MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #16. f : A! B x 7! y = f(x):

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #16 Función Sean A y B conjuntos. Una función f de A en B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A exactamante un elemento y 2 B: El elemento y 2 B, se denota por f (x) ; y decimos que f(x) es la imagen de x bajo f, o que f(x) es el valor de f en x: x se llama la variable independiente e y la variable dependiente. Notación: Si f es una función de A en B; también escribimos f : A! B o A f! B; o más explícitamente Consideremos los siguientes conjuntos: f : A! B x 7! y = f(x): A = f0; 1; 2; 3; 4g ; B = f10; 20; 30g ; C = f5; 6; 7; 8g ; D = f40; 50; 60g : Si f y g son las relaciones de nidas mediante estos diagramas, tenemos que: f asigna a cada valor del conjunto A un sólo valor del conjunto B; luego f es una función de A en B; pero como g asigna al número 5 dos valores distintos 40 y 50 del conjunto D, g no es una función de C en D: Dominio y Rango de una Función Si A y B son conjuntos y f es una función de A en B; el conjunto A se llama dominio de la función y se denota D f. El rango de f, denotado R f ; es el conjunto de todos los valores posibles de f (x) cuando x toma todos los valores en el dominio, es decir, R f = ff (x) = x 2 Ag. 1

2 Una Función Como una Máquina Podemos interpretar una función f transforma en elementos f(x) de B de A en B como una máquina f que recibe elementos x de A y los Sea f la función de nida por f (x) = 2x. Si entra x = 5, la máquina f lo múltiplica por 2 y arroja y = f(5) = 10: x = 5 es un elemento del dominio de f y f (5) = 10 es un elemento del rango, ya que 10 es la imagen de 5 mediante f. Claramente, la "máquina" f acepta cualquier número real como entrada, por lo tanto, el dominio de f es R. Un número es elemento del rango si es el doble de un número real, es decir, si es imagen de su mitad. Luego, el rango de f es R. Si f es una función de A en B, y tanto A como B son subconjuntos de R, decimos que f es una función real. En adelante trabajaremos con funciones reales. Evaluación de una Función Evaluar una función en un punto es allar el valor de la función en ese punto. Para ello se reemplaza la variable independiente por ese punto y se calcula el valor de la variable dependiente, es decir, se encuentra el valor de f en dico punto. Sea f (x) = 5x + 1. Para evaluar f en 3 escribimos f (3) = = 16. Y entonces f de 3 es igual a 16 es decir, 16 es la imagen de 3 bajo la función f. Claramente el dominio de f es R ya que la expresión 5x + 1 está de nida para cualquier número real. Cuál es el rango de f? Sea f (x) = 4x 2 + 5x. Calcular Solución f (a + ) f (a), si a y son números reales y 6= 0. Primero, evaluemos f en a y en a +, es decir, allemos f (a) y f (a + ) : f (a) = 4a 2 + 5a f (a + ) = 4 (a + ) (a + ) = 4 a 2 + 2a a + 5 = 4a 2 + 8a a + 5 2

3 Luego, realizamos las operaciones indicadas: f (a + ) f (a) = 4a2 + 8a a + 5 4a 2 + 5a = 4a2 + 8a a + 5 4a 2 5a = 8a (8a ) = = 8a : Determinación del Dominio de una Función En los ejemplos anteriores fue fácil determinar el dominio de la función, ya que las reglas que de nian las funciones tenían sentido para todos los números reales, pero ay otras funciones como las que involucran radicales o cocientes, que no están de nidas para todo x 2 R. Recordemos que las expresiones fraccionarias no están de nidas para los valores que acen 0 el denominador, y las expresiones que involucran radicales sólo tienen sentido para los valores que acen positiva o 0 la cantidad subradical. Hallar el dominio de la función f de nida por Solución f (x) = 1 9x 2 4 : Para que la expresión tenga sentido, el denominador debe ser diferente de 0: Entonces el dominio de f es: D f = x 2 R= 9x 2 4 6= 0 : Los valores para los cuales 9x 2 4 = 0 están excluidos del dominio: 9x 2 4 = 0 (3x + 2) (3x 2) = 0 3x + 2 = 0 ó 3x 2 = 0 x = 2 3 ó x = 2 3 Por lo tanto, el dominio de f es: D f = x 2 R= x 6= 2 3 ^ x 6= 2 = 3 Hallar el dominio de f (x) = p 16 4x 2. 1; 2 2 [ 3 3 ; 2 2 [ 3 3 ; 1 : Solución D f = x 2 R= 16 4x 2 > 0 : 3

4 Y estos valores los allamos resolviendo la desigualdad 16 4x 2 > 0: 16 4x 2 > 0 4 x 2 > 0 (2 + x) (2 x) > 0 Luego, D f = fx 2 R= 2 6 x 6 2g = [ 2; 2] : Grá ca de una Función De nición: Si f es una función con dominio A, la grá ca de f es el conjunto de pares ordenados f(x; f (x)) = x 2 Ag : Se puede interpretar el valor de f(x) en la grá ca como la altura de la grá ca arriba del punto x: Prueba de la Recta Vertical Una curva en el plano xy es la grá ca de una función si y sólo si ninguna línea vertical corta la curva más de una vez. 4

5 Consideremos las siguientes curvas en el plano xy y veamos si corresponden a grá cas de funciones. No correponde a la grá ca de una función ya que existen rectas verticales que cortan la curva en dos puntos. No corresponde a la grá ca de una función ya que ay líneas rectas verticales que cortan la curva en más de un punto: Sí corresponde a la grá ca de una función ya que cualquier recta vertical corta la grá ca a lo sumo en un punto. Plano Cartesiano Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, llamado también plano cartesiano, está formado por dos rectas coordenadas perpendiculares (rectas reales, usualmente una orizontal y la otra vertical), llamadas ejes coordenados, que se intersectan en un punto llamado origen. La recta orizontal se llama eje x y la recta vertical eje y. Generalmente se escoge la dirección positiva del eje x acia la dereca y la dirección positiva del eje y acia arriba. 5

6 Los ejes con sus direcciones dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. A cada punto P del plano le corresponde una pareja de números reales (a; b); donde a es el punto de corte sobre el eje x de la recta perpendicular a este eje, que pasa por el punto (a; b); y b es el punto sobre el eje y del corte de la perpendicular a este eje, que pasa por (a; b): Los números a y b se llaman componentes o coordenadas de (a; b) en x y en y respectivamente. Recíprocamente, todo para ordenado (a; b) se representa mediante un punto P que es la intersección de las rectas perpendiculares a los ejes coordenados que pasan, por a en el eje x; y por b en el eje y; respectivamente. Es decir, los elementos de R 2 están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano cartesiano, y por ello escribimos P = (a; b);en vez de "P es el punto cuyo par de coordenadas es (a; b) ": Ejercicio 1. Ubicar los puntos P = (2; 3); Q = ( p 2; 1 3 ); R = ( 5; 3 2 ); y S = ( 3 ; 6) en el plano cartesiano Dados los siguientes puntos en el plano cartesiano, encontrar sus coordenadas. Algunas Funciones Básicas y sus Grá cas Funciones Lineales Una función lineal es una función de la forma f (x) = mx + b. línea recta. Se llama lineal porque su grá ca es una 6

7 La constante m se llama pendiente de la recta, y es la tangente del ángulo de inclinación de la recta (ángulo que forma la recta con el eje x, medido en sentido antiorario, desde el eje x asta encontrar por primera vez la recta). La constante b es la coordenada del punto donde la recta intersecta el eje y, que corresponde al punto de la recta para el cual x es 0. Usualmente lo anterior se simpli ca diciendo que y = f (x) = mx + b es una ecuación de una línea recta con pendiente m, que intercepta al eje y en el punto (0; b); que se conoce como la ecuación de la recta en la forma pendiente intercepto. Sabemos que en el plano una línea recta está completamente determinada por dos puntos distintos. Si una recta pasa por los puntos P = (x 1 ; y 1 ) y Q = (x 2 ; y 2 ), podemos demostrar que la pendiente m de dica recta está dada por: m = y 2 y 1 ; x 2 6= x 1 : La pendiente es la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento orizontal, cuando pasamos de un punto a otro sobre la recta. desplazamiento vertical m = desplazamiento orizontal Recta y = mx + b Pendiente: m = y 2 y 1 Ángulo de inclinación: (m = tan ) Intersección con el eje y: (0; b) Si una recta pasa por los puntos P = (x 1 ; y 1 ) y Q = (x 2 ; y 2 ); una ecución para dica recta es y y 1 = y 2 y 1 (x x 1 ) que es equivalente a y = mx + b;con m = y 2 y 1 ; y b = y 1 y 2 y 1 x 1 ; si x 2 6= x 1 : Siempre podemos escribir la ecuación de una línea recta en el plano en la forma ax + by + c = 0; con a; b y c constantes conocida como la forma general de la ecuación de la recta en el plano. 7

8 Consideremos la recta L : f (x) = 2x 1. La grá ca es el conjunto de puntos (x; y) 2 R 2 tales que y = f (x) = 2x 1, para todo x 2 R;o sea, el conjunto de todos los puntos de la forma (x; 2x 1) para todo x 2 R: Esta grá ca corresponde a una línea recta que tiene pendiente m = 2 y corta el eje y en (0; 1). Como sabemos que la recta pasa por el punto (0; 1) ; para gra carla necesitamos otro punto que podemos obtener allando el valor de y para un valor de x 6= 0: Si x = 1; y = 2(1) 1 = 1 y entonces el punto (1; 1) está sobre la recta y la grá ca es la línea recta que pasa por los puntos (0; 1) y (1; 1): Como la pendiente de la recta es 2, si consideramos dos puntos diferentes sobre la grá ca y medimos el desplazamiento vertical entre ellos, éste es el doble del desplazamiento orizontal. Ejercicio Halle la ecuación de esta recta sabiendo que pasa por los puntos (0; 1) y (1; 1): Notas: 1. La pendiente no está de nida para rectas verticales, ya que dos puntos cualquiera sobre una de estas rectas tienen la misma componente en x: 2. La pendiente de una recta orizontal es siempre igual a 0: Por qué? La ecuación y = f (x) = 2 corresponde a una recta con pendiente m = 0 y corta el eje y en el punto (0; 2) : Su grá ca es el conjunto de puntos (x; y) 2 R 2 ; tales que y = 2; que es una recta orizontal, ya que para cualquier valor de x; y = 2: Claramente, el dominio de la relación de nida por la ecuación y = 2 es R; pero el rango se reduce al conjunto cuyo único elemento es 2: Ejercicio Hallar una ecuación para la recta que cumple las condiciones dadas, gra carla y allar el dominio y el rango de la relación de nida por ella. a) Pasa por el punto (2; 3) y su intercepto con el eje y es 5: 1 b) Su pendiente es y pasa por el punto (0; 1): 5 Rectas paralelas y perpendiculares Sean L 1 y L 2 dos rectas no verticales;con pendientes m 1 y m 2 respectivamente Decimos que L 1 y L 2 son paralelas y escribimos L 1 kl 2 ; si tienen el mismo ángulo de inclinación, o, equivalentemente, si tienen la misma pendiente. L 1 kl 2 () m 1 = m 2 8

9 Decimos que L 1 y L 2 son perpendiculares, y escribimos L 1? L 2 si se cortan formando cuatro ángulos rectos, o equivalentemente, si el producto de sus pendientes es igual a 1: L 1? L 2 () m 1 m 2 = 1: Para las rectas verticales, el paralelismo y la perpendicularidad, se de nen sólo con las relaciones entre ángulos. Ejercicio a) Hallar una ecuación para la recta que pasa por los puntos ( 3; 5) y es paralela a la recta cuya ecuación es 4x 3y = 5: b) Pruebe que las rectas 3y 5x = 1 y 5y + 3x 3 = 0 son perpendiculares, alle el punto de intersección 4 y grafíquelas. 9