Estalmat. Real Academia de Ciencias. Curso 2005/2006. Dinámica compleja. Conjuntos de Julia y Mandelbrot. Método de Newton. Miguel Reyes Mayo 2006

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1 Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 Diámica compleja Cojutos de Julia y Madelbrot. Método de Newto. Miguel Reyes Mayo 6 Los úmeros complejos Los úmeros complejos so los úmeros de la forma dode z = a+ a y b so úmeros reales e i = 1 es la uidad imagiaria. E el campo de los úmeros complejos todas las ecuacioes poliómicas tiee solució, e particular las ecuacioes de segudo grado: 4± ± 36 4± ± 6i z 4z+ 13= z = = = = = ± 3i Los úmeros complejos se represeta e el plao que, cuado se usa para ello, se llama plao complejo: eje imagiario b z = a+ a z = a+ b parte real parte imagiaria z a eje real Además de por sus partes real e imagiaria, los úmeros complejos queda uívocamete determiados por su módulo y su argumeto: b θ r a z = a+ forma ómica: z = a+ forma polar: r = z = a + b (modulo) z = rθ b ta θ = (argumeto) a 1

2 Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 peracioes co úmeros complejos Suma y diferecia: w z+ w Por ejemplo: ( 3 i) + (3+ 4 i) = ( + 3) + ( 3+ 4) i= 5+ i z E geeral: ( a+ ) + ( c+ di) = ( a+ c) + ( b+ d) i ( a+ ) ( c+ di) = ( a c) + ( b d) i Producto y cociete: E forma ómica se opera como omios teiedo e cueta que i = 1. Por ejemplo: i + i = + i i + i = + i i i = + i i+ = i 3 i ( 3 i)(3 4 i) 6 8i 9i+ 1i 6 8i 9i i 6 17 = = = = = i i i i i ( 3 )(3 4 ) (3 4 ) 3 (3 4 ) (3 + 4 )(3 4 ) E forma polar, estas operacioes so más simples: zw rs s w producto: zw = rs + z = rθ z r w= sϕ cociete: = w s θ ϕ θ ϕ θ + ϕ ϕ r θ z Potecias: Usado módulo y argumeto, el cálculo de potecias es secillo: De aquí, se deduce que: ( ) z = rθ z = r θ z < 1 z = z z > 1 z = z y z = 1 z = z = 1, para todo

3 Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 El sistema diámico f ()= z z La órta que sigue el puto z e este sistema diámico es: { z z z z z z },,,,,, dode z1 = f( z) = z z = f( z ) = z = z z = f( z ) = z = z Halla la órta de z = 1+ i. Hacia dode se dirige? Halla la órta de z = (1 + i) /. Hacia dode se dirige? Halla la órta de z = i. Hacia dode se dirige? Ecuetra ua expresió geeral para e fució de z. z Expresa el módulo de e fució del módulo de z. z Hacia dode se dirige la órta de u úmero complejo Hacia dode se dirige la órta de u úmero complejo Hacia dode se dirige la órta de u úmero complejo z co z < 1? z co z > 1? z co z = 1? Co la expresió obteida, justifica los resultados obteidos para las órtas. Este sistema diámico permite obteer ua expresió geeral para cualquier térmio de la órta e fució del primero: z = f ( z) = z de dode se deduce que:, si z <1 z = z, si z > 1 mietras que si z = 1 la órta se queda atrapada e la circuferecia uidad. Este cojuto de putos, que so frotera etre los que su órta diverge y los que su órta permaece acotada se llama cojuto de Julia del sistema diámico. putos cuya órta diverge 1 cojuto de Julia putos co órta acotada 3

4 Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 Los sistemas diámicos f ()= z z + c Para cada valor del úmero complejo c hay u sistema diámico, y la órta que sigue el puto z e dicho sistema diámico es: { z z z z z z },,,,,, dode z1 = f( z) = z + c z = f( z1) = z1 + c= ( z + c) + c z3 = f( z) = z + c= ( z c) c c E este caso, si c, o se puede obteer ua expresió geeral para cualquier térmio de la órta e fució del primero y, por tato, es muco más difícil coocer la órta de los putos del plao complejo. Si embargo, la situació es parecida al caso c = : hay putos cuya órta diverge a ifiito y putos cuya órta permaece atrapada e u cojuto acotado, siedo la frotera etre uos y otros putos el cojuto de Julia asociado al sistema diámico correspodiete. A cotiuació aparece los cojutos de Julia asociados a varios sistemas diámicos: c = i c = i c = i c = i c =. 66i c =. 5 Tatos los cojutos de Julia obteidos aquí, como todos los posibles, se puede clasificar e uo de los dos tipos siguietes: Coexos: todos sus putos está uidos por putos del cojuto. Discoexos: o hay dos putos que se pueda uir por putos del cojuto. 4

5 Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 El cojuto de Madelbrot Es el cojuto de todos los úmeros complejos asociado al sistema diámico f ( z) = z + c. c para los que es coexo el cojuto de Julia El cojuto de Cator es coexo co frotera fractal: 5

6 Estalmat. Real Academia de Ciecias. Curso 5/6 El método de Newto El teorema fudametal del álgebra afirma que todo poliomio pz ( ) de grado tiee exactamete raíces, cotado su multiplicidad. El método de Newto es u método que permite obteer las raíces del poliomio putos atractivos de las órtas del sistema diámico asociado a la fució p( z) Np( z) = z p '( z) pz ( ) como Es decir, cada órta de este sistema diámico coverge a ua de la raíces, y las regioes de atracció de cada ua de sus raíces suele teer estructura fractal. Regioes de atracció de la raíces del poliomio pz ( ) = z 1, que so: ± 1 Regioes de atracció de la raíces 3 del poliomio pz ( ) = z 1, que so: y ± i Regioes de atracció de la raíces 4 del poliomio pz ( ) = z 1, que so: ± 1 y ± i Regioes de atracció de la raíces 5 del poliomio pz ( ) = z 1. 6

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