M etodos heur ³sticos de optimizaci on

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1 M etodos heur ³sticos de optimizaci on a R o s a Ir m a H e r n a n d e z D u r a n y S e r g io G. d e lo s Co b o s S ilva. a E s t u d ia n t e d e L ic e n c ia t u r a e n Co m p u t a c i o n, D e p t o. In g e n ie r ³a E l e c t r ic a, U A M{ I Re s u me n H o y e n d ³a e x iste n una g ra n v a rie da d de pro ble ma s de o p- timiz a c i o n c o mbina to ria q ue so n de a lta c o mple jida d, e s- to de bido a q ue e nc o ntra r su so luc i o n o ptima o c e rc a - na a e lla e s dif ³c il, so bre to do to ma ndo e n c ue nta q ue lo q ue se busc a e s una r a pida so luc i o n utiliz a ndo una c a ntida d a de c ua da de re c urso s c o mputa c io na le s. En e s- te tra ba jo se mue stra n a lg uno s de lo s m e to do s de pro - g ra ma c i o n e sto c a stic a e n o ptimiz a c i o n, q ue se c a ra c te - riz a n po r da r una \ bue na so luc i o n a nte dic ho s pro ble - ma s. A lg uno s de lo s m e to do s q ue se pre se nta n e n e s- te tra ba jo so n: la B usq ue da T a b u, A lg o ritmo s Ge n e tic o s y la s Re de s N e uro na le s, q ue ha n de mo stra do su e c ie n- c ia y q ue so n de lo s m a s utiliz a do s e n e l Esta do de l A r- te. P a la b ra s cla ve s : Optimiz a c i o n C o mbina to ria, B usq ue - da T a b u, A lg o ritmo s Ge n e tic o s, Re de s N e uro na le s. A b s t ra ct T he re e x ists a g re a t v a rie ty o f hig hly c o mple x pro ble ms in c o mbina to ria l o ptimiz a tio n, fo r w hic h c lo se d a na ly - tic a l so lutio ns a re di±c ult o r impo sible to o bta in. H o - w e re r he uristic s pro g ra mming me tho ds suc h a s: T a bu Se a rc h, Ge ne tic A lg o rithms o r N e ura l N e tw o rk s, ha v e pro v e n to be v e ry use ful in nding fa st a nd e c o no mic a l fa irly \ g o o d so lutio ns", a nd a re a c o mmo n c o mpo - ne nt o f the sta te o f the a rt me tho ds fo r so lv ing suc h k ind o f pro ble ms. In this a rtic le, a re v ie w a nd a de sc riptio n o f suc h me tho ds is pre se nte d. w s C o a T a a A o a N e N e w o Ke ys ord : mbina to ria l Optimiz tio n, - bu Se rc h, Ge ne tic lg rithms nd ura l t- rk s. Introducci on Cuando escucha el t ermino de Investigaci on de Operaciones, >qu e le viene a la mente?... >s olo modelos matem aticos?, >ecuaciones y c alculos? Sin embargo, no son s olo matem aticas. Quiz a pase por alto uno de sus objetivos generales: la optimizaci on, s ³ la optimizaci on de recursos. La optimizaci on es importante, ya que actualmente se presenta una gran variedad de problemas de optimizaci on. Muchosdeestosproblemasimplican situacionesrealesy pr acticas, como son los problemasde localizaci on deplantas, de rutas, deinversi on de portafolios, de transporte, dise~no de chips, y mantenimiento de sistemas entre algunos. En donde lo que se busca primordialmente es minimizar costos para el uso e ciente de recursos cada vez m as escasos, o para maximizar utilidades o bene cios. Sin embargo, muchos de estos problemas son muy complejos y no existen m etodos e cientesy r apidos para encontrar una soluci on optima. Debido a esto han surgido procedimientos o t ecnicas heur ³sticas 1 que han demostrado ser lo su cientemente e cientes y capaces de entregar una \buena soluci on"como se ver a m as adelante. En este trabajo se tiene como uno de los objetivos el presentar algunas de las bases y caracter ³sticas de algunos m etodos heur ³sticos (m etodos de programaci on estoc astica en optimizaci on), los cuales han mostrado ser actualmente una gran herramienta para cumplir con el punto m as importante de la Investigaci on de Operaciones, la optimizaci on de recursos cada vez m as escasos. El presente trabajo se estructura de la siguiente manera: en la Secci on 1 se explica en general la e ciencia de los m etodos heur ³sticos, as ³ como el por qu e se dice que proporcionan una \buena soluci on"; en la Secci on 2 se plantean de manera general los problemas de optimizaci on combinatoria; en la Secci on 3 se proporciona una introducci on a la B usqueda Tab u; en la Secci on 4 se da una descripci on de los elementos principales sobre los Algoritmos Gen eticos, y nalmente en la Secci on 5 se habla sobre el tema de Redes Neuronales. 1. M etodos e cientes y soluciones optimas Los m etodos heur ³sticos son e cientes pero, >respecto a qu e recursos?, existen recursos tales como tiempo de ejecuci on y espacio de almacenamiento. Esto es un punto a favor de los m etodos heur ³sticos, debido a que algunos problemas complejos de optimizaci on combinatoria no pueden resolverse de manera exacta usando tiempo y espacio de computadora razonables como se podr a ver m as adelante. A un a pesar de que actualmente se cuenta con supercomputadoras de alta velocidad capaces de realizar 1 H eu r ³stica p r ov ien e d e la p alab r a gr iega eu r istik en q u e sign i ca en con tr ar. 5

2 6 ContactoS 31, 5{16 (1999) millones o hasta billones de instrucciones por segundo, ante problemas de optimizaci on el querer generar todas las alternativas posibles por medio de este tipo de computadora no ser ³a factible ni e ciente (si no lo cree, contin ue leyendo). Para entender mejor esto, suponga el problema de la \mochila", el cual parte del hecho de que cuando se sale de excursi on, la cantidad de utensilios que se puede empacar en la mochila, queda determinado por la capacidad de la mochila, el volumen de los utensilios (objetos) y el valor intr ³nseco que estos tienen para el excursionista; por lo tanto, el problema consiste en llenar la mochila con el conjunto de objetos m as valiosos que maximicen la utilidad de estosdurantela excursi on, sin exceder los l ³mites f ³sicos de la mochila. En t erminos matem aticos el problema en cuesti on se formula como: Max Z = X i v i x i < K T ; donde: v i = es el valor del objeto i, i= 1,2,...,n; x i = es la capacidad o volumen del objeto i, i= 1,2,...,n; K T = es la capacidad o volumen de la mochila en general Ahora bien, suponga que se cuenta con n = 50 objetos, esto implicar ³a que la computadora tendr ³a que analizar m asde 800 billones (bill on = ) de combinaciones, examinar todas estas posibles combinaciones le llevar ³a mucho tiempo a la computadora, ahora bien si aumentamos s olo en dos la cantidad de los objetos, es decir, 52 objetosla computadora tendr ³a que analizar m as de 4503 billones de combinaciones. O sea, con s olo un peque~no aumento en la cantidad de los objetos, la diferencia en el n umero de combinaciones aumenta de manera notable, en este caso aumentar ³a en m as 3600 billones de combinaciones. <Imagin ese! Esto s ³ que implicar ³a poca e ciencia, ya que aparte de analizar todaslasposibles combinaciones y ver cu ales son las que no rebasan el espacio de la mochila K T, todav ³a se tendr ³a que analizar cu ales son las que contienen los objetos de m as valor para elexcursionista, esto l ogicamenteaumentar ³a el tiempo de ejecuci on, y ³todav ³a faltar ³a ver qu e hay en cuanto al espacio de c omputo! Por lo tanto, se puede decir que uno de los problemas a los que se enfrentan los algoritmos exactos, por ejemplo, los de enumeraci on son el tiempo y espacio (ante conjuntos no tan grandes de elementos) ya que se tendr ³an que generar en forma secuencial todas las posibles combinaciones, y aparte analizar todas estas combinaciones generadas. Es por esto, que la alternativa ante desventajas como estas son los m etodos heur ³sticos, que tienen la ventaja de optimizar el tiempo y espacio de c omputo. Tambi en se mencion o que los m etodos heur ³sticos producen o entregan una \buena soluci on a nte problemas complejos de optimizaci on combinatoria. Por \buena soluci on", se entender a en adelante que la soluci on obtenida est a relativamente cercana a la optima, sino es que se trata de la soluci on optima propiamente dicho. La pregunta ahora es: >c omo se puede a rmar que los m etodos heur ³sticos en realidad producen una \buena soluci on", si no se conoce la soluci on optima? Claro, si se conociera la soluci on optima, utilizando recursos de manera razonable (tiempo y espacio) no habr ³a por qu e usar m etodos heur ³sticos. La respuesta a la anterior pregunta es la siguiente: hay problemas de optimizaci on ya conocidos para los cuales existen algoritmos r apidos y e cientes quepermiten conocer lassoluciones optimas dedichosproblemas. Puesbien, con base en algunos de estos problemas para los cuales ya se conoce su soluci on optima o la mejor reportada en la literatura, se les aplican los m etodosheur ³sticos, dando como resultado una soluci on muy cercana a la optima en la mayor ³a de los casos si no es que en muchas ocasiones se igualan. Y todo esto se logra con s olo analizar un peque~no subconjunto del conjunto total de combinaciones posibles de soluciones factibles. Esto indica que los problemas son resueltos de manera \inteligente"mediante los m etodos heur ³sticos. 2. Planteamiento general de un problema de optimizaci on combinatoria Se ha hecho menci on que los m etodos heur ³sticos dan soluci on a los problemas de optimizaci on combinatoria pero, >cu al es la forma de estos? Los problemas de optimizaci on se dividen en problemas de optimizaci on con variables continuas y problemas de optimizaci on con variables discretas, llamados problemas de optimizaci on combinatoria. En estos ultimos, la soluci on se busca sobre un conjunto nito o in nito numerable. El problema de optimizaci on combinatoria se puede representar de la siguiente forma:

3 M etodos heur ³sticos de optimizaci on. Rosa Irma Hern andez D. y Sergio G. de los Cobos S. 7 P = Minimizar C(x) tal que x 2 X µ R n donde: X denota el conjunto nito (o a lo m as numerable) de todas las soluciones factibles. C es la funci on objetivo, o costo. Como se nota la formulaci on para estos problemas es sencilla, sin embargo resolverlos y encontrar la soluci on optima puede que no lo sea, tal como lo apunta Guti errez Andrade (1991), \Una caracter ³stica recurrenteen los problemas de optimizaci on combinatoria es el hecho de que son muy \f aciles"de entender y de enunciar, pero generalmente son \dif ³ciles"de resolver". En el caso de minimizaci on, el problema consiste en encontrar x op t tal que cumpla con: C(x op t ) C(x);8x 2 X A la soluci on xopt se le llama una soluci on globalmente optima, en donde la funci on objetivo (costo optimo) es C op t = C(x op t ), adem as X op t denota el conjunto de soluciones optimas que son totalmente \cercanas a la soluci on globalmente optima x op t. Ahora bien, los m etodos heur ³sticos pueden resolver problemasdeltipo P, quebuscan encontrar una soluci on x 2 X op t. Dichos m etodos se caracterizan a trav es de movimientos que permiten pasar de una soluci on factible a otra soluci on factible, tal que los movimientos pertenezcan a X (conjunto de soluciones factibles). 3. Una introducci on a la b usqueda Tab u Haciendo un poco de historia, se puede mencionar que las ideas b asicas de la B usqueda Tab u fueron hechas por Fred Glover (1986) y por Pierre Hansen (1986). Pero, >qu e es la B usqueda Tab u? La B usqueda Tab u es un m etodo heur ³stico de \alto nivel", que se usa para resolver problemas de optimizaci on de gran escala. Se dice que de \alto nivel", ya que esta dise~nado para guiar a otros m etodos a que \escapen"de la optimalidad local, y as ³ poder continuar con la b usqueda para mejorar ese optimo local encontrado. La B usqueda Tab u ha demostrado ser un m etodo \inteligente", al obtener las mejores soluciones en una gran variedad de problemas pr acticos. Es importante hacer notar que ya en la d ecada de los a~nos ochenta, el Committee on Next Decade of Operations Research (Condor (1988)) cali caba a la B usqueda Tab u, junto con la t ecnica del Recocido Simulado y los Algoritmos Gen eticos como \extremadamente promisorios"para el tratamiento futuro de aplicaciones pr acticas. Actualmente, se ha demostrado que dichos m etodos en realidad han cumplido con su papel en aplicaciones reales y pr acticas. Figura 1. Regi on Factible y soluci on inicial. El algoritmo de la b usqueda tab u consiste b asicamente en: A partir de una soluci on factible inicial (ver Figura 1) de un problema de optimizaci on combinatoria, hay que moverse paso a paso hacia una soluci on que proporcione el valor m ³nimo de la funci on objetivo C(x). Cada soluci on factible se puede representar como un punto p en alguna regi on espacial, adem as se de ne una vecindad N(p) (ver Figura 2) para cada punto p, que consta de solucionesfactibles que son \cercanas a p en alg un sentido. Figura 2. Conjunto vecindad del punto p. El paso b asico del algoritmo de la b usqueda tab u es que una vez que se tiene la soluci on inicial factible, y se gener o el conjunto de soluciones N(p), entonces se escoge al mejor vecino generado de p que viene a ser p, el cual es

4 8 ContactoS 31, 5{16 (1999) el nuevo punto a partir, ya sea que C(p ) tenga o no una mejor soluci on que C(p). Y as ³ sucesivamente. Ahora bien, uno de los objetivos de la b usqueda tab u consiste en inducir la exploraci on hacia nuevas regiones, para encontrar nuevas soluciones de alta calidad. Otro de sus objetivos, es el de evitar casos de ciclado, impidiendo as ³ que los movimientos hacia nuevas soluciones nos regresen al mismo optimo local del cual se pudo haber partido o a un punto de alguna iteraci on anterior. Esto se logra gracias a una de las caracter ³sticas m as notables de la b usqueda tab u, que es la construcci on de una lista tab u T de movimientos. Dicha lista consiste en aquellos movimientos que no son permitidos (movimientos tab ues) en la presente iteraci on. (Ver Figura 3). Todo esto es precisamente con el n de evitar ciclos. Figura 3. Movimiento Tab u Algo que se debe mencionar es que la prevenci on de ciclos no es la ultima meta del proceso de b usqueda, ya que se pueden presentar casos, en donde una buena trayectoria de b usqueda resultar a al revisitar una soluci on encontrada antes, esto lleva a que la clasi caci on de tab u de un movimiento pueda eliminarse, por lo tanto, un movimiento tab u permanece como tal, s olo durante un cierto n umero de iteraciones, de forma tal que esto implica que T es una lista c ³clica donde para cada movimiento s! s el movimiento opuesto s! s ser a un movimiento no permitido que se adiciona al nal de la lista T, donde el movimiento m as viejo en T se elimina. Como se nota, la b usqueda tab u cuenta con elementos para poder encontrar una \buena soluci on", la de restringir la b usqueda a ciertos puntos, mediante la clasi caci on de tab u (prohibidos) y la de quitar la etiqueta de tab u a movimientos que mejoren la soluci on previamenteencontrada. Elcriterio quepermitedicha eliminaci on es denominado criterio de aspiraci on. Es as ³ como las restricciones tab ues y el criterio de aspiraci on de la b usqueda tab u, juegan un papel dual en la restrici on y gu ³a del proceso de b usqueda. Con base en lo anterior es importante enfatizar los siguientes puntos: ² La lista T de los movimientos tab u, es la que proporciona una b usqueda restringida, esto lleva a que las soluciones generadas dependan cr ³ticamente de la composici on y la manera en que se actualiza la lista T. ² La b usqueda tab u no hace referencia a la condici on de optimalidad local, a excepci on de aquellos casos cuando el optimo local es mejor que la soluci on previamente encontrada. ² Un mejor movimiento se elige en cada paso. Un punto importante de la b usqueda tab u es la construcci on de una lista tab u T de movimientos que no son permitidos en cada iteraci on (movimiento tab u). El principal objetivo de esta lista esexcluir los movimientos a los puntos de iteraciones anteriores. Ahora bien, >cu al debe ser el tama~no idealde esta lista? Lo que se debetener en cuenta de este par ametro es que si la longitud es demasiada peque~na, seguro ocurrir a el ciclado, es decir, se regresar a a movimientos anteriores, sin embargo, si es demasiado grande, restringir a la b usqueda para poder salir de soluciones locales. Por tanto, una faceta importante de la b usqueda tab u es la habilidad para localizar un rango robusto de longitudes de la lista tab u mediante pruebas emp ³ricas preliminares para identi car, para una clase de problemas, los tipos de atributos y de restriccionestab u que son realizados demanera efectiva. Otro elemento importante en la b usqueda tab u es el criterio de nivel de aspiraci on, cuya - nalidad es la de permitir que la condici on de tab u de un movimiento se elimine y se seleccione como mejor movimiento, esto si se puede obtener una mejor soluci on que la alcanzada hasta el momento, o sea este criterio de aspiraci on da una oportunidad para eliminar la clasi caci on de tab u y permiten que el m etodo de la b usqueda tab u alcance sus mejores niveles de realizaci on. Seg un apunta Laguna et al. (1990), algunos de los criterios de aspiraci on son: \(a) Aspiraci on por default: si todos los movimientos posibles son clasi cados como tab u, entonces el movimiento \menos tab u"es seleccionado. (b) Aspi-

5 M etodos heur ³sticos de optimizaci on. Rosa Irma Hern andez D. y Sergio G. de los Cobos S. 9 raci on por objetivo: una aspiraci on de movimiento es satisfecha, permitiendo que un movimiento x sea un candidato para seleccionarse, si C(x) < mejor costo. (c) Aspiraci on por direcci on de b usqueda: un atributo de aspiraci on es satisfecho, sila direcci on proporciona un mejoramiento y el actual movimiento es un movimiento de mejora". Intensi caci on y diversi caci on Si en alguna iteraci on ya no existieran puntos admisibles, se tendr ³an que utilizar las fases de intensi caci on y la diversi caci on. La fase intensi caci on proporciona una forma simple para dirigir la b usqueda alrededor de la mejor soluci on o conjunto de mejores soluciones. Existe en la b usqueda una matriz de frecuenciasque es la que registra la \historia"del procedimiento y que da informaci on en cuanto a las regiones que no se han visitado, y es utilizada para formar la funci on dememoria de t ermino largo, la cual permite la diversi caci on de la b usqueda; es decir, es posible dirigir la b usqueda \m as cercana" o \m as alejada"en las regiones exploradas. Para aplicaciones reales, tales como un problema de calendarizaci on y una aplicaci on en cuanto a selecci on de rutas, puede consultar a De los Cobos (1997) y P erez S. et al. (1996), respectivamente. 4. Una introducci on a los Algoritmos Gen eticos Por el siglo XIX, se introdujo una teor ³a que revolucion o al mundo: la teor ³a de la evoluci on del brit anico Charles Darwin. En esta, Darwin a rmaba que las especies naturales van evolucionando para adaptarse a su medio ambiente, con el criterio de que losindividuosque mejor se adapten a los cambios de su entorno son los que tendr an mayor probabilidad de sobrevivir hasta la edad adulta y procrear, haciendo que sus genes pasen a la siguiente generaci on cuando se reproduzcan. Pero, >qu e tiene que ver est a teor ³a con los m etodos heur ³sticos? Si la naturaleza es capaz de ir optimizando las caracter ³sticas de un individuo perfeccionando sus genes para adaptarse mejor a su medio, >por qu e no se puede crear una poblaci on digital que se optimice para adaptarse mejor a la funci on objetivo que se plantee y a la cual se le quiera dar soluci on? Es aqu ³ donde entran los Algoritmos Gen eticos. Or ³genes La idea de los algoritmos gen eticos, surgi o de modo independienteen dosfrentes, uno de estos fue en los Estados Unidos, donde en los a~nos sesenta el profesor John Holland de la Universidad de Michigan, sabiendo de la importancia de la selecci on natural, desarroll o una t ecnica que permiti o incorporarla en un programa de computadora; en donde su objetivo era lograr que las computadoras aprendieran por s ³ mismas. Su t ecnica se llam o \planes reproductivos"pero, tras una de sus publicaciones por 1975, dicha t ecnica se hizo popular bajo el nombre de algoritmos gen eticos. De modo independiente, el alem an Rechenberg introdujo la idea de la Estrategias Evolutivas. Fue precisamente en 1964, cuando Rechenberg empez o con su primer experimento para imitar el m etodo de la evoluci on biol ogica. Claro est a que desde aquellos a~nos sesenta hasta la fecha, muchasotraspersonashan contribuido de modo notable al desarrollo de estas ideas. Actualmente la comunidad cient ³ ca est a mostrando gran inter es en esta t ecnica en b usqueda basada en la teor ³a de la evoluci on de Darwin, y que se conoce como algoritmos gen eticos. Esta t ecnica tiene como base los criterios deselecci on que utiliza la naturaleza, estos hacen que los individuos que mejor se adapten a los cambios de su entorno sean los que sobrevivan, actualmente los cient ³ cos saben que estos cambios se efect uan en los genes del individuo (unidad b asica de codi caci on de cada uno de los atributos de un ser vivo), y que sus atributos m as deseables, es decir aquellos que le permiten adaptarse mejor a su entorno, son los que se transmiten a sus descendientes. Entonces c omo se de ne lo que es un algoritmo gen etico: \Es un algoritmo matem atico altamente paralelo que transforma un conjunto deobjetosmatem aticosindividualescon respecto al tiempo usando operaciones modeladas de acuerdo al principio darwiniano de reproducci on y supervivencia del m as apto, y tras haberse presentado de forma natural una serie de operaciones gen eticas de entre las que se destaca la recombinaci on sexual. Cada uno de estos objetos matem aticos suele ser una cadena de caracteres (letras o n umeros) de longitud f ³sica que se ajusta al modelo de las cadenas de cromosomas, y se les asocia con una cierta funci on matem atica que re eja su aptitud."(john Koza 1992). En t erminos generales se puede decir que los algoritmos gen eticos son t ecnicas de b usqueda aleatoria que imitan los procesos observados en la evoluci on natural. Tienen como base que a partir de soluciones iniciales (padres) se gene-

6 10 ContactoS 31, 5{16 (1999) ran nuevas soluciones (hijos), empleando mecanismos que se aplican en la gen etica. La mejor descendencia de las soluciones padres se retienen para una nueva generaci on, por lo que se fomenta la supervivencia de los m as aptos, la mejor de todaslas descendencias se registra y es el candidato propuesto por el m etodo para una soluci on optima. Componentes b asicos Un algoritmo gen etico b asico tiene tres operadores: reproducci on, cruzamiento y mutaci on. La reproducci on consiste en el apareamiento aleatorio de dos individuos tomados de un conjunto de soluciones, para crear una o m as descendencias. El cruzamiento consiste en el cambio de genes (tipo de informaci on y sus atributos) siguiendo el modelo de reproducci on biol ogica, toman en cuenta que la descendencia tenga un mejoramiento en relaci on con sus padres. La mutaci on consiste en introducir un elemento aleatorio, muchasveces con la nalidad de que al cambiar un gene no se den los resultados esperados, adem as la mutaci on diversi ca el espacio de b usqueda aleatoria y protege de la p erdida de material gen etico que pueda darse en la reproducci on y el cruzamiento. Aplicaciones La aplicaci on m as com un de los algoritmos gen eticos, y donde han mostrado ser muy e cientes y con ables, es en la soluci on de problemas de optimizaci on combinatoria, y en particular en los problemas de secuenciaci on. Estos aparecen frecuentemente en muchas ciencias aplicadas. Por ejemplo, el problema del agente viajero, los problemas de rutas, el problema de la mochila, el problema del coloreo de grafos, el problema de plani caci on de tareas, entre otros. Sin embargo, es importante hacer notar que antesdeusar elm etodo delos algoritmosgen eticos para alg un problema en particular, se deben tomar en cuenta las siguientes caracter ³sticas del mismo: ² Lo recomendable esque el problema cuente con un espacio de b usqueda discreto, es decir debe de estar delimitado dentro de un cierto rango, no importando si este espacio de posibles soluciones es muy grande. Aunque, tambi en funciona para espacios de b usqueda continuos, pero preferentemente cuando exista un rango de soluciones relativamente peque~nos. ² Debe poderse de nir una funci on de aptitud (funci on objetivo del problema de optimizaci on a resolver) que indique qu e tan buena o mala es una cierta soluci on, de tal forma que permita que las \buenas"solucionesse propaguen con mayor rapidez. ² Las soluciones del problema deben codi- carse de una forma que resulte relativamente f acil deimplementar en la computadora. Dentro de las codi caciones, la m as com un y m as sencilla de implementar es la de cadenas binarias que es la que propuso John Holland, aunque se han utilizado tambi en n umeros reales y letras. Funcionamiento El funcionamiento de un algoritmo gen etico se puede mostrar con el siguiente fragmento de pseudoc odigo: inic ia i:=0 ; g e ne ra po bla c i o n inic ia l(pi); se le c c io na indiv iduo s de Pi; c ruz a indiv iduo s se le c c io na do s de Pi; muta indiv iduo s de Pi; Re pite i:=i+1 ; g e ne ra po bla c i o n (Pi) usa ndo Pi{ 1 ; se le c c io na indiv iduo s de Pi; c ruz a indiv iduo s se le c c io na do s de Pi; muta indiv iduo s de Pi; H a sta q ue e nc ue ntre s una \ bue na so luc i o n" te rmina Primero, se genera aleatoriamente una poblaci on inicial, que estar a formada por un conjunto de cromosomas (com unmente es una cadena de bits de longitud ja). Como segundo paso se hace una selecci on de individuos de esta poblaci on, un m etodo simple para hacer dicha selecci on, es el usado por Goldberg, D.E. (1989). Este m etodo es el de la ruleta, y consiste en crear una ruleta en la que cada cromosoma tiene asignado un valor proporcional a su aptitud. Por ejemplo, suponga que se tiene una poblaci on de 5 cromosomas cuyas aptitudes est an dadaspor losvaloresy porcentajes quesemuestran en la Tabla 1. Con los porcentajes de la tabla se puede elaborar una ruleta como se muestra en la Figura 4. Esta ruleta se gira n veces para determinar qu e individuos se seleccionar an. L ogicamente, como a los individuos m as aptos se les asign o un area mayor de la ruleta, se espera que se les seleccione m as veces que los menos aptos.

7 M etodos heur ³sticos de optimizaci on. Rosa Irma Hern andez D. y Sergio G. de los Cobos S. 11 No. de cromosoma Cadena de bits Aptitud % del total Total Tabla 1. Aptitudes de los cromosomas. Figura 4. Ruleta de aptitudes. Una vez realizada la selecci on, el siguiente paso es la reproducci on o cruza de los individuosseleccionados. En estepaso, losseleccionados (sobrevivientes) intercambian material cromos omico (bits) y sus descendientes formar an la poblaci on de la siguiente generaci on. Existen formas comunes de reproducci on como son las siguientes: uso de un punto unico de cruza y uso de dos puntos de cruza. Con el uso de un solo punto de cruza entre dos individuos, cada pareja de cromosomas da origen a dos descendientes para la siguiente generaci on, el punto de cruza puede ser cualquiera de los dos extremos de la cadena, en cuyo caso no se realiza la cruza. Con el uso de dos puntosde cruza entredosindividuos, en este caso se mantienen losgenesde los extremos, y se intercambian los del centro, aqu ³ tambi en existe la posibilidad de que uno o ambos puntos de cruza se encuentren los de la cadena, en cuyo caso se har a una cruza usando un solo punto, o ninguna cruza seg un corresponda. El siguiente paso, es el operador llamado mutaci on, el cual realiza un cambio uno de los genes (un bit) de un cromosoma elegido aleatoriamente, en este caso un bit se sustituye por su complemento (un uno cambia en cero y viceversa). La mutaci on permite la introducci on de nuevo material cromos omico en la poblaci on generada con la cruza. Generalmente la cruza y la mutaci on se maneja dentro de la implementaci on del algoritmo gen etico como un porcentaje que indica con qu e frecuencia se efectuar a, en el caso de la cruza esto signi ca que no todas las parejas de cromosomassecruzar an, quehabr a algunasdeellasque pasar an intactas a la siguiente generaci on, hasta que una pareja mejor la desplace. Cabe hacer notar que la frecuencia con que se efect ua la cruza es mucho mayor que la mutaci on, ya que esta s olo se realiza de manera espor adica. >Cu ando se debedetener elalgoritmo gen etico? Generalmente, se ejecuta el algoritmo durante un n umero m aximo de generaciones o cuando la poblaci on se haya hecho estable, es decir, cuando la mayor ³a de los individuos tengan una aptitud similar. Para un problema de optimizaci on a solucionar con un algoritmo gen etico, se puede consultar la p agina de internet de Coello, en donde se muestran resultados interesantes, dado que se logra encontrar la soluci on optima con un \buen"tiempo. 5. Redes Neuronales >Reconocimiento de patrones y optimizaci on? S ³, estas tan s olo son dos de las aplicaciones de lasredesneuronalesarti ciales. Por ejemplo, >se imagina las consecuencias que habr ³a si le hicieran un diagn ostico m edico, en el que le digan que tiene un tipo de c ancer benigno cuando la realidad lo que tiene es un c ancer maligno? >O se imagina lo que pasar ³a en el campo de batalla, si en un combate a ereo se quisiera destruir a las naves enemigas, y al identi carlas (reconocerlas) y apuntar a ellas no se tratara del enemigo si no de una nave aliada? Pues bien, he aqu ³ la importancia del reconocimiento de patrones, claro junto con la optimizaci on, para as ³ poder obtener los mejores resultados. Pero, veamos de d onde surgieron y en qu e consisten las redes neuronales arti ciales.

8 12 ContactoS 31, 5{16 (1999) En 1936, Alan Turing fue el primero en estudiar el modelo humano como una forma de ver el mundo de la computaci on. Ahora bien, quienes establecieron los fundamentos de la computaci on Neuronal fueron el neuro si ologo Warren McCulloch, y el matem atico Walter Pitts, estos proporcionaron en 1943 una teor ³a acerca de c omo trabajaban las neuronas y adem as modelaron una red neuronal simple mediante circuitos el ectricos. En 1957, Frank Rossenblant desarroll o el modelo de una red neuronal, llamada el Perceptr on que es la m as antigua red neuronal, y que se usa hoy en d ³a como reconocedor de patrones. En 1959, Widrow y Marofal Ho, desarrollaron la primera red neuronal, llamada ADALINEque se aplic o a un problema real que consist ³a en eliminar ecos en las l ³neas telef onicas. Hoy en d ³a, se siguen realizando muchos trabajos e investigaciones acerca de las redes neuronales, as ³ como el hecho de que hay y surgen productos nuevos tanto hardware como software sobre todo para la simulaci on. Bases de las redes Neuronales. Uno delos organos m as poderosos conocidos por el hombre es el cerebro humano, por ejemplo un peque~no ni~no es capaz de realizar de manera f acil acciones que superan por mucho a la capacidad de la computadora m asso sticada: reconocimiento de docenas de caras y objetos desdediferentes angulosy en diferentescondiciones (luz, etc.). Pues bien, las redes neuronales arti- ciales en cuanto al aspecto te orico y modelado est an inspiradas en la estructura y funcionamiento del cerebro, donde la neurona es el elemento fundamental. El cerebro humano consiste de un gran n umero de neuronas, interconectadas masivamente, se calcula que como promedio hay del orden de diez billones de neuronas en el cerebro humano con un promedio de miles de conexiones por cada una. La neurona es una c elula viva y en general, consta de un cuerpo celular, del que salen ramas, una que es la rama principal llamada ax on, y otras m as cortas, llamadas dendritas. Ver Figura 5. Se puede mencionar que una neurona est a formada por tres partes: su cuerpo celular, susestructuras de entradas (las dendritas) y su estructura de salida (el ax on). Algo importante de las neuronas es que tienen la capacidad de comunicarse, esto se puede describir en t erminos generales de la siguiente manera: el cuerpo celular y las dendritas reciben se~nales de entrada, estas se~nales son combinadas e integradas por el cuerpo celular que da como resul- Figura 5. Estructura de una neuronas. tado que se emitan se~nales (el ectricas) de salida. El ax on es el encargado de transportar las se~nales (el ectricas) de salida a los terminales ax onicos, que se encargan a su vez de distribuir las se~nales recibidas a un nuevo conjunto de neuronas; la se~nal quese transmite entre los terminales ax onicos de una neurona y las dendritasde las neuronas siguientes es detipo qu ³mico. Cabe mencionar tambi en a los puntos de conexi on con otras neuronas, llamados sinapsis, que tienen la funci on de receptor y est an localizados entre los terminales ax onicos y las dendritas de la neurona siguiente, por lo tanto se puededecir quelasse~naleselectro{qu ³micassepropagan por las neuronas desde sus sinapsis hacia otras neuronas. Algo que se debe hacer notar es el hecho de que una neurona recibe informaci on de otras miles de neuronas, y a su vez env ³a informaci on a miles de neuronas m as. Existen dos tipos de sinapsis: las sinapsis excitadorasy lassinapsisinhibidoras. Casitodaslas neuronas reciben entradas procedentes de ambas sinapsis, es decir, en cada instante algunas neuronas estar an activas y otras se hallar an en reposo; la suma de los efectos excitadores e inhibidores determinar an si la neurona ser a o no estimulada; es decir, si emitir a o no impulsos y a qu e velocidad. De nici on Las redes neuronales arti ciales son modelos computarizados que intentan reproducir el comportamiento delcerebro, dichosmodelosfuncio-

9 M etodos heur ³sticos de optimizaci on. Rosa Irma Hern andez D. y Sergio G. de los Cobos S. 13 nan bajo procesamiento paralelo y adaptativo. Por lo tanto, se podr ³an de nir a las redes neuronales arti ciales como un sistema de computaci on formado por un gran n umero deelementos simples, elementos de proceso muy interconectados, los cuales procesan informaci on por medio de su estado din amico como respuesta a entradas externas [Hecht{Niesen 1988a]. Cabe mencionar que en las redes neuronales biol ogicas, las neuronas corresponden a los elementos simples de proceso mencionados en la de nici on anterior. En cuanto a la construcci on de redes neuronalesarti ciales, estaspueden ser construidas con hardware especial (sobre todo con base en procesamiento paralelo) o simuladas en computadoras normales. Sin embargo, actualmente el hardware especial no es lo que m as se usa, sino m as bien lo m as com un es hacer simulaci on de redes neuronales, por medio de computadoras digitales. Aplicaciones Las redes neuronales pueden utilizarse en un gran n umero y variedad de aplicaciones, tanto comerciales como militares. Entre las principales aplicaciones son para el reconocimiento de patrones y para el procesado de se~nales. Sin embargo han encontrado gran exito en aplicaciones como la visi on arti cial, en el procesado de se~nales e im agenes, reconocimiento del habla y de caracteres, sistemas expertos, an alisis de im agenes m edicas, control remoto, control de robots, inspecci on industrial, y exploraci on cient ³ ca. En general, las aplicaciones de las redes neuronales se pueden clasi car en: asociaci on y clasi caci on, regeneraci on de patrones, regresi on y generalizaci on, y optimizaci on. A continuaci on se mencionan de manera breve dos de estas clasi caciones que se consideran importantes. Asociaci on y clasi caci on: Aqu ³ la idea es que los patrones de entrada est aticos deben ser clasi cados, este trabajo lo har a una red neuronal, la cual debe ser entrenada para que cuando se le presente una versi on distorsionada ligeramente del patr on base, pueda reconocerla correctamente sin problemas, por ejemplo, debe ser capaz de recuperar una se~nal \limpia"de ambientes o canales ruidosos. En muchos problemas de clasi caci on, la cuesti on a solucionar es la recuperaci on de informaci on, esto es, recuperar el patr on original, dada una informaci on parcial del patr on deseado. Optimizaci on: Las redes neuronales son una herramienta tambi en para la optimizaci on de aplicaciones, que normalmente implican la b usqueda del m ³nimo absoluto de una funci on de energ ³a. Hablando en t erminosde disciplinas espec ³ cas, por ejemplo, en una empresa las aplicaciones consisten en la optimizaci on de plazas y horarios en l ³neasde vuelo, en la explotaci on de una base de datos, reconocimiento de caracteres escritos, etc. En nanzas, las aplicaciones consisten en la identi caci on de falsi caciones, interpretaci on de rmas, etc. En el medio ambiente, analizar tendencias y patrones, previsi on de tiempo, etc. En medicina, predicci on de reacciones adversas a los medicamentos, diagn osticos de tratamiento a partir de s ³ntomas y/o de datos anal ³ticos, monitorizaci on en cirug ³a, etc. En el aspecto militar, clasi caci on de las se~nales de radar, creaci on dearmasinteligentes, optimizaci on del uso de recursos escasos, reconocimiento y seguimiento en el tiro al blanco. Las redes neuronales se usan como ltros para la eliminaci on de ruidos, des ordenes en se~nales, por ejemplo, la red backpropagation (propagaci on hac ³a atr as) se usa a menudo para obtener una versi on de ruido{ reducido a partir de una se~nal de entrada, y la red MADALINE se ha usado por d ecadas para mejorar la transmisi on telef onica comercial. Otra aplicaci on interesante es la segmentaci on de datos, que es una tarea muy solicitada, sobre todo en im agenes, se~nales devariaci on temporal, por ejemplo, datos s ³smicos. Actualmente existen numerosas aproximaciones de redes neuronales habilitadas para segmentaci on de im agenes, la mayor ³a de los cuales presentan una capacidad superior en comparaci on con alguno de los m as complejos algoritmos de segmentaci on. Como se puede notar las redes neuronales arti- ciales tienen in nidad de aplicaciones, por ultimo se comenta una de ellas a la que ya se le han aplicado diferentes tipos de redes neuronales con prometedores resultados: la compresi on de datos. Esta aplicaci on es importante en areas donde se producen, se transmiten y almacenan enormes cantidadesdedatos, talescomo la medicina. Por tal raz on, se busca aplicar y desarrollar la metodolog ³a de compresi on de datos, ya que el costo de los dispositivos de almacenamiento masivo es elevado. De todas las aplicaciones mencionadas se puede ver que tienen hechos en com un; la mayor ³a consisten en realizar un reconocimiento de patrones: buscar un patr on en una serie de patrones, clasi car patrones, completar una se~nal a par-

10 14 ContactoS 31, 5{16 (1999) tir de valores parciales o reconstruir el patr on correcto partiendo de uno distorsionado. Componentes de una red neuronal arti cial. Hilera y Mart ³nez, (1995) apuntan queloscomponentes b asicos generales de toda red neuronal arti cial son los siguientes: ² \Unidades de procesamiento (neurona arti cial) ² Estado de activaci on de cada neurona. ² Patr on de conectividad entre neuronas. ² Regla de propagaci on. ² Funci on de salida o transferencia. ² Regla de activaci on. ² Regla de aprendizaje" Acontinuaci on se describir a de manera breveen qu e consisten estos componentes. Unidades de procesamiento.- Cualquier modelo de red neuronal consta de unidades elementales de proceso: las neuronas. El trabajo de una neurona consiste en recibir las entradas de las neuronas vecinas y calcular un valor de salida, el cual es enviado a todas las neuronas restantes. Generalmente, se pueden encontrar tres tipos de neuronas. Neuronas de entrada: aquellas que reciben est ³mulos externos, relacionadascon el aparato sensorialu otrossectoresdel sistema, que tomar an la informaci on de entrada. Neuronas ocultas: la informaci on de entrada se transmite a estas unidades ocultas que se ocupan de su procesado. Es en la sinapsis y neuronas ocultas donde se genera cualquier tipo de representaci on interna de la informaci on recibida. El nombre de neurona oculta se debe a que no tienen ninguna relaci on directa con la informaci on de entrada ni con la de salida. Neuronas de salida: estas unidades reciben la informaci on una vez que ha sido procesada, su misi on principal es enviar la se~nal (respuesta) fuera del sistema. El estado de activaci on.- Todas las neuronas que componen la red se hallan en cierto estado en un tiempo t, se puede decir que hay dos posibles estados deactivaci on: reposo y excitado, y a cada uno de los cuales se les designa un valor (continuo o discreto). Los estados de activaci on que tendr an cada una de las neuronas depender a en parte de la se~nal que env ³a cada una de las neuronas vecinas. Tambi en se pude decir que la se~nal que env ³a cada neurona a sus neuronas vecinas depende de su propio estado de activaci on Funci on de salida o de transferencia.- Entre las neuronas que forman una red neuronal arti cial existe un conjunto de conexiones que unen unas neuronas con otras. Cada neurona env ³a su se~nal a las neuronas con las que se encuentra conectada. Por lo tanto, la funci on de salida lo que hace es transformar el estado actual de activaci on (de una neurona) en una se~nal de salida. En algunas redesesta se~nalde salida esigual al estado de activaci on de la neurona, en cuyo caso la funci on de salida, es la funci on identidad. Existen otros tipos de funciones de salida, como lo son: la funci on lineal, sigmoidal, etc. Para m as detalle acerca de estas ver (Hilera y Mart ³nez, 1995). Regla de propagaci on.- Esta regla tiene que ver con la manera en que se combinan todos los valores de entrada (los valores de salida de sus neuronas vecinas) a una neurona con los pesos de las conexiones que llegan a esa neurona. En t erminos m as claros se puede decir: que todas las conexiones que unen a las neuronas en una red neuronal tienen asociado un peso, queeselque nalmente hace que la red adquiera conocimiento. Ahora bien, si se considera como y i el valor de salida de la neurona i en un tiempo t i dado; y como w ij el peso de la conexi on (sinapsis) entre la neurona i y j, entonces se puede decir que la entrada neta En que recibe la neurona j en el tiempo t j es la suma del producto de cada se~nal individual por el valor de la sinapsis que conecta a ambas neuronas E N = X i w ij y i : Regla de activaci on.- Esta regla consiste en combinar el valor total de las entradas con el estado actual de la neurona, para que se produzca un nuevo estado de activaci on de la neurona. Dado el estado actual de activaci on de una neurona a i (t) de la neurona i y la entrada total que llega a ella, el estado de activaci on siguiente a i (t+1) de la neurona i, se obtiene aplicando la regla de activaci on. Regla de aprendizaje.- (Hilera y Mart ³nez, 1995) dice \Biol ogicamente, se suele aceptar que la informaci on memorizada en el cerebro est a m as relacionada con los valores sin apticos de las conexiones entre las neuronas que con ellas mismas; es decir, el conocimiento se encuentra en las sinapsis". Pues bien, en el caso de las redes neuronalesarti cialessepuededecir lo mismo, ya que como semencion o anteriormente, los pesos que tienen asociados las conexiones son

11 M etodos heur ³sticos de optimizaci on. Rosa Irma Hern andez D. y Sergio G. de los Cobos S. 15 los que hacen que la red adquiera conocimiento. En s ³, se puede decir que la red aprende modi cando los valores de los pesos de las conexiones de la red misma. Formas de aprendizaje El proceso de aprendizaje de una red neuronal consiste en modi car los pesos de las conexiones en respuesta a una informaci on de entrada. Estas modi caciones que se producen consisten en la destrucci on, modi caci on y creaci on de conexiones entre las neuronas, por ejemplo la creaci on de una nueva conexi on implica que el peso de la misma pasa a tener un valor distinto de cero, de la misma forma la destrucci on de una conexi on sucede cuando el peso pasa a ser cero. Algo importante quesepuede decir esque la red ha aprendido cuando los pesos de las conexiones permanecen estables. Loscriterios quesesiguen para modi car lospesos se conoce como regla de aprendizaje de la red. Por lo general, se manejan dos tipos de reglas: con aprendizaje supervisado y aprendizaje no supervisado. La diferencia principal entre las redes que manejan aprendizaje supervisado y las que no lo manejan, consiste en la existencia o no de un agente externo, un supervisor que controle el proceso de aprendizaje a la red. El proceso de aprendizaje supervisado, se caracteriza porque se realiza mediante un entrenamiento controlado por un supervisor, que es el que determina la respuesta que deber ³a generar la red a partir de una entrada de informaci on, el supervisor veri ca la respuesta (salida) de la red y en caso de que no coincida con lo deseado, se proceden a modi car los pesos de las conexiones. Lasredes con aprendizaje no supervisado no requieren la in uencia externa de un supervisor para ajustar los pesos de las conexiones, por lo tanto, la red no recibe ninguna informaci on externa queleindique si la respuesta quegener o es o no correcta. Lo que deben de hacer estas redes es autoorganizarse, es decir, deben encontrar las caracter ³sticas, regularidades, correlacioneso categor ³asque sepuedan establecer entre los datos de entrada. En algunos casos la salida representa el grado de familiaridad entre la informaci on de entrada y las entradas que se han mostrado antes. Por ultimo, se puede comentar de manera breve acerca de este proceso de aprendizaje: primero la red empieza a trabajar con un conjunto de muestras, en donde dichas muestras deben re ejar todas las condiciones de entrada que est an asociadas con la salida deseada. Posteriormente, \se le adiestra", y una vez adiestrada se le pone a trabajar para reconocer, clasi car, etc., nueva informaci on. Bibliograf ³a 1. CONDOR (Committee on the Next Decade of Operation Research), Operations Research: The Next Decade. Operations Research, 36, De los Cobos Silva Sergio, La t ecnica de la b usqueda Tab u y sus aplicaciones, Ingenier ³a, LV11[ 4 ], 247{256, De los Cobos Silva S., Gonz alezs.f. y AcevesG. R., Formas Inteligentes de Resolver Problemas Dif ³ciles, Universidad Michoacana, [ 12 ], 49{64, Glover F. Future Paths for Integer Programming and Links to Arti cial Intelligence, Computers and Operations Research, 533{549, Goldberg,D.E., Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, Addison Wesley Publishing Company, 1989, p Guti errez Andrade M. A., La t ecnica delrecocido simulado y sus aplicaciones, Tesis de Doctorado, DEPFI{Universidad Nacional Aut onoma de M exico. Ciudad Universitaria, M exico, Hansen P., The steepest Ascent Mildest Descendent Heuristic for Combinatorial Programming. Congresson Numerical Methods in Combinatorial Optimization, Capri, Italia, Hilera Jos e y Mart ³nez V ³ctor. Redes Neuronales Arti ciales. Fundamentos, modelos y aplicaciones. Addison{Wesley Iberoamericana, Espa~na, 1995, p.9,45{ revista/soluciones/n17/coello2.html 10. Koza, J,R., Genetic Programming ofcomputers by Means of Natural Seletion. The MIT Press, 1992, p Laguna M., Barnes J. W. and Glover F., Tabu Search for a Single Machine Scheduling Problem. Technical report (july), Advanced Knowledge Systems Group of U. S., West Advanced Technologies, 1991.

12 16 ContactoS 31, 5{16 (1999) 12. P erez S., De los Cobos S., Ordorica M. y Guti errez A., M etodos heur ³sticos de optimizaci on enla granindustria nacional. Reporte de investigaci on, de CBI, UAM{Iztapalapa, Ponce de Le on Sent ³, E., Algoritmos Gen eticos y su aplicaci on a problemas de secuenciaci on. Tesis Doctoral, Instituto de Cibern etica Matem atica y F ³sica, Centro de Inteligencia Arti cial, La Habana Cuba, cs

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