El Rincón Matemático en Diario Jaén

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "El Rincón Matemático en Diario Jaén"

Transcripción

1 Memoria de actividades Coordinador: José María Quesada Teruel Matemáticas y Astronomía (Hussein Toledano Ahmad) El sistema de numeración decimal (Juan Francisco Ruiz Ruiz) De la magia de las matemáticas (Francisco Tomás Sánchez Cobo) a las matemáticas de la magia (Francisco Tomás Sánchez Cobo) Fácil de enunciar, difícil de probar (José María Almira Picazo) Cóncavo y con beso (Antonio Francisco Roldán López de Hierro) El ocho acostado (Consuelo Rosales Ródenas) Los matemáticos son desconfiados (Miguel Antonio Jiménez Pozo) Enigma (Miguel Angel García Muñoz)

2 Memoria de actividades Cómo hacerse rico con las matemáticas Autor: Antonio Jesús López Moreno (Diario JAEN, 2 de octubre de 2008) Allá por el siglo VI a.c. Tales de Mileto era el más importante matemático de su época. Según cuenta la leyenda, decidió Tales hacerse rico y demostrar así la eficacia de todas sus teorías ante aquellos que le increpaban alegando aquello de que si tan sabio eres, cómo es que no posees riquezas?. Valiéndose de sus conocimientos matemáticos predijo que la cosecha sería excelente y se adelantó adquiriendo todas las prensas de aceite de la zona que luego alquiló durante la temporada a un elevado precio consiguiendo así amasar una importante fortuna. Pero, sea o no cierta la fábula, podrían las matemáticas hacernos ricos? Utilizando las tablas y sencillos cálculos que ahora les mostraremos, podrán ustedes hacerse de forma rauda con cuánto dinero deseen, apostando en la lotería, casinos y otros juegos. Bien podría este artículo haber comenzado así, y, de hecho, este es el encabezado que reza en no pocos ejemplares que pueden encontrarse en cualquier librería. Podría una tal afirmación ser cierta? Existen esas técnicas matemáticas que facultan al que las domina para triunfar en los juegos de azar? Los juegos de azar nacen con la humanidad misma y, de su mano, surge el interés por encontrar técnicas ventajosas de juego. De hecho, probablemente la teoría de probabilidades nace de la correspondencia que en el siglo XVII mantuvieron los matemáticos franceses Pascal y Fermat sobre los problemas que el caballero de Meré, apasionado jugador, les planteaba. El filme 21 Blackjack, que hemos podido ver en las carteleras este mismo año, narra la historia verídica de cómo un grupo de jóvenes genios de las matemáticas desbancaron varios casinos de Las Vegas utilizando técnicas estadísticas de conteo de cartas. Igualmente espectacular es el periplo de la ya célebre familia García-Pelayo que se ha paseado por todo el mundo recaudando millones de euros en la ruleta gracias a sus métodos estadísticos de análisis de las irregularidades físicas de las ruletas. Así las cosas, parece que los matemáticos finalmente triunfaron y el milagro es posible. Corran pues a matricularse a la facultad de Ciencias Exactas más cercana.

3 Memoria de actividades Cuánto nos cuestan las prisas al volante? Autor: Joaquín Jódar Reyes (Diario JAEN, 9 de octubre de 2008) Son tiempos de dificultades económicas y todo ahorro es importante. Nuestra forma de conducir no es ajena a ello. Tomemos de referencia un vehículo de gasóleo, con un consumo medio de unos 5,5 litros a los 100 kilómetros cuando circulamos en un trayecto interurbano a una velocidad de 120 kilómetros por hora. Este consumo se dispara a partir de esa velocidad, de modo que, por ejemplo, a 150 kilómetros por hora, se sitúa en torno a 8,7 litros a los 100 kilómetros (y progresa aún más conforme mayor va siendo la velocidad). Esto quiere decir que, en un viaje de 100 kilómetros por autovía (como es la distancia, aproximadamente, entre Jaén y Granada), una velocidad media de 120 kilómetros por hora nos supondría, con el precio actual del gasóleo en torno a 1,20 euros el litro, un gasto de 6,60 euros, mientras que una media de 150 kilómetros por hora nos supondría 10,44 euros (sobrecoste de casi 4 euros que es más de lo que una persona que trabaje 40 horas semanales y con un sueldo mensual de 1200 euros cobra por media hora de trabajo). Esto por cada 100 kilómetros! Y no hemos computado el gasto extra que nos puede suponer la infracción de circular por encima de la velocidad permitida (actualmente, la multa por circular a 150 kilómetros por hora en una zona con velocidad máxima permitida de 120 kilómetros por hora es de 100 euros). Pero es que aún no hemos incluido el factor más importante: el notable aumento de riesgo que para nosotros y los demás conductores está suponiendo nuestro exceso de velocidad. Y todo esto, para qué? Acaso ganamos mucho tiempo? A una velocidad media de 120 kilómetros por hora, recorreríamos 120 kilómetros en 60 minutos y, por una sencilla regla de tres, 100 kilómetros en 50 minutos. A 150 kilómetros por hora, los 100 kilómetros los haríamos en 40 minutos. Es decir, por tardar 40 minutos en lugar de 50 en ese trayecto de 100 kilómetros, ponemos en mayor riesgo nuestra vida y la de los demás, nos jugamos una cuantiosa multa y realizamos un gasto considerablemente más alto en combustible y, por ende, en nuestro bolsillo. De verdad merece la pena? Son sencillas las matemáticas que nos invitan a reflexionar sobre nuestra forma de conducir.

4 Pueden las matemáticas ayudarte a sobrevivir? Autor: Juan Carlos Ruiz Molina (Diario JAEN, 23 de octubre de 2008) La historia demuestra que en algunos casos sí. En tiempos de la sublevación judía frente al poder romano, el emperador Nerón recurrió a un solvente general para sofocar la revuelta. El afortunado fue Vespasiano, un rudo general que había perdido el favor de Nerón debido a que se durmió en uno de sus recitales. El plan diseñado por Vespasiano consistió en minar la sublevación mediante un proceso de conquista de ciudades dejando para el final la inexpugnable Jerusalén. Tras el sometimiento de alguna de ellas le tocó el turno a Jotapat. Para su defensa se desplazó a la zona uno de los jefes moderados rebeldes, cuyo nombre romanizado era el de Flavio Josefo. La maquinaria de guerra romana, tras un duro asedio, consiguió finalmente asaltar la ciudad. Josefo logró escapar momentáneamente de la venganza romana refugiándose, junto a una cuarentena de radicales judíos, en un pozo. Una vez localizado su escondrijo, se entabló una negociación en la que se les prometió respetar sus vidas. Sin embargo, esta generosa promesa no fue bien recibida por los extremistas que decidieron suicidarse antes que entregarse. Josefo, que no quería morir, trató primero de persuadir a los suicidas para que cambiaran de opinión. El intento resultó infructuoso. Entonces les convenció de que el suicidio era un pecado y de que era preferible ante los ojos de Dios el que se mataran los unos a los otros. Les propuso un plan consistente en colocarse en círculo y cada uno asesinar al compañero inmediatamente a la derecha. Tras la macabra primera vuelta, el círculo se volvería a formar con los que permanecieran con vida y se aplicaría el mismo principio. Al final sólo quedarían dos, uno moriría asesinado y el otro se suicidaría. La cuestión sería saber si una posición inicial determinada en el círculo aseguraría que Josefo fuese el que moriría por suicidio y no asesinado. Este planteamiento dio lugar a un famoso problema matemático denominado cuenta de Josefo. Busto de Flavio Josefo Se cree que Josefo podría haber tenido los conocimientos matemáticos suficientes para decidir el lugar exacto que debía ocupar en el círculo para sobrevivir (como así sucedió). Otras de las virtudes que se le conocen al protagonista de nuestra historia es la de predecir, a partir de las antiguas escrituras, la púrpura imperial para Vespasiano y su dinastía. Predicción, ahora sí sin base estadística, que le aseguró un puesto en Roma al lado del emperador, la ciudadanía romana, una pensión y el disfrute del antiguo domicilio de Vespasiano. Memoria de actividades

5 Memoria de actividades Ibn Muadh, el gran olvidado Autor: Juan Martínez Moreno (Diario JAEN, 30 de octubre de 2008) Lamentablemente no se cumplió el pronóstico y todo quedó en agua de borrajas. Los matemáticos como autores de artículos y libros que son, pertenecen a la rara estirpe de seres ególatras que persiguen la inmortalidad desde sus trabajos. Su afán último es conseguir que alguien en el otro confín del planeta les mencione aunque sólo sea de soslayo en sus propios trabajos y, en el caso muy especial, titule uno de sus resultados con sus propios nombres. Las matemáticas están inundadas de teoremas de Fermat, conjeturas de Poincaré y triángulos de Pascal. Sus aspiraciones de perdurabilidad están sacadas del mismo saco que las de novelistas, pintores y demás artistas en general. En este sentido, y en muchos otros, la matemática es arte en estado puro. Esa mentalidad competitiva justifica la existencia de premios para vanagloria de sus ganadores. De entre ellos, la Medalla Fields (no existe el Nobel en matemáticas) es el más prestigioso. Nunca un matemático español se hizo acreedor de una Medalla Fields y pocos consiguieron la suficiente fama internacional como para pasar a la historia de la matemática moderna: Rey Pastor, Hasta aquí, todo normal, previsible; aunque no puedo dejar pasar en este punto que la matemática española, muy atrasada durante siglos posiblemente por políticas inoportunas, ha sufrido un crecimiento espectacular en la última década, llegando incluso a rumorearse en el pasado congreso matemático mundial la posible adjudicación de una medalla para un matemático español. Pero hete aquí mi sorpresa cuando perplejo, ante tan desolador panorama, descubro en la web The MacTutor History of Mathematics archive de la University of St Andrews Scotland, encargada de documentar a los matemáticos más ilustres de la historia, que uno se llama Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. Aunque debió nacer en Córdoba, el sobrenombre Al-Jayyani significa de Jaén. Ibn Muadh fue un gran teórico de la matemática de entonces y además ejerció de cadí en la ciudad de Jaén. Escribió el primer Tratado de Trigonometría Esférica, que entre otras contiene una exposición de los teoremas del seno y del coseno. Debió vivir entre nosotros entre los años 989 y 1079 d. C. Alguien debería estudiar la vida y obra de este jaenero en profundidad tal vez una tesis doctoral?. Ahí arrojo el guante.

6 Nos fiamos siempre de nuestra intuición? Autor: Ildefonso Castro López (Diario JAEN, 6 de noviembre de 2008) Imaginemos que fuésemos capaces de rodear con un hilo la superficie terrestre alrededor del ecuador. La fórmula de la longitud de la circunferencia (2πR, siendo R el radio de ésta) nos estima la longitud del hilo usado en más de km, pues π es 3 y pico y el radio de la Tierra es aproximadamente 6370 km. Cortamos ahora nuestro larguísimo hilo y añadimos solamente 1m de hilo a esos 36 millares largos de kilómetros. Si volviésemos a colocar el nuevo hilo resultante alrededor de nuestro planeta por el mismo sitio (en torno al ecuador) ahora quedaría con un poquito de holgura. Le desafío a que piense si cree que podría colocar su dedo índice y pasearlo a lo largo del hueco que quede. Si su intuición le ha dictado que eso parece imposible, lamentablemente se ha visto engañado por ella. Me propongo no convencerle, sino demostrarle que no sólo le cabría su dedo, sino todo su puño cerrado. Y ésta no será la mayor sorpresa... Llamemos R1 al radio de la Tierra y R2 al radio de la circunferencia que forma el nuevo hilo alargado. Nuestro problema consiste en calcular R2-R1, que es claramente la medida del hueco creado. Pues bien, la simple ecuación matemática que traduce el proceso que hemos llevado a cabo es 2πR2 = 2πR1+1, que proviene de expresar en metros la longitud del hilo alargado. Tras un par de operaciones elementales, 2πR2-2πR1 =1, 2π (R2-R1) = 1, llegamos al valor exacto de la holgura R2 R1=1/2π. Con la ayuda de cualquier calculadora el cociente 1/2π es aproximadamente 0.15; esto es, 15 cm que permiten sobradamente introducir cualquier puño cerrado (salvo acaso el de Mazinger Z, un personaje de dibujos animados de la época de los lectores cuarentones). Queda pendiente la sorpresa prometida: Repita el mismo problema sustituyendo la esfera de nuestro maltratado planeta por una pelota de tenis, un balón de fútbol, un minúsculo electrón o el inmenso Universo. El resultado es increíblemente el mismo!! Moraleja: no se deje guiar en la vida siempre por su intuición, pues la sorpresa puede ser mayúscula. Memoria de actividades

7 Memoria de actividades El juego de billar cósmico Autor: Juan Francisco Ruiz Ruiz (Diario JAEN, 13 de noviembre de 2008) Johannes Kepler fue un matemático alemán que estudió los movimientos de los planetas y buscó durante años una descripción para los mismos. Aunque ideas preconcebidas erróneas entorpecieron su investigación, con ayuda de las observaciones de Ticho Brahe, finalmente consiguió describir el movimiento planetario con sus tres leyes: los planetas describen una elipse con el Sol en uno de sus focos, en su movimiento elíptico barren áreas iguales en tiempos iguales y el cuadrado de los periodos de revolución es proporcional al cubo de los semiejes mayores de la elipse. La importancia del descubrimiento es enorme, Kepler era contemporáneo de Galileo y describió de forma precisa lo que la mayoría de sus coetáneos no eran capaces de imaginar. Sin embargo no dio explicación a las mismas y sería Newton quien encontraría la respuesta: La Ley de Gravitación Universal. Ésta explicaba el movimiento de los cuerpos celestes, y además establecía las bases de la mecánica clásica, que fue completada por Einstein, dando una explicación geométrica de la gravedad. Como si de una mesa de billar se tratara, las sondas espaciales son enviadas al espacio, en una serie de carambolas gravitatorias en busca de un objetivo final. Los científicos juegan al billar en un tablero cósmico, utilizando las leyes de Kepler, Newton y Einstein. Para conseguir acelerar o frenar, las sondas aprovechan la gravedad de los propios planetas en una maniobra que se denomina: asistencia gravitacional. Cassini es una nave espacial que actualmente orbita y estudia a Saturno y sus satélites, su periplo a través del Sistema Solar es un buen ejemplo de carambola cósmica, fue lanzada en octubre de 1997 hacia Venus y lo sobrevoló en dos ocasiones; de nuevo volvió a La Tierra en 1999, cogiendo aún más impulso (en poco más de 1 hora llegó a la Luna); en enero de 2000 sobrevoló el asteroide 2685 Masursky y en diciembre pasó a Júpiter con destino Saturno, al cual llegó en julio de 2004, después de casi 7 años de viaje. La Cassini llevaba a bordo, como polizón, una pequeña sonda de construcción europea llamada Huygens, que descendió sobre el mayor de los satélites de Saturno: Titán; consiguió por primera vez mirar a través de sus nubes y desvelarnos la superficie y el aspecto de Titán. Es difícil transmitir con palabras la emoción que se siente al ver un mundo por primera vez, quizás Kepler y tantos otros sintieron algo similar al descubrir las leyes del juego de billar cósmico, con las que hoy se juega para llegar a otros mundos.

8 Memoria de actividades Efecto Bartók Autor: Miguel Marano Calzolari (Diario JAEN, 20 de noviembre de 2008) Propongo que el compositor húngaro Béla Bartók ( ) sea declarado músico emblemático de las Ciencias Matemáticas. Hay motivos para ello. Si bien la aplicación de las matemáticas a la música no es un tema por él descubierto, es este compositor quien emplea de modo sistemático elementos de esa ciencia en sus partituras. Concretamente, la sección áurea y la sucesión de Fibonacci. La sección áurea se refiere a la partición de un segmento en dos partes de distinta longitud, de tal forma que la relación entre la longitud de la parte mayor y la longitud total del segmento es igual a la relación entre las longitudes de la parte menor y mayor. El valor de esta relación, la sección áurea, es aproximadamente 0,618. La sucesión (infinita) de números enteros de Fibonacci comienza con dos unos y luego forma sus términos con la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,. Aunque ambos conceptos provienen de definiciones aparentemente no relacionadas, hay un vínculo entre ellos. En efecto, la sucesión de números fraccionarios formados por dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, a saber, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, se aproxima tanto como se quiera a la sección áurea. Misterios de la matemática, y también de la naturaleza porque estos números están presentes en ella. Por ejemplo, si una rama de un árbol y todas las que nacen de ella producen otra rama por año a partir de su segundo año de vida, entonces el número total de ramas en cada año sigue una ley dada exactamente por la sucesión de Fibonacci. Hay más ejemplos, algunos también conectados con la sección áurea. Pero no nos vayamos por las ramas y volvamos a Bartók; no puedo dar detalles de cómo introduce estos elementos matemáticos en sus composiciones, por falta de espacio pero principalmente porque no tengo ningún conocimiento de técnica musical. Hay estudiosos del tema que han escrito sobre estos aspectos; de ellos he obtenido estos datos. Es una gran cosa que no sea necesario poseer esos conocimientos técnicos para disfrutar de la música. Y ya es hora de decirlo. Confieso que el segundo concierto para violín de Bartók produce en mí, y seguramente en muchos otros, un efecto de música celestial. No sé si será por los ingredientes matemáticos. Más bien me inclino a pensar que se debe a que la música - a diferencia de las otras artes, que son creaciones del hombre - es una creación directa de Dios, que los grandes compositores, verdaderos emisarios del Creador en la tierra, interpretan y ejecutan.

9 Memoria de actividades La estadística: madre de la enfermería moderna Autor: José Rodríguez Avi (Diario JAEN, 27 de noviembre de 2008) En 1854, Gran Bretaña y Francia libraban contra Rusia la guerra de Crimea, de poca importancia política pero famosa por dos hechos claves. Uno, la disparatada carga de la brigada ligera inglesa en Balaklava, inmortalizada en el cine por Errol Flyn en famosa película homónima. El otro ocurrió gracias a una tenaz mujer y a su pasión por la Estadística. Desafiando la oposición paterna estudió matemáticas, siendo alumna destacada de algunos de los mejores matemáticos de la época. Llevada por su espíritu de servicio fue nombrada Superintendente del Sistema de Enfermeras de los Hospitales Generales Ingleses en Turquía para los heridos de la guerra. Al llegar al hospital de Scutari vio que las condiciones higiénico-sanitarias eran desastrosas. Recopiló datos relacionando la muerte con la causa y sistematizó la práctica del control de registros. Inventó un gráfico, denominado de área polar, en el que en cada mes se representaba con un sector circular dividido en tres partes, cada una con área proporcional a la frecuencia de las muertes por heridas, enfermedades evitables y otras causas. Así demostró que los meses de mayor mortalidad correspondían a los invernales, en los que casi no se combatía. De hecho las heridas de guerra causaban sólo la sexta parte de las muertes, mientras que las causas principales eran enfermedades evitables. Tras la puesta en práctica de sus instrucciones, relacionadas con la atención a los enfermos y a la higiene a veces costeadas por ella personalmente- el mismo gráfico demostró que las muertes por enfermedades evitables casi habían desaparecido. Al volver a casa consiguió que le encomendaran otros hospitales en donde estadísticamente demostró como sus métodos bajaban la tasa de mortalidad. Con su trabajo mostró la importancia de la estadística para mejorar las prácticas quirúrgicas y médicas y supo utilizar los resultados para reformar en profundidad la sanidad. Esta mujer inglesa aunque nacida en Florencia, investigadora incansable, matemática de vocación, miembro de las más prestigiosas asociaciones estadísticas mundiales era Florence Shore, que ha pasado a la historia como Florence Nightingale, la auténtica creadora e impulsora de la enfermería moderna. Florence Nightingale

10 Memoria de actividades No confíe su dinero a los matemático Autora: Consuelo Rosales Ródenas (Diario JAEN, 4 de diciembre de 2008) En 1948, financiada con fondos militares y empresariales, en Estados Unidos se constituyó una organización, integrada por los mejores científicos, cuyo objetivo era estudiar estrategias nacionales en un mundo nuclear. Su consigna era pensar lo inimaginable. De ella formaban parte los grandes que en esa época desarrollaban la teoría de juegos, con aplicaciones fundamentalmente económicas hasta ese momento. Se estudió con precisión la lógica de la guerra, y se pusieron a punto mecanismos que advertían de cualquier ataque nuclear. Con el temor de los dos bandos a sus consecuencias, la estrategia del golpe por golpe se descartó: la partida nuclear solo se podía jugar una vez. Pensar lo inimaginable evitó lo imposible. Medio siglo después, los matemáticos han sido reclutados por los grandes bancos. El objetivo también era pensar lo inimaginable, pero ahora para diseñar nuevos productos financieros e idear estrategias que elevaran exponencialmente los beneficios. Las consecuencias, medidas en cifras millonarias, engordaban y blindaban bolsillos privados. El lugar del miedo lo ha ocupado la codicia y lo imposible nos ha explotado. Las hipotecas basura, los activos tóxicos, no sólo reparten las pérdidas para todos sino que, además, los contribuyentes debemos pagar la fiesta de excesos a la que no estábamos invitados. En los medios de comunicación se leen ahora las críticas a la confianza depositada en métodos y modelos sofisticados que contenían enormes riesgos: estos bonitos modelos matemáticos daban ilusión a los banqueros y también a los reguladores que medían perfectamente el riesgo; admitamos que la teoría financiera moderna tiene la validez científica de la astrología. Es posible que los modelos matemáticos estén hoy mejor desarrollados para predecir huracanes que crisis financieras; pero es exagerado afirmar que las matemáticas tienen la culpa de los excesos cometidos en la gestión de los bancos y en la permisividad de las autoridades que debían regularla. Matemáticamente el interés compuesto produce un crecimiento exponencial de la deuda, y evitar la devolución de la misma durante más de unos años se hace imposible. La magia del interés compuesto ha transformado en sinónimos los vocablos innovación y engaño para quienes creían que el crecimiento de los créditos hipotecarios basura podría continuar indefinidamente.

11 Memoria de actividades Matemáticas y ajedrez Autor: Antonio Damas Serrano (Diario JAEN, 11 de diciembre de 2008) Cuenta la leyenda que el ajedrez tuvo su origen en una región de la India. Allí, un cierto rey perdió a su hijo en una batalla, hecho que lo sumió en una profunda tristeza. Todos en la corte hacían lo posible por alegrar al soberano, pero no lo conseguían. Un buen día, un tal Sissa se presentó al rey y le mostró un juego de estrategia que se desarrollaba en un tablero de 64 casillas y en el que participaban dos jugadores, cada uno de ellos con 16 piezas (8 soldados, 2 caballos, 2 elefantes, 2 consejeros, una reina y un rey). Fue tal la fascinación del rey por el juego que le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que quisiese. Ponga un grano de trigo en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta, y así sucesivamente hasta completar el tablero; y entrégueme la cantidad total de granos de trigo, dijo Sissa. Así pues, el rey llamó a Pitagorín, el matemático de la corte, y le pidió que hiciera las cuentas. Su Majestad, el número total de granos es = = , por lo que habría que llenar de trigo un depósito en forma de cubo de unos 11 kilómetros de lado. Por tanto, no hay ni habrá en muchos años suficiente trigo en todo el reino para satisfacer el pago. El lector se estará preguntando por el maltrecho honor del monarca, incapaz de satisfacer la petición de Sissa. Y es aquí donde tiene comienzo la segunda parte de la leyenda, posiblemente menos conocida. Pitagorín propuso a Sissa que le pagarían lo que había pedido pero además todo aquello que se obtuviera de agregar sin fin, más y más casillas al tablero. Sissa, que no era matemático, aceptó, y éstas fueron las cuentas de Pitagorín: S= = 1+2( )= 1+2S, de donde S=-1. Es decir, que Sissa le debía un grano de trigo al rey! Sin duda que el tal Pitagorín merecería poder participar en la bolsa de empleo del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Jaén, en cambio Sissa no creo que aprobase ningún examen de series numéricas. En un tono más formal hay que reseñar que grandes matemáticos como George Pólya, Carl Gauss y Leonard Euler, entre otros, se han interesado por problemas matemáticos en el ajedrez. Además, campeones del mundo de ajedrez como Emanuel Lasker y Max Euwe fueron Doctores en Matemáticas. Sin embargo, hay que decir que no fue matemático el más brillante jugador de ajedrez de todos los tiempos, Moisés, que hizo tablas con Dios.

12 Memoria de actividades Discontinuidades o injusticias? Autor: Francisco Javier Muñoz Delgado (Diario JAEN, 18 de diciembre de 2008) Una de las definiciones más difíciles de enseñar en matemáticas es la de función continua. Recuerdan aquello de épsilon y delta al final de la secundaria? Había algunas ideas intuitivas más fáciles de comprender, por ejemplo, que a valores próximos se le asocien valores próximos, o que se pudiese dibujar la gráfica sin levantar el lápiz del papel, es decir, sin dar saltos,... En nuestra vida cotidiana también aparecen discontinuidades. No siempre es posible evitarlas. Así un alumno que obtiene un 5 estaría aprobado mientras que si le falta algo estaría suspenso (y esto no se arregla cambiando la barrera del 5 por el 4,5 o el 4). Sin embargo, otras discontinuidades podrían, o mejor deberían, evitarse. Con frecuencia encontramos baremos en que según notas o ciertos ingresos se otorgan puntuaciones según intervalos (lo que conlleva discontinuidades matemáticas). Opino que deberían evitarse los saltos y procurar puntuaciones continuas. Muchas veces basta una simple expresión lineal a+bx, con b positiva, si queremos que sea crezca (a más nota más puntos) o con b negativa si queremos que decrezca (a más ingresos menos puntos). La cuestión puede ser grave. Supongamos dos familias con ingresos similares y con hijos que van a empezar sus estudios universitarios. Ambas confían en la beca, pero una decide incrementar los ingresos trabajando unas horas extras. Podría ocurrir que por obtener unos ingresos extras una de las familias dejase de obtener la beca. Perderían una beca de miles de euros, por haberse pasado en unos euros! Desde aquí reclamo el derecho (así lo considero) a renunciar a la parte de la beca equivalente a lo que se excedió del límite (basta algo así para eliminar la discontinuidad). También rogaría a quienes realizan baremos para pagar impuestos que tengan mucho cuidado con las discontinuidades. Cuántas veces nos encontramos que para conseguir una deducción por adquisición o alquiler de vivienda, hijos, ascendientes, minusvalía del contribuyente, etc., es necesario no sobrepasar cierta cantidad en la base imponible? Se puede perjudicar con cientos o miles de euros por unos cuantos euros ingresados de más. Evitemos las discontinuidades!

13 Memoria de actividades Matemágicas Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 8 de enero de 2009) Le propongo un truco de magia con cartas para sorprender a sus amigos y familiares: disponga en secreto los palos de la baraja en un orden determinado (por ejemplo, un basto, una copa, una espada, un oro, y así sucesivamente). Sitúe el mazo preparado sobre la mesa, empiece a quitar cartas de la parte superior una a una y colóquelas formando un nuevo montón (donde ahora el orden de los palos será el inverso del que había en el mazo original). Deténgase cuando alguien se lo indique y realice a continuación una mezcla americana con los dos montones. De la vuelta a las cuatro primeras cartas. Sorpresa! Hay exactamente una carta de cada palo y lo mismo sucederá con cada grupo de cuatro cartas consecutivas a las que de la vuelta hasta agotar la baraja (llegado a este punto se recomienda tocar un violín imaginario como Juan Tamariz). Si practica un poco podrá observar que este truco no depende del tamaño de los dos montones o de su habilidad para mezclarlos, sino que funciona solo. En realidad se trata de un teorema que puede demostrarse por inducción matemática y que por tanto resulta tan inevitable como el teorema de Pitágoras. En este sentido es como si usted mandara a un amigo dibujar un triángulo rectángulo y luego lo sorprendiese mostrándole que el área del cuadrado colocado sobre la hipotenusa coincide con la suma de las áreas de los cuadrados colocados sobre los catetos. La idea subyacente al truco se conoce como principio de Gilbreath, debido al matemático y mago amateur Norman Gilbreath que fue el primero en publicarlo, y ha sido ampliamente popularizado por Martin Gardner, responsable durante 25 años de la sección Mathematical Games de Scientific American y el mayor divulgador de las matemáticas recreativas de nuestro tiempo. Como toda buena pieza de Matemáticas el principio de Gilbreath es susceptible de ser generalizado, admite múltiples variaciones interesantes (existen más de cien trucos de cartas basados en él) y ha resultado tener aplicaciones en campos muy alejados de aquel donde tuvo su origen. De hecho Donald E. Knuth (conocido experto en ciencias de la computación y creador de TEX, el popular lenguaje para la edición de textos científicos) encontró una sorprendente aplicación del principio de Gilbreath en el análisis de un algoritmo eficiente para la comunicación Input/Output entre una memoria interna rápida (como un disco duro) y una memoria externa más lenta (como un pendrive).

14 Memoria de actividades Poesía y matemáticas: más en común de lo que parece Autor: José María Almira Picazo (Diario JAEN, 15 de enero de 2009) Todos lo sabemos: no es posible definir la poesía. Toda poética encierra una única cara de un poliedro inmenso, indescriptible e indescifrable, un poliedro infinito de perspectivas distintas, de ventanas a través de las cuales podemos asomarnos brevemente a un universo paralelo al que llamamos poesía. Pero la poesía es siempre inexplicable. Es ( cómo decirlo de otro modo?) una experiencia personal. Aquí está posiblemente el nexo más estrecho que (se me ocurre a mi) existe entre poesía y matemáticas. Aunque no lo parezca a primera vista (y a pesar de que haya muchas personas horrorizadas por las matemáticas aunque también los hay indiferentes a la poesía- la matemática, como la poesía, es una experiencia personal, intransferible. El poeta tiene una mirada única y a través de ella intenta transmitir lo que ve o siente. Su explicación no es nunca suficiente. Sólo sugiere algo. Nos hace sentir, nos ilumina con una imagen o una idea. Nos hace reflexionar. El matemático tiene también como objetivo comunicar algo nuevo, algo asombroso en lo que nunca antes nadie había caído. No hay mucha diferencia entre un buen libro de poemas y un artículo de investigación. Además del aspecto comentado, existen otras muchas conexiones entre poesía y matemáticas. Ambas disciplinas son indefinibles, requieren una especial sensibilidad, son un lenguaje y su objetivo es transmitir algo -a sabiendas de que este algo será interpretado de modos muy distintos por los diferentes receptores. En ambas disciplinas se busca la elegancia y se cuida no sólo el contenido sino la forma. Tanto en poesía como en matemáticas se ejercen por encima de todo la libertad de pensamiento y la creatividad. Podría parecer que no. La impresión general es que la matemática es algo frío, objetivo, sin ambigüedades: nada personal. Ninguna de esas sensaciones se corresponde con la realidad. Del mismo modo que la poesía no se puede identificar con la métrica, las matemáticas no son sólo números. Ni siquiera los números son algo completamente objetivo y frío. No siempre es verdad que 2+2=4. Por ejemplo, en el reloj de pared vemos que 10+3=1 (y no 13).

15 Los dos matemáticos más jóvenes de la historia Autor: José Luis Maroto Romo (Diario JAEN, 22 de enero de 2009) En este ambiente nació, vivió y murió Galois y este ambiente respiró también Abel durante sus viajes por el centro de Europa, cuando hasta los fríos fiordos de su Noruega natal aún no habían llegado las chispas encendidas del romanticismo. Huir de las cuestiones matemáticas no es lo mismo que huir de los matemáticos, el conocimiento de los cuales, como hombres de carne y hueso, tiene el mismo y, a veces, mayor interés que su conocimiento como matemáticos. Niels Henrick Abel He agrupado a los dos matemáticos más jóvenes de la historia, Abel y Galois a los que dedicaremos sendos artículos en este Rincón. Las vidas de estos dos matemáticos son vidas poco extensas y muy intensas, que vale la pena conocer; vidas ligeramente asincrónicas, pero de un gran paralelismo. Ambos murieron jóvenes (Abel a los 26 años, Galois a los 20, en un duelo), uno produce la Teoría de Grupos que invade hoy todas las ramas de las Matemáticas; el otro un teorema que abre un nuevo capítulo de la historia del Álgebra, y las dos vidas están llenas de episodios que unas veces nos hacen reír y otras nos hacen llorar. Los segmentos que representan sus vidas tienen un tramo superpuesto que dura dieciocho años: desde 1811 fecha del nacimiento de Galois, hasta 1829, fecha de la muerte de Abel, tramo que constituye, al mismo tiempo, uno de los periodos más densos de la historia de Europa: periodo de revoluciones políticas, de luchas filosóficas, de mejoras económicas, de adelantos científicos y de ansias de libertad en la plena eclosión romántica del primer tercio del siglo XIX. El padre de Abel era un hombre austero y hogareño, alejado de toda preocupación mundana, mientras que el de Galois era un fino espíritu dieciochesco que lo mismo componía cuplés galantes que representaba comedias de salón. Ambos tienen, sin embargo, un punto común, su actuación en cuestiones públicas. La infancia de Abel se desarrolla en años de pleno dramatismo en Noruega y la de Galois conoce el Terror blanco en Francia. Abel murió de tuberculosis en la más miserable pobreza. Tenía 26 años. Dos días después de su muerte, una carta de Augusto Crelle, anunciaba que la Universidad de Berlín le había nombrado profesor de matemáticas. Galois perdió la vida en un duelo. Tenía 20 años. La noche anterior la dedicó a detallar todos sus descubrimientos matemáticos en una larga carta dirigida a su amigo Auguste Chevalier a quién encomendaba la tarea de hacer llegar sus trabajos a Gauss y a Jacobi, únicos matemáticos capaces, según su criterio, de comprenderle. Varias veces escribió en el margen de la carta «Demasiado poco tiempo». Evariste Galois Memoria de actividades

16 La más bella fórmula matemática de la historia Autor: José María Quesada Teruel (Diario JAEN, 29 de enero de 2009) No cabe duda de que los criterios estéticos están presentes en las teorías científicas que describen las leyes de la naturaleza. Cuando le preguntaron al físico Paul Dirac si creía verdadera la fórmula de Einstein respondió sencillamente ante la polémica del momento: Qué más da si es verdad o mentira; es tan bella!. Sin duda la igualdad más popularmente conocida a nivel mundial, incluso fuera del ámbito científico, es la fórmula de Einstein: E=mC 2 que relaciona la Energía (E) con la masa (m) mediante la constante C (velocidad de la luz en el vacío). La hemos podido ver en innumerables situaciones y contextos, inspirando todo tipo de publicidad, eventos científicos, sellos, carteles, logos, camisetas, Sin embargo, parece existir un acuerdo unánime en el mundo científico sobre la que, indiscutiblemente y desde hace más de dos siglos, se refrenda como la más bella igualdad descubierta hasta el momento: la sublime y mística fórmula de Leonhard Euler, La belleza la percibimos especialmente a través de los sentidos de la vista, el oído, el olfato, tal vez mediante la estimulación de algún mecanismo cerebral que nos produce una sensación de admiración, placer, indiferencia o rechazo. Pero esta percepción es algo muy personal y está condicionada por nuestra educación, nuestra formación y nuestros prejuicios. Hay quienes permanecen indiferentes ante la visión de un cuadro de Dalí, la escucha de los acordes de un adagio de Albinoni, la lectura de un poema de Alberti o la contemplación de la fórmula de Euler. Aún así, contagiar la belleza seguirá siendo el empeño de poetas, pintores, escultores, músicos, artistas y, cómo no, de los matemáticos. e i π + 1 = 0. Así lo ratificaba la encuesta realizada en 1988 a los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer. Es probable que en la evolución de la matemática en el tiempo los números: 1, 0, π ( ), e ( , base de los logaritmos neperianos), i (unidad imaginaria), hayan surgido en ese orden como verdaderos motores del desarrollo de esta ciencia, pero lo más extraordinario de todo es que se congreguen de una forma totalmente inesperada en una minúscula fórmula de equilibrada belleza. Leonarhd Euler Memoria de actividades

17 Memoria de actividades Que no les engañen Autor: Antonio Francisco Roldán López de Hierro (Diario JAEN, 5 de febrero de 2009) Si escuchamos a nuestros dirigentes políticos, parece que vivimos en mundos muy distintos. No cabe duda de que las decisiones que toman (casi siempre basadas en la Estadística) nos afectan a todos en gran medida. Y si tomamos partido por algunos de ellos, mienten los demás? Yo creo que no: todos toman los mismos datos, pero los interpretan de maneras muy distintas. Veamos cómo es posible. Imaginemos que los médicos recomiendan un peso de entre 60 y 80 kg para los jóvenes (varones) de Jaén de una cierta edad. Encuestamos a 100 de ellos y encontramos 98 que pesan 70 kg cada uno, pero los dos restantes destacan uno por un peso excesivo (de 105 kg) y otro por su delgadez (35 kg). El sentido común (y, por supuesto, la Estadística) nos dice que ésta es una población sana (con una media de 70 kg), y que, posiblemente, los casos extremos tengan una explicación razonable (acaso una enfermedad). Veamos que no todo es tan sencillo. Una persona toma estos datos y dice: después de encuestar a 100 jóvenes, encontramos que 99 de ellos tienen un peso comprendido entre 35 y 75 kg, y sólo uno de ellos tiene un peso comprendido entre 75 y 115 kg; por consiguiente, la media ( sabe el ávido lector/a cómo calcularla?) es de kg, lo que demuestra que los jóvenes no están sanos por su excesiva delgadez. Y quizá por debajo subyace la idea de que deben tomar más grasas en su restaurante de comida rápida. Otra persona afirma: tras un estudio entre 100 jóvenes, los datos indican que 99 de ellos pesan entre 65 y 105 kg, y sólo uno de ellos está entre 25 y 65 kg; por tanto, la media es de kg y concluimos que nuestra juventud padece sobrepeso. Y no hay que descartar que implícitamente se les anime a apuntarse a un gimnasio de su propiedad. Con unos mismos datos, las interpretaciones pueden ser diametralmente opuestas. Y éstas dirigen su vida y la mía. La receta sólo tiene dos ingredientes: ocultarle al público los datos y agruparlos de una manera interesada. El remedio consiste en tener acceso a los datos y conocer las técnicas estadísticas que permiten interpretarlos. Sólo así seremos realmente libres para pensar de forma crítica sobre lo que nos rodea. Anímense a aprender Estadística, aunque sólo sea para no dejarse engañar. Les aseguro que no es un tiempo perdido.

18 Memoria de actividades Matemáticas a nuestro alrededor (anchura constante) Autor: Pedro García Garrancho (Diario JAEN, 12 de febrero de 2009) Se tiene la idea de que estamos rodeados de matemáticas, pero realmente las percibimos? Voy a tratar de poner de manifiesto algo de las matemáticas que nos envuelven. Estaba dando un paseo cuando me acerqué a un pequeño polideportivo recién remodelado, con una superficie impecablemente lisa. Estaban jugando un partido de fútbolsala, cuando un jugador falla clamorosamente un gol cantado, ante un imprevisto mal bote del balón. Este balón está apepinado, protesta amargamente. Atienden la protesta y cambian el balón por uno nuevo. Algunas veces la vida es justa y nos ofrece una segunda oportunidad y esta vez con el perfecto nuevo balón, el bote es limpio y no falla consiguiendo el ansiado gol. El balón con forma esférica, es un cuerpo que tiene una propiedad matemática, la anchura constante. El balón apepinado la había perdido, de ahí el mal bote, hecho que no ocurrió con el balón nuevo. Lo lanzaran como lo lanzaran, el jugador siempre lo recibiría de la misma forma y posición. Continué con mi paseo, y en una calle más adelante había un operario de una empresa telefónica bajando por uno de esos registros, con tapa redonda. Él estaba muy preocupado por si algún despistado conductor, con su coche pudiera empujar la tapa, caerse por el hueco y dañarlo. Me dirigí a él y le tranquilicé indicándole que un círculo es una superficie con anchura constante, de manera que si la tapa no se había colado al principio, no se colaría nunca estuviese en la posición que estuviese. Si por el contrario hubiese sido cuadrada o rectangular sí tendría sentido estar intranquilo. El cuadrado y el rectángulo no son superficies con anchura constante. Para terminar este paseo matemático invito al lector a que construyan una superficie de anchura constante distinta del círculo. Cojan un triángulo equilátero, sí, ese que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. Tracen con centro en un vértice el arco de circunferencia entre los otros dos vértices. Repitan el proceso desde los otros dos vértices. La figura así formada por los tres arcos es una superficie de anchura constante. Tiene alguna utilidad práctica? Como digo a mis alumnos, terminar por el lector. (Buscar motores rotativos)

19 Memoria de actividades Top numbers: los números más interesantes Autor: Miguel Angel García Muñoz (Diario JAEN, 19 de febrero de 2009) Es fácil encontrarnos en los medios de comunicación con listas de los más, música más vendida, programas más vistos, etc. Aquí tenéis una lista con los números más interesantes justificando brevemente su interés: Sin duda, el primero es el cero, número entero aunque para algunos matemáticos también es natural pues permite contar el número de elementos del conjunto vacío (aquel que no tiene elementos). Es el neutro para la suma, pues cualquier número sumado al 0 vuelve a dar dicho número. Le sigue una de las constantes matemáticas más importantes, el número (Pi), la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Número irra-cional (no se puede expresar como fracción de números enteros). Su uso traspasa la geometría, con frecuencia aparece en física y en ingeniería. El tercer número es el 1, número natural que representa la cantidad de elementos del conjunto no vacío más pequeño. Neutro para el producto, es factor de todos los números, es decir, cualquier número se puede dividir por 1 de forma exacta. Otra constante muy importante es el número e, base del logaritmo natural. Un gran número de procesos de crecimiento en física, química, biología y ciencias sociales tienen un aumento exponencial representado por la formula. El siguiente número es el 2, el único número primo (sus únicos factores enteros positivos son el mismo y el uno) que es par. Es la base del sistema de numeración binario sobre el que descansa el diseño de los ordenadores. Por último, he de incluir la unidad imaginaria i, solución de la ecuación. Se usa para representar los números complejos como suma de un número real y otro imaginario a + bi. Se usa en diversos campos de la ciencia desde hidrodinámica hasta en química e incluso en el software que controla el vuelo de la lanzadera espacial. La identidad de Euler ( ) relaciona, curiosamente, esta constante con cuatro de los anteriores. Finalmente, os animo a que indaguéis más sobre estos números, os sorprenderán.

20 Memoria de actividades El juego ciencia Autor: José Luis Maroto Romo (Diario JAEN, 26 de febrero de 2009) Es indudable que existe un vínculo natural entre las matemáticas y el ajedrez. Este vínculo corresponde principalmente a los procesos dialécticos que se generan para el encuentro de las diferentes soluciones a los problemas inherentes en cada caso. Podemos contemplar también los rasgos ontológicos que inducen ambas materias, tales como la abstracción, la memoria, la fuerza analítica, la creatividad, la planificación, la estrategia de investigación (métodos de estudio) y la intuición (sentido heurístico). Hay varias analogías referentes a las cualidades geométricas que desarrollan la práctica continua del Ajedrez y la fuerza de su simbolismo. Si analizamos el trabajo de Ernest Nagel y James R. Newman El teorema de Gödel, ellos mencionan que puede resultar útil, por vía de ejemplo, comparar las metamatemáticas como teoría de la demostración con la teoría del ajedrez. El ajedrez se juega con 32 piezas de una forma determinada sobre un tablero cuadrado que contiene 64 subdivisiones cuadradas, en el que se pueden mover las piezas conforme a unas reglas establecidas. El juego es análogo a un cálculo matemático formalizado. Las piezas y los cuadrados del tablero corresponden a los signos elementales del cálculo; las posiciones permitidas de las piezas sobre el tablero, a las fórmulas del cálculo; las posiciones iniciales de las piezas sobre el tablero, a los axiomas o fórmulas iniciales del cálculo; las subsiguientes posiciones de las piezas sobre el tablero, a las fórmulas derivadas de los axiomas (esto es, a los teoremas), y las reglas del juego a las reglas de deducción (o derivación) establecidas para el cálculo. La práctica del ajedrez induce a la práctica de las matemáticas y viceversa. La formalidad del ajedrez es presentada lúdicamente conectando lo abstracto con lo concreto (análisis de variantes con la manipulación de piezas) mientras que el sentido lúdico de las matemáticas es enterrado por la imagen aparentemente monótona del formalismo abstracto de su ejercicio. Actualmente se libra una tenaz lucha cultural en el ámbito educativo nacional por cambiar esta imagen e inyectar la disciplina del razonamiento matemático en las nuevas generaciones. El recurso del ajedrez es propicio para la inducción y logro de este urgente y vital propósito. En estas fechas se está celebrando la XXVI edición del Torneo Internacional de Ajedrez Ciudad de Linares que es uno de los torneos de ajedrez más prestigiosos del panorama internacional. De hecho, se le denomina con frecuencia el "Wimbledon" del ajedrez. Os animo a que lo sigáis.

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es Matemáticas 1 o ESO David J. Tarifa García info@esobachilleratouniversidad.com.es 1 Matemáticas - 1 o ESO 2 Índice 1 Tema 1. Los números naturales 6 1.1 Suma de números naturales................................

Más detalles

Enseñar Matemáticas en el siglo XXI INDICADORES DE LAS COMPETENCIAS (PISA 2003)

Enseñar Matemáticas en el siglo XXI INDICADORES DE LAS COMPETENCIAS (PISA 2003) INDICADORES DE LAS COMPETENCIAS (PISA 2003) Pensar y razonar Plantear cuestiones propias de las matemáticas ( cuántos hay? Cómo encontrarlo? Si es así, entonces etc.) Conocer los tipos de respuestas que

Más detalles

PONER UN PROBLEMA EN ECUACIONES

PONER UN PROBLEMA EN ECUACIONES PONER UN PROBLEMA EN ECUACIONES ESQUEMA DEL TEMA. Problema de introducción Regla para poner un problema en ecuaciones Uso de la regla Análisis de un enunciado de un problema que tiene cantidades que no

Más detalles

CLARA HERNáNDEZ-VALLEJO Estudiante de 5º curso. Muchos de nosotros tendremos que salir de España

CLARA HERNáNDEZ-VALLEJO Estudiante de 5º curso. Muchos de nosotros tendremos que salir de España Clara sonríe entre Argentina, auxiliar de clínica, y su hermana Blanca. CLARA HERNáNDEZ-VALLEJO Estudiante de 5º curso Muchos de nosotros tendremos que salir de España 12 D e abuelo médico y padre y tíos

Más detalles

Sobre los Tamaños y Distancias del Sol y la Luna.

Sobre los Tamaños y Distancias del Sol y la Luna. El CSIC en la Escuela El lenguaje que normalmente empleamos para comunicarnos no es capaz de describir adecuadamente todos los procesos que tienen lugar en la naturaleza. Afortunadamente las matemáticas

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2015 /2016

RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2015 /2016 RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2015 /2016 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: MATEMÁTICAS ACADÉMICAS CURSO: 3º ESO OBJETIVOS DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS 3º ESO

Más detalles

Experiencias adulteradas

Experiencias adulteradas Experiencias adulteradas Las tres fases de un camino construido sobre polvo químico La edad de la curiosidad, del vivir al límite y al momento. Esta es la época que las personas eligen para empezar a explorar

Más detalles

Números reales NÚMEROS REALES APROXIMACIONES ERRORES EN LA APROXIMACIÓN NÚMEROS NÚMEROS RACIONALES RELACIÓN DE ORDEN IRRACIONALES

Números reales NÚMEROS REALES APROXIMACIONES ERRORES EN LA APROXIMACIÓN NÚMEROS NÚMEROS RACIONALES RELACIÓN DE ORDEN IRRACIONALES Números reales NÚMEROS REALES NÚMEROS RACIONALES RELACIÓN DE ORDEN NÚMEROS IRRACIONALES APROXIMACIONES TRUNCAMIENTO REDONDEO POR EXCESO ERRORES EN LA APROXIMACIÓN Mi desconocido amigo La misiva parecía

Más detalles

La circunferencia y el círculo

La circunferencia y el círculo 10 La circunferencia y el círculo Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar los diferentes elementos presentes en la circunferencia y el círculo. Conocer las posiciones relativas de puntos,

Más detalles

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9

PARA EMPEZAR. Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 5 6, 7 9, 1 , 7 8 4, 0, 1, 2, 9 5 INECUACIONES PARA EMPEZAR 1 Escribe con el mismo denominador y ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 7 Si sumas a cada fracción, se mantiene el orden? 0 5 6, 7 9, 1 15 El denominador común

Más detalles

Resumen. Finalmente pusimos en práctica y experimentación el juego, obteniendo excelentes resultados.

Resumen. Finalmente pusimos en práctica y experimentación el juego, obteniendo excelentes resultados. Resumen Hemos planeado y elaborado un prototipo que nos ayuda en el aprendizaje matemático, lo denominamos La Ruleta Matemática, que es un juego que básicamente consiste en una ruleta que es accionada

Más detalles

EJERCICIOS PARA RECUPERAR MATEMÁTICAS PENDIENTES 2º ESO

EJERCICIOS PARA RECUPERAR MATEMÁTICAS PENDIENTES 2º ESO MATEMÁTICAS PENDIENTES º ESO Operaciones combinadas con enteros Calcula + ( (+ 0 ) ) + 0 + ( + ) ( (+ 8 + 9 )) 0 + + + + 6 68 + 6+ 9 6 ( + 6+ ( + 6)) + 0 (( + 8 ) + (+ ) + ) + + 8 + ( + + 6+ ) 66 ( + 6

Más detalles

Entrevista de Eduard Punset a Amir Aczel, matemático y divulgador científico. Londres, 10 de enero del 2012.

Entrevista de Eduard Punset a Amir Aczel, matemático y divulgador científico. Londres, 10 de enero del 2012. Entrevista de Eduard Punset a Amir Aczel, matemático y divulgador científico. Londres, 10 de enero del 2012. Vídeo del programa: http://www.redesparalaciencia.com/7252/redes/redes-125-descifrar-las-probabilidades-en-la-vida

Más detalles

4 ECUACIONES E INECUACIONES

4 ECUACIONES E INECUACIONES 4 ECUACIONES E INECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 4.1 Expresa estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es 17. b) Un número más su tercera parte es 16. c) Tres números

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. 40 20 b) 2 20 x 8 x 5

EJERCICIOS PROPUESTOS. 40 20 b) 2 20 x 8 x 5 EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el valor de x para que las siguientes fracciones sean equivalentes. a) x 4 b) x 8 a) 4 x x 4 b) x 8 x 8. Expresa estas fracciones con el mismo denominador. a), y b) 9, y 8

Más detalles

MATEMÁTICAS A 4º ESO IES LOS CARDONES 2014-2015 PLAN DE RECUPERACIÓN. Contenidos Mínimos. I. Estrategias, habilidades, destrezas y actitudes generales

MATEMÁTICAS A 4º ESO IES LOS CARDONES 2014-2015 PLAN DE RECUPERACIÓN. Contenidos Mínimos. I. Estrategias, habilidades, destrezas y actitudes generales MATEMÁTICAS A 4º ESO IES LOS CARDONES 2014-2015 PLAN DE RECUPERACIÓN Contenidos Mínimos I. Estrategias, habilidades, destrezas y actitudes generales II. Números: Resolución de problemas utilizando toda

Más detalles

Trabajadores Inmigrantes: Daños a la Salud

Trabajadores Inmigrantes: Daños a la Salud Encuentro Sindical Inmigrantes y Salud Laboral. Madrid, 20 de junio 2007 Trabajadores Inmigrantes: Daños a la Salud María José López Jacob ISTAS Objetivo de la presentación: - Exponer qué es lo que se

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS página 181 NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS página 181 NÚMEROS COMPLEJOS página 181 11.1 RECORRIDO HISTÓRICO Para comprender el por qué y para qué existen los números complejos y todo lo que se hace con ellos es necesario, aunque sea de manera muy sintética, hacer un breve

Más detalles

Calcular con fracciones para todos

Calcular con fracciones para todos Calcular con fracciones para todos 1 Calcular con fracciones para todos M. Riat riat@pobox.com Versión 1.0 Burriana, 2014 Calcular con fracciones para todos 2 ÍNDICE DE CAPÍTULOS Índice de capítulos...

Más detalles

REGALOS, REGALOS, REGALOS (C.9.4.1)

REGALOS, REGALOS, REGALOS (C.9.4.1) REGALOS, REGALOS, REGALOS REFERENCIA BÍBLICA: Santiago 1:16-18, Lucas 1:26-38 VERSÍCULO CLAVE: CONCEPTO CLAVE: OBJETIVOS EDUCATIVOS: " todo lo bueno y perfecto que se nos da, viene de arriba, de Dios,

Más detalles

Entrevista de Eduard Punset a Marian Stamp-Dawkins, profesora de Comportamiento Animal en la Universidad de Oxford. Oxford, 11 de enero del 2013.

Entrevista de Eduard Punset a Marian Stamp-Dawkins, profesora de Comportamiento Animal en la Universidad de Oxford. Oxford, 11 de enero del 2013. Entrevista de Eduard Punset a Marian Stamp-Dawkins, profesora de Comportamiento Animal en la Universidad de Oxford. Oxford, 11 de enero del 2013. Vídeo del programa: http://www.redesparalaciencia.com/?p=8347

Más detalles

II. Adquisición de Actitudes Básicas

II. Adquisición de Actitudes Básicas II. Adquisición de Actitudes Básicas 21 22 II. ADQUISICIÓN DE ACITUDES BÁSICAS Etimológicamente la palabra estudio deriva del latín Studyum, que se define como: La aplicación del espíritu para comprender

Más detalles

Límites. Definición de derivada.

Límites. Definición de derivada. Capítulo 4 Límites. Definición de derivada. 4.1. Límites e indeterminaciones Hemos visto en el capítulo anterior que para resolver el problema de la recta tangente tenemos que enfrentarnos a expresiones

Más detalles

Tu calculadora científica

Tu calculadora científica Tu calculadora científica Cajón de Ciencias Hasta primero de ESO, más o menos, podemos apañarnos con una calculadora normalita, con las teclas de los números, las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación

Más detalles

Actividades de ampliación

Actividades de ampliación MATEMÁTICAS º SECUNDARIA CUADERNO DE ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN Nombre: Curso: Fecha de entrega: MATEMÁTICAS º ESO Números naturales. Divisibilidad. Explica cómo se puede calcular mentalmente cada una de

Más detalles

PARA QUÉ NÚMEROS REALES... 2 SUCESIONES... 3 NÚMEROS COMPLEJOS... 5 CÓNICAS... 6 FUNCIÓN INVERSA... 7 FUNCIONES CUADRÁTICAS... 8

PARA QUÉ NÚMEROS REALES... 2 SUCESIONES... 3 NÚMEROS COMPLEJOS... 5 CÓNICAS... 6 FUNCIÓN INVERSA... 7 FUNCIONES CUADRÁTICAS... 8 PARA QUÉ SIRVE? Índice NÚMEROS REALES.... 2 SUCESIONES.... 3 SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS.... 4 NÚMEROS COMPLEJOS.... 5 CÓNICAS.... 6 FUNCIÓN INVERSA.... 7 FUNCIONES CUADRÁTICAS.... 8 TEOREMA DE

Más detalles

Esta es una gran lección sobre el perdón. José

Esta es una gran lección sobre el perdón. José MIS PRIMEROS AMIGOS DE LA BIBLIA Lección 19 José perdona a sus hermanos Lectura bíblica: Génesis 42:1 45:15 Texto para memorizar: Mateo 6:12 Objetivo: Que los niños comprendan la importancia de perdonar

Más detalles

Juegos pąrą el ĄulĄ. La guerra de cartas

Juegos pąrą el ĄulĄ. La guerra de cartas Juegos pąrą el ĄulĄ Los chicos comienzan a jugar cuando son bebés, a través del vínculo que establecen entre la realidad y sus fantasías. Ese jugar inicial no sabe de pautas preestablecidas, no entiende

Más detalles

hh*k 1Defensor del Menor de Psicólogos Colegio O t i c i a l en la Comunidad de Madrid Madrid

hh*k 1Defensor del Menor de Psicólogos Colegio O t i c i a l en la Comunidad de Madrid Madrid hh*k l Colegio O t i c i a l de Psicólogos de Madrid Y Y Y Y 1Defensor del Menor en la Comunidad de Madrid SITUACIONES TRAUMÁTICAS EN LA INFANCIA, CÓMO AFRONTARLAS Primera Edición: julio de 2004 Edita:

Más detalles

7 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES

7 ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS PROPUESTOS 7. Escribe estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es. La suma de tres números pares consecutivos es 0. c) Un número más su quinta parte es.

Más detalles

TU NEGOCIO EXITOSO EN INTERNET

TU NEGOCIO EXITOSO EN INTERNET Las Reglas Básicas Para Tener Éxito En Los Negocios Por Internet Por Elihú Villaraus Prohibido guardar y almacenar este producto bajo ninguna circunstancia. Envíaselo a todas las personas que se puedan

Más detalles

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez

Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez Ejercicios de Matemática para Bachillerato Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Se pretende mediante este material contribuir a que los estudiantes que se preparan de

Más detalles

EL MISTERIO DE LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO

EL MISTERIO DE LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO EL MISTERIO DE LAS PIRÁMIDES DE EGIPTO UN ENIGMA VIGENTE Se le preguntó a un grupo de alumnos de segundo año de la EESN 2 como creían que se habían construido las pirámides de Egipto. Las respuestas fueron

Más detalles

UNIDAD 5. PROBLEMAS ARITMÉTICOS.

UNIDAD 5. PROBLEMAS ARITMÉTICOS. UNIDAD 5. PROBLEMAS ARITMÉTICOS. Al final deberás haber aprendido... Interpretación de porcentajes y cálculo de los mismos. Resolución de problemas en los que aparezcan porcentajes. Conocer el concepto

Más detalles

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento.

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento. INTRODUCCIÓN Todo debería hacerse tan sencillo como sea posible, pero no más Albert Einstein, físico Cuanto más trabajo y practico, más suerte parezco tener Gary Player, jugador profesional de golf E studiar

Más detalles

LA DANZA DE LOS PLANETAS

LA DANZA DE LOS PLANETAS PRESENTACIÓN LA DANZA DE LOS PLANETAS La humanidad tardó muchos siglos en conocer la disposición del sistema planetario en que vivía. Desde la antigüedad hasta finales del siglo XVI no encontró la respuesta

Más detalles

alumnos ciclo superior ciclo medio

alumnos ciclo superior ciclo medio alumnos ciclo superior ciclo medio cuaderno curso 2007-2008 programa para escuelas y familias PROGRAMA DE EDUCACIÓN EN VALORES introducción del Presidente de Aldeas Infantiles sos Qué hace Aldeas Infantiles

Más detalles

Entrevista de Eduard Punset con Richard Haier, neurocientífico de la Universidad de Nuevo México. Puebla, México, noviembre de 2008.

Entrevista de Eduard Punset con Richard Haier, neurocientífico de la Universidad de Nuevo México. Puebla, México, noviembre de 2008. Entrevista de Eduard Punset con Richard Haier, neurocientífico de la Universidad de Nuevo México. Puebla, México, noviembre de 2008. Vídeo del programa: http://www.smartplanet.es/redesblog/?p=273 Todo

Más detalles

Tema 7: Estadística y probabilidad

Tema 7: Estadística y probabilidad Tema 7: Estadística y probabilidad En este tema revisaremos: 1. Representación de datos e interpretación de gráficas. 2. Estadística descriptiva. 3. Probabilidad elemental. Representaciones de datos Cuatro

Más detalles

El Proyecto Vital. Jornadas de Terapias Alternativas Corporación Cultural de Ñuñoa, 29/01/1996

El Proyecto Vital. Jornadas de Terapias Alternativas Corporación Cultural de Ñuñoa, 29/01/1996 El Proyecto Vital. Jornadas de Terapias Alternativas Corporación Cultural de Ñuñoa, 29/01/1996 El tema que quiero desarrollar con ustedes trata de la vida humana. Pero no de la vida humana en general,

Más detalles

Y si me equivoco... qué pasa?

Y si me equivoco... qué pasa? Y si me equivoco... qué pasa? Buena pregunta. Sin embargo, hay una mejor respuesta: Nada! No pasa nada. Aunque... siendo honestos, en el momento de sopesar si pasa o no pasa e incluso lo que pueda pasar

Más detalles

IES CANARIAS CABRERA PINTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015

IES CANARIAS CABRERA PINTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015 CONTENIDOS MÍNIMOS 1º ESO SEPTIEMBRE 2015 UNIDAD 1: LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES Y RELACIONES El sistema de numeración decimal Estimación y redondeo de un número natural Las operaciones con números

Más detalles

ELEUSIS. Capítulo 7. Las cartas. Objetivo del juego

ELEUSIS. Capítulo 7. Las cartas. Objetivo del juego Capítulo 7 ELEUSIS 3 o más jugadores Eleusis es un juego de cartas que creé en 1956. La versión original apareció por primera vez en la columna «Juegos matemáticos» de Martin Gardner en el número de julio

Más detalles

Historias y vivencias, entre lo real y lo imaginario.

Historias y vivencias, entre lo real y lo imaginario. Historias y vivencias, entre lo real y lo imaginario. (José Acevedo Jiménez) Que desconozcamos su uso no significa que no sirva de nada. En sentido general, nadie duda de la utilidad práctica que tienen

Más detalles

Competencia Matemática

Competencia Matemática EVALUACIÓN DE DIAGNÓSTICO CURSO 2011/12 Cuaderno Competencia Matemática > Centro Educativo: > Grupo: > Nombre: Apellidos: EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA. SEGUNDO CURSO EVALUACIÓN DE DIAGNÓSTICO. Competencia

Más detalles

La imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein. Unidad 6. Suma y resta d e monomios y polinomios. Objetivos

La imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein. Unidad 6. Suma y resta d e monomios y polinomios. Objetivos La imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein Unidad 6 Suma y resta d e monomios y polinomios Objetivos mat emát ic as 1 Introducción C uando estábamos en primaria la maestra nos

Más detalles

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La resolución de problemas mediante ecuaciones tiene una serie de dificultades que nos llevan a plantear un tema separado del resto. Las dificultades, llegado este punto en que

Más detalles

DISCURSO ACTO DE COLACIÓN 2015

DISCURSO ACTO DE COLACIÓN 2015 Palabras de la egresada de la carrera de Medicina y medalla de oro en representación de todos los egresados de grado DISCURSO ACTO DE COLACIÓN 2015 Señor Presidente de la Academia de Medicina, Académico

Más detalles

BUENOS DÍAS PRIMARIA

BUENOS DÍAS PRIMARIA Lunes Empezamos la semana del Domund Muy buenos días: Durante esta semana recordaremos en toda la Iglesia a las Misiones. Es decir, el próximo domingo será el Domingo Mundial de las misiones. Es lo que

Más detalles

Por qué hay que leer con los hijos y qué se puede hacerse al respecto?

Por qué hay que leer con los hijos y qué se puede hacerse al respecto? Familias Por qué hay que leer con los hijos y qué se puede hacerse al respecto? I. Por qué hay que leer con los hijos? 1. Aprender a leer requiere un esfuerzo sostenido a lo largo de muchos años 2. Hay

Más detalles

Terapias con Células Madre, mi experiencia personal

Terapias con Células Madre, mi experiencia personal Terapias con Células Madre, mi experiencia personal Isabel Rojas Paciente con ELA, testimonio en 2010 Un diagnóstico de ELA es un golpe tremendo, es difícil explicar cómo te sientes. Una de las primeras

Más detalles

UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES.

UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES. UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES. Unidad 10: Proporcionalidad geométrica. Teorema de Tales. Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... Reconocer figuras semejantes.

Más detalles

LA FE DE ABRAHAM Y SARA EN UNA TIERRA EXTRANJERA (B.5.2.5)

LA FE DE ABRAHAM Y SARA EN UNA TIERRA EXTRANJERA (B.5.2.5) LA FE DE ABRAHAM Y SARA EN UNA TIERRA EXTRANJERA REFERENCIA BÍBLICA: Génesis 12:10-20 VERSÍCULO CLAVE: CONCEPTO CLAVE: OBJETIVOS EDUCATIVOS: "Confía de todo corazón en el Señor y no en tu propia inteligencia"

Más detalles

Jean Louis Salager. Tecnología y Desarrollo: Una relación posible en Venezuela?

Jean Louis Salager. Tecnología y Desarrollo: Una relación posible en Venezuela? Jean Louis Salager Debo comenzar diciendo que tengo una cierta relación con el Parque Tecnológico porque en los últimos años nosotros logramos aquí producir, gracias a una cooperación con esta organización,

Más detalles

PLANIFICACIÓN Y PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS METODOS PERT Y GANTT

PLANIFICACIÓN Y PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS METODOS PERT Y GANTT PLANIFICACIÓN Y PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS METODOS PERT Y GANTT [Escriba aquí una descripción breve del documento. Normalmente, una descripción breve es un resumen corto del contenido del documento. Escriba

Más detalles

Sesión 2 Introducción 2

Sesión 2 Introducción 2 Sesión 2 Introducción 2 Objetivo El alumno identificará las diferentes escalas de medición, así como la definición y conceptos básicos de la probabilidad. Contenido de la sesión Figura 2-1 Contenido de

Más detalles

RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2014 /2015 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS CURSO:

RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2014 /2015 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS CURSO: RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2014 /2015 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS CURSO: 2º ESO OBJETIVOS: Resolver problemas con enunciados relacionados con la

Más detalles

Los Ataques de Ansiedad y sus Trastornos

Los Ataques de Ansiedad y sus Trastornos Los Ataques de Ansiedad y sus Trastornos Una guía para conocer los signos, síntomas y opciones de tratamiento Ataques de Ansiedad y sus Trastornos: Síntomas, Causas y Tratamiento Es normal sentir ansiedad

Más detalles

El toque humano (Parte 1)

El toque humano (Parte 1) El toque humano (Parte 1) Transcripción del vídeo En este vídeo me gustaría compartir una sencilla estrategia que permitió cerrar un 40% más de ventas... y que, efectivamente nació de una "casualidad"

Más detalles

1.1. Familiaridad con el mundo de los videojuegos

1.1. Familiaridad con el mundo de los videojuegos 1.1. Familiaridad con el mundo de los videojuegos Como punto de partida, veamos quiénes son los que conocen con mayor o menor intensidad alguno de los videojuegos. Se trata de buscar un indicador, como

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS LOS MOVIMIENTOS ACELERADOS EJERCICIOS PROPUESTOS. Cuando un motorista arranca, se sabe que posee un movimiento acelerado sin necesidad de ver la gráfica s-t ni conocer su trayectoria. Por qué? Porque al

Más detalles

I.E.S. SALVADOR RUEDA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

I.E.S. SALVADOR RUEDA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PLAN DE TRABAJO PARA RECUPERAR LAS MATEMÁTICAS DE º ESO El profesor/a de la asignatura se encargará de ir evaluando al alumno/a con la asignatura pendiente en la forma que le indique: realización de exámenes,

Más detalles

I.E.S.MEDITERRÁNEO CURSO 2015 2016 DPTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O.

I.E.S.MEDITERRÁNEO CURSO 2015 2016 DPTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O. PROGRAMA DE RECUPERACIÓN DE LOS APRENDIZAJES NO ADQUIRIDOS EN MATEMÁTICAS DE 3º DE E.S.O. Este programa está destinado a los alumnos que han promocionado a cursos superiores sin haber superado esta materia.

Más detalles

Comparar las siguientes ecuaciones, y hallar sus soluciones:

Comparar las siguientes ecuaciones, y hallar sus soluciones: TEMA. Iteraciones. % Hemos aprendido que para resolver una ecuación en x, se despeja la x y se evalúa la expresión que resulta. El siguiente ejemplo nos hará revisar ese esquema. Ejemplo. Comparar las

Más detalles

Qué es la adicción sexual? Día 2 de 10 Dennis Rainey, Harry Schamburg Serie: Falsa Intimidad

Qué es la adicción sexual? Día 2 de 10 Dennis Rainey, Harry Schamburg Serie: Falsa Intimidad 0 0 0 0 Qué es la adicción sexual? Día de 0 Dennis Rainey, Harry Schamburg Serie: Falsa Intimidad Los problemas de pornografía o infidelidad, tienen que ver con calidad de la relación que tiene la pareja,

Más detalles

Programación lineal. En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes:

Programación lineal. En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes: UNIDAD 3 Programación lineal a programación lineal es parte L de una rama de las matemáticas relativamente joven llamada investigación operativa. La idea básica de la programación lineal es la de optimizar,

Más detalles

El Ábaco. Descripción. Para qué sirve?

El Ábaco. Descripción. Para qué sirve? El Ábaco El ábaco es un instrumento que sirve para facilitar al alumno el aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración (en cualquier base), cómo se forman las distintas unidades que lo

Más detalles

NANOPETROL hizo un test seleccionando al azar 100 socios del Club PIAGGIO. El Club Piaggio tiene 6.500 socios en España.

NANOPETROL hizo un test seleccionando al azar 100 socios del Club PIAGGIO. El Club Piaggio tiene 6.500 socios en España. NANOPETROL hizo un test seleccionando al azar 100 socios del Club PIAGGIO. El Club Piaggio tiene 6.500 socios en España. Se les envió el siguiente e-mail: Estimado socio del Club PIAGGIO: Nuestra empresa,

Más detalles

MERCHANDISING. como estrategia de marketing en el punto de venta

MERCHANDISING. como estrategia de marketing en el punto de venta MERCHANDISING Cristina de Miguel Gómez como estrategia de marketing en el punto de venta La implantación de la venta en autoservicio o en libre servicio supuso una auténtica revolución en el mundo de la

Más detalles

ENTREVISTA. ROGER PENROSE «El reto de la física es explicar cómo funciona la conciencia»

ENTREVISTA. ROGER PENROSE «El reto de la física es explicar cómo funciona la conciencia» Página 1 de 6 ENTREVISTA ROGER PENROSE «El reto de la física es explicar cómo funciona la conciencia» D.R. Agujeros negros, teoría de la relatividad... Este físico y matemático de prestigio mundial lleva

Más detalles

ALUMNI - DISTINGUIDO: Alejandro Abascal García

ALUMNI - DISTINGUIDO: Alejandro Abascal García ALUMNI - DISTINGUIDO: Alejandro Abascal García Muchas gracias a todos. Muchas gracias al Rector, al Consejo Social, a la Asociación de Antiguos Alumnos por esta distinción. Realmente yo no sé si he hecho

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

1. Pasado / Situaciones en contra 2. Presente / Situación actual 3. Futuro / Situaciones a favor

1. Pasado / Situaciones en contra 2. Presente / Situación actual 3. Futuro / Situaciones a favor La mayor parte de la gente que tira las cartas, utiliza uno o dos juegos, que ya conocen bien y saben que les funcionan. Otros, están siempre a la búsqueda de nuevas tiradas, que les abran más posibilidades,

Más detalles

Hombre de Vitruvio en un aula de 5 grado

Hombre de Vitruvio en un aula de 5 grado Hombre de Vitruvio en un aula de 5 grado Ángeles Biedma GPDM 2009 Colegio Woodville San Carlos de Bariloche El hombre de Vitruvio es un famoso dibujo acompañado de notas anatómicas de Leonardo da Vinci,

Más detalles

www.operandofundamentales.com

www.operandofundamentales.com Steve Siebold, autor de Como los Ricos Piensan, paso cerca de treinta años entrevistando a millonarios alrededor del mundo para saber que es lo que los separa de las demás personas. Realmente tiene poco

Más detalles

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo

Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuestión de qué significa el símbolo Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Límites y continuidad 1. Límite de funciones de dos variables Hasta ahora hemos evitado entrar en la

Más detalles

PROCEDIMIENTOS DE COBRO A CLIENTES

PROCEDIMIENTOS DE COBRO A CLIENTES PROCEDIMIENTOS DE COBRO A CLIENTES INTRODUCCIÓN Por qué hay que esperar tanto a que paguen los clientes? Alguien dijo que los clientes pagan: 1. Cuando están dispuestos a pagar, o 2. Cuando consideran

Más detalles

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-)

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) CÁLCULO MATEMÁTICO BÁSICO LOS NUMEROS ENTEROS Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) Si un número aparece entre barras /5/, significa que su

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS . FUNCINES EJERCICIS PRPUESTS. Un kilogramo de azúcar cuesta,0 euros. Completa la siguiente tabla que relaciona las magnitudes número de kilogramos y precio en euros. N.º de kilogramos 5 0 0 Precio,0 5,50..3

Más detalles

5 estrategias para ganar una guerra de precios

5 estrategias para ganar una guerra de precios 5 estrategias para ganar una guerra de precios Recientemente en Recursos Para Pymes se trató el tema de cómo competir con grandes empresas y despertó un gran interés. Por eso, siguiendo por una vertiente

Más detalles

LOS SIGNOS KARMATICOS

LOS SIGNOS KARMATICOS LOS SIGNOS KARMATICOS Virgo, Escorpio y piscis Reencarnación y karma Por Hera ''Cuando no asumimos alguno de los puntos claves de nuestra carta astral, la vida se encargara de que veamos lo que menos queremos

Más detalles

CadaEstudiante.com explorar cuestiones de la vida universitaria y Dios

CadaEstudiante.com explorar cuestiones de la vida universitaria y Dios CadaEstudiante.com explorar cuestiones de la vida universitaria y Dios Contesta Dios nuestras oraciones? Cuáles oraciones contesta Dios? Contestará tus oraciones? Has conocido a alguien que realmente confía

Más detalles

La infancia de Jesucristo

La infancia de Jesucristo La infancia de Jesucristo Por el Dr. Elio M. Rivera Mucho se ha especulado acerca de lo que el Señor Jesucristo hizo durante su infancia y juventud. Y como resultado de la mala información, han surgido

Más detalles

4º ESO OPCIÓN B Bloque II: Álgebra. Aplicaciones ecuaciones, inecuaciones y sistemas: Problemas.

4º ESO OPCIÓN B Bloque II: Álgebra. Aplicaciones ecuaciones, inecuaciones y sistemas: Problemas. Matemáticas 4º ESO OPCIÓN B Bloque II: Álgebra Aplicaciones ecuaciones, inecuaciones y sistemas: Problemas. NOTA: Si encuentras algún posible error en las soluciones de estos ejercicios comunica número

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Límites

Profr. Efraín Soto Apolinar. Límites Límites Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Nosotros empezamos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial

Más detalles

PARA DECIDIR. Si estás eligiendo qué estudiar y no sabes cómo, aquí tienes 30 claves que te ayudarán a decidir qué carrera estudiar.

PARA DECIDIR. Si estás eligiendo qué estudiar y no sabes cómo, aquí tienes 30 claves que te ayudarán a decidir qué carrera estudiar. IES Fuengirola Nº1 Departamento de Orientación PARA DECIDIR Si estás eligiendo qué estudiar y no sabes cómo, aquí tienes 30 claves que te ayudarán a decidir qué carrera estudiar. Elegir qué quiero estudiar

Más detalles

ACTIVIDADES Y PROGRAMACIÓN.

ACTIVIDADES Y PROGRAMACIÓN. ACTIVIDADES Y PROGRAMACIÓN. OFRECEMOS LA OPORTUNIDAD DE HACER UNA INMERSIÓN EN EL MUNDO DE LA CIENCIA, DE UNA MANERA LÚDICA, EDUCATIVA E INTERACTIVA CIENCIA EN PRIME- RA PERSONA! MADRID. Turno 2. Semana

Más detalles

Intervención de Mariano Rajoy

Intervención de Mariano Rajoy Intervención de Mariano Rajoy Reunión sobre la reforma fiscal Madrid, 21 de junio de 2014 1 Muy buenos días a todos y muchas gracias por vuestra asistencia a este acto. Quiero decir que esta es una de

Más detalles

PROGRAMAS DE ESTUDIO EN MATEMÁTICAS TRANSICIÓN 2014

PROGRAMAS DE ESTUDIO EN MATEMÁTICAS TRANSICIÓN 2014 República de Costa Rica Ministerio de Educación Pública PROGRAMAS DE ESTUDIO EN MATEMÁTICAS TRANSICIÓN 2014 Basado en los programas de estudio en Matemáticas aprobados por el Consejo Superior de Educación

Más detalles

Regletas Cuisenaire. Alumno: Fecha. Regletas Cuisenaire (Números de color)

Regletas Cuisenaire. Alumno: Fecha. Regletas Cuisenaire (Números de color) Regletas Cuisenaire (Números de color) Las regletas de Cuisenaire, también conocidas como números de color, es un material didáctico que se emplea fundamentalmente en la E. Infantil y primer ciclo de E.

Más detalles

Tema 9 Estadística Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN VARIABLES DISCRETAS

Tema 9 Estadística Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN VARIABLES DISCRETAS Tema 9 Estadística Matemáticas B º E.S.O. TEMA 9 ESTADÍSTICA TABLAS DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS EN VARIABLES DISCRETAS EJERCICIO : En un grupo de personas hemos preguntado por el número

Más detalles

Dios es el mismo hoy y nos sigue llamando, aunque no con voz audible.

Dios es el mismo hoy y nos sigue llamando, aunque no con voz audible. Recuerde que nuestro propósito en estudiar la Biblia es conocer a Dios. Cómo es? Qué hace? Cómo trata al hombre? Hoy nos fijaremos en la respuesta de Dios al pecado del hombre. Dios habia creado al hombre

Más detalles

Las matemáticas escondidas

Las matemáticas escondidas Las matemáticas escondidas Emiliano Gómez University of California, Berkeley Ciclo de talleres divulgativos Matemáticas en acción Depto. de MATESCO, Universidad de Cantabria 18 de abril de 2012 Las matemáticas

Más detalles

INSTITUTO PARA EL DESARROLLO DEL LIDERAZGO GENERANDO EL COMPROMISO DE LOS COLABORADORES PARA EL LOGRO DE LAS METAS EMPRESARIALES

INSTITUTO PARA EL DESARROLLO DEL LIDERAZGO GENERANDO EL COMPROMISO DE LOS COLABORADORES PARA EL LOGRO DE LAS METAS EMPRESARIALES INSTITUTO PARA EL DESARROLLO DEL LIDERAZGO GENERANDO EL COMPROMISO DE LOS COLABORADORES PARA EL LOGRO DE LAS METAS EMPRESARIALES Dr. Abel Salas M. TD C O M P R O M É T A S E COMPROMISO? INGREDIENTES ESENCIALES

Más detalles

Bloque de Experiencias QUIEN SOY YO?

Bloque de Experiencias QUIEN SOY YO? 51 52 Bloque de Experiencias QUIEN SOY YO? EXPERIENCIAS CLAVES Yo... Mi cuerpo Mi historia Mi familia Mis amigos, mis amigas ACTIVIDADES PROPUESTAS Mi retrato Soy hombre, soy mujer Lo que puedo y me gusta

Más detalles

LA MENTE DE BENJA Cuadrados Mágicos de Orden Impar. Lic. William Aquino Ochoa

LA MENTE DE BENJA Cuadrados Mágicos de Orden Impar. Lic. William Aquino Ochoa LA MENTE DE Cuadrados Mágicos de Orden Impar Lic. William Aquino Ochoa LA MENTE DE CUADRADOS MÁGICOS DE ORDEN IMPAR Recuerdo que en las clases de Razonamiento Matemático, mi profesor dejó de tarea un problema;

Más detalles

Mi amigo el Parkinson

Mi amigo el Parkinson Pilar Pastor Madrid / 2011 Mi amigo el Parkinson Hace años que me seguía sin saberlo y un buen día se decidieron a presentármelo, entonces le dije: Me vas a acompañar, pero no te adueñarás de mi vida Cuando

Más detalles

LAS LEYES DE KEPLER EN EL SUELO DE LA CLASE

LAS LEYES DE KEPLER EN EL SUELO DE LA CLASE LAS LEYES DE KEPLER EN EL SUELO DE LA CLASE PRESENTACIÓN La astrónoma María Cunitz que vivió en Alemania en el siglo XVII, en su obra Urania Propitia dio a conocer las Leyes de Kepler que explican cómo

Más detalles

Módulo 6 de Cómo Conseguir Clientes. La generación de leads o interesados

Módulo 6 de Cómo Conseguir Clientes. La generación de leads o interesados Módulo 6 de Cómo Conseguir Clientes. La generación de leads o interesados ""Si nadie te ve, no tienes nada. Tienen que verte, pero el arte de la cuestión es que lo hagan naturalmente, sin gritar y sin

Más detalles