SOBRE EL NÚMERO DE NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE UNA MAGNITUD DADA. Bernhard Riemann. Noviembre, 1859

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1 SOBRE EL NÚMERO DE NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE UNA MAGNITUD DADA. Bernhard Riemann Noviembre, 859 No creo poder exprear mejor mi agradecimiento por la ditinción que la Academia me ha hecho al nombrarme como uno de u correpondiente que haciendo uo del privilegio que conlleva dicho nombramiento para comunicarle una invetigación obre la denidad de lo número primo. Una materia que a caua del interé que Gau y Dirichlet le han dedicado durante mucho año no parece indigna de una tal comunicación. En eta invetigación mi punto de partida e la obervación de Euler, de que el producto n, p donde p recorre lo número primo y n todo lo número naturale. La función de la variable compleja, que eta do expreione definen, cuando amba on convergente la deigno por ζ(. Amba convergen ólo cuando la parte real de e mayor que ; in embargo, e fácil encontrar una expreión de la función que e válida iempre. Aplicando la ecuación e nx x dx Π( n e encuentra en primer lugar Π( ζ( x dx e x. Conideremo ahora la integral ( x dx e x 99 Mathematic Subject Claification. 5. Key word and phrae. Número primo, función zeta. Publicado originalmente en Monatberichte der Berliner Akademie Typeet by AMS-TEX

2 B. RIEMANN extendida dede + a + a lo largo de la frontera, recorrida en el entido poitivo, de un dominio que contiene al pero a ninguna otra dicontinuidad de la función integrando, vemo in dificultad que e igual a (e πi e πi x dx e x, iempre que en la función multivaluada ( x e ( log( x fijemo el valor del logaritmo de x de forma que ea real para un valor real negativo. Aí pué enππ( ζ( i ( x dx e x, i definimo la integral como ante. Eta ecuación da el valor de la función ζ( para todo número complejo y prueba que etá bien definida y e finita para todo lo valore de, ditinto de, y que e anula cuando e un entero negativo par. Cuando la parte real de e negativa, podemo coniderar la integral, extendida en lugar de en el entido poitivo de la frontera del dominio anterior, en el entido negativo de la frontera del dominio complementario. Ya que en ete cao la integral por el camino con módulo infinitamente grande e infinitamente pequeña. En el interior del nuevo dominio la función bajo el igno integral ólamente e dicontinua cuando x e un múltiplo de ± y la integral e por tanto igual a la uma de la integrale extendida alrededor de eta ingularidade en el entido negativo. La integral alrededor del valor n e ( n (, por tanto en ππ( ζ( (π n ( ( i + i, e decir una relación entre ζ( y ζ(, que uando propiedade conocida de la función Π e puede exprear diciendo que: ( Π π / ζ( queda invariante, cuando e utituye por. Eta propiedad ( de la función me ha llevado a introducir, en lugar de Π( la integral Π en el término general de la erie, lo que proporciona una n expreión muy cómoda de la función ζ(. Se tiene en efecto y, por coniguiente, i ponemo n Π( π N. del T. Ver nota del editor aleman e nπx ψ(x, e n πx x dx,

3 e obtiene o bien, pueto que PRIMOS MENORES QUE UNA MAGNITUD DADA 3 ψ(x + x ( Π π ζ( ψ(xx dx, ( ( ψ +, (Jacobi, Fund. S. 84[] x ( Π π ζ( ψ(xx dx + Ponemo ahora + ti y de forma que o también ξ(t ( t + 4 ξ(t 4 + ( + ψ(x ( ψ x x 3 dx ( Π ( π ζ( ξ(t, d ( x 3 ψ (x dx (x 3 x dx (x + x + ψ(xx 3 4 co ( tlog x dx x 4 co ( tlog x dx dx Eta función e finita para todo lo valore finito de t y e dearrollable en una erie de potencia en t que converge muy rápidamente. Pueto que para un valor de cuya parte real ea mayor que, log ζ( log( p e finito y lo mimo e cierto para el logaritmo de lo retante factore de ξ(t, la función ξ(t puede anulare olamente cuando la parte imaginaria de t eté entre i y i. El número de raíce de ξ(t, cuya parte real eté comprendida entre y T e alrededor de T π log T π T π ; porque la integral dlogξ(t calculada en el entido poitivo alrededor del dominio de lo valore de t cuya parte imaginaria eté entre i y i y cuya parte real eté comprendida entre y T e (alvo una fracción del orden de ( T igual a T log T π T i y, por otro lado, e igual al número de raíce de ξ(t en dicho dominio, multiplicado por. De hecho, uno encuentra alrededor de ete número de raíce reale entre eto límite, y e muy probable, que toda la raíce ean reale. Sin duda ería deeable tener una prueba riguroa de eto, pero he dejado a un lado la invetigación de tal prueba depué de alguno intento infructuoo ya que no e neceario para el objetivo inmediato de mi etudio. Deignemo por α cada raíz de la ecuación ξ(α, podemo exprear logξ(t por log ( t + log ξ(; α

4 4 B. RIEMANN en efecto, pueto que la denidad de la raíce de magnitud t crece con t ólo como log t π, la expreión anterior e convergente y para un t infinito e hace infinito ólo como tlog t; ademá, difiere de log ξ(t en una función de t, que e continua y finita para un t finito y que al dividirla por t, e hace infinitamente pequeña para t infinita. Eta diferencia e por tanto una contante, cuyo valor puede er determinado poniendo t. Con eto medio auxiliare podemo ahora determinar el número de número primo que on menore que x. Sea F(x, cuando x no ea un número primo, igual a dicho número, pero cuando x ea un primo, ea mayor en de forma que para un x donde F(x tiene un alto, e tenga Si utituimo ahora en F(x F(x + + F(x. log ζ( log( p p + encontramo donde f(x denota p por x dx, p log ζ( p + 3 p 3 + p por x dx,..., p f(xx dx, F(x + F(x + 3 F(x 3 + Eta ecuación e válida para cada valor complejo a + bi de con a >. Pero cuando, bajo eta condicione, e verifica g( h(xx dlog x, podemo con ayuda del teorema de Fourier exprear la función h por medio de la función g. Eta ecuación, cuando h(x e real y e decompone en la do iguiente: g (b g(a + bi g (b + ig (b, ig (b i Si multiplicamo amba ecuacione por h(xx a co(blog xdlog x, h(xx a en(blog xdlog x. ( co(blog y + ien(blog y db

5 PRIMOS MENORES QUE UNA MAGNITUD DADA 5 e integramo entre y +, e obtiene en amba, en el miembro derecho, por el teorema de Fourier πh(yy a, umando la do ecuacione y multiplicando por iy a obtenemo h(y a+ i g(y d, donde la integración debe realizare de forma que la parte real de permanezca contante. La integral, para un valor de y en el que la función h(y tiene una dicontinuidad de alto, toma el valor medio de lo valore de h a ambo lado de la dicontinuidad. La función f(x fue definida de tal modo que también tiene eta propiedad, tenemo por tanto con toda generalidad f(y a+ i log ζ( y d. Podemo utituir log ζ por la expreión hallada anteriormente ( logπ log( logπ + α ( log + ( + logξ(; α pero la integrale de cada término de eta expreión, tomada hata el infinito, no convergen, por tanto e conveniente primero tranformar la ecuación por integración por parte en Como para m, e tiene f(x log x a+ i d log ζ( d x d. ( (nm ( logπ lim log + n logm, d log Π( d n d ( log + n, d todo lo término de la expreión de f(x con la excepción de log x a+ i logξ(x d logξ( tienen la forma ± log x a+ i ( d ( log β d x d. N. del T. Ver nota del editor aleman

6 6 B. RIEMANN Pero ( d ( log β dβ (β β y, cuando la parte real de e mayor que la parte real de β, o bien a+ i x d (β β x x β dx x x β dx, dependiendo de la parte real de β ea negativa o poitiva. Aí pue ( a+ i d ( log β x d a+ i log x d y x x log ( β x β dx + cont. en el primer cao logx x β dx + cont. en el egundo cao logx x d En el primer cao podemo determinar la contante de integración haciendo la parte real de β negativa e infinita. En el egundo cao la integral de a x toma do valore que difieren en egún que e iga un camino de integración con valore complejo de argumento poitivo o negativo, y erá infinitamente pequeño, para el primer camino cuando el coeficiente de i en el valor de β ea infinito y poitivo, in embargo en el egundo camino, cuando ete coeficiente ea infinito y negativo. Eto no eneña como debemo determinar log ( β tal modo que la contante de integración deaparezca. Poniendo eto valore en la expreión de f(x obtenemo 3 f(x Li(x α + x ( Li(x +αi + Li(x αi dx x xlog x + logξ(, en el miembro izquierdo de donde la uma α e obre toda la raíce poitiva (o con parte real poitiva de la ecuación ξ(α, ordenada de acuerdo con u tamaño. E poible, mediante un etudio ma profundo de la función ξ, probar fácilmente que, mediante ete orden de la raíce la uma de la erie ( Li(x +αi + Li(x αi log x 3 N. del T. Ver nota del editor aleman α

7 coincide con el valor límite de PRIMOS MENORES QUE UNA MAGNITUD DADA 7 a+bi a bi d log ( + ( / α d x d al crecer b in límite; ordenándola de modo diferente, in embargo, puede tomar cualquier valor real. A partir de f(x podemo encontrar F(x invirtiendo la relación f(x n F(x/n encontrando F(x ( µ m f(x/m, donde m recorre la erie de lo número naturale no diviible por un cuadrado a parte de y donde µ deigna el número de factore primo de m. Si retringimo α a un número finito de término, entonce la derivada de la expreión de f(x, e decir, alvo por un término que decrece rápidamente con x, la expreión log x co(α logxx logx α e una aproximación de la denidad de lo primo + la mitad de la denidad de lo cuadrado de lo primo + 3 la denidad de lo cubo de lo primo, etc., de magnitud x. La conocida aproximación F(x Li(x e válida ólo hata un orden de magnitud x y da un valor algo mayor; ya que lo término no periódico en la expreión de F(x on, alvo por cantidade que no e hacen infinita con x: Li(x Li(x 3 Li(x 3 5 Li(x Li(x 6 7 Li(x 7 + De hecho la comparación de Li(x con el número de primo menore que x realizada por Gau y Goldchmidt y que fue realizada hata x tre millone, muetra que el número de primo e ya menor que Li(x en lo primero ciento de mile y que la diferencia, con fluctuacione menore, e incrementa gradualmente al crecer x. Pero el epeamiento y enrarecimiento de lo primo, dependiente de lo término periódico han ido también obervado en la cuenta de lo primo, in que, in embargo, e haya coniderado la poibilidad de etablecer una ley para ete comportamiento. Sería intereante en una futura cuenta examinar la influencia de cada término periódico. Un comportamiento ma regular que el de F(x e el de f(x que ya en el primer ciento e en promedio muy próximo a Li(x + logξ(. Reference [] Jacobi, Fundamenta Nova, (Jacobi Obra completa Tomo I, p. 35.

8 8 B. RIEMANN NOTAS. H. Weber Noviembre, 859 La que iguen on nota de lo editore de la obra completa de Riemann al artículo obre la ditribución de lo número primo. En una carta, cuyo borrador e encuentra entre lo papele dejado por Riemann, e lee, depue de la comunicación de lo reultado de u trabajo, la iguiente nota: No he podido completar la demotración y quiero con repecto a ello... añadir la nota, que lo do teorema que no he hecho má que enunciar aquí: que entre y T exiten aproximadamente T π log T π T π raíce reale de la ecuación ξ(α. que la erie ( α Li(x +αi + Li(x αi, cuando u término e ordenan egún el orden creciente de α, tiende hacia el mimo límite que la expreión cuando b crece in límite. log x a+bi a bi d log ξ ( ( i ξ( d x d on conecuencia de un nuevo dearrollo de la función ξ que todavía no he podido implificar uficientemente para poder comunicarlo. A pear de mucha invetigacione poteriore (Scheibner, Pilz, Stieltje la obcuridade de eta cuetión no han podido todavía er aclarada. ( El comportamiento de la función ζ( e deduce uando la egunda forma de eta función ( x dx ζ( πiπ( e x 99 Mathematic Subject Claification. 5. Key word and phrae. Número primo, función zeta. Publicado originalmente en Monatberichte der Berliner Akademie Typeet by AMS-TEX

9 PRIMOS MENORES QUE UNA MAGNITUD DADA 9 y teniendo en cuenta que el dearrollo de contiene potencia pare. e x + en erie de potencia de x ólo ( La expreión de ete teorema no e enteramente exacta. La do ecuacione, tratada en el modo indicado, proporcionan, ( cuando lo límite de integración, e refieren a log x, πy (h(y α ± h y y, por coniguiente, al umarla dan la fórmula del texto. (3 La función Li(x para valore reale de x mayore que etá definida por la integral x dx log x ± πi, donde e debe coniderar el igno uperior o el inferior egún que la integración e realice para valore complejo con argumento poitivo o negativo. De eta expreión e deduce fácilmente el dearrollo dado por Scheibner (Schlömilch Zeitchrift Bd. V Li(x log log x Γ ( + x, (log x n, n n! que e válida para todo valor de x, preentando una dicontinuidad para valore reale y negativo. (Comparar la correpondencia entre Gau y Beel. Si e realiza el cálculo indicado por Riemann, e obtiene en la fórmula log en lugar de log ξ(. Poiblemente un fallo en la ecritura o una errata, ecribiendo log ξ( en lugar de log ζ(, de hecho ζ(.4 Traducido por Juan Aria de Reyna. 4 N. del T. A pear de lo que dicen lo editore ζ( /, poiblemente una errata in importancia.

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