GAMBLING EL AZAR EN LA CIENCIA

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1 GAMBLING EL AZAR EN LA CIENCIA ROBERTO MIGLIETTI /99-03/2000

2 Prefaco Se ha elegdo como título ara este trabajo la exresón anglosajona gamblng, y no ha sdo en vano. En doma esañol carecemos de un vocablo que sn ambgüedades se refera a una actvdad que nvolucra el azar en forma tan amlamente conocda y acetada como los juegos de azar. Y dado que en los juegos de azar se halla resente la naturaleza de la que este trabajo trata, y que los msmos han sdo el rmer referente de la atencón del hombre haca la temátca, justfcan, a m entender, amlamente el msmo. Es mortante aclarar aquí msmo que el azar es un conceto que he hallado neludble en las cencas naturales, y en los roos sstemas que formalzan nuestra razón y nuestra manera de adqurr, rocesar y generar conocmento. Por esta vastedad es mosble ara las lmtacones del autor, llegar a rofundzar cuan squera un oco en la mayoría de ellas, cuanto más, transmtr en forma clara la dea que retende el trabajo, ero se ha hecho un gran esfuerzo ara ntentar exresar los concetos en la forma menos confusa osble, aelando al sentdo común y a un esfuerzo de voluntad or arte del lector, ara al menos vslumbrar las deas subyacentes. Todo esto ntentando mantener el rgor y la esenca del trabajo de tanta y tan brllante gente que ha sdo referenca ara elaborar el resente. Asocado a la amltud del tema del azar, la nvestgacón aún ara este modesto trabajo ha sdo extensa y ardua, ero al temo reconfortante or los desafíos que mlcó el moner al autor la necesdad de resolver ara sí una cantdad de concetos ara luego ntentar transmtrlos, como or los descubrmentos de otros desconocdos hasta el momento. Las fuentes de nformacón han sdo extensas, varadas y heterogéneas, y la lsta de referencas del resente se declara desde ya ncomleta. Como decía la vastedad, actualdad y efervescenca del tema hacen de este trabajo ara su autor, más que la culmnacón, el comenzo de una tarea de amlacón de lo que este resenta, con la certeza de la mortanca que la dvulgacón del msmo tene hoy más que nunca esta matera. Todo el esfuerzo uesto en este trabajo se vería con creces recomensado s contrbuyera con un mínmo grano de arena a tales objetvos. 2/06/04 2/79

3 Introduccón El tema del azar no es sólo nquetante en el sentdo cotdano que le damos al sgnfcado de la alabra, sno que tambén lo es ara la cenca en sí. Debemos concdr que en una rmera aroxmacón el azar ara el centífco es algo así como la caa de olvo de gnoranca de la que el hombre de cenca se retende desrender, o al menos reducr, a través de modelos centífcos descrtos con recsón or el estrcto lenguaje de la cenca que es la matemátca. Esta dea es seguramente es la que estaba en la base de las ntencones de los fundadores de la cenca moderna, y que tal vez conoce su máxmo eslendor durante el sglo XIX. Esta vsón del azar desde el unto de vsta centífco, lo coloca en la oscón de antagonsta del conocmento que la cenca retende abordar. No en vano la ntervencón del azar en la naturaleza ha sdo execrada como lo resume la antológca frase de Albert Ensten, Dos no juega a los dados con el Unverso, que refleja la clara oscón de la que se hablaba en el árrafo anteror, acerca de que la naturaleza en sí evolucona lbre de azar, y que or lo tanto el rogreso de nuestros modelos de la msma, nos llevaría a fnalmente desrendernos de él. Sn embargo, más allá de las convccones de una de las fguras más romnentes del sglo XX, los más extosos modelos centífcos y alcacones tecnológcas no sólo ncororan en este sglo nocones de azar, sno que al hacerlo se obtenen el éxto. Tanto es así que la máxma recomensa al éxto centífco, el Premo Nobel, es recbdo or Ensten aradojalmente, or sus trabajos sobre el Efecto fotoeléctrco, trabajando con el modelo cuántco, el rmer modelo que or excelenca aceta el azar en su seno. Tal vez ben se ha dcho or ahí, que s ben OK, God don t gamble... but human does f rze deserves t, and Ensten was human... and don t you thnk a Nobel s worth enough!. De alguna manera es una forma de resolver la aradoja, el que no juega a los dados es Dos, ero los humanos no odemos resstrnos al juego, más aún cuando este nos rovee de resultados satsfactoros. Y en arte era la exlcacón que los centífcos determnstas como Ensten daban ara exlcar el éxto de esas teorías, que sostenían sno erradas al menos ncomletas, or lo tanto substrato de la lmtacón humana, que una vez suerada exorczaría el azar, y nos llevaría a la vrtud dvna de no jugar. Pero el marco del sglo XX, a esar de las convccones contraras de su centífco más renombrado, seguría avanzando frmemente en el sentdo de ncororar sn rurtos y con la acetacón cada vez más extendda que el azar no es tanto olvo de gnoranca, sno un elemento ntrínseco de nuestro vínculo con la realdad, del comortamento íntmo de la naturaleza y del roo lenguaje centífco de la matemátca. El azar entonces asa del claustro flosófco y metafísco del sglo XIX, al escrutno centífco del sglo XX, y a un fnal de mleno en el que la comrensón más acertada del msmo, su mejor reresentacón e ncororacón a los modelos en las dferentes áreas del conocmento, hacen eclosón, rometendo no sólo elaborar mejores teorías ara exlcar 2/06/04 3/79

4 los fenómenos naturales, sno aortar herramentas de cálculo y razonamento, más efcentes y coherentes con esa realdad en la que es azar es quzá arte de su esenca. El conceto de azar es desde todo unto de vsta, y no exclusvamente centífco, un asunto ntrgante en sí, atractvo ero al msmo temo nquetante, cas como un tabú cultural, algo que todos deseamos manular, ero sobre lo que eludmos reflexonar drectamente. Una suerte de sol brllante: nos gusta dsfrutar del calor que nos rovee, ero evtamos mrarlo drectamente. Tal vez sea bueno consegur un buen ar de gafas e ntentar observar más drectamente al azar. Algunas consderacones mortantes: los temas relaconados con el azar en la cenca, han tendo en este sglo una exlosón, y creo no equvocarme s dgo que en la actualdad y en los róxmos años, será uno de los temas que mayor desarrollo, y con las consecuencas más nquetantes que rometen segur cambando y erfecconando nuestra forma de adqurr conocmento e nteractuar con la realdad que lo rovee. El mundo de la físca, seguramente or ldar con la realdad emírca se vo de alguna forma oblgado a admtr el azar en sus rouestas acerca del comortamento de la naturaleza. La matemátca, sn embargo, centrada en las elaboracones formales de nuestra razón, se resstó más a recbr al azar dentro de su roo cuero. Realmente hablar del azar en la cenca uede arecer a rmera vsta una flagrante contradccón. No es acaso la cenca, la herramenta or excelenca ara descubrr el orden, or arrnconar el azar fuera de ella? Ese arece ser sn dudas el esírtu desde la antgua Greca en delante. De hecho hasta no mucho antes del entrar en este sglo la dea era exactamente esa: el azar se crcunscrbía a ser una reresentacón de la nsufcenca de los modelos de conocmento alcados a la exlcacón del Unverso, nsufcenca que se creía suerable con el esfuerzo centífco que termnaría or reducr el azar a una mera curosdad ntelectual del asado. Esto últmo alcado a las cencas naturales, or suuesto que no se concebía artcacón del azar en las abstractas estructuras matemátcas. A rncos de sglo las cosas se ven oblgadas a cambar defntvamente en el terreno de las cencas naturales, cuando la físca debe comenzar a admtr en sus teorías el msmo azar en la forma de consecuencas de la formulacón cuántca de la naturaleza a nvel mcroscóco. Más allá de s la ntroduccón del azar en el modelo es una consecuenca de nuestras lmtacones en la nteraccón (la adquscón de meddas) con el Unverso, una lmtacón de la roa teoría ( Dos no juega a los dados con el Unverso, Ensten), o arte ntrínseca de la Naturaleza, la consderacón de modelos no determnstas ero robablístcos, en los que la decsón de una chance u otra son uro azar, exlcan los hechos de una forma que la exerenca emírca contnúa aoyando. Pero en las últmas décadas, ncluso las matemátcas uras se han vsto sacuddas or la resenca de la sombra del azar. 2/06/04 4/79

5 No es oca cosa que la ncertdumbre asome en el terreno de la lógca, que or ser en defntva nuestra creacón y roducto, lo hemos dseñado o al menos eso creíamos- ara que se comorte de una forma esecífca, sn ambgüedad, según recsas leyes, en base a concsos ostulados. S ben fue un sacudón admtr que nuestro modelo del mundo natural debera dar cabda al azar, en defntva no es traumátco hacerlo, ya que justamente se trata de la descrcón de la realdad que está fuera de nosotros, que s ben uede ser de alguna manera comrendda en base a los térmnos de nuestra razón más determnsta, es admsble que no tenga que concdr con esta, desués de todo, s se nos ermte una exresón lgera, estamos trabajando sobre algo de lo que sólo conocemos la suerfce que nos muestra, vaya uno a saber s su nteror será gual al nuestro. Obvemos hasta aquí que nosotros somos arte del msmo, y que nuestra razón debe ser un reflejo de las leyes que rgen al Unverso todo. Pero que el azar aarezca en el edfco abstracto de la lógca y la matemátca que exclusvamente hace a nuestro roceso nteror de los datos, la nformacón y la generacón de conocmento, debe admtrse que nos exge un nuevo esfuerzo en el sentdo de la amltud de crtero ara con nuestros reconcetos, rejucos e lusones de lo que debería ser el mundo y nosotros msmos como seres cognosctvos y conscentes de él. 2/06/04 5/79

6 El azar nuestro de cada día De una u otra forma, centífcos o no, todos estamos famlarzados con la alabra azar, y creemos tener al menos alguna dea de su sgnfcado. Sn embargo esto últmo no es tan claro, esecalmente cuando nos enfrentamos al desafío drecto de defnr un conceto acerca de la esa alabra tan usada. Para comrobar esto basta con mrovsar una encuesta entre un gruo de ersonas. Se notará que salvo excecones, la ersona romedo es comletamente ncaaz de esbozar al menos un conceto de azar, cuando no eludr y no sn manfesta molestael lanteo del tema. Hemos creído nteresante efectuar un relevamento nformal como el menconado en más arrba -sn nnguna retensón de rgor estadístco-, no con el fn de llegar a alguna conclusón socológca sobre el azar en la socedad n nada or el estlo que sn embargo sería nteresante emrender-, sno ara servrnos de unto de artda a este ntento de concetualzar al azar desde su nterretacón más rmara. Debemos confesar sn embargo que confamos que las conclusones de esta nformal encuesta, no dferría mucho de otra formalmente organzada. Al msmo temo creemos que es buena oortundad ara el lector medtar sobre las msmas nterrogantes que hemos lanteado en nuestro relevamento, de forma de segur la línea de reflexón que retendemos nos lleve a un conceto de azar en térmnos cotdanos al menos algo más sustancoso que el que se encuentra en la mayoría de los entrevstados, y que nos faclte el acceso a la reresentacón y manejo con que la cenca modela el azar. Deseamos aclarar desde ya que la línea que seguremos en este caítulo seguramente se le antojará ngenua ara el centífco famlarzado con los concetos de azar, o ara el lector, centífco o no, nqueto y reflexvo, que al menos ara satsfaccón de su curosdad ha dedcado algún temo ara reflexonar sobre el tema. A esar de ello creemos que gualmente odría ser de alguna utldad en el sentdo de acercarlos a la oscón de aquellas ersona que no han exermentado tal roceso reflexvo, y les ueda roveer de una equeña herramenta ddáctca ara la ntroduccón de esas ersonas a concetos al menos más concretos. Báscamente nuestra seudo-encuesta nca con una regunta aarentemente nocente que ermte determnar s tene sentdo segur adelante con el entrevstado: Conoce usted el térmno azar? Aquí encontramos una mnortara cantdad de resuestas negatvas, en cuyo caso abandonamos el nterrogatoro, o, or lo general, resuestas afrmatvas y asombradas ante lo aarentemente trval de la regunta. Con estos entrevstados segumos adelante, y avanzamos a la segunda nterrogante, que lejos de la ngenudad de la rmera demostró ser una rrucón en algún unto de la concenca del entrevstado: Qué es el azar? 2/06/04 6/79

7 En realdad esta es la forma más cruda de lantear la nterrogante y or lo general nos vmos en la necesdad de relantearla en térmnos de aroxmacones menos abrutas, dadas los no ocos casos en que el entrevstado mostró dfcultades ara encarar drectamente la cuestón rouesta. Báscamente aquí la entrevsta termna, con el desnterés de algunos y con la nquetud de otros. Con estos últmos consultados sn embargo suele contnuar una nteresante etaa reflexva, en la que el entrevstador uede aortar humlde guía ddáctca, y a la vez enrquecerse con la onón y línea de razonamento del nqueto entrevstado, ahora nterlocutor de, or lo general, un nteresante dálogo. Pero, ben, entonces vayamos a lo nteresante, qué resuestas hemos obtendo a las nterrogantes lanteadas. Hemos encontrado que las msmas ueden clasfcarse en dos grandes vertentes de concetualzacón, que ncluso son referdas or un msmo entrevstado, como delneando dos deas dferentes que se exresan con la msma alabra, a saber: - El azar es lo que se da en los juegos de azar - El azar se da cuando sucede lo neserado, lo mrevsto Como el lector uede suoner hemos extraído del conjunto de onones lo sustancal y lo hemos resumdo en las frases anterores, ntentando mantener la forma de la exresón natural de las msmas, que or más vagas e nexactas que arezcan son las esencalmente aortadas or los consultados, ero que en esa vaguedad sugeren ya una línea reflexva que nos uede llevar a lanteos más retensosos. Se observa que los entrevstados hacen claramente una defncón de acuerdo al marco de alcacón del azar. S es en el juego, el consultado arece tenerlo claro, en realdad arece natural que el msmo se manfeste en un evento que contene su denomnacón en la roa desgnacón ( juego-de-azar ). Sn embargo ya sea estmulado or el entrevstador, o or sí msmo, admte que el térmno de azar es alcable a otros eventos cotdanos, y al resecto aorta la segunda resuesta. Para hacer una gruesa dstncón, a rmera reflexón, el azar arece actuar en una forma concreta y defnda ara los juegos de azar, y en otra mucho menos recsa ara el resto de los acontecmentos. A contnuacón edmos al entrevstado que elabore un oco más ambas vertentes, arrbando a resultados del to de los que sguen. Para el caso de los juegos de azar obtenemos algo así: En los juegos de azar, el azar actúa al defnr un resultado de entre un número determnado y ben conocdo de resultados osbles. Permítasenos elaborar un oco más la dea: En los juegos de azar, exste un conjunto ben defndo de resultados osbles antes de ejecutar el juego en sí, una vez ejecutado este alguno y sólo alguno de los resultados del conjunto de resultados osbles se roducrá. 2/06/04 7/79

8 Una elaboracón ara el segundo caso, nos lleva a aclarar muchísmo la vaguedad ncal, y como era de sosechar nos aroxma a la línea de ensamento sobre los juegos de azar. Ante un suceso cualquera exsten un conjunto de consecuencas eseradas o revstas, decmos que actúa el azar cuando ocurre una consecuenca neserada o mrevsta. Debemos aclarar que muchas veces la exresón no es actúa el azar cuando ocurre una consecuenca neserada o mrevsta, sno cuando ocurre una consecuenca mosble. En este últmo caso hay que aclarar al nterlocutor la falaca contenda en esta últma exresón, dado que s algo ocurre era efectvamente osble, y s lo consderábamos mosble, era or nuestra lmtacón ara defnr el conjunto de consecuencas osbles. Veamos con un ejemlo cómo se manfesta esta vertente del azar, or ejemlo con algo tan cotdano con la salda a la calle de un habtante urbano común rumbo a su trabajo. Una vez en la arada del ómnbus, habrá una sere de consecuencas erfectamente revstas: el ómnbus odrá asar en hora, odrá retrasarse y nuestro ersonaje termnará tomando un tax ara llegar a temo al trabajo, ncluso odría tener un accdente leve mentras llega a la arada y termnaría no concurrendo ese día al trabajo. Ahora ben, s un meteorto lo atravesara mentras cruza la calle rumbo a la arada, debemos ser honestos y reconocer que es una consecuenca dfícl de rever, cuando no nos veríamos tentados a decr mosble, ero lo certo es que es erfectamente osble. Dejemos de lado el caso de las consecuencas mrevstas, es decr consderemos que se roduzca alguna de las consecuencas naturalmente eseradas. Según la segunda concecón no habría lugar ara el azar aquí (orque según esta concecón sólo hay azar cuando "ocurre lo neserado), ero nótese que este caso es déntco al de los juegos de azar, hay un conjunto de osbles resultados, y antes de que ejecute el roceso que nos lleva al msmo desconocemos cuál es este. Así que, ara ser coherentes, tendremos que extender nuestra defncón de azar ara nclur estos casos, con lo que quedaría como sgue: Ante un suceso cualquera exsten un conjunto de consecuencas eseradas o revstas y otras mrevstas or falta de conocmento, decmos que actúa el azar cuando ocurre alguna de las consecuencas eseradas u otra neserada o mrevsta. Llegado este unto estamos en condcones de establecer que la dferenca entre el azar de los juegos, y el azar del resto de los sucesos es esúrea, todo radca en qué tan ben odamos determnar el conjunto de resultados osbles. En los juegos de azar tal ejercco es comletamente extoso, orque los juegos están dseñados ara que exsta un conjunto de resultados ben defndos a los cuales el jugador ueda aostar, con la certeza de que alguno de ellos, y or ende osblemente el suyo saldrá favorecdo. Por eso los juegos de azar tenen un dseño smle, desde la taba hasta la qunela. En el resto de los acontecmentos cotdanos no gozamos n de la rerrogatva de su dseño, y la comlejdad es tal que muchas veces no nos ermte establecer el conjunto de osbles resultados con exacttud. Pero queda vsto que la esenca en uno y otro caso es la msma. Estamos en condcones entonces de unfcar ambas vertentes. Para ello exresaremos la dea mlícta hasta ahora de que el azar es una esece de agente de decsón entre 2/06/04 8/79

9 múltles resultados osbles, exlíctamente. Además daremos el nombre genérco de exermento al evento tras el cual se roduce la decsón, sea el sorteo de qunelas, o la observacón de la suerte del trabajador urbano cuando se drge a eserar su ómnbus: El azar es el agente que actúa defnendo un resultado tras la ejecucón de un exermento de un conjunto de resultados osbles antes de la ejecucón del msmo. Debemos reconocer que hemos llegado a una formulacón elegante a artr de nuestra ncal mrecsón, además la hemos generalzado, ara cualquer exermento, en el sentdo más amlo e ncluso centífco de la alabra. Aún más esta defncón deja en claro el rotagonsmo del elemento temo, dado que el azar adquere sentdo en tanto exste un flujo temoral que nos lleva desde un asado de múltles resultados osbles a un futuro osteror a la ejecucón de la exerenca, en el que se comrueba el acontecer de un resultado artcular de ellos. Y dada esta sustancal ntervencón del temo en nuestra defncón de azar, ben odemos alcar a ella térmnos como evento, a ror y a osteror, y exresarla así: El azar es el agente que actúa defnendo un evento a osteror de un exermento a artr de un conjunto de sucesos osbles a ror. La accón del azar Evento osble Evento osble 2 Evento observado t Evento osble n A ror A osteror Evento Podemos entonces defnr un exermento azaroso, como aquel en el que el resultado no se uede determnar a ror de un conjunto de resultados osbles. Llegado este unto tene sentdo la sguente cuestón que agregamos a la entrevsta. 2/06/04 9/79

10 Puedo decr que un exermento es más azaroso que otro? La resuesta ntutva será ostva en la mayoría de los casos. Cotdanamente estamos acostumbrados a medr la cualdad de azaroso de un exermento or comaracón con otro, en el sentdo de qué tan ncerto es. Por ejemlo los jugadores dcen que referen el casno y en artcular la ruleta a comrar jugar a la qunela, en el sentdo de que es menos azarosa la ruleta con 37 osbldades, que la qunela con un mínmo de 00. O mejor aún, es fácl dferencar alrededor de una mesa de ruleta al jugador audaz del novato o tmorato. El rmero seguramente aostará a leno, es decr a un únco número de los 37, elgendo or así decrlo la confguracón de máxmo azar ara este exermento, con una sola chance en 37 de ganar, y 36 en 37 de erder. Sn embargo el jugador rmerzo seguramente aostará al color, con lo que tene cas la msma chance de ganar o erder, lo que es una confguracón mucho menos azarosa ara el msmo exermento. Y seguramente nos anmemos a decr que el exermento del trabajador urbano eserando el ómnbus es certamente menos azaroso que establecer qué será de la vda del roo sujeto dentro de 0 años. Como djmos, de hecho, estamos hacendo una medda de qué tan azaroso un exermento es, en el sentdo de qué tan ncerto es rever el evento a osteror, conocdas las condcones a ror. S tuvéramos que elegr una magntud ara reresentar esta medda la ncertdumbre arece la adecuada. La ncertdumbre en certa forma refleja la gnoranca, en el sentdo de cuánto sabemos acerca del exermento (usualmente llamamos a esta cantdad de saber nformacón) resecto al exermento en sí y a la accón del azar en la decsón. Por eso odemos agregar a nuestra línea de razonamento la sguente dea: La ncertdumbre es la medda de qué tan azaroso es un exermento. Nuestro desafío ahora será oder determnar las roedades fundamentales de la ncertdumbre en térmnos más recsos. Para ello comenzaremos a hacer algunas recsones y a encontrarnos con concetos matemátcos asocados a nuestro roblema. Resumamos las característcas que defnen un exermento azaroso: - el exermento en sí - el conjunto de eventos a ror, al que denomnaremos esaco de la muestra - el evento a osteror - la ncertdumbre Enfoquémonos sobre el esaco de muestra. S = { A, A2,..., A,..., A } n Esaco de la muestra 2/06/04 0/79

11 Pero qué más odríamos aortar ara enrquecer nuestro conceto sobre el esaco de muestra y sus elementos. Observemos ara ello nuevamente los juegos de azar. Un jugador que auesta a un juego de azar como la ruleta o la qunela, lo hace con la remsa objetva de que su número tene la msma chance que cualquer otro de salr favorecdo, más allá de que subjetvamente tenga la eseranza de que el msmo tenga chance sueror que lo motve a selecconarlo (eseranza subjetva que no estamos tratando aquí). Y es sobre la chance que odemos ahondar más, dado que odemos medrla al ncororar el conceto de robabldad. En general manejamos el cálculo de robabldades sn dfcultad cuando de juegos de azar se trata. Para ello consderemos el juego de cara o cruz con una moneda que aunque arezca trval, ha defndo a lo largo de la hstora eventos más mortantes que la eleccón de la cancha o el untaé ncal en un artdo de fútbol, y que contene en su smleza la esenca del azar. Báscamente acetamos que s la moneda es buena, es decr está correctamente balanceada y tene efectvamente de un lado la cara y del otro la cruz, la chance de que salga una u otra es la msma y decmos que la robabldad es de en 2 de que salga una u otra, o de 50% y 50%. Al arrojar un dado bueno, no cargado n nada or el estlo, acetamos que cada cara tene la msma chance de quedar haca arrba, y or lo tanto que cada número ntado en sus ses caras tenen gual chance de en 6. En la ruleta decmos que la chance es de en 37, en la qunela jugando dos cfras a la cabeza es de en 00, etc. Para exresar esto en térmnos matemátcamente cómodos ya en el sglo XVII, y justamente con la fnaldad de estudar formalmente los juegos de azar, se ntrodujo el conceto de robabldad con una defncón muy smle: dado un conjunto de n resultados osbles con gual chance, la robabldad de acontecer ara cada uno de ellos es /n. De allí los sucesos se dcen equrobables or tener gual robabldad. ( A ) = n Nótese que la suma de la robabldad de todos los resultados osbles es n veces /n, que es. Y esta es una roedad fundamental de las robabldades, la suma de las robabldades de todos los resultados osbles debe ser la undad. n = ( A ) = Este valor de robabldad reresenta la certeza, la dea que manejábamos en las rmeras onones sobre los juegos de azar, de que certamente uno de los resultados osbles se roducrá. Por el otro lado una robabldad nula mlca mosbldad, or ejemlo el resultado 55 en la ruleta tenen robabldad nula, y de hecho no se consdera en el esaco de robabldad del exermento. Los valores osbles de las robabldades fluctúan entonces entre 0 y. 2/06/04 /79

12 0 ( A ) A la funcón que asgna a cada resultado osble un valor de robabldad se le llama dstrbucón de robabldad. En los juegos de azar en los que es alcable el rnco de equrobabldad, o en general en cualquer exermento con dstrbucón equrobable, basta con determnar ben el esaco de la muestra, y contar cuántos elementos la comonen ara obtener el valor de la robabldad de uno cualquera de los resultados. En general el conteo no es tan smle como en los juegos que hemos vendo tomando como ejemlo, comlcándose en aquellos juegos que mlquen combnacón de dferentes números, obtendos en exermentos ndeendentes, o vnculados, ara cuyo caso el cálculo combnatoro, y varos teoremas de la teoría de robabldades brndan mejor auxlo. Consdérense como ejemlo las máqunas tragamonedas tradconales en que tres tambores gran en forma ndeendente udendo caer cada uno en alguna de un número de dbujos redefndos. Hemos ncororados concetos mortantes ara nuestro esquema del exermento azaroso, or lo que relantearemos los elementos del msmo: - el exermento en sí - el esaco de muestra - la dstrbucón de robabldad del esaco de muestra - el evento a osteror - la ncertdumbre Hemos ntroducdo elementos matemátcos recsos, veamos cómo estos ueden ayudarnos a caracterzar la ncertdumbre del exermento. Volvamos a nuestros juegos de azar equrobables, y a la nocón de que jugar a cara o cruz con una moneda se nos antoja menos azaroso, o de menor ncertdumbre que jugar a la ruleta. Esto es el juego con menor número de resultados (o un esaco de muestra menor) es menos ncerto que el otro. O dcho lo msmo ntroducendo el conceto de robabldad, el juego con eventos de robabldad mayor es menos ncerto que el otro. Para medr la ncertdumbre en un esaco equrobable es tentadoramente smle hacerlo con el número de elementos del esaco, o mejor, odemos decr que la ncertdumbre es roorconal al número de elementos del esaco. Hα n Tambén que es nversamente roorconal a la robabldad de uno cualquera de los eventos equrobables. Hα ( A ) = n = n 2/06/04 2/79

13 Pero esta arecacón erde sentdo s consderamos esacos nfntos o dstrbucones no equrobables. Y esto no es menor dado que ara muchos exermentos se ueden establecer dstrbucones no equrobables. Sn r más lejos, el trabajador que va a la arada tenen un esaco de muestra de eventos con dferentes robabldades. Sn duda que la robabldad es grande de que como en la mayoría de los días tome el ómnbus normalmente, un oco menos robable que lo erda, aún menos robable que no ueda r a trabajar or un accdente menor, y radcalmente oco robable que un meteorto lo atravese en la arada. Y hay algo más nteresante con estas dstrbucones no equrobables, nótese que están usando certa nformacón a ror en su construccón. En sí estamos usando el hecho de conocer el resultado del msmo exermento de observar al trabajador urbano or unos cuantos años ara deducr una dstrbucón de robabldad a artr de las frecuencas relatvas observadas de los dferentes eventos a osteror dados a lo largo de un temo arecable. En el juego de azar en realdad tambén uede alcarse este conceto, salvo que obtengo frecuencas relatvas observadas smlares ara cada evento, con lo que reencuentro m dstrbucón equrobable ara esos juegos. Al menos es lo que debería encontrar, de lo contraro estaría ante un fraude como un dado cargado o una moneda con dos caras guales. Pero cuando jugamos no robamos el juego rmero un número sufcentemente grande de veces ara construr nuestra dstrbucón, convencernos de que es equrobable (u ocasonalmente descubrr que no lo es y denuncar un fraude, o ser dscretos y arovechar el descubrmento a nuestro favor) y desués aostar. Al menos s nos ven con una lbreta de auntes mucho temo frente a un juego en un casno robablemente seamos nvtados or algún agente de segurdad a tener una charla. Lo que en realdad hacemos es alcar los conocmentos teórcos del dseño del exermento ara defnr el esaco de la muestra y su dstrbucón, y confar en la honradez del casno en cuanto al fel reseto del msmo. Ahora, debemos acetar que en otros juegos como los de qunela es ocuacón de no ocas ersonas hacer un segumento de los resultados de los juegos a lo largo del temo, y establecer dstrbucones a artr de las frecuencas observadas, y decdr de ellas a qué número aostar. S la ofcna de qunelas tene la recaucón de controlar los mecansmos de sorteo ara asegurar que todas las bolllas tengan la msma chance, el sagaz recolador de datos odrá encontrar una osclacón al alza o a la baja ara alguno u otro número en dferentes momentos, ero las msmas no serán más que erturbacones, a la larga reencontrará la dstrbucón equrobable. Esta consecuenca la demuestra matemátcamente la llamada ley de los grandes números, que báscamente dce que transcurrdo sufcente temo, las frecuencas observadas resetan la dstrbucón de robabldad del exermento, ero en temos no tan largos se ueden observar erturbacones, que el aostador odrá nterretar a su favor. 2/06/04 3/79

14 Pero exste una roedad artcularmente nteresante de las dstrbucones equrobables: es la dstrbucón que asgno a un esaco del que no tengo nnguna nformacón a ror, tal como una tabla de observacones hstórcas. Es decr, s dseño un nuevo exermento, nunca ejecutado, y en base a argumentos teórcos llego a la conclusón de que tengo n eventos osbles ara el msmo, y no uedo establecer nada más resecto a los msmos, qué robabldad asgno a cada uno? Ben, s no uedo establecer dferencas entre los msmos, ndudablemente que deberé asgnar la msma a cada uno, es decr, la dstrbucón equrobable. Obsérvese entonces que nteresante es esto que acabamos de ver orque nuestra esecfcacón de ncertdumbre deberá reflejarlo. En otras alabras lo que acabamos de decr es que los exermentos con dstrbucón no equrobable tenen más nformacón a ror acerca de los resultados osbles, or lo tanto menos ncertdumbre. Y que los exermentos con dstrbucón equrobable son aquellos ara los que no hay mayor nformacón a ror sobre los resultados osbles, y or lo tanto la ncertdumbre deberá ser mayor. Y no sólo eso, s consderamos el msmo exermento la rmera vez que se hace, en el que no tenemos nnguna nformacón a ror, y el msmo exermento luego de años de ejecutarlo en dferentes laboratoros del mundo, es en el rmero donde nuestra ncertdumbre será la mayor osble (un máxmo), dado que en todas las demás nstancas ya contaremos con la nformacón a ror que nos brnden los resultados de las observacones de todas las nstancas de los exermentos anterores. Entonces la ncertdumbre de una dstrbucón equrobable ara un esaco de muestra dado (como la que corresonde a la rmer nstanca del exermento) debe ser un máxmo resecto a cualquer otra dstrbucón ara el msmo esaco. La anteror es sn dudas una consderacón sumamente nteresante, que nuestra medda de ncertdumbre debería cumlr. Como esta, odemos reunr otra sere de roedades deseables ara nuestra medda de ncertdumbre, tales como que la ncertdumbre total de dos exermentos ndeendentes debería ser la suma de sus ncertdumbres ndvduales. Esto ara reflejar el sentdo ntutvo de que la ncertdumbre de jugar aralelamente en dos mesas de ruleta, es el doble (la suma de la ncertdumbre de cada uno de los exermentos) que en una sola. Otra roedad muy nteresante que le deberíamos edr a nuestra medda de la ncertdumbre es la exclusva deendenca de la dstrbucón de robabldades, y or la tanto la ndeendenca del exermento en sí. Esto refleja tambén un sentdo ntutvo de que la ncertdumbre de trar una moneda al are y eserar qué cae, es la msma que sacar con los ojos vendados uno de dos aeltos con dos números dstntos en una bolsa. O que trar un dado es lo msmo que sacar numertos de una bolsa ero ahora con ses aeltos con números dstntos en ella. Un exermento y otro tenen dseños radcalmente dstntos, sn embargo nos aortan la msma ncertdumbre. Pero ambos exermentos comarten su dstrbucón de robabldades, es esa entonces la característca común de la que se debe deducr gual ncertdumbre. Y s estamos retendendo defnr la medda de la ncertdumbre debemos elegr una referenca, una undad de medda. Esto es arbtraro, ero resulta convenente fjarnos en el exermento con esaco de muestra y dstrbucón más senclla, como el del lanzamento de la moneda o cualquer equvalente: tene un esaco de 2 eventos y 2/06/04 4/79

15 dstrbucón equrobable. No hay exermento más sencllo s el esaco tuvera un solo evento, la robabldad del msmo sería la undad, tendríamos certeza y or ende nnguna ncertdumbre. Dgamos ues que ara una dstrbucón de este to (bnara equrobable) la ncertdumbre vale la undad. Llamaremos a la undad bt, or la contraccón del nglés de bnary dgt, en el sentdo de llamar dígto a cada uno de los dos resultados osbles en un esaco bnaro que genércamente se uede reresentar con los dígtos (0,). Y no debemos olvdar que refleje algo que ya tenemos claro desde que comenzamos a razonar acerca de una medda de la ncertdumbre, que dados dos esacos con dstrbucones equrobables, la ncertdumbre debe ser roorconal al esaco (a mayor esaco, más ncertdumbre). Resumamos las roedades de nuestra medda de ncertdumbre: Deendenca exclusva de la dstrbucón de robabldad Adtvdad ara exermentos ndeendentes Valor undad ara la dstrbucón bnara equrobable Dado un esaco, debe ser máxma ara la dstrbucón equrobable Proorconaldad resecto a la extensón del esaco Dadas las roedades, es un trabajo ara matemátcos encontrar semejante funcón, y efectvamente se encontró, y no sólo eso, sno que se demuestra que hay una sola funcón con tales característcas: Entroía o ncertdumbre de Shannon H = log 2 Esta funcón es conocda como ncertdumbre de Shannon, o entroía de Shannon, con lo que encontramos un térmno muy usado en las cencas como el de entroía. Dado que la ncertdumbre como vmos está asocada a nuestra gnoranca a ror sobre el resultado de un exermento, odemos decr que nos ndca cuánta nformacón recbremos del msmo una vez conocdo el resultado a osteror, es or eso que a la entroía de Shannon, en el contexto de la teoría clásca de la nformacón, se le llama cantdad de nformacón. No deja de resultar nteresante que buscando caracterzar a la ncertdumbre encontremos a la msma vez la forma de medr la nformacón. Podría sentrse un cosqulleo de contradccón desde que vmos que la ncertdumbre reresenta justamente nuestra falta de nformacón. Pero ara aclararlo es convenente volver a consderar el ael que el temo tene en nuestro lanteo, es decr la entroía de Shannon no es al msmo temo cantdad de ncertdumbre y cantdad de nformacón de un exermento. La entroía de Shannon es cantdad de ncertdumbre a ror del exermento, y se vuelve cantdad de nformacón a osteror del msmo. S tenemos en cuenta el unto de nco de la entrevsta, y vemos hasta dónde hemos llegado, creo que nos debemos sentr satsfechos, en cuanto que hemos aclarado bastante la naturaleza del azar a artr de la vaguedad ncal, todo esto sn comlcarnos con sofstcadas matemátcas, y recurrendo semre a nuestra ntucón y heurístca. Resumamos nuestros concetos: 2/06/04 5/79

16 Un exermento azaroso se caracterza or un esaco de muestra (eventos osbles) con una dstrbucón de robabldad a ror, que a osteror se resuelve en un evento del esaco a ror. Tal exermento tene una ncertdumbre a ror que es su entroía de Shannon, que es tambén la cantdad de nformacón que se obtene del msmo a osteror. Más allá de que hemos centrado nuestro análss en la ejecucón de un exermento, la caracterzacón de ncertdumbre a la que hemos arrbado se alca a un esaco de muestra con una dstrbucón de robabldad. En este sentdo odemos alcar todo lo vsto a dstrbucones de robabldad más allá de que estas conduzcan a un exermento que se defna en uno de los eventos osbles. Con esto se amlía el rango de alcacones de nuestras conclusones acerca del azar. Debemos destacar la otenca de nuestra defncón de ncertdumbre, y en artcular de una de las roedades que hemos muesto a ella, la de ncertdumbre máxma. Habíamos vsto que una vez defndo un esaco de muestra, y no tener nformacón ara establecer una dstrbucón de robabldad ara el msmo, lo que equvalía a no oder establecer dferencas entre las robabldades de los dferentes elementos del esaco, se le debía asgnar la msma a todos, y or lo tanto la exresón que encontráramos ara la ncertdumbre debería cumlr con ser máxma ara una dstrbucón equrobable. Al obtener la exresón de ncertdumbre, ahora odemos smlemente decr que cuando no se cuenta con nformacón ara caracterzar una dstrbucón, la entroía debe ser máxma. Pero aún más, asumamos que tenemos alguna nformacón, ero no la sufcente ara caracterzar or comleto la dstrbucón, cómo roceder entonces? Pues ben, emleemos la nformacón dsonble ara caracterzar hasta donde odamos la dstrbucón obtenendo una dstrbucón -ermítasenos utlzar este térmno artfcoso sólo or un momento- "sem-caracterzada", y luego hagamos máxma la ncertdumbre con esta dstrbucón "sem-caracterzada". Veámoslo con un ejemlo. Consderemos que tenemos un dado cargado muy esecal, en el que or la robabldad de que salga un es el doble que salga un 6, y la de que salga un 2 es 0 veces menor que salga un 5, el 4, el 5 y el tenen gual. Tenemos bastante nformacón, sn embargo necestaremos alcar el método comentado ara caracterzarla comletamente, y resonder exactamente a la regunta Cuál es la robabldad de sacar cada uno de los números?. 2/06/04 6/79

17 2/06/04 7/79 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log 0 2 log 2 ) log 3( 0 36 log 0 36 ) 2 log 2 log log 0 36 log log 0 log ( la ncertdumbre Imonendo las condcones a ) log... log ( log La ncertdumbre es Las condcones dadas ) ( : de normalzacón de robabldades La condcón unversal son sobre La nformacón (constrants o condcones) 6 esaco elemento del cada sendo ), ( caracterzar es La dstrbucón de robabldad a,2,3,4,5,6 uno de los números de su caras dado es cada Es esaco del H H S n = = = + + = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = dado cargado roblema del El

18 Hemos llegado a "least bas", maxmzando 0 = ( 2 = 3(log ) (log = ( log H.3 log 2 2 Al obtener = ( 36 log 0 2 ( 36 ) ( 36 + ) ( 36 ) = (log( 0 36 ) 0 = 36 la forma de H = ) ( log 0 0 log = 0, Se confrma que es un máxmo evaluando + H.3 consderando toda la nformacón dsonble, ahora debemos alcar 0 + ) (log ) = + log ( ) log < 0 ) 3(log 0 0 ) = log ) 0 0 caracterzamos comletamente nuestra dstrbucón. H + ) + (3 + + ) log ) =.3 + log( 36) En conclusón, s tene que jugar con este dado nunca aueste al tres (basta hacer el cálculo ara obtener que la robabldad de que caga en tres es ráctcamente nula), y s encuentra algo dvertdo en jugar aún en estas condcones hágalo sólo al uno, al cuatro o al cnco. Este es un método de trabajo alcable en general, y su roceder se conoce como de "least bas". El térmno sgnfca "mínmo rejuco", lo que es bastante exresvo de la dea de que una vez agotada la nformacón no debo hacer suoscones rejucosas sobre la dstrbucón: al no haber más nada que suoner no hay más que máxma ncertdumbre. Este método se conoce como rnco de máxma entroía (PME), y uesto de manfesto or Edward Jaynes en 957. En general este método se descrbe como maxmzacón de ncertdumbre sujeto a las condcones o "constrants" del sstema estudado. Este roceder robó su otenca al ermtr reformular la mecánca estadístca a artr de la defncón de ncertdumbre de Shannon rovsta or la teoría clásca de la nformacón, susttuyendo a los métodos orgnales de trabajo de la mecánca estadístca en sus orígenes. + + La ncertdumbre caracterza cualquer dstrbucón de robabldad, y tal dstrbucón se obtene maxmzando la ncertdumbre sujeta a la nformacón dsonble sobre la msma. 2/06/04 8/79

19 Las manfestacones del azar en la cenca El vocabularo del azar centífco Ante todo arece convenente dar las claves que en las cencas ndcan stuacones de azar. Entre ellas odemos dstngur los sguentes concetos: Incertdumbre. Este es un térmno manejado en el caítulo anteror, báscamente ndca falta de certeza resecto a la resolucón de un exermento o roblema. Sn embargo es muy usado en físca con un sgnfcado más recso, ara referrse a la falta de certeza de una medda, es decr, a la exstenca de un límte ara determnar la exacttud con que se ueden realzar meddas en el mundo físco. El aradgma de esta dea de ncertdumbre está el en famosos rnco de ncertdumbre de Hesemberg, que báscamente dce que no se ueden medr la oscón y velocdad (o momento cnétco) smultáneamente con la recsón que desee. Mejor dcho, dce que la recsón de una es nversamente roorconal a la de la otra. Por eso se acostumbra a resentar este rnco dcendo que no se uede recsar la oscón y velocdad de una artícula smultáneamente. Indetermnsmo Utlzado ara exresar la falta de determnsmo ara un fenómeno, entendendo or determnsmo el hecho de que el fenómeno se comorta según certas leyes ben conocdas que ermten redecr su desarrollo y consecuencas. Otra vez se trata de oder determnar con certeza las consecuencas un exermento. Un exermento azaroso es en certa medda ndetermnsta al no oder establecer con certeza su resultado. Imredectbldad Exresa la mosbldad de redecr las consecuencas de un exermento o el comortamento de un fenómeno con certeza. Exresa entonces el ndetermnsmo del fenómeno, y or lo tanto la exstenca de una ncertdumbre resecto al msmo. Caos Térmno acuñado en temos relatvamente recentes, ara clasfcar a una sere de fenómenos o sstemas dnámcos (sstemas que evoluconan en el temo), en los que ese a que cada elemento nvolucrado se comorta de acuerdo a leyes determnstas (e ncluso sencllas), el sstema evolucona en forma aarentemente aleatora (azarosa). Irreductbldad Exresa la mosbldad de reducr un certo enuncado a una consecuenca de los axomas elementales en un sstema formal lógco. Hasta temos recentes se tenía confanza que de un sstema formal ben defndo, como odría ser el cuero total de las matemátcas, sería osble extraer todas las conclusones váldas a artr de un conjunto reducdo de axomas elementales, o exresado de otra forma, dado un enuncado váldo este odría reducrse a los axomas. El hecho de que algo como esto no suceda ntroduce el azar en un sstema formal, orque no es osble or ejemlo 2/06/04 9/79

20 asegurar s la base axomátca está comleta, orque uede aarecer un enuncado rreductble que or lo tanto deba ser ncororado como un nuevo axoma. Fenómenos como el de la rreductbldad están fuertemente lgados al tratamento formal del azar, y tenen como consecuenca drecta en su análss, que or ejemlo no uede afrmarse con certeza s un número (o una sere de ellos) es efectvamente aleatoro. Aleatoredad, randomness Se refere a la naturaleza azarosa de un fenómeno, o una manfestacón del msmo. Se habla con frecuenca de número aleatoro o comortamento aleatoro. El equvalente anglosajón es randomness, y frecuentemente se usa el anglcsmo randómco en esañol como snónmo de aleatoro. Condcones ncales Dada un fenómeno y una ley que ermte hacer redccones sobre él (es decr, sobre los valores de certas magntudes del msmo), se llaman condcones ncales del sstema a los valores de aquellas magntudes que entradas a las ecuacones que ermten conocer el valor de la magntud a redecr. Por ejemlo en mecánca clásca, dadas la oscón y velocdad de un móvl en un certo nstante t, es osble redecr a través de las ecuacones del movmento, la oscón y velocdad del móvl en cualquer otro nstante. Errores de medda Consderemos algo que nos enseñan a hacer desde nuestras rmeras exerencas de laboratoro: las meddas tenen errores, los errores se estman y se exresan con la medda tomada, los errores se roagan al utlzar las meddas en ecuacones ara extraer otros resultados. Obsérvese entonces de que estamos ante un fenómeno determnsta del cual conocemos con recsón la ley (ecuacones) de la que se lo controla. Esto nos hablta a hacer redccones resecto al msmo. Consderemos el éndulo or ejemlo, su erodo vene defndo or la longtud de la cuerda y la aceleracón de la gravedad. Dada or conocda la aceleracón de la gravedad g (y suondremos que sn error), medmos el largo de la cuerda, ero lo haremos con certo error. Colocamos los datos en la ecuacón, obtenemos un valor ara el erodo del éndulo, y roagando el error, obtenemos el error o ncertdumbre de tal valor que exresaremos como T ± T. Esto quere decr que en realdad no odemos redecr exactamente un valor de T, sno un esaco de muestra contnuo con centro en T y rado T. La teoría de errores habla de eso justamente de cómo el error en las meddas ntroduce un error en el resultado de las ecuacones que se exande, defne el esaco de muestra del resultado y la dstrbucón de robabldad del msmo. Como vemos entonces todo exermento regdo or leyes determnstas ero con condcones ncales meddas con error, se transforma en un exermento azaroso. Obsérvese entonces que ara cualquer modelo que neceste condcones ncales ara hacer redccones, al tener esa medda de condcones ncales errores, la redccón es azarosa, qué tanto deenderá de qué tan grueso sea el error, y de cuál es el comortamento del sstema. En los sstemas dnámcos no lneales, la segunda característca es de mucho mayor eso la rmera, y esto orgna comortamento caótco. 2/06/04 20/79

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