Práctica 7. Integración de funciones de dos variables. Teorema de Fubini. Cambio de variable a coordenadas polares.

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1 Práctica 7. Integración de funciones de dos variables. Teorema de Fubini. Cambio de variable a coordenadas polares. Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas. Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión Integración con Mathematica Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones: Integrate[expresión, variable] Calcula la integral indefinida de la expresión dada con respecto a la variable indicada Integrate[expresión,{variable,a,b}] Calcula la integral definida de la expresión dada con respecto a la variable indicada en el intervalo [a,b]. Ambas instrucciones pueden también indicarse directamente mediante los símbolos: Ÿ Ñ Ñ (integral indefinida) Ÿ Ñ Ñ Ñ Ñ (integral definida) IntegrateAx x x, xe 7x + 3x5 5 + x6 6 Ix x xm x 7x + 3x5 5 + x6 6 Integrate@Sin@xD, 8x,, π<d

2 Practica7_Integrales_dobles.nb π x La opción Filling del comando Plot será de gran utilidad porque nos permite representar gráficamente la región comprendida entre dos funciones PlotA9x, x + =, 8x,, <, Filling 8 8<<E Ejemplo Calcular el valor de las siguientes integrales iteradas: ü (a) Ÿ-Ÿ-x - y y x Dibujamos el dominio de integración (en este caso es un rectángulo). Plot@8, <, 8x,, <, Filling 8 8<<D Integramos primero respecto a y

3 Practica7_Integrales_dobles.nb 3 Hx^ y^l y x y el resultado que hemos obtenido lo integramos con respecto a x x x También podemos calcular la integral doble directamente: 8 Hx^ y^l y x ü (b) Ÿ 4 Ÿ x ye -x y x Dibujamos el dominio de integración PlotB:, x >, 8x,, 4<, Filling 8 8<<F Integramos primero respecto a y x H y x L y x H + xl y el resultado que hemos obtenido lo integramos con respecto a x

4 4 Practica7_Integrales_dobles.nb 4 H x H + xll x NB H x H + xll xf.9467 Ejemplo Dibujar la región D cuya área está dada por la 4-x integral iterada Ÿ -Ÿ- y x. Después cambiar el orden 4-x de integración y comprobar que ambas integrales coinciden. Dibujamos el dominio de integración PlotB: 4 x, 4 x >, 8x,, <, AspectRatio Automatic, Filling 8 8<<F Estamos calculando el área del círculo x + y 4. Evaluamos la integral iterada 4-x y x x 4 π Si intercambiamos el orden de integración - y y para cada valor fijo de y necesitamos calcular los límites de integración para x

5 Practica7_Integrales_dobles.nb 5 Solve@x^+ y^ 4, xd ::x 4 y >, :x 4 y >> Evaluamos la integral iterada intercambiando el orden de integración. 4-y x y y 4 π Ejemplo 3. Evaluar Ÿ Ÿx -y y x cambiando el orden de integración. Dibujamos el dominio de integración Plot@8x, <, 8x,, <, AspectRatio Automatic, Filling 8 8<<D Si intercambiamos el orden de integración y y para cada valor fijo de y se tiene que x y. Evaluamos la integral iterada intercambiando el orden de integración. y -y x y 4 NB y -y x yf.4984

6 6 Practica7_Integrales_dobles.nb Ejemplo 4. Calcular el volumen del sólido limitado por z = 9 - x - y, z =. Dibujamos el sólido g := Plot3DA9 x y, 8x, 4, 4<, 8y, 4, 4<E g := Plot3D@, 8x, 4, 4<, 8y, 4, 4<D Show@g, g, PlotRange 8, <D Dibujamos el dominio de integración: será la intersección de la superficie z = 9 - x - y con el plano z =.

7 Practica7_Integrales_dobles.nb 7 ContourPlotA9 x y, 8x, 3, 3<, 8y, 3, 3<E Calcuamos la integral doble como una integral iterada Solve@89 x^ y^, y <, xd 88x 3<, 8x 3<< Solve@9 x^ y^, yd ::y 9 x >, :y 9 x >> 3 9 x 3 8 π 9 x H9 x^ y^l y x a Ejemplo 5 Calcular Ÿ Ÿ polares: a -x x y x pasando a coordenadas Dibujamos el dominio de integración en función del parámetro a.

8 8 Practica7_Integrales_dobles.nb ManipulateB PlotB:, a^ x^ >, 8x,, a<, AspectRatio Automatic, Filling 8 8<<F, 8a,., <F a Se trata en cada caso de un cuarto del círculo de radio a, que en coordenadas polares se expresa como < r a, q pê. a πê Hr Cos@θDL r θ r a 3 3 Ejemplo 6. Utilizar coordenadas polares para evaluar la integral doble Ÿ Ÿ D f Hx, yl A siendo f Hx, yl = x + y, D = 9Hx, yl : x + y 4, x, y =. Se trata de un cuarto de círculo de radio, que en coordenadas polares se expresa como < r, q pê. Dibujamos el dominio de integración en coordenadas polares

9 Practica7_Integrales_dobles.nb 9 PolarPlotB8, <, :θ,, π >F πê Hr Cos@θD + r Sin@θDL r r θ 6 3 Comparamos con el valor de la integral en coordenadas rectangulares x^ Hx + yl y x Ejercicios propuestos y Ejercicio. Calcular Ÿ Ÿy + x + y x y utilizando los dos órdenes posibles. Ejercicio. Dibujar la región D cuya área está dada por la 4-y integral iterada Ÿ -Ÿ x y. Después cambiar el orden de integración y comprobar que ambas integrales coinciden. Ejercicio 3. Calcular el volumen del sólido limitado por

10 Practica7_Integrales_dobles.nb z =, z =, x =, y =, y =-.5 x +. +x +y Ejercicio 4. Calcular la integral Ÿ Ÿ -x xy y x pasando a coordenadas polares Ejercicio 5. Utilizar coordenadas polares para evaluar la integral doble Ÿ Ÿ D f Hx, yl A siendo f Hx, yl = arctanhy ê xl, D = 9Hx, yl : x + y 4, y x=.