UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATMÁTICA

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATMÁTICA CURSO: Matemática Intermedia JORNADA: Matutina SEMESTRE: do. Semestre AÑO: 03 TIPO DE EXAMEN: NOMBRE DEL AUXILIAR: NOMBRE DE LA PERSONA QUE Primer parcial Selvyin Solórzano Ing. Carlos Garrido REVISÓ EL EXAMEN:

2 Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería MATEMÁTICA INTERMEDIA PRIMER EXAMEN PARCIAL TEMARIO A Carnet: Nombre: PRIMERA PARTE (0 PUNTOS) Instrucciones: A continuación aparecen preguntas con opciones de respuesta cada una. Marque la que considere correcta. (Utilice la última hoja de su cuadernillo para hacer sus cálculos). La gráfica de la ecuación es: a) b) c) d) y y y y Si, el valor es: a) b) c) d) 3. El mapa de curvas de nivel de la función es: a) b) c) d) Si, entonces es: a) b) c) d)

3 Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería MATEMÁTICA INTERMEDIA PRIMER EXAMEN PARCIAL TEMARIO A SEGUNDA PARTE (80 PUNTOS) Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas en el cuadernillo dejando clara constancia de sus operaciones. TEMA (0 PUNTOS) Determine la curvatura de la curva. TEMA (5 PUNTOS) Determine la longitud de la curva., para b una constante, TEMA 3 (5 PUNTOS) Encuentre y dibuje el domino de la función TEMA (5 PUNTOS) La temperatura en cualquier punto (,y) de una placa de acero es, donde y y están en metros. Halle el ritmo de cambio de la temperatura con respecto a y y en el punto (, 3). TEMA 5 (5 PUNTOS) Encuentre las derivadas parciales indicadas. a), b)

4 PRIMERA PARTE (0 PUNTOS). La gráfica de la ecuación es: y a). Si, el valor es: Se deriva la función respecto de : Primero se deriva el logaritmo natural, luego se deriva, y por último se deriva 3. El mapa de curvas de nivel de la función es: b) Al graficar f(,y)=-3,-,-,0,,,3 se obtienen las siguientes curvas de nivel

5 . Si, entonces es: Por medio de las propiedades de los límites se calcula el valor de cada componente cuando t tiende a 0: a) =<,, 0> SEGUNDA PARTE (80 PUNTOS) TEMA (0 PUNTOS) Determine la curvatura de la curva. Por medio de la siguiente ecuación es posible determinar la curvatura: Determinando los datos necesarios para utilizar la epresión: ( ) La curvatura de la curva es:

6 TEMA (5 PUNTOS) Determine la longitud de la curva., para b una constante, La longitud de curva de un vector está definida por la siguiente integral: Obteniendo el valor de la magnitud de r (t): ( ) ( ) Por lo tanto la longitud de curva es: TEMA 3 (5 PUNTOS) Encuentre y dibuje el domino de la función Debido a que la función sin^- presenta un dominio entre - y se define la siguiente desigualdad: De la desigualdad se plantean desigualdades: ; Ahora se procede a graficar el dominio: El dominio de la función son todas las parejas (,y) dentro y sobre las curvas --<=y<=-

7 TEMA (5 PUNTOS) La temperatura en cualquier punto (,y) de una placa de acero es, donde y y están en metros. Halle el ritmo de cambio de la temperatura con respecto a y y en el punto (, 3). Se tiene la función y lo que se pide es la razón de cambio respecto a la variable, y respecto a la variable y. Se resuelve derivando parcialmente dentro de y luego dentro de y y se evalua en el punto,3. El ritmo de cambio de la temperatura con respecto a es de -. y con respecto a y es de -9 en el punto (,3). TEMA 5 (5 PUNTOS) Encuentre las derivadas parciales indicadas. a), Aplicando las reglas de derivación: b) Aplicando las reglas de derivación: Era posible tomar caminos. El primero era derivar primero dos veces respecto a r y por ultimo respecto a θ o primero derivar respecto de θ y luego derivar las otras veces dentro de r. De cualquier forma el resultado es el mismo.

8 Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería MATEMÁTICA INTERMEDIA PRIMER EXAMEN PARCIAL TEMARIO B Carnet: Nombre: PRIMERA PARTE (0 PUNTOS) Instrucciones: A continuación aparecen preguntas con opciones de respuesta cada una. Marque la que considere correcta. (Utilice la última hoja de su cuadernillo para hacer sus cálculos). La gráfica de la ecuación es: a) b) c) d) y y y y Si, el valor es: a) b) c) d) 3. El mapa de curvas de nivel de la función es: a) b) c) d) Si, entonces es: a) b) c) d)

9 Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería MATEMÁTICA INTERMEDIA PRIMER EXAMEN PARCIAL TEMARIO B SEGUNDA PARTE (80 PUNTOS) Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas en el cuadernillo dejando clara constancia de sus operaciones. TEMA (0 PUNTOS) Determine la curvatura de la curva. TEMA (5 PUNTOS) Determine la longitud de la curva., para a una constante, TEMA 3 (5 PUNTOS) Encuentre y dibuje el domino de la función TEMA (5 PUNTOS) La temperatura en cualquier punto (,y) de una placa de acero es, donde y y están en metros. Halle el ritmo de cambio de la temperatura con respecto a y y en el punto (, 6). TEMA 5 (5 PUNTOS) Encuentre las derivadas parciales indicadas. a), b)

10 PRIMERA PARTE (0 PUNTOS). La gráfica de la ecuación es: y b). Si, el valor es: Se deriva la función respecto de : Primero se deriva el logaritmo natural, luego se deriva, y por último se deriva 3. El mapa de curvas de nivel de la función es: b) Al graficar f(,y)=-3,-,-,0,,,3 se obtienen las siguientes curvas de nivel d)

11 . Si, entonces es: Por medio de las propiedades de los límites se calcula el valor de cada componente cuando t tiende a 0: ) =<, 0, 0> SEGUNDA PARTE (80 PUNTOS) TEMA (0 PUNTOS) Determine la curvatura de la curva. Por medio de la siguiente ecuación es posible determinar la curvatura: Determinando los datos necesarios para utilizar la epresión: ( ) La curvatura de la curva es:

12 TEMA (5 PUNTOS) Determine la longitud de la curva., para b una constante, La longitud de curva de un vector está definida por la siguiente integral: Obteniendo el valor de la magnitud de r (t): ( ) ( ) Por lo tanto la longitud de curva es: TEMA 3 (5 PUNTOS) Encuentre y dibuje el domino de la función Debido a que la función sin^- presenta un dominio entre - y se define la siguiente desigualdad: De la desigualdad se plantean desigualdades: ; Ahora se procede a graficar el dominio: El dominio de la función son todas las parejas (,y) dentro y sobre las curvas -+<=y<=+

13 TEMA (5 PUNTOS) La temperatura en cualquier punto (,y) de una placa de acero es, donde y y están en metros. Halle el ritmo de cambio de la temperatura con respecto a y y en el punto (, 3). Se tiene la función y lo que se pide es la razón de cambio respecto a la variable, y respecto a la variable y. Se resuelve derivando parcialmente dentro de y luego dentro de y y se evalua en el punto,3. El ritmo de cambio de la temperatura con respecto a es de -. y con respecto a y es de -9 en el punto (,3). TEMA 5 (5 PUNTOS) Encuentre las derivadas parciales indicadas. a), Aplicando las reglas de derivación: b) Aplicando las reglas de derivación: Era posible tomar caminos. El primero es derivar primero dos veces respecto a r y por ultimo respecto a θ o primero derivar respecto de θ y luego derivar las otras veces dentro de r. De cualquier forma el resultado es el mismo.