El Rincón Matemático en Diario Jaén

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1 Memoria de actividades Coordinador: José María Quesada Teruel Matemáticas y Astronomía (Hussein Toledano Ahmad) El sistema de numeración decimal (Juan Francisco Ruiz Ruiz) De la magia de las matemáticas (Francisco Tomás Sánchez Cobo) a las matemáticas de la magia (Francisco Tomás Sánchez Cobo) Fácil de enunciar, difícil de probar (José María Almira Picazo) Cóncavo y con beso (Antonio Francisco Roldán López de Hierro) El ocho acostado (Consuelo Rosales Ródenas) Los matemáticos son desconfiados (Miguel Antonio Jiménez Pozo) Enigma (Miguel Angel García Muñoz)

2 Memoria de actividades Cómo hacerse rico con las matemáticas Autor: Antonio Jesús López Moreno (Diario JAEN, 2 de octubre de 2008) Allá por el siglo VI a.c. Tales de Mileto era el más importante matemático de su época. Según cuenta la leyenda, decidió Tales hacerse rico y demostrar así la eficacia de todas sus teorías ante aquellos que le increpaban alegando aquello de que si tan sabio eres, cómo es que no posees riquezas?. Valiéndose de sus conocimientos matemáticos predijo que la cosecha sería excelente y se adelantó adquiriendo todas las prensas de aceite de la zona que luego alquiló durante la temporada a un elevado precio consiguiendo así amasar una importante fortuna. Pero, sea o no cierta la fábula, podrían las matemáticas hacernos ricos? Utilizando las tablas y sencillos cálculos que ahora les mostraremos, podrán ustedes hacerse de forma rauda con cuánto dinero deseen, apostando en la lotería, casinos y otros juegos. Bien podría este artículo haber comenzado así, y, de hecho, este es el encabezado que reza en no pocos ejemplares que pueden encontrarse en cualquier librería. Podría una tal afirmación ser cierta? Existen esas técnicas matemáticas que facultan al que las domina para triunfar en los juegos de azar? Los juegos de azar nacen con la humanidad misma y, de su mano, surge el interés por encontrar técnicas ventajosas de juego. De hecho, probablemente la teoría de probabilidades nace de la correspondencia que en el siglo XVII mantuvieron los matemáticos franceses Pascal y Fermat sobre los problemas que el caballero de Meré, apasionado jugador, les planteaba. El filme 21 Blackjack, que hemos podido ver en las carteleras este mismo año, narra la historia verídica de cómo un grupo de jóvenes genios de las matemáticas desbancaron varios casinos de Las Vegas utilizando técnicas estadísticas de conteo de cartas. Igualmente espectacular es el periplo de la ya célebre familia García-Pelayo que se ha paseado por todo el mundo recaudando millones de euros en la ruleta gracias a sus métodos estadísticos de análisis de las irregularidades físicas de las ruletas. Así las cosas, parece que los matemáticos finalmente triunfaron y el milagro es posible. Corran pues a matricularse a la facultad de Ciencias Exactas más cercana.

3 Memoria de actividades Cuánto nos cuestan las prisas al volante? Autor: Joaquín Jódar Reyes (Diario JAEN, 9 de octubre de 2008) Son tiempos de dificultades económicas y todo ahorro es importante. Nuestra forma de conducir no es ajena a ello. Tomemos de referencia un vehículo de gasóleo, con un consumo medio de unos 5,5 litros a los 100 kilómetros cuando circulamos en un trayecto interurbano a una velocidad de 120 kilómetros por hora. Este consumo se dispara a partir de esa velocidad, de modo que, por ejemplo, a 150 kilómetros por hora, se sitúa en torno a 8,7 litros a los 100 kilómetros (y progresa aún más conforme mayor va siendo la velocidad). Esto quiere decir que, en un viaje de 100 kilómetros por autovía (como es la distancia, aproximadamente, entre Jaén y Granada), una velocidad media de 120 kilómetros por hora nos supondría, con el precio actual del gasóleo en torno a 1,20 euros el litro, un gasto de 6,60 euros, mientras que una media de 150 kilómetros por hora nos supondría 10,44 euros (sobrecoste de casi 4 euros que es más de lo que una persona que trabaje 40 horas semanales y con un sueldo mensual de 1200 euros cobra por media hora de trabajo). Esto por cada 100 kilómetros! Y no hemos computado el gasto extra que nos puede suponer la infracción de circular por encima de la velocidad permitida (actualmente, la multa por circular a 150 kilómetros por hora en una zona con velocidad máxima permitida de 120 kilómetros por hora es de 100 euros). Pero es que aún no hemos incluido el factor más importante: el notable aumento de riesgo que para nosotros y los demás conductores está suponiendo nuestro exceso de velocidad. Y todo esto, para qué? Acaso ganamos mucho tiempo? A una velocidad media de 120 kilómetros por hora, recorreríamos 120 kilómetros en 60 minutos y, por una sencilla regla de tres, 100 kilómetros en 50 minutos. A 150 kilómetros por hora, los 100 kilómetros los haríamos en 40 minutos. Es decir, por tardar 40 minutos en lugar de 50 en ese trayecto de 100 kilómetros, ponemos en mayor riesgo nuestra vida y la de los demás, nos jugamos una cuantiosa multa y realizamos un gasto considerablemente más alto en combustible y, por ende, en nuestro bolsillo. De verdad merece la pena? Son sencillas las matemáticas que nos invitan a reflexionar sobre nuestra forma de conducir.

4 Pueden las matemáticas ayudarte a sobrevivir? Autor: Juan Carlos Ruiz Molina (Diario JAEN, 23 de octubre de 2008) La historia demuestra que en algunos casos sí. En tiempos de la sublevación judía frente al poder romano, el emperador Nerón recurrió a un solvente general para sofocar la revuelta. El afortunado fue Vespasiano, un rudo general que había perdido el favor de Nerón debido a que se durmió en uno de sus recitales. El plan diseñado por Vespasiano consistió en minar la sublevación mediante un proceso de conquista de ciudades dejando para el final la inexpugnable Jerusalén. Tras el sometimiento de alguna de ellas le tocó el turno a Jotapat. Para su defensa se desplazó a la zona uno de los jefes moderados rebeldes, cuyo nombre romanizado era el de Flavio Josefo. La maquinaria de guerra romana, tras un duro asedio, consiguió finalmente asaltar la ciudad. Josefo logró escapar momentáneamente de la venganza romana refugiándose, junto a una cuarentena de radicales judíos, en un pozo. Una vez localizado su escondrijo, se entabló una negociación en la que se les prometió respetar sus vidas. Sin embargo, esta generosa promesa no fue bien recibida por los extremistas que decidieron suicidarse antes que entregarse. Josefo, que no quería morir, trató primero de persuadir a los suicidas para que cambiaran de opinión. El intento resultó infructuoso. Entonces les convenció de que el suicidio era un pecado y de que era preferible ante los ojos de Dios el que se mataran los unos a los otros. Les propuso un plan consistente en colocarse en círculo y cada uno asesinar al compañero inmediatamente a la derecha. Tras la macabra primera vuelta, el círculo se volvería a formar con los que permanecieran con vida y se aplicaría el mismo principio. Al final sólo quedarían dos, uno moriría asesinado y el otro se suicidaría. La cuestión sería saber si una posición inicial determinada en el círculo aseguraría que Josefo fuese el que moriría por suicidio y no asesinado. Este planteamiento dio lugar a un famoso problema matemático denominado cuenta de Josefo. Busto de Flavio Josefo Se cree que Josefo podría haber tenido los conocimientos matemáticos suficientes para decidir el lugar exacto que debía ocupar en el círculo para sobrevivir (como así sucedió). Otras de las virtudes que se le conocen al protagonista de nuestra historia es la de predecir, a partir de las antiguas escrituras, la púrpura imperial para Vespasiano y su dinastía. Predicción, ahora sí sin base estadística, que le aseguró un puesto en Roma al lado del emperador, la ciudadanía romana, una pensión y el disfrute del antiguo domicilio de Vespasiano. Memoria de actividades

5 Memoria de actividades Ibn Muadh, el gran olvidado Autor: Juan Martínez Moreno (Diario JAEN, 30 de octubre de 2008) Lamentablemente no se cumplió el pronóstico y todo quedó en agua de borrajas. Los matemáticos como autores de artículos y libros que son, pertenecen a la rara estirpe de seres ególatras que persiguen la inmortalidad desde sus trabajos. Su afán último es conseguir que alguien en el otro confín del planeta les mencione aunque sólo sea de soslayo en sus propios trabajos y, en el caso muy especial, titule uno de sus resultados con sus propios nombres. Las matemáticas están inundadas de teoremas de Fermat, conjeturas de Poincaré y triángulos de Pascal. Sus aspiraciones de perdurabilidad están sacadas del mismo saco que las de novelistas, pintores y demás artistas en general. En este sentido, y en muchos otros, la matemática es arte en estado puro. Esa mentalidad competitiva justifica la existencia de premios para vanagloria de sus ganadores. De entre ellos, la Medalla Fields (no existe el Nobel en matemáticas) es el más prestigioso. Nunca un matemático español se hizo acreedor de una Medalla Fields y pocos consiguieron la suficiente fama internacional como para pasar a la historia de la matemática moderna: Rey Pastor, Hasta aquí, todo normal, previsible; aunque no puedo dejar pasar en este punto que la matemática española, muy atrasada durante siglos posiblemente por políticas inoportunas, ha sufrido un crecimiento espectacular en la última década, llegando incluso a rumorearse en el pasado congreso matemático mundial la posible adjudicación de una medalla para un matemático español. Pero hete aquí mi sorpresa cuando perplejo, ante tan desolador panorama, descubro en la web The MacTutor History of Mathematics archive de la University of St Andrews Scotland, encargada de documentar a los matemáticos más ilustres de la historia, que uno se llama Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. Aunque debió nacer en Córdoba, el sobrenombre Al-Jayyani significa de Jaén. Ibn Muadh fue un gran teórico de la matemática de entonces y además ejerció de cadí en la ciudad de Jaén. Escribió el primer Tratado de Trigonometría Esférica, que entre otras contiene una exposición de los teoremas del seno y del coseno. Debió vivir entre nosotros entre los años 989 y 1079 d. C. Alguien debería estudiar la vida y obra de este jaenero en profundidad tal vez una tesis doctoral?. Ahí arrojo el guante.

6 Nos fiamos siempre de nuestra intuición? Autor: Ildefonso Castro López (Diario JAEN, 6 de noviembre de 2008) Imaginemos que fuésemos capaces de rodear con un hilo la superficie terrestre alrededor del ecuador. La fórmula de la longitud de la circunferencia (2πR, siendo R el radio de ésta) nos estima la longitud del hilo usado en más de km, pues π es 3 y pico y el radio de la Tierra es aproximadamente 6370 km. Cortamos ahora nuestro larguísimo hilo y añadimos solamente 1m de hilo a esos 36 millares largos de kilómetros. Si volviésemos a colocar el nuevo hilo resultante alrededor de nuestro planeta por el mismo sitio (en torno al ecuador) ahora quedaría con un poquito de holgura. Le desafío a que piense si cree que podría colocar su dedo índice y pasearlo a lo largo del hueco que quede. Si su intuición le ha dictado que eso parece imposible, lamentablemente se ha visto engañado por ella. Me propongo no convencerle, sino demostrarle que no sólo le cabría su dedo, sino todo su puño cerrado. Y ésta no será la mayor sorpresa... Llamemos R1 al radio de la Tierra y R2 al radio de la circunferencia que forma el nuevo hilo alargado. Nuestro problema consiste en calcular R2-R1, que es claramente la medida del hueco creado. Pues bien, la simple ecuación matemática que traduce el proceso que hemos llevado a cabo es 2πR2 = 2πR1+1, que proviene de expresar en metros la longitud del hilo alargado. Tras un par de operaciones elementales, 2πR2-2πR1 =1, 2π (R2-R1) = 1, llegamos al valor exacto de la holgura R2 R1=1/2π. Con la ayuda de cualquier calculadora el cociente 1/2π es aproximadamente 0.15; esto es, 15 cm que permiten sobradamente introducir cualquier puño cerrado (salvo acaso el de Mazinger Z, un personaje de dibujos animados de la época de los lectores cuarentones). Queda pendiente la sorpresa prometida: Repita el mismo problema sustituyendo la esfera de nuestro maltratado planeta por una pelota de tenis, un balón de fútbol, un minúsculo electrón o el inmenso Universo. El resultado es increíblemente el mismo!! Moraleja: no se deje guiar en la vida siempre por su intuición, pues la sorpresa puede ser mayúscula. Memoria de actividades

7 Memoria de actividades El juego de billar cósmico Autor: Juan Francisco Ruiz Ruiz (Diario JAEN, 13 de noviembre de 2008) Johannes Kepler fue un matemático alemán que estudió los movimientos de los planetas y buscó durante años una descripción para los mismos. Aunque ideas preconcebidas erróneas entorpecieron su investigación, con ayuda de las observaciones de Ticho Brahe, finalmente consiguió describir el movimiento planetario con sus tres leyes: los planetas describen una elipse con el Sol en uno de sus focos, en su movimiento elíptico barren áreas iguales en tiempos iguales y el cuadrado de los periodos de revolución es proporcional al cubo de los semiejes mayores de la elipse. La importancia del descubrimiento es enorme, Kepler era contemporáneo de Galileo y describió de forma precisa lo que la mayoría de sus coetáneos no eran capaces de imaginar. Sin embargo no dio explicación a las mismas y sería Newton quien encontraría la respuesta: La Ley de Gravitación Universal. Ésta explicaba el movimiento de los cuerpos celestes, y además establecía las bases de la mecánica clásica, que fue completada por Einstein, dando una explicación geométrica de la gravedad. Como si de una mesa de billar se tratara, las sondas espaciales son enviadas al espacio, en una serie de carambolas gravitatorias en busca de un objetivo final. Los científicos juegan al billar en un tablero cósmico, utilizando las leyes de Kepler, Newton y Einstein. Para conseguir acelerar o frenar, las sondas aprovechan la gravedad de los propios planetas en una maniobra que se denomina: asistencia gravitacional. Cassini es una nave espacial que actualmente orbita y estudia a Saturno y sus satélites, su periplo a través del Sistema Solar es un buen ejemplo de carambola cósmica, fue lanzada en octubre de 1997 hacia Venus y lo sobrevoló en dos ocasiones; de nuevo volvió a La Tierra en 1999, cogiendo aún más impulso (en poco más de 1 hora llegó a la Luna); en enero de 2000 sobrevoló el asteroide 2685 Masursky y en diciembre pasó a Júpiter con destino Saturno, al cual llegó en julio de 2004, después de casi 7 años de viaje. La Cassini llevaba a bordo, como polizón, una pequeña sonda de construcción europea llamada Huygens, que descendió sobre el mayor de los satélites de Saturno: Titán; consiguió por primera vez mirar a través de sus nubes y desvelarnos la superficie y el aspecto de Titán. Es difícil transmitir con palabras la emoción que se siente al ver un mundo por primera vez, quizás Kepler y tantos otros sintieron algo similar al descubrir las leyes del juego de billar cósmico, con las que hoy se juega para llegar a otros mundos.

8 Memoria de actividades Efecto Bartók Autor: Miguel Marano Calzolari (Diario JAEN, 20 de noviembre de 2008) Propongo que el compositor húngaro Béla Bartók ( ) sea declarado músico emblemático de las Ciencias Matemáticas. Hay motivos para ello. Si bien la aplicación de las matemáticas a la música no es un tema por él descubierto, es este compositor quien emplea de modo sistemático elementos de esa ciencia en sus partituras. Concretamente, la sección áurea y la sucesión de Fibonacci. La sección áurea se refiere a la partición de un segmento en dos partes de distinta longitud, de tal forma que la relación entre la longitud de la parte mayor y la longitud total del segmento es igual a la relación entre las longitudes de la parte menor y mayor. El valor de esta relación, la sección áurea, es aproximadamente 0,618. La sucesión (infinita) de números enteros de Fibonacci comienza con dos unos y luego forma sus términos con la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,. Aunque ambos conceptos provienen de definiciones aparentemente no relacionadas, hay un vínculo entre ellos. En efecto, la sucesión de números fraccionarios formados por dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, a saber, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, se aproxima tanto como se quiera a la sección áurea. Misterios de la matemática, y también de la naturaleza porque estos números están presentes en ella. Por ejemplo, si una rama de un árbol y todas las que nacen de ella producen otra rama por año a partir de su segundo año de vida, entonces el número total de ramas en cada año sigue una ley dada exactamente por la sucesión de Fibonacci. Hay más ejemplos, algunos también conectados con la sección áurea. Pero no nos vayamos por las ramas y volvamos a Bartók; no puedo dar detalles de cómo introduce estos elementos matemáticos en sus composiciones, por falta de espacio pero principalmente porque no tengo ningún conocimiento de técnica musical. Hay estudiosos del tema que han escrito sobre estos aspectos; de ellos he obtenido estos datos. Es una gran cosa que no sea necesario poseer esos conocimientos técnicos para disfrutar de la música. Y ya es hora de decirlo. Confieso que el segundo concierto para violín de Bartók produce en mí, y seguramente en muchos otros, un efecto de música celestial. No sé si será por los ingredientes matemáticos. Más bien me inclino a pensar que se debe a que la música - a diferencia de las otras artes, que son creaciones del hombre - es una creación directa de Dios, que los grandes compositores, verdaderos emisarios del Creador en la tierra, interpretan y ejecutan.

9 Memoria de actividades La estadística: madre de la enfermería moderna Autor: José Rodríguez Avi (Diario JAEN, 27 de noviembre de 2008) En 1854, Gran Bretaña y Francia libraban contra Rusia la guerra de Crimea, de poca importancia política pero famosa por dos hechos claves. Uno, la disparatada carga de la brigada ligera inglesa en Balaklava, inmortalizada en el cine por Errol Flyn en famosa película homónima. El otro ocurrió gracias a una tenaz mujer y a su pasión por la Estadística. Desafiando la oposición paterna estudió matemáticas, siendo alumna destacada de algunos de los mejores matemáticos de la época. Llevada por su espíritu de servicio fue nombrada Superintendente del Sistema de Enfermeras de los Hospitales Generales Ingleses en Turquía para los heridos de la guerra. Al llegar al hospital de Scutari vio que las condiciones higiénico-sanitarias eran desastrosas. Recopiló datos relacionando la muerte con la causa y sistematizó la práctica del control de registros. Inventó un gráfico, denominado de área polar, en el que en cada mes se representaba con un sector circular dividido en tres partes, cada una con área proporcional a la frecuencia de las muertes por heridas, enfermedades evitables y otras causas. Así demostró que los meses de mayor mortalidad correspondían a los invernales, en los que casi no se combatía. De hecho las heridas de guerra causaban sólo la sexta parte de las muertes, mientras que las causas principales eran enfermedades evitables. Tras la puesta en práctica de sus instrucciones, relacionadas con la atención a los enfermos y a la higiene a veces costeadas por ella personalmente- el mismo gráfico demostró que las muertes por enfermedades evitables casi habían desaparecido. Al volver a casa consiguió que le encomendaran otros hospitales en donde estadísticamente demostró como sus métodos bajaban la tasa de mortalidad. Con su trabajo mostró la importancia de la estadística para mejorar las prácticas quirúrgicas y médicas y supo utilizar los resultados para reformar en profundidad la sanidad. Esta mujer inglesa aunque nacida en Florencia, investigadora incansable, matemática de vocación, miembro de las más prestigiosas asociaciones estadísticas mundiales era Florence Shore, que ha pasado a la historia como Florence Nightingale, la auténtica creadora e impulsora de la enfermería moderna. Florence Nightingale

10 Memoria de actividades No confíe su dinero a los matemático Autora: Consuelo Rosales Ródenas (Diario JAEN, 4 de diciembre de 2008) En 1948, financiada con fondos militares y empresariales, en Estados Unidos se constituyó una organización, integrada por los mejores científicos, cuyo objetivo era estudiar estrategias nacionales en un mundo nuclear. Su consigna era pensar lo inimaginable. De ella formaban parte los grandes que en esa época desarrollaban la teoría de juegos, con aplicaciones fundamentalmente económicas hasta ese momento. Se estudió con precisión la lógica de la guerra, y se pusieron a punto mecanismos que advertían de cualquier ataque nuclear. Con el temor de los dos bandos a sus consecuencias, la estrategia del golpe por golpe se descartó: la partida nuclear solo se podía jugar una vez. Pensar lo inimaginable evitó lo imposible. Medio siglo después, los matemáticos han sido reclutados por los grandes bancos. El objetivo también era pensar lo inimaginable, pero ahora para diseñar nuevos productos financieros e idear estrategias que elevaran exponencialmente los beneficios. Las consecuencias, medidas en cifras millonarias, engordaban y blindaban bolsillos privados. El lugar del miedo lo ha ocupado la codicia y lo imposible nos ha explotado. Las hipotecas basura, los activos tóxicos, no sólo reparten las pérdidas para todos sino que, además, los contribuyentes debemos pagar la fiesta de excesos a la que no estábamos invitados. En los medios de comunicación se leen ahora las críticas a la confianza depositada en métodos y modelos sofisticados que contenían enormes riesgos: estos bonitos modelos matemáticos daban ilusión a los banqueros y también a los reguladores que medían perfectamente el riesgo; admitamos que la teoría financiera moderna tiene la validez científica de la astrología. Es posible que los modelos matemáticos estén hoy mejor desarrollados para predecir huracanes que crisis financieras; pero es exagerado afirmar que las matemáticas tienen la culpa de los excesos cometidos en la gestión de los bancos y en la permisividad de las autoridades que debían regularla. Matemáticamente el interés compuesto produce un crecimiento exponencial de la deuda, y evitar la devolución de la misma durante más de unos años se hace imposible. La magia del interés compuesto ha transformado en sinónimos los vocablos innovación y engaño para quienes creían que el crecimiento de los créditos hipotecarios basura podría continuar indefinidamente.

11 Memoria de actividades Matemáticas y ajedrez Autor: Antonio Damas Serrano (Diario JAEN, 11 de diciembre de 2008) Cuenta la leyenda que el ajedrez tuvo su origen en una región de la India. Allí, un cierto rey perdió a su hijo en una batalla, hecho que lo sumió en una profunda tristeza. Todos en la corte hacían lo posible por alegrar al soberano, pero no lo conseguían. Un buen día, un tal Sissa se presentó al rey y le mostró un juego de estrategia que se desarrollaba en un tablero de 64 casillas y en el que participaban dos jugadores, cada uno de ellos con 16 piezas (8 soldados, 2 caballos, 2 elefantes, 2 consejeros, una reina y un rey). Fue tal la fascinación del rey por el juego que le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que quisiese. Ponga un grano de trigo en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta, y así sucesivamente hasta completar el tablero; y entrégueme la cantidad total de granos de trigo, dijo Sissa. Así pues, el rey llamó a Pitagorín, el matemático de la corte, y le pidió que hiciera las cuentas. Su Majestad, el número total de granos es = = , por lo que habría que llenar de trigo un depósito en forma de cubo de unos 11 kilómetros de lado. Por tanto, no hay ni habrá en muchos años suficiente trigo en todo el reino para satisfacer el pago. El lector se estará preguntando por el maltrecho honor del monarca, incapaz de satisfacer la petición de Sissa. Y es aquí donde tiene comienzo la segunda parte de la leyenda, posiblemente menos conocida. Pitagorín propuso a Sissa que le pagarían lo que había pedido pero además todo aquello que se obtuviera de agregar sin fin, más y más casillas al tablero. Sissa, que no era matemático, aceptó, y éstas fueron las cuentas de Pitagorín: S= = 1+2( )= 1+2S, de donde S=-1. Es decir, que Sissa le debía un grano de trigo al rey! Sin duda que el tal Pitagorín merecería poder participar en la bolsa de empleo del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Jaén, en cambio Sissa no creo que aprobase ningún examen de series numéricas. En un tono más formal hay que reseñar que grandes matemáticos como George Pólya, Carl Gauss y Leonard Euler, entre otros, se han interesado por problemas matemáticos en el ajedrez. Además, campeones del mundo de ajedrez como Emanuel Lasker y Max Euwe fueron Doctores en Matemáticas. Sin embargo, hay que decir que no fue matemático el más brillante jugador de ajedrez de todos los tiempos, Moisés, que hizo tablas con Dios.

12 Memoria de actividades Discontinuidades o injusticias? Autor: Francisco Javier Muñoz Delgado (Diario JAEN, 18 de diciembre de 2008) Una de las definiciones más difíciles de enseñar en matemáticas es la de función continua. Recuerdan aquello de épsilon y delta al final de la secundaria? Había algunas ideas intuitivas más fáciles de comprender, por ejemplo, que a valores próximos se le asocien valores próximos, o que se pudiese dibujar la gráfica sin levantar el lápiz del papel, es decir, sin dar saltos,... En nuestra vida cotidiana también aparecen discontinuidades. No siempre es posible evitarlas. Así un alumno que obtiene un 5 estaría aprobado mientras que si le falta algo estaría suspenso (y esto no se arregla cambiando la barrera del 5 por el 4,5 o el 4). Sin embargo, otras discontinuidades podrían, o mejor deberían, evitarse. Con frecuencia encontramos baremos en que según notas o ciertos ingresos se otorgan puntuaciones según intervalos (lo que conlleva discontinuidades matemáticas). Opino que deberían evitarse los saltos y procurar puntuaciones continuas. Muchas veces basta una simple expresión lineal a+bx, con b positiva, si queremos que sea crezca (a más nota más puntos) o con b negativa si queremos que decrezca (a más ingresos menos puntos). La cuestión puede ser grave. Supongamos dos familias con ingresos similares y con hijos que van a empezar sus estudios universitarios. Ambas confían en la beca, pero una decide incrementar los ingresos trabajando unas horas extras. Podría ocurrir que por obtener unos ingresos extras una de las familias dejase de obtener la beca. Perderían una beca de miles de euros, por haberse pasado en unos euros! Desde aquí reclamo el derecho (así lo considero) a renunciar a la parte de la beca equivalente a lo que se excedió del límite (basta algo así para eliminar la discontinuidad). También rogaría a quienes realizan baremos para pagar impuestos que tengan mucho cuidado con las discontinuidades. Cuántas veces nos encontramos que para conseguir una deducción por adquisición o alquiler de vivienda, hijos, ascendientes, minusvalía del contribuyente, etc., es necesario no sobrepasar cierta cantidad en la base imponible? Se puede perjudicar con cientos o miles de euros por unos cuantos euros ingresados de más. Evitemos las discontinuidades!

13 Memoria de actividades Matemágicas Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 8 de enero de 2009) Le propongo un truco de magia con cartas para sorprender a sus amigos y familiares: disponga en secreto los palos de la baraja en un orden determinado (por ejemplo, un basto, una copa, una espada, un oro, y así sucesivamente). Sitúe el mazo preparado sobre la mesa, empiece a quitar cartas de la parte superior una a una y colóquelas formando un nuevo montón (donde ahora el orden de los palos será el inverso del que había en el mazo original). Deténgase cuando alguien se lo indique y realice a continuación una mezcla americana con los dos montones. De la vuelta a las cuatro primeras cartas. Sorpresa! Hay exactamente una carta de cada palo y lo mismo sucederá con cada grupo de cuatro cartas consecutivas a las que de la vuelta hasta agotar la baraja (llegado a este punto se recomienda tocar un violín imaginario como Juan Tamariz). Si practica un poco podrá observar que este truco no depende del tamaño de los dos montones o de su habilidad para mezclarlos, sino que funciona solo. En realidad se trata de un teorema que puede demostrarse por inducción matemática y que por tanto resulta tan inevitable como el teorema de Pitágoras. En este sentido es como si usted mandara a un amigo dibujar un triángulo rectángulo y luego lo sorprendiese mostrándole que el área del cuadrado colocado sobre la hipotenusa coincide con la suma de las áreas de los cuadrados colocados sobre los catetos. La idea subyacente al truco se conoce como principio de Gilbreath, debido al matemático y mago amateur Norman Gilbreath que fue el primero en publicarlo, y ha sido ampliamente popularizado por Martin Gardner, responsable durante 25 años de la sección Mathematical Games de Scientific American y el mayor divulgador de las matemáticas recreativas de nuestro tiempo. Como toda buena pieza de Matemáticas el principio de Gilbreath es susceptible de ser generalizado, admite múltiples variaciones interesantes (existen más de cien trucos de cartas basados en él) y ha resultado tener aplicaciones en campos muy alejados de aquel donde tuvo su origen. De hecho Donald E. Knuth (conocido experto en ciencias de la computación y creador de TEX, el popular lenguaje para la edición de textos científicos) encontró una sorprendente aplicación del principio de Gilbreath en el análisis de un algoritmo eficiente para la comunicación Input/Output entre una memoria interna rápida (como un disco duro) y una memoria externa más lenta (como un pendrive).

14 Memoria de actividades Poesía y matemáticas: más en común de lo que parece Autor: José María Almira Picazo (Diario JAEN, 15 de enero de 2009) Todos lo sabemos: no es posible definir la poesía. Toda poética encierra una única cara de un poliedro inmenso, indescriptible e indescifrable, un poliedro infinito de perspectivas distintas, de ventanas a través de las cuales podemos asomarnos brevemente a un universo paralelo al que llamamos poesía. Pero la poesía es siempre inexplicable. Es ( cómo decirlo de otro modo?) una experiencia personal. Aquí está posiblemente el nexo más estrecho que (se me ocurre a mi) existe entre poesía y matemáticas. Aunque no lo parezca a primera vista (y a pesar de que haya muchas personas horrorizadas por las matemáticas aunque también los hay indiferentes a la poesía- la matemática, como la poesía, es una experiencia personal, intransferible. El poeta tiene una mirada única y a través de ella intenta transmitir lo que ve o siente. Su explicación no es nunca suficiente. Sólo sugiere algo. Nos hace sentir, nos ilumina con una imagen o una idea. Nos hace reflexionar. El matemático tiene también como objetivo comunicar algo nuevo, algo asombroso en lo que nunca antes nadie había caído. No hay mucha diferencia entre un buen libro de poemas y un artículo de investigación. Además del aspecto comentado, existen otras muchas conexiones entre poesía y matemáticas. Ambas disciplinas son indefinibles, requieren una especial sensibilidad, son un lenguaje y su objetivo es transmitir algo -a sabiendas de que este algo será interpretado de modos muy distintos por los diferentes receptores. En ambas disciplinas se busca la elegancia y se cuida no sólo el contenido sino la forma. Tanto en poesía como en matemáticas se ejercen por encima de todo la libertad de pensamiento y la creatividad. Podría parecer que no. La impresión general es que la matemática es algo frío, objetivo, sin ambigüedades: nada personal. Ninguna de esas sensaciones se corresponde con la realidad. Del mismo modo que la poesía no se puede identificar con la métrica, las matemáticas no son sólo números. Ni siquiera los números son algo completamente objetivo y frío. No siempre es verdad que 2+2=4. Por ejemplo, en el reloj de pared vemos que 10+3=1 (y no 13).

15 Los dos matemáticos más jóvenes de la historia Autor: José Luis Maroto Romo (Diario JAEN, 22 de enero de 2009) En este ambiente nació, vivió y murió Galois y este ambiente respiró también Abel durante sus viajes por el centro de Europa, cuando hasta los fríos fiordos de su Noruega natal aún no habían llegado las chispas encendidas del romanticismo. Huir de las cuestiones matemáticas no es lo mismo que huir de los matemáticos, el conocimiento de los cuales, como hombres de carne y hueso, tiene el mismo y, a veces, mayor interés que su conocimiento como matemáticos. Niels Henrick Abel He agrupado a los dos matemáticos más jóvenes de la historia, Abel y Galois a los que dedicaremos sendos artículos en este Rincón. Las vidas de estos dos matemáticos son vidas poco extensas y muy intensas, que vale la pena conocer; vidas ligeramente asincrónicas, pero de un gran paralelismo. Ambos murieron jóvenes (Abel a los 26 años, Galois a los 20, en un duelo), uno produce la Teoría de Grupos que invade hoy todas las ramas de las Matemáticas; el otro un teorema que abre un nuevo capítulo de la historia del Álgebra, y las dos vidas están llenas de episodios que unas veces nos hacen reír y otras nos hacen llorar. Los segmentos que representan sus vidas tienen un tramo superpuesto que dura dieciocho años: desde 1811 fecha del nacimiento de Galois, hasta 1829, fecha de la muerte de Abel, tramo que constituye, al mismo tiempo, uno de los periodos más densos de la historia de Europa: periodo de revoluciones políticas, de luchas filosóficas, de mejoras económicas, de adelantos científicos y de ansias de libertad en la plena eclosión romántica del primer tercio del siglo XIX. El padre de Abel era un hombre austero y hogareño, alejado de toda preocupación mundana, mientras que el de Galois era un fino espíritu dieciochesco que lo mismo componía cuplés galantes que representaba comedias de salón. Ambos tienen, sin embargo, un punto común, su actuación en cuestiones públicas. La infancia de Abel se desarrolla en años de pleno dramatismo en Noruega y la de Galois conoce el Terror blanco en Francia. Abel murió de tuberculosis en la más miserable pobreza. Tenía 26 años. Dos días después de su muerte, una carta de Augusto Crelle, anunciaba que la Universidad de Berlín le había nombrado profesor de matemáticas. Galois perdió la vida en un duelo. Tenía 20 años. La noche anterior la dedicó a detallar todos sus descubrimientos matemáticos en una larga carta dirigida a su amigo Auguste Chevalier a quién encomendaba la tarea de hacer llegar sus trabajos a Gauss y a Jacobi, únicos matemáticos capaces, según su criterio, de comprenderle. Varias veces escribió en el margen de la carta «Demasiado poco tiempo». Evariste Galois Memoria de actividades

16 La más bella fórmula matemática de la historia Autor: José María Quesada Teruel (Diario JAEN, 29 de enero de 2009) No cabe duda de que los criterios estéticos están presentes en las teorías científicas que describen las leyes de la naturaleza. Cuando le preguntaron al físico Paul Dirac si creía verdadera la fórmula de Einstein respondió sencillamente ante la polémica del momento: Qué más da si es verdad o mentira; es tan bella!. Sin duda la igualdad más popularmente conocida a nivel mundial, incluso fuera del ámbito científico, es la fórmula de Einstein: E=mC 2 que relaciona la Energía (E) con la masa (m) mediante la constante C (velocidad de la luz en el vacío). La hemos podido ver en innumerables situaciones y contextos, inspirando todo tipo de publicidad, eventos científicos, sellos, carteles, logos, camisetas, Sin embargo, parece existir un acuerdo unánime en el mundo científico sobre la que, indiscutiblemente y desde hace más de dos siglos, se refrenda como la más bella igualdad descubierta hasta el momento: la sublime y mística fórmula de Leonhard Euler, La belleza la percibimos especialmente a través de los sentidos de la vista, el oído, el olfato, tal vez mediante la estimulación de algún mecanismo cerebral que nos produce una sensación de admiración, placer, indiferencia o rechazo. Pero esta percepción es algo muy personal y está condicionada por nuestra educación, nuestra formación y nuestros prejuicios. Hay quienes permanecen indiferentes ante la visión de un cuadro de Dalí, la escucha de los acordes de un adagio de Albinoni, la lectura de un poema de Alberti o la contemplación de la fórmula de Euler. Aún así, contagiar la belleza seguirá siendo el empeño de poetas, pintores, escultores, músicos, artistas y, cómo no, de los matemáticos. e i π + 1 = 0. Así lo ratificaba la encuesta realizada en 1988 a los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer. Es probable que en la evolución de la matemática en el tiempo los números: 1, 0, π ( ), e ( , base de los logaritmos neperianos), i (unidad imaginaria), hayan surgido en ese orden como verdaderos motores del desarrollo de esta ciencia, pero lo más extraordinario de todo es que se congreguen de una forma totalmente inesperada en una minúscula fórmula de equilibrada belleza. Leonarhd Euler Memoria de actividades

17 Memoria de actividades Que no les engañen Autor: Antonio Francisco Roldán López de Hierro (Diario JAEN, 5 de febrero de 2009) Si escuchamos a nuestros dirigentes políticos, parece que vivimos en mundos muy distintos. No cabe duda de que las decisiones que toman (casi siempre basadas en la Estadística) nos afectan a todos en gran medida. Y si tomamos partido por algunos de ellos, mienten los demás? Yo creo que no: todos toman los mismos datos, pero los interpretan de maneras muy distintas. Veamos cómo es posible. Imaginemos que los médicos recomiendan un peso de entre 60 y 80 kg para los jóvenes (varones) de Jaén de una cierta edad. Encuestamos a 100 de ellos y encontramos 98 que pesan 70 kg cada uno, pero los dos restantes destacan uno por un peso excesivo (de 105 kg) y otro por su delgadez (35 kg). El sentido común (y, por supuesto, la Estadística) nos dice que ésta es una población sana (con una media de 70 kg), y que, posiblemente, los casos extremos tengan una explicación razonable (acaso una enfermedad). Veamos que no todo es tan sencillo. Una persona toma estos datos y dice: después de encuestar a 100 jóvenes, encontramos que 99 de ellos tienen un peso comprendido entre 35 y 75 kg, y sólo uno de ellos tiene un peso comprendido entre 75 y 115 kg; por consiguiente, la media ( sabe el ávido lector/a cómo calcularla?) es de kg, lo que demuestra que los jóvenes no están sanos por su excesiva delgadez. Y quizá por debajo subyace la idea de que deben tomar más grasas en su restaurante de comida rápida. Otra persona afirma: tras un estudio entre 100 jóvenes, los datos indican que 99 de ellos pesan entre 65 y 105 kg, y sólo uno de ellos está entre 25 y 65 kg; por tanto, la media es de kg y concluimos que nuestra juventud padece sobrepeso. Y no hay que descartar que implícitamente se les anime a apuntarse a un gimnasio de su propiedad. Con unos mismos datos, las interpretaciones pueden ser diametralmente opuestas. Y éstas dirigen su vida y la mía. La receta sólo tiene dos ingredientes: ocultarle al público los datos y agruparlos de una manera interesada. El remedio consiste en tener acceso a los datos y conocer las técnicas estadísticas que permiten interpretarlos. Sólo así seremos realmente libres para pensar de forma crítica sobre lo que nos rodea. Anímense a aprender Estadística, aunque sólo sea para no dejarse engañar. Les aseguro que no es un tiempo perdido.

18 Memoria de actividades Matemáticas a nuestro alrededor (anchura constante) Autor: Pedro García Garrancho (Diario JAEN, 12 de febrero de 2009) Se tiene la idea de que estamos rodeados de matemáticas, pero realmente las percibimos? Voy a tratar de poner de manifiesto algo de las matemáticas que nos envuelven. Estaba dando un paseo cuando me acerqué a un pequeño polideportivo recién remodelado, con una superficie impecablemente lisa. Estaban jugando un partido de fútbolsala, cuando un jugador falla clamorosamente un gol cantado, ante un imprevisto mal bote del balón. Este balón está apepinado, protesta amargamente. Atienden la protesta y cambian el balón por uno nuevo. Algunas veces la vida es justa y nos ofrece una segunda oportunidad y esta vez con el perfecto nuevo balón, el bote es limpio y no falla consiguiendo el ansiado gol. El balón con forma esférica, es un cuerpo que tiene una propiedad matemática, la anchura constante. El balón apepinado la había perdido, de ahí el mal bote, hecho que no ocurrió con el balón nuevo. Lo lanzaran como lo lanzaran, el jugador siempre lo recibiría de la misma forma y posición. Continué con mi paseo, y en una calle más adelante había un operario de una empresa telefónica bajando por uno de esos registros, con tapa redonda. Él estaba muy preocupado por si algún despistado conductor, con su coche pudiera empujar la tapa, caerse por el hueco y dañarlo. Me dirigí a él y le tranquilicé indicándole que un círculo es una superficie con anchura constante, de manera que si la tapa no se había colado al principio, no se colaría nunca estuviese en la posición que estuviese. Si por el contrario hubiese sido cuadrada o rectangular sí tendría sentido estar intranquilo. El cuadrado y el rectángulo no son superficies con anchura constante. Para terminar este paseo matemático invito al lector a que construyan una superficie de anchura constante distinta del círculo. Cojan un triángulo equilátero, sí, ese que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. Tracen con centro en un vértice el arco de circunferencia entre los otros dos vértices. Repitan el proceso desde los otros dos vértices. La figura así formada por los tres arcos es una superficie de anchura constante. Tiene alguna utilidad práctica? Como digo a mis alumnos, terminar por el lector. (Buscar motores rotativos)

19 Memoria de actividades Top numbers: los números más interesantes Autor: Miguel Angel García Muñoz (Diario JAEN, 19 de febrero de 2009) Es fácil encontrarnos en los medios de comunicación con listas de los más, música más vendida, programas más vistos, etc. Aquí tenéis una lista con los números más interesantes justificando brevemente su interés: Sin duda, el primero es el cero, número entero aunque para algunos matemáticos también es natural pues permite contar el número de elementos del conjunto vacío (aquel que no tiene elementos). Es el neutro para la suma, pues cualquier número sumado al 0 vuelve a dar dicho número. Le sigue una de las constantes matemáticas más importantes, el número (Pi), la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Número irra-cional (no se puede expresar como fracción de números enteros). Su uso traspasa la geometría, con frecuencia aparece en física y en ingeniería. El tercer número es el 1, número natural que representa la cantidad de elementos del conjunto no vacío más pequeño. Neutro para el producto, es factor de todos los números, es decir, cualquier número se puede dividir por 1 de forma exacta. Otra constante muy importante es el número e, base del logaritmo natural. Un gran número de procesos de crecimiento en física, química, biología y ciencias sociales tienen un aumento exponencial representado por la formula. El siguiente número es el 2, el único número primo (sus únicos factores enteros positivos son el mismo y el uno) que es par. Es la base del sistema de numeración binario sobre el que descansa el diseño de los ordenadores. Por último, he de incluir la unidad imaginaria i, solución de la ecuación. Se usa para representar los números complejos como suma de un número real y otro imaginario a + bi. Se usa en diversos campos de la ciencia desde hidrodinámica hasta en química e incluso en el software que controla el vuelo de la lanzadera espacial. La identidad de Euler ( ) relaciona, curiosamente, esta constante con cuatro de los anteriores. Finalmente, os animo a que indaguéis más sobre estos números, os sorprenderán.

20 Memoria de actividades El juego ciencia Autor: José Luis Maroto Romo (Diario JAEN, 26 de febrero de 2009) Es indudable que existe un vínculo natural entre las matemáticas y el ajedrez. Este vínculo corresponde principalmente a los procesos dialécticos que se generan para el encuentro de las diferentes soluciones a los problemas inherentes en cada caso. Podemos contemplar también los rasgos ontológicos que inducen ambas materias, tales como la abstracción, la memoria, la fuerza analítica, la creatividad, la planificación, la estrategia de investigación (métodos de estudio) y la intuición (sentido heurístico). Hay varias analogías referentes a las cualidades geométricas que desarrollan la práctica continua del Ajedrez y la fuerza de su simbolismo. Si analizamos el trabajo de Ernest Nagel y James R. Newman El teorema de Gödel, ellos mencionan que puede resultar útil, por vía de ejemplo, comparar las metamatemáticas como teoría de la demostración con la teoría del ajedrez. El ajedrez se juega con 32 piezas de una forma determinada sobre un tablero cuadrado que contiene 64 subdivisiones cuadradas, en el que se pueden mover las piezas conforme a unas reglas establecidas. El juego es análogo a un cálculo matemático formalizado. Las piezas y los cuadrados del tablero corresponden a los signos elementales del cálculo; las posiciones permitidas de las piezas sobre el tablero, a las fórmulas del cálculo; las posiciones iniciales de las piezas sobre el tablero, a los axiomas o fórmulas iniciales del cálculo; las subsiguientes posiciones de las piezas sobre el tablero, a las fórmulas derivadas de los axiomas (esto es, a los teoremas), y las reglas del juego a las reglas de deducción (o derivación) establecidas para el cálculo. La práctica del ajedrez induce a la práctica de las matemáticas y viceversa. La formalidad del ajedrez es presentada lúdicamente conectando lo abstracto con lo concreto (análisis de variantes con la manipulación de piezas) mientras que el sentido lúdico de las matemáticas es enterrado por la imagen aparentemente monótona del formalismo abstracto de su ejercicio. Actualmente se libra una tenaz lucha cultural en el ámbito educativo nacional por cambiar esta imagen e inyectar la disciplina del razonamiento matemático en las nuevas generaciones. El recurso del ajedrez es propicio para la inducción y logro de este urgente y vital propósito. En estas fechas se está celebrando la XXVI edición del Torneo Internacional de Ajedrez Ciudad de Linares que es uno de los torneos de ajedrez más prestigiosos del panorama internacional. De hecho, se le denomina con frecuencia el "Wimbledon" del ajedrez. Os animo a que lo sigáis.

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