ECONOMETRÍA PRÁCTICA: Fundamentos de Series de Tiempo. Versión Preliminar. Agradecemos de Antemano Comentarios. Ramón A.

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1 ECONOMETRÍA PRÁCTICA: Fundamenos de Series de Tiempo Versión Preliminar Agradecemos de Anemano Comenarios Ramón A. Casillo Ponce Rogelio Varela Llamas

2 ECONOMETRÍA PRÁCTICA: Fundamenos de Series de Tiempo INDICE Inroducción...7 Pare I: Modelos Univariados...0 Capíulo : Modelos ARMA 0.. Preliminares Modelos Básicos.3. Relación enre los Modelos AR MA Funciones de Auocovarianza Auocorrelación Sugerencia de Procedimieno Prácico Capíilo : Esacionariedad Concepo Idenificación de Esacionariedad: Primera Aproximación Ejemplo Numérico: el Produco Inerno Bruo de México.. 44 Capíulo 3: Raíces Uniarias Concepo Pruebas Básicas de Raíz Uniaria Pruebas de Raíz Uniaria sobre Series que Presenan Core Esrucural Ejercicio prácico de Raíces Uniarias Capíulo 4: Series Inegradas los Modelos ARMA Definición Traamieno de la Esacionalidad en los Modelos ARIMA Ejemplo para Modelos ARIMA: Indice e Volumen Físico de la Producción Manufacurera...70 Capíulo 5: Temas Selecos de Modelos Univariados Crierios para Evaluar la Capacidad Prediciva Promedio Simple Promedio Móvil Suavizamieno Exponencial Simple Doble Suavizamieno Exponencial Lineal Ajusado a la Tendencia Suavizamieno Exponencial para Tendencia Esacionalidad Muliplicaiva Filro Hodrick-Presco La Tendencia Esacionalidad en los Modelos Clásicos de Regresión....

3 Pare II: Modelos Mulivariados 7 Capíulo 6: Inroducción a los Sisemas Mulivariados Fundamenos Capíulo 7: Coinegración Concepo Meodologías de Coinegración Capíulo 8: Inroducción al Análisis VAR s la Meodología de Coinegración de Johansen Fundamenos Meodología de Johansen Ejercicio Prácico: Función de Consumo Capíulo 9: Temas Selecos en el Análisis de VAR s Causalidad Según Granger Función Impulso-Respuesa Descomposición de la varianza Descomposición endencia ciclo Bibliografía 04 3

4 Pare I: Modelos Univariados Capíulo : Modelos ARMA En esa primera pare del libro el análisis se cenra en los modelos univariados de series de iempo, que de acuerdo con Box Jenkins (970), son represenaciones muesrales de un proceso esocásico. Esos modelos presenan la caracerísica de que la variable objeo de esudio depende de su propia evolución hisórica. En el presene capíulo se punualizarán concepos básicos en la consrucción de modelos se series de iempo se inroducirán las especificaciones univaridas más comúnmene esudiadas... Preliminares Definimos una serie de iempo como un conjuno de observaciones repeidas de la misma variable al como: {,..., }, T Donde los sufijos represenan el periodo en el iempo en el que se observa la variable. A parir de esa caracerización se desprenden dos concepos fundamenales en el análisis de series de iempo. Los mismos se definen mediane la imposición de algunos supuesos sobre el comporamieno de.. Ruido blanco: el proceso se define como ruido blanco si cumple con las siguienes condiciones: 4

5 a) La esperanza de es igual a 0 para odos los periodos. Eso es E ( ) = 0 para oda. b) La varianza de es consane por consiguiene independiene del iempo. Eso es ( ) = σ Var. c) Las auocorrelaciones son iguales a 0.. Independiene e idénicamene disribuido (iid): el proceso se dice ser iid si cumple con las siguienes condiciones: a) La esperanza de es consane pero no necesariamene igual a 0 para odos los periodos. Eso es E ) = µ. ( b) La varianza de es consane por consiguiene independiene del iempo. Eso es ( ) = σ Var. c) es independiene de k para odas las s k s con k. Oro concepo úil en el enendimieno del comporamieno de series de iempo se refiere al operador de rezagos. El mismo es básicamene una represenación abreviada de la dinámica de una serie. Denoemos la observación de en el periodo anerior como, de al forma que enemos las siguienes relaciones: L = 5

6 L = LL = = L Y así sucesivamene, de al forma que L j =. j Finalmene, definimos el operador de diferencia. = = ( L) ( L) = = L. Y así sucesivamene. Haremos referencia a esos concepos ampliamene a ravés del exo como piezas fundamenales en la consrucción de modelos de series de iempo... Modelos Básicos La eoría economérica esablece que a parir de una muesra se puede enconrar el proceso esocásico generador (PEG) de la misma, lo cual implica que se debe seleccionar una serie subsecuenemene modelarla. Exisen varios modelos que pudieran represenar el PEG de una serie de iempo; aquí nos concenraremos en res que son fundamenales en la prácica: un proceso auorregresivo (AR), de media móvil (MA), auorregresivo de media móvil (ARMA). 6

7 . Proceso Auorregresivo Un proceso auorregresivo de primer orden AR(), se define como: = µ + λ + ε (.) Donde µ es una consane, ε es ruido blanco, e sigue un proceso auorregresivo el cual supone que su esperanza condicional depende de su valor en el período pasado, es decir, E ( ) λ = + generalizar como: µ. Así, un modelo auorregresivo de orden p, AR(p), se puede = µ + λ + λ λ p p + ε (.) Donde su esperanza condicional varianza esán dadas por las expresiones E (,,..., p ) = µ + λ + λ λ p p (, ) = σ Var.,..., p ε Ahora bien, haciendo uso del operador de rezago, la ecuación (.) puede expresarse como λ = µ + ε = λl que a su vez es igual a: ( λ L) = µ + ε (.3) 7

8 De al forma que el modelo AR(p) definido en (.), se puede replanear como λ + λ... λ p p = µ ε que se simplifica como: p ( λ L λl... λ p L ) = µ + ε (.4) p Donde ( λ L λ L... λ ) p L es un polinomio en el operador de rezago que permie planear el modelo AR (p) como λ ( L) = µ + ε. Aquí suponemos enonces que la variable de inerés depende de la dinámica de sus observaciones pasadas. Como lo abordaremos adelane, idenificar la magniud de λ será fundamenal para modelar apropiadamene el comporamieno de la serie. En paricular, nóese que si λ = enonces el comporamieno conemporáneo de esá deerminado por lo que se observó en el periodo. En al caso, la serie no converge se desplaza en el iempo sin acoamieno.. Media Móvil En ese modelo se expresa en érminos de una consane un proceso de media móvil. Se dice que es de orden uno, MA(), cuando se iene una especificación como la siguiene: = + ε θε µ (.5) Donde µ es la consane ε θε el proceso de media móvil. Consecuenemene se iene un proceso MA(q) cuando se planea de la siguiene forma general: 8

9 = µ + ε θ... ε ε θ ε θ q q (.6) Si se oma la esperanza maemáica en ambos miembros de la expresión (.5) se iene que E ( ) E( µ + ε θε ) = µ = la varianza esá dada por Var ( ) = σ ( θ ε + ) Haciendo uso del operador de diferencia, el MA() MA(q) se pueden represenar respecivamene como: ( θl) ε = (.7) q ( θ L θ L... θ q L ) ε = θ ( L) ε = (.8) p Donde θ ( L) = ( θ L θ L... θ ).Como se mosrará adelane, los modelos MA son q L comúnmene empleados para realizar pronósicos o eliminar el parón esacional de una serie. 9

10 3. Proceso Auorregresivo con Media Móvil A parir de las consideraciones aneriores, un modelo mixo, auorregresivo de promedio (media) móvil, ARMA (p,q), se represena como: = α + λ + λ + + λ + ε θ ε θ ε... θ ε... p p q q (.9) En esa ecuación, como se puede ver, aparecen p érminos auorregresivos que represenan rezagos disribuidos de la variable dependiene q rezagos de la variable de perurbación, ε, que corresponden a los promedios móviles que se denominan innovaciones. Se le conoce así a ε por que recoge nueva información que se va conociendo cada periodo. En paricular, nóese que el érmino de error que se define exhibe la siguiene forma: ε θ ε... θ ε q q. Podemos especificar una represenación formal de los 3 modelos mediane el operador de rezagos de la siguiene forma. En definiiva, nóese que los modelos ARMA(p,q) involucran a los modelos AR(p) MA(q) a ravés de una sola especificación. El modelo AR(p) se corresponde con un modelo ARMA (p,0) un modelo MA(q) es idénicamene igual a un ARMA (0,q). 0

11 .3. Relación enre los Modelos AR MA Es posible mosrar que los modelos aneriormene inroducidos presenan relaciones analíicas enre ellos.. AR como MA Tomando (.) uilizando el operador de rezagos, se iene ( λ L) = µ + ε. Suponiendo que λ < se deriva que µ ε = + λl λl que a su vez es equivalene a la siguiene expresión redefinida, µ = + ( + λl + λ L λ +...) ε El érmino en parénesis es una secuencia que se puede re-escribir de esa forma i= la cual represena un proceso de media móvil. Así la expresión anerior se escribe 0 λ, i ε i = µ + λ i= 0 i λ ε i (.3) Esa definición sugiere que un proceso AR() puede ser expresado como un proceso MA ( ), lo que significa que es una agregación de la hisoria de odas las innovaciones.

12 . MA como AR Se considera que un modelo MA() puede represenarse como un modelo AR ( ) debido al siguiene desarrollo: Sea = µ + ε θε, haciendo uso del operador de rezago, se iene que = µ + ε θlε lo que es igual a = µ + ( θl) ε. Ahora bien, si cada érmino es dividido por ( θl), se obiene lo siguiene: µ θl µ = + ε = + ε. (.4) θl θ θl θ Considerando θ <, se esablece que = ( + θl + θ L +...) θl, lo cual represena la suma de una progresión geomérica decreciene de razón θ L. En consecuencia, µ µ = ( + θl + θ L +...) µ =, a parir de ello, se puede planear la siguiene θl θ expresión: = ( + θl + θ L +...) = + θl i= i θ i (.5). De acuerdo con Greene (998), al ser una consane, la µ expresión = µ = ( θµ + θ µ +... ) es igual a θl reardos puede fijarse igual a cuando opera con una consane. µ. Eso significa que el operador de θ

13 La cual se puede definir de forma alernaiva para afirmar que un modelo MA() puede represenarse como un modelo AR ( ). La nueva especificación sería igual a: + µ θ ε. (.6) i i = + i= θ donde = µ θ i= i θ i + ε A ese puno el lecor se pregunará cuál es la uilidad de saber esas relaciones? Las mismas son fundamenales cuando se realizan derivaciones formales de modelos complejos, por ejemplo la caracerización de un sisema mulivariado, a que se puede simplificar la noación refiriéndose a ellas..4. Funciones de Auocovarianza Auocorrelación Cada uno de los procesos que definimos aneriormene presena relaciones de correlación covarianza, las cuales en la prácica nos pueden ser úiles para idenificar el proceso que una variable pudiera seguir. A coninuación las presenamos. El lecor que haa revisado algún ariculo economérico écnico, reconocerá que frecuenemene se enuncian en el exo supuesos sobre la caracerización de procesos, por ejemplo cuando se refieren a la posibiidad de inverir un proceso esocásico. Es en esas insancias cuando es úil conocer esas realciones. 3

14 Definimos la auocovarianza de una serie como j ( ) E( ) γ = cov, (.7) j = j Nóese que con = 0 j enemos γ = E ( ) = E( ) = Var( ) 0 Para los modelos que hemos considerado en el exo podemos definir las funciones de auocovarianza de la siguiene forma: a) Ruido blanco γ 0 = Var( ) b) AR() ( ) = E( ( λ + ε )( )) γ = 0 = E σ ( ) = E( ( λ + ε )( )) γ = = E λσ ( ) λ ( ) = E ( λ + λε + ε )( ) γ =.. = E σ γ k k (... ) λ σ k ( ) = E ( λ + + ε )( ) = k k k E = 4

15 c) MA() ( ) = Var( ε + θε ) = σ + θ σ = ( θ ) γ + 0 = Var σ ( ) = E( ( ε + θε )( ε + θε )) γ = = E θσ γ = 0.. γ k = 0 Similarmene, la correlación enre e j se define como la función de auocorrelación ρ j = E ( ) Var j = γ γ j = ( ) Var( ) γ 0 j (.8) Para los modelos que hemos considerado enemos a) Ruido blanco = γ ρ 0, debido a que 0 = γ 0 5

16 b) AR() ρ = 0 λσ ρ = = λ σ λ σ ρ = σ.. = λ k k λ σ k ρ k = = λ k σ c) MA() Considerando el modelo = ε + θε se iene que ρ = 0 ρ = θσ = θ ( + θ ) σ ( + θ ) ρ = 0.. ρ k = 0 6

17 Como veremos en los ejercicios prácicos que se presenan más adelane, las funciones de auocovarianza auocorrelación resulan fundamenales en la idenificación del PEG que pudiera represenar a una serie de iempo..5. Sugerencia de Procedimieno Prácico Una vez especificados los modelos eóricos AR, MA ARMA, presenamos ahora una descripción de los pasos que generalmene se siguen en la aplicación de los mismos, de acuerdo a lo sugerido por Box-Jenkins (970). En capíulos poseriores ejemplificaremos la misma con ejercicios prácicos. Resumiendo enemos las siguienes generalizaciones: AR(p): MA(q): = + λ + λ λ p p µ + ε = µ + ε θ ε θ ε... θ ε q q ARMA(p,q): = α + λ + λ +... ϕ ε... + λ p p + ε ϕε q q En el desarrollo de la meodología Box-Jenkins se planean cuaro fases que son: idenificación del modelo, esimación de parámeros, diagnósico, predicción. Cada una de ésas requiere de un rabajo cuidadoso, pues de ello depende que el modelo seleccionado cumpla saisfacoriamene con su objeivo uilidad. En la Figura. se ilusran los pasos. Como se puede observar, la primera fase consise en idenificar los componenes p q del modelo, lo cual puede lograrse apoándose en el correlograma de las funciones de auocorrelación simple, ρ k, parcial, ρ kk, de las series. Esa area se facilia en la medida 7

18 en que se oman como referenes los parones eóricos señalados en el Cuadro., que se derivan direcamene de los modelos eóricos descrios en la sección anerior. Figura. Meodología Box Jenkins Fase : idenificación del modelo Fase AR(p), : idenificación MA(q) ARMA(p,q) del modelo AR(p), MA (q) o ARIMA (d) Redefinición del Modelo a esimar Fase : esimación de los parámeros del modelo seleccionado Fase 3: diagnósico de los resulados de esimación es adecuado el modelo? si no Fase 4: uso del modelo para fines de pronósico 8

19 Cuadro.. Parones Teóricos Modelo Función de auocorrelación AR(p) k Disminución exponencial combinando coeficienes posiivos negaivos en forma regular o sinusoidal Función de auocorrelación Parcial kk Coeficienes significaivos a lo largo de p reardos MA(q) Coeficienes significaivos a lo largo de q reardos Decrecimieno exponencial ARMA(p,q) Decrecimieno exponencial Decrecimieno exponencial Se planea que la elección de un modelo AR(p) se efecúa cuando se observa que los coeficienes de auocorrelación simple decrecen exponencialmene además las correlaciones parciales reflejan picos grandes a lo largo de p rezagos. Por su pare, se elige un modelo MA(q) cuando la función de auocorrelación parcial decrece exponencialmene o de forma sinusoidal o combinando valores posiivos negaivos, conjugado con una función de auocorrelación simple que muesra coeficienes significaivos en cieros p reardos. Si ambas funciones decrecen exponencialmene, enonces se esima un modelo ARMA(p,q). Como se indicó en la Sección., el modelo AR(p) es consisene con un ARMA(p,0), se caraceriza por mosrar una función de auocorrelación muesral que disminue aceleradamene hacia cero, o bien, de forma regular, sinusoidal o alernando valores posiivos negaivos que se conjuga con una función de auocorrelación parcial con valores disinos de ceros. Asimismo, el modelo MA(q) es congruene con un ARMA(0,q) que se disingue por manifesar una función de auocorrelación parcial que decrece rápidamene hacia cero, bien en forma regular, inusoidal o alernando los valores posiivos negaivos, juno con una función de auocorrelación con anos valores disinos de cero como el orden de la media 9

20 móvil. En la Figura. se ilusran algunos coeficienes de auocorrelación eóricos. Cada línea sobre el eje X esá asociada a un coeficiene de auocorrelación simple parcial a un rezago emporal k. En realidad son represenaciones eóricas que reflejan disinos parones de comporamieno en dichas funciones, cuos valores se infiere que esán represenados sobre el eje Y. Figura.. Correlogramas de Coeficienes de Auocorrelación Teóricos Proceso AR()=ARMA(,0): = Función de auocorrelación AC Función de auocorrelación parcial PAC con k rezados con k rezagos (a) (b) 0

21 Proceso AR() = ARMA(,0): = Función de auocorrelación AC Función de auocorrelación parcial PAC con k rezados con k rezagos (c ) (d) (e )

22 Proceso: MA() = ARMA(0,): = Función de auocorrelación AC Función de auocorrelación parcial PAC con k rezados con k rezagos (f) (g) (h)

23 Proceso MA()=ARMA(0,): = Función de auocorrelación AC Función de auocorrelación parcial PAC con k rezados con k rezagos (i) (j) (k) 3

24 Proceso ARMA(,): = Función de auocorrelación AC Función de auocorrelación parcial PAC con k rezados con k rezagos (l) (m) (n) (o) 4

25 Por ejemplo, los diagramas (a) (b) proecan el caso de un modelo AR(). En los dos diagramas la función de auocorrelación parcial manifiesa un pico en uno de los coeficienes eóricos, significando que es disino de cero; lo que en érminos muesrales significa que se ubica fuera del inervalo de confianza. Un modelo AR() se caraceriza por presenar correlogramas eóricos como los ilusrados en el diagrama (c), (d) (e). En el primer caso, la función de auocorrelación decrece en forma regular hacia cero, en el segundo ambién se observa un decrecimieno combinando valores posiivos negaivos en los coeficienes, en el ercero, resala una disminución sinusoidal. En los res diagramas el correlograma de la función de auocorrelación parcial se disingue por manifesar picos significaivos en dos de sus coeficienes conviriéndolos en valores disinos de cero. Por su pare, un proceso MA(), de acuerdo con los diagramas (f), (g) (h), es aquel en donde se iene que la función de auocorrelación parcial disminue regularmene hasa llegar a cero, o bien alernando valores de sus coeficienes posiivos negaivos o en forma sinusoidal, combinado eso con una función de auocorrelación cuos coeficienes resalan a lo largo de los q rezagos. Lo mismo se esperaría para un modelo MA(), sólo que en ese caso, al como se muesra en los diagramas, (i), (j) (k), se endrían picos o coeficienes disinos de cero en el correlograma de la función de auocorrelación. En el caso del modelo ARMA, la regla de idenificación consise en ver si ambas funciones decrecen bajo disinas posibilidades. En los diagramas (l), (m), (n) (o) se expones algunos parones consisenes con ese ipo de modelo. 5

26 La segunda fase de la meodología Box Jenkins, iene que ver direcamene con la esimación de los parámeros del modelo idenificado. El objeivo fundamenal es hacer una evaluación de la confiabilidad de los resulados de regresión a parir del análisis de diversos esadísicos de prueba. En principio, se iene que conrasar la significancia esadísica de los coeficienes esimados haciendo uso de la disribución normal. También se ienen que analizar las varianzas compararlas en caso de que se engan dos o más modelos alernaivos con especificaciones disinas. De igual manera se iene que valorar la relación de la bondad de ajuse medida a ravés del coeficiene de deerminación múliple normal o ajusado. En la ercera fase, se realiza un diagnósico para valorar la confiabilidad de los resulados de regresión. Esa area se desarrolla analizando el correlograma de los coeficienes de auocorrelación simple parcial de los residuales del modelo idenificado esimado. El diagnósico debe arrojar resulados que indique que los coeficienes de auocorrelación son iguales a cero, lo que significa que cada residuo debe ubicarse denro del inervalo de confianza del correlograma. Eso se corrobora con las pruebas de Box-Pierce Ljung-Box que, en general, permiirán concluir si los residuales del modelo esimado son ruido blanco. Bajo la hipóesis nula de que los residuos son ruido blanco, si cualquiera de ambos esadísicos es maor al valor críico correspondiene a una χ, se rechaza dicha hipóesis se deermina que el modelo debe ser corregido o bien, que se debe reornar a la fase número uno, relacionada con la idenificación del modelo. Una vez concluida saisfacoriamene la ercera fase de la meodología descria, se procede a desarrollar la cuara úlima eapa que consise en uilizar el modelo para fines de 6

27 pronósico. De no ser favorable la validación del modelo, enonces el economerisa esá obligado a reornar a la primera fase con el inerés de idenificar oro ipo de modelo que arroje buenos esadísico, F, Durbin-Wason coeficiene de deerminación múliple ajusado. En caso de que se haan esimado dos o más modelos que resulen ser acepables, se deberá elegir uno de ellos en función de los esadísicos a señalados de oros crierios que miden el margen de error de las esimaciones como el error cuadráico medio o el error absoluo medio. Anes de mosrar un ejemplo concreo de la insrumenación de esa meodología, abordamos dos emas que son de paricular imporancia en el análisis de modelos univariados, el de la esacionariedad, el de raíces uniarias. 7

28 Capíulo : Esacionariedad En ese capíulo inroducimos el concepo de esacionariedad, que fundamenalmene se refiere a condiciones sobre la disribución de una variable a ravés del iempo. Asimismo, presenamos una primera aproximación a écnicas úiles para idenificar esacionariedad en series de iempo, ésas se refieren al análisis gráfico de las funciones de correlación de las variables, que de hecho ejemplifican la insrumenación prácica de la meodología Box- Jenkins. En el capíulo 3 consideramos herramienas más formales que idenifican punualmene la nauraleza esocásica de una serie de iempo... Concepo El concepo de esacionariedad puede ser enendido en senido esrico amplio. El primer caso se presena cuando la función de disribución de probabilidad de una variable no varía con respeco a un desplazamieno en el iempo. Eso significa que la disribución conjuna de m observaciones,...,, es similar a la de m + k, + k,..., m + k para odo m k reardos. Como esa definición implica una resricción fuere de los procesos en el senido de que cada disribución de ( ) es independiene del iempo, es que se define la esacionariedad débil, en senido amplio o de segundo orden. Por ano, una serie es débilmene esacionaria si su media es consane e independiene del iempo, su varianza es finia consane, el valor de su covarianza enre dos periodos no depende del iempo, sino de las disancia enre ellos. En consecuencia, una serie presena esacionariedad débil si reúne las siguienes condiciones: 8

29 ( ) = µ Media : E, consane ( ) = E( µ ) = σ = 0 Varianza : Var γ, consae Co var ianza : Cov [ ] = siendo k (, ) E ( µ ) ( µ ) + k = + k γ k + En la Figura., se ilusran disinos ipo de parones que permien apreciar el ipo de serie de iempo que se iene como realización de un proceso esocásico. Por ejemplo, la figura del panel (a) refleja el comporamieno ípico de una serie esacionaria en un senido amplio, en el panel (b) se ilusra el caso de una serie que no es esacionaria debido a la evolución de la media alrededor de la endencia. En el panel (c), se consaa la no esacionariedad produco de cambios en la varianza en el ranscurso del iempo finalmene en el panel (d), no se percibe una serie con media varianza consanes. Un ipo de proceso que ha recibido marcada aención en el análisis economérico es el llamado ruido blanco, cua caracerísica es que esá formado por una sucesión de variables aleaorias con disribución normal, esperanza cero varianza consane. Un ejemplo de eso sería la serie hipoéica del panel (a), cuos residuos reúne las caracerísicas de ser ruido blanco, es decir, ε ~ (, ) N 0 σ para odo, al que cov( ε ε + ) = 0, +. 9

30 Figura.. Tipos de Procesos Esocásicos Y Y Proceso esocásico esacionario (a) Proceso esocásico evoluivo (b) Y Y Proceso esocásico evoluivo (c) Proceso esocásico evoluivo (d) Oro caso que ha recibido paricular aención en los desarrollos de la eoría economérica es el proceso esocásico ergodico, el cual se presena cuado los valores de la serie alejados en el iempo esán poco correlacionados, es decir, cuando los coeficienes de auocorrelación decrecen al aumenar el reardo k lo que significa que lim ρ = 0. Si dicho proceso sigue κ = κ una disribución normal, se puede decir que las observaciones de la serie son cada vez más independienes de las aneriores, lo que permie consruir esimadores consisenes de los 30

31 parámeros. Al respeco, un esimador δˆ es consisene si se acerca al verdadero valor de δ a medida que el amaño de la muesra se incremena, siuación que puede ser represenada como p lim ˆ δ = δ, donde plim significa probabilidad en el límie. n Un proceso elemenal que ambién es maeria de análisis en la lieraura especializada de series de iempo, es el denominado caminaa aleaoria (random walk), que se manifiesa de dos formas, una que conempla rumbo oro que no. Ese úlimo caso se puede expresar en érminos de la siguiene especificación: = + ε (.) Donde ε reúne las caracerísicas de ser ruido blanco la variable es una serie cuo valor es igual al inmediaamene anerior más un choque aleaorio. En esa lógica, = + ε = 3 + ε, por lo que susiuendo progresivamene se iene que + ε = ε + ε + = ε + ε + ε + =... = = 3 Por ano, si el proceso no iene pasado infinio e inició con el valor 0 como condición inicial, enonces = ε + ε + ε + 0 eniendo =ε j + 0 para j =,,... 3

32 En consecuencia, la media se expresa como µ ( ) = ( ε j + ) = 0 E( ε j ) = = E 0 0 la varianza como var ( ) = E( 0 ) = E( ε j ) = E( ε j ) = σ. Eso significa que la media de es igual al valor inicial que es consane pero la varianza no lo es, a que crece de manera indefinida en la medida que aumena, lo cual viola una condición de esacionariedad. Una exensión del modelo anerior, es el proceso de caminaa aleaoria con rumbo o consane que se define: = β + + ε (.) Y que al igual que el caso anerior, es un proceso AR(), con la diferencia que inclue un parámero de variación β. Si (.) se reescribe como = = β + ε, enonces se deduce que la endencia de se incremena si β > 0 disminue en caso de que β < 0. 3

33 Por qué es imporane conocer la esacionariedad de una serie de iempo? Recuérdese que los supuesos de la regresión clásica suponen que los dos primeros momenos de un proceso esocásico son consanes, eso es, media consane (no necesariamene igual a 0) varianza consane. Bajo esos supuesos los esimadores que se obienen por medio de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO s) son insesgados eficienes. De al forma que resula fundamenal deerminar si los supuesos de media varianza consanes se cumplen para proceder con una esimación; a que si no lo fueran enonces los resulados de una regresión no serían confiables... Idenificación de Esacionariedad: Primera Aproximación Aquí se describen disinas herramienas que audan a evaluar las condiciones de esacionariedad de una serie. Primero se explican las funciones de auocorrelación simple auocorrelación parcial subsecuenemene, se analizan los esadísicos de prueba propuesos por Box Pierce (970), Ljung Box (978). a) Funciones de auocorrelación simple auocorrelación parcial Una primer prueba que se uiliza para diagnosicar si una serie es esacionaria, es la función de auocorrelación simple de la serie de iempo. Ese insrumeno permie deerminar el grado de auocorrelación enre las observaciones individuales que conforman la muesra oal de la serie,,..., T, considerando un desfase emporal igual a k. Su represenación gráfica se ilusra a ravés de un correlograma que esá conformado por odos 33

34 los coeficienes muesrales. En el Capíulo se presenaron varias caracerizaciones para las funciones de correlación covarianza de los modelos ARMA, aquí empleamos un lenguaje más general para ilusrar el ejercicio prácico. En paricular, para un desfase de k periodos la auocorrelación se define a ravés de la siguiene expresión: ρ k = E [( µ )( + k µ )] Cov(, E( µ ) E( + k µ ) = σ σ + k + k ) (.3) donde ρ k es el coeficiene de auocorrelación, µ la media de la serie analizada el subíndice k represena el orden del rezago. Se deduce que para una serie esacionaria son iguales las varianzas σ la expresión (.3), se redefiniría como: σ + k ; por lo que ρ k = E[( µ )( σ + k µ )] Cov( = σ, + k ) γ k = γ 0 (.4) Siendo γ k la covarianza al rezago k γ 0 la varianza de. En el caso paricular de que la longiud del rezago fuera k =, se endría: E( ρ = µ ) 0 = σ 34

35 Ha que considerar que para inferir sobre los coeficienes poblacionales, es necesario esimar los coeficienes muesrales, los cuales oscilan enre +. En ese caso, la ˆ γ k función de auocorrelación se expresa para el conjuno de la muesra como ˆ ρ k =, donde: γ ˆ0 ˆ γ k = ( )( + k ) T ˆγ 0 ( ) = T De al forma que la función muesral esará dada por: T K ( )( + k ) = ˆρ k =. (.5) T ( ) = Donde es la media de la población Para obener el correlograma de la función de auocorrelación simple, es recomendable que se cuene con un amaño de muesra lo suficienemene grande como para evaluar la auocorrelación de orden superior. Es imporane desacar que no se podrían efecuar las esimaciones si k > T. En la prácica es común que se esimen los coeficienes considerando k = n 4. Por ejemplo, si se dispone de una serie de 00 observaciones, puede calcularse ρˆ k para los 5 primeros coeficienes de la función de auocorrelación simple 35

36 (FAC). Así pues, la función de auocorrelación es un insrumeno que auda a especificar el proceso esocásico. En paricular la función de auocorrelación parcial de un proceso esocásico {,,.., T }, es similar al de FAC, con la diferencia que esá corregido por los rezagos inermedios, a que denoa el efeco marginal que cada -k iene sobre. Para enconrar la FAP de primer orden que es exacamene a la FAC del mismo orden, debido que no ha rezagos inermedios, se esima la regresión ~ δ ~ + ε = donde ~ es la desviación de respeco a su media. Para esimar la FAP de segundo orden, se requiere correr la regresión ~ ~ ~ ε donde δ es jusamene la FAP de orden(), = λ + δ + pero no represena la FAP de orden() a así sucesivamene.. b) Esadísicos de Box Pierce Ljung - Box Una vez que se ha calculado la función de auocorrelación muesral, la siguiene fase de análisis para evaluar si una serie emporal es esacionaria, consise en verificar si un valor paricular de ρˆ es esadísicamene significaivo. En ese caso la hipóesis a conrasar es k si ρ k = 0 para una k paricular o bien si ρ k = 0 para k > 0, en cuo caso, se uilizan oros esadísicos de prueba. Barle (946) planea que si una serie de iempo se caraceriza por ser ruido blanco (serie puramene aleaoria), enonces los coeficienes de auocorrelación muesral para k>0 esán disribuidos aproximadamene de acuerdo con una disribución normal con media 0 desviación esándar igual a / T, donde T es el número de observaciones ρˆ k N(0,/T). 36

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