Variables reales Formulación del problema Método propuesto Solución de los subproblemas Condiciones de optimalidad Dirección de búsqueda Actualización de variables Inicialización yreducción del parámetro barrera Test de convergencia Valor inicial yactualización de la cota de la función objetivo Un ejemplo de una variable Variables reales y enteras Formulación del problema Método propuesto Solución de los subproblemas continuos Solución de los subproblemas discretos Valores iniciales yactualización de las cotas de la función objetivo Un ejemplo de dos variables Aplicación: Programación Horaria de Centrales Formulación del problema Función objetivo Costes de producción Costes de arranque Costes de parada Restricciones Restricciones técnicas de las centrales térmicas Restricciones técnicas de las centrales hidráulicas Restricciones de demanda Restricciones de reserva rodante Solución mediante el método propuesto Subproblema continuo Subproblema discreto Resultados Comparación con algoritmos genéticos iii

18 Índice General 7.4. Conclusiones Conclusiones y Futuras Líneas de Investigación Predicción Optimización Futuras líneas de investigación Predicción Optimización A. Árboles de Regresión 187 A.1. Sin selección de atributos A.2. Con selección de atributos B. Datos 223 B.1. Caso test B.2. Caso realista C. Soluciones obtenidas 231 C.1. Caso test C.2. Caso realista D. Subproblemas 245 D.1. Subproblema continuo D.2. Subproblema discreto iv

19 Índice de figuras 2.1. Fase de Minería de Datos Representación de un individuo Algoritmo de Punto Interior Vecinos Falsos Vecinos falsos versus longitud de la ventana Aproximación local Media horaria de los precios Distribución de los precios Histograma de los precios del año 2000 y Precios de dos días de marzo Coeficiente de correlación Vecinos falsos Pseudocódigo del algoritmo FNN para la serie temporal Precios Número de vecinos cercanos falsos Pseudocódigo del algoritmo para obtener el número de vecinos Número óptimo de vecinos usando la distancia Euclídea Número óptimo de vecinos usando la distancia Manhattan Pseudocódigo del algoritmo FNN para la serie temporal Precios Número de vecinos cercanos falsos Pseudocódigo del algoritmo para obtener el número de vecinos Número óptimo de vecinos usando la distancia Euclídea Número óptimo de vecinos usando la distancia Manhattan Pseudocódigo del algoritmo para obtener predicciones Media horaria de la predicción usando la distancia Euclídea Media horaria de la predicción usando la distancia Manhattan Media diaria de la predicción usando la distancia Euclídea Media diaria de la predicción usando la distancia Manhattan Media diaria del error relativo usando la distancia Euclídea Media diaria del error relativo usando la distancia Manhattan.. 91 i

20 Índice de Figuras 4.24.Pseudocódigo del algoritmo para obtener predicciones Media horaria de la predicción usando la distancia Euclídea Media horaria de la predicción usando la distancia Manhattan Media diaria de la predicción usando la distancia Euclídea Media diaria de la predicción usando la distancia Manhattan Media diaria del error relativo usando la distancia Euclídea Media diaria del error relativo usando la distancia Manhattan Error medio de la predicción Error absoluto de la mejor y peor predicción Media horaria de la predicción de los precios para el mes de marzo Media horaria de la demanda Histograma de la demanda del año 2000 y Coeficiente de Correlación Número de vecinos cercanos falsos Número óptimo de vecinos usando la distancia Manhattan Número óptimo de vecinos usando la distancia Euclídea Media horaria de la predicción usando la distancia Euclídea Media horaria de la predicción usando la distancia Manhattan Media diaria de la predicción Media horaria del error absoluto Mejor predicción semanal Peor predicción semanal Mejor predicción diaria Peor predicción diaria Relaciones entre los precios de horas consecutivas Relaciones entre la demanda de horas consecutivas Relación entre los precios de la hora 7 y la hora Relación entre la demanda de la hora 7 y la hora Relación entre los precios de días consecutivos Relación entre la demanda de días consecutivos Relación entre los precios de la hora 1 en días consecutivos Relación entre la demanda de la hora 1 en días consecutivos Atractor de los precios Atractor de la demanda Múltiples mínimos de una función no convexa Superficie definida por una función no lineal no convexa Superficie definida por una función no lineal no convexa Sucesión de mínimos locales para el ejemplo mixto-entero ii

21 Índice de Figuras 7.1. Coste de producción Coste de arranque Curva de demanda de potencia a) Matriz de optimización, b) Elementos de llenado a) Matriz de optimización reordenada, b) Elementos de llenado a) Matriz de optimización, b) Elementos de llenado a) Matriz de optimización reordenada, b) Elementos de llenado Operador de cruce por filas Operador de cruce por columnas Evolución del mejor individuo para caso test Evolución del mejor individuo para caso realista Tiempo de ejecución según actividades A.1. Árbol de regresión con 151 reglas A.2. Modelos lineales en cada hoja del árbol de regresión formado por 151 reglas A.3. Árbol de regresión con 53 reglas A.4. Modelos lineales en cada hoja del árbol de regresión formado por 53 reglas iii

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23 Índice de Tablas 2.1. Dimensión del problema Porcentaje de vecinos falsos según distancias Porcentaje de vecinos falsos según distancias Media y desviación estándar del conjunto test Errores según distancias Errores según distancias Influencia de la distancia en la optimización de los distintos tipos de errores Resumen de los errores de la predicción Errores obtenidos con ambos métodos Porcentaje de vecinos falsos según distancias Media y desviación estándar del conjunto test Errores diarios de la mejor yla peor predicción semanal Errores según distancias Exponentes de Lyapunov Transformación de atributos no numéricos en variables binarias Comparación de los errores de la predicción de la demanda usando ambos métodos Verificación de una restricción lógica Secuencia de mínimos locales Secuencia de mínimos locales Secuencia de mínimos locales Comparación de resultados para el caso test Comparación de resultados para el caso realista B.1. Características técnicas de las centrales térmicas del caso test B.2. Costes de las centrales térmicas del caso test B.3. Demanda para el caso test i

24 Índice de Tablas B.4. Características técnicas de las centrales térmicas del caso realista (Centrales 1 a 25) B.5. Características técnicas de las centrales térmicas del caso realista (Centrales 26 a 49) B.6. Costes de las centrales térmicas del caso realista (Centrales 1 a 25) B.7. Costes de las centrales térmicas del caso realista (Centrales 26 a 49) B.8. Demanda para el caso realista C.1. Matriz de acoplamiento de la mejor solución para el caso test por: a) el método propuesto, b) el Algoritmo Genético C.2. Potencias (MW) de la mejor solución para el caso test por: a) el método propuesto, b) el Algoritmo Genético C.3. Matriz de acoplamiento de la mejor solución para el caso realista por el método propuesto (Horas 1 a 18) C.4. Matriz de acoplamiento de la mejor solución para el caso realista por el método propuesto (Horas 19 a 24) C.5. Potencias (MW) de la mejor solución para el caso realista por el método propuesto (horas 1 a 8) C.6. Potencias (MW) de la mejor solución para el caso realista por el método propuesto (horas 9 a 16) C.7. Potencias (MW) de la mejor solución para el caso realista por el método propuesto (horas 17 a 24) C.8. Matriz de acoplamiento de la mejor solución para el caso realista por el Algoritmo Genético (Horas 1 a 18) C.9. Matriz de acoplamiento de la mejor solución para el caso realista por el Algoritmo Genético (Horas 19 a 24) C.10.Potencias (MW) de la mejor solución para el caso realista por el Algoritmo Genético (horas 1 a 8) C.11.Potencias (MW) de la mejor solución para el caso realista por el Algoritmo Genético (horas 9 a 16) C.12.Potencias (MW) de la mejor solución para el caso realista por el Algoritmo Genético (horas 17 a 24) ii

25 Resumen Esta tesis está enmarcada básicamente dentro de dos campos de investigación, la minería de datos yla optimización. Principalmente tiene un carácter aplicado, ya que se han investigado tanto técnicas de predicción como de optimización con el objetivo de ser aplicadas a problemas que aparecen en el campo de Ingeniería Eléctrica. No obstante, los algoritmos desarrollados se podrán aplicar a problemas similares en futuras líneas de investigación. Un primer objetivo de la tesis ha sido el análisis, desarrollo ymejora de técnicas que ayuden a descubrir las principales características de una serie temporal con el objetivo principal de predecir su comportamiento en un futuro cercano. La investigación ha estado centrada principalmente en series temporales financieras que se modelen a través de reglas de mercado, debido a la dificultad que tienen este tipo de series en lo que respecta a reconocimiento de patrones, clasificación ypredicción. Estas técnicas se han aplicado a la predicción de los precios de la energía eléctrica en el Mercado Eléctrico Español en el que, debido a su reciente liberalización son poco usuales en la literatura, siendo un campo de investigación actualmente en estudio. De igual forma, se han aplicado a la demanda de energía eléctrica ylos resultados obtenidos han sido comparados con los existentes de la aplicación de otras técnicas. Hoydía, los métodos más usados para la predicción de los precios yla demanda de la energía en el mercado eléctrico son, a grandes rasgos, los distintos tipos de Redes Neuronales Artificiales (RNA) ylos métodos estadísticos tradicionales, siendo en este contexto la primera vez que se aplica un clasificador basado en los vecinos más cercanos. El segundo objetivo es consecuencia directa del primero, puesto que el objeto último de realizar una predicción siempre es la planificación o explotación óptima de algún sistema teniendo en cuenta la predicción realizada anteriormente. Así, la segunda parte de la tesis se enmarca dentro del amplio campo de la optimización yconsiste en el desarrollo de un algoritmo de optimización que explote técnicas globales de búsqueda de mínimos, ya que actualmente en la literatura los algoritmos clásicos de optimización usan técnicas locales de búsqueda. En los últimos años, las técnicas de Punto Interior han sido usadas en un número amplio de problemas de optimización local de distintas áreas de conocimiento, debido a los buenos resultados obtenidos. Así se ha desarrollado una herramienta capaz de recorrer una trayectoria de mínimos locales cada vez mejores sin quedar atrapado en el primer mínimo que encuentre. La herramienta desarrollada tiene un bajo coste computacional ypresenta un tiempo de ejecución inferior a cualquier técnica computacional evolutiva, que son una de las únicas alternativas a este tipo de problemas. Esta nueva herramienta es totalmente novedosa ypara validarla se ha aplicado a un problema real de planificación denominado Programación Horaria de Centrales Térmicas (PHCT), que consiste en determinar el plan de acoplamiento yla generación de energía eléctrica de las centrales para satisfacer la demanda a coste mínimo. Para resolver este problema de planificación es necesario tener una predicción de la demanda (primera parte de la tesis).

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27 Capítulo 1 Introducción La predicción de eventos futuros siempre ha fascinado al género humano yse puede decir que las técnicas de predicción existen desde que éste existe. Sin embargo, con el paso del tiempo estas técnicas se han ido sofisticando yse han aplicado en distintas áreas, con fines científicos yeconómicos, como en la predicción del tiempo, en la predicción del cambio entre monedas... Hoydía, se puede decir que estamos en la era de la tecnología yla información, ya que en la mayoría de las actividades se generan grandes bancos de datos que son almacenados en bases de datos. Gracias a la tecnología estos datos se pueden manejar yusar para sacar algún rendimiento de ellos, ya que debido al gran volumen de información es imposible de analizar e interpretar manualmente. Esto hace que desde finales de los años 90 los conceptos de Descubrimiento del Conocimiento en Bases de Datos (Knowledge Discovery in Databases, KDD) o Minería de Datos (Data Mining, MD) [32] hayan incrementado su importancia dando lugar a campos de investigación actualmente emergentes. La minería de datos es el proceso de inferir conocimiento, a priori desconocido, que sea útil ycomprensible, a partir de grandes cantidades de datos, con el objetivo de predecir de una manera automática tendencias y comportamientos ydescribir modelos que simulen el sistema. Anteriormente al desarrollo de la minería de datos, la predicción de la evolución en el tiempo de alguna variable, es decir la predicción de una serie temporal, se llevaba a cabo mediante la elaboración de modelos a través de métodos estadísticos, los cuales estiman los valores actuales de la variable en función de los valores de dicha variable en el pasado. Sin embargo, aunque la ventaja de estos métodos es su inherente simplicidad no muestran resultados satisfactorios cuando se trata de predecir series temporales del mundo real, puesto que las dependencias que existen entre las variables son no lineales. En las últimas décadas, el diseño de algoritmos de aprendizaje automático 3

28 Capítulo 1 Introducción (Machine Learning, ML) ha constituído una de las ramas de mayor interés para los investigadores de MD. De esta manera, se diseñan las RNA como método capaz de aprender las relaciones no lineales entre las variables de entrada (principalmente valores pasados de la serie yvalores de otras variables que influyen en la serie) y las variables de salida (valores futuros de la serie). Éstas han sido aplicadas a la predicción de series temporales dando lugar a resultados más eficientes que los métodos clásicos, sin embargo presentan una desventaja que es el tiempo de aprendizaje que requieren. En la primera parte de esta tesis se presenta una técnica, basada en la técnica de los vecinos más cercanos, para la predicción de series temporales, que presenta las ventajas de una red neuronal en lo que respecta al aprendizaje de las relaciones no lineales existentes entre las variables yque mejora el tiempo de aprendizaje puesto que éste es mínimo. Estas técnicas se han aplicado a la predicción de dos series temporales del mundo real: los precios de la energía en el nuevo mercado eléctrico yla demanda de energía eléctrica. El objetivo principal yúltimo de cualquier predicción de un evento futuro siempre es la optimización, puesto que la optimización es un proceso que se nutre de las predicciones realizadas para obtener algún beneficio, como por ejemplo reducir costes en el caso de los clientes de un servicio o incrementar beneficios en el caso de una empresa. De esta forma, el obtener una predicción simplemente proporciona ayuda para elaborar las estrategias necesarias y las decisiones adecuadas siempre con vistas a optimizar algún objetivo. En el caso de los precios de la energía en el mercado eléctrico, una vez obtenida la predicción, las compañías eléctricas deben determinar la programación de generación de energía horaria para maximizar el beneficio obtenido por la venta de energía. El problema de obtener la planificación óptima de la producción de energía para una compañía de generación se puede modelar como un problema de optimización que se detalla a continuación [21]. Función objetivo: La función objetivo viene dada por: donde: B T = 24 t=1 λ t P t C T (1.1) C T = C(P t ) U t + CA(S t ) Y t + CP Z t (1.2) B T es el beneficio total de la compañía de generación. λ t es la predicción del precio de la energía en el mercado en la hora t. 4

29 Introducción P t es la potencia media generada en la hora t. C T es el coste total formado por los costes de producción, C(P t ),los costes de arranque, CA(S t ), que dependen del número de horas que el generador lleve apagado, S t, ylos costes de parada, CP. U t es una variable binaria que es igual a 1 si el generador está funcionando en la hora t, yy t y Z t son variables binarias que son igual a 1 si el generador se enciende o se apaga al principio de la hora t, respectivamente. Restricciones: Las restricciones del problema de optimización son las siguientes: La limitación máxima ymínima de la generación: P m U t P t P M U t (1.3) donde P M y P m son las potencias máximas ymínimas del generador, respectivamente. Las rampas de subida ybajada: P t =mín {P M (U t Z t+1 )+SD Z t+1, P t 1 + RS U t 1 + SU Y t } (1.4) P t =máx {P m,p t 1 RB U t } (1.5) donde P t y P t son la potencia mínima ymáxima disponible generada en la hora t, RS y RB son las rampas máximas de subida ybajada, ysu y SD son las rampas máximas de arranque yparada, respectivamente. Tiempos mínimos de funcionamiento yparada: (X t UT) (U t 1 U t ) 0 (1.6) (X t + DT) (U t U t 1 ) 0 (1.7) donde X t es el número de horas que el generador ha estado encendido o apagado al final de la hora t y UT y DT son los tiempos mínimos de funcionamiento yparada del generador, respectivamente. 5

30 Capítulo 1 Introducción Restricciones lógicas: Y t Z t = U t U t 1 (1.8) Y t + Z t 1 (1.9) En un mercado liberalizado las herramientas de predicción son muyimportantes, ya que en base a una predicción de precios, las compañías de generación elaboran sus estrategias de ofertas para maximizar los beneficios obtenidos por la venta de energía en el mercado. En el caso de la demanda de energía eléctrica, una vez obtenida la predicción, las empresas eléctricas deben planificar la producción de energía de las centrales eléctricas de manera que se satisfaga la demanda predicha a coste mínimo. El problema de la programación horaria de centrales (PHC), descrito brevemente en la sección 2.4 yde una manera más detallada en el Capítulo 7, tiene por objeto determinar los arranques yparadas de las centrales térmicas yla programación conjunta de potencia generada por los grupos térmicos e hidráulicos durante un horizonte temporal de corto plazo, normalmente 24 horas, de manera que se satisfaga la demanda horaria, en base a una predicción, yse minimice el coste de explotación del sistema. Una gran variedad de problemas, que aparecen en campos como la Ingeniería o la Economía, basados en casos reales, se pueden modelar como un problema de optimización. Existen distintas clasificaciones de los problemas de optimización según el criterio que se elija. Los problemas de optimización se pueden clasificar dentro de dos grandes grupos: Programación Lineal yprogramación no Lineal, donde tanto la función objetivo como las ecuaciones que modelan las restricciones del problema son lineales o no lineales, respectivamente. A su vez dependiendo de si existen algunas variables enteras, estos dos grupos de subdividen en otros dos: Programación Lineal Entera Mixta y Programación no Lineal Entera Mixta. Atendiendo a la convexidad de la función objetivo ylas restricciones, también se pueden clasificar en Programación Convexa o Programación No Convexa. La principal característica de los problemas de optimización no lineales yno convexos, tanto continuos como discretos, es la presencia de múltiples mínimos locales. Hoydía, la mayoría de los algoritmos aplicados a este tipo de problemas obtienen un mínimo local pero no se puede asegurar que el mínimo local encontrado sea un mínimo global, por tanto el mínimo encontrado puede distar de la mejor solución del problema. La segunda parte de esta tesis, se centra en la resolución de problemas de optimización con múltiples mínimos locales ypresenta un algoritmo novedoso que resuelve de forma eficiente ysatisfactoria este tipo de problemas de una 6

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