4. CAMBIO DE VARIABLE EN LAS INTEGRALES MÚLTIPLES

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1 8 4. CAMIO E VARIALE EN LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En esta sección se presenta una alternativa para resolver integrales múltiples cuando el proceso de determinar las antiderivadas parciales es muy complicado o riguroso. Para ello es necesario definir transformaciones geométricas de y 3 3 ; posteriormente se enuncian los teoremas de cambios de variables para integrales dobles y triples, sugiriendo los sistemas de coordenadas más empleados: Sistema polar para integrales dobles y los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas para integrales triples. 4. INTROUCCIÓN Recuerde que emplear un cambio de variable de un integral definida implica que el cambio afecta: el intervalo de integración, el integrando y la diferencial. En el cálculo integral, para evaluar una integral definida de una función real de variable real en un intervalo cerrado [ a,b ] existe un teorema que permite cambiar la variable de integración con la finalidad de resolver dicha integral de una manera más sencilla. La expresión: g c,d a,b ([ ]) [ ] Significa que las imágenes de la función g son un subconjunto de [ a,b ]. TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral efinida Sea f :[ a, b] una función continua y g: [, ] función derivable con derivada g ( t) de clase C ) tal que g ([ c,d] ) [ a,b] c d una continua (es decir, g es, entonces x= g t () CV dx = g t dt CLI t = c x = g c = a t = d x = g d = b Para resolver la integral del segundo miembro de la ecuación IV. se realiza el cambio de variable, CV, y el cambio de los límites de integración, CLI, señalado en la parte inferior izquierda de esta página. b a d = f xdx f g t g t dt (IV.) c

2 9 Cuando se desea resolver una integral doble empleando un cambio de variable, el proceso resulta más complicado pues se deben cambiar ambas variables x y y por las variables u y v, por ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación geométrica del tipo. 4. TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA E Una transformación geométrica del tipo se realiza cuando una región bidimensional del plano xy se transforma o convierte en una nueva región bidimensional del plano uv. Esta transformación se realiza por medio de una función T:. Sea T una función definida como T:, tal que: ( ) T u,v = T u,v,t u,v (IV.) En otras palabras, la función T transforma todo punto ( u,v). en un punto ( x,y) onde: T ( u,v) Por lo tanto, la función de transformación es: = x (IV.3) T ( u,v) = y (IV.4) ( x,y) T u,v = (IV.5) La cual suele escribirse como: T u,v T u,v x = = T ( u,v) y (IV.6)

3 30 Por otra parte, como se busca resolver una integral doble f x,y da empleando un cambio de variable, observe que al componer las funciones f con T, se obtiene: ( ) f ( u,v) f T u,v = (IV.7) En la figura 4. se observa la transformación geométrica de la región en la región, la cual se realiza por medio de la función T. Figura 4. Transformación geométrica de la región en la región TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral oble Sea f : una función continua de las variables x y y es Una matriz T ( u,v) inversible cuando su determinante es no nulo en todos los puntos u,v. Por otra parte: = T = T por lo cual T debe ser inyectiva. La expresión: f ( T( u,v )) también suele escribirse: f T u,v,t u,v ( ) definida en la región. Sea T una función inyectiva que transforma los puntos ( u,v) en ( x,y) mediante la expresión T( u,v) ( x,y) clase C y que la derivada T ( u,v) ( u,v), entonces:, =. Suponga que T es de es una matriz inversible ( x,y) ( u,v) f ( x, y) da = f ( T ( u,v) ) dudv (IV.8)

4 Al determinante del jacobiano: ( x,y) ( u,v) también se le llama jacobiano. El término ( x, y) ( u,v) se obtiene como: 3 se conoce como determinante del jacobiano y x x ( x,y) u v = det (IV.9) ( u,v) y y u v O también suele escribirse como: xu xv ( x,y) = det ( u,v) yu y v (IV.0) Sin embargo, en algunas ocasiones, se desconoce la transformación T( u,v) ( x,y) = más apropiada. En estos casos, se propone una transformación inversa del tipo T ( x,y) ( u,v) =, la cual vendrá dada por las ecuaciones que limitan a la región o por la función integrando. Cuando se presenta esta situación, el jacobiano ( x,y) ( u,v) se obtiene mediante la propiedad: ( x,y) ( u,v) ( u,v) ( x,y) = (IV.) En donde: ux uy ( u,v) = det ( x,y) vx v y (IV.) Por lo tanto, el teorema de cambio de variable para integrales dobles puede escribirse como:

5 3 f ( x, y ) da = f ( T ( u,v )) dudv (IV.3) ( u,v) ( x,y) Recuerde que : da representa el área de la región. La demostración del teorema de cambio de variable en una integral doble es muy rigurosa; sin embargo, seguidamente se prueba dicho teorema en el caso particular que la función integrando, f, es igual a la unidad, es decir: ( x,y) ( u,v) da = dudv (IV.4) emostración del Teorema de cambio de variable en una integral doble, cuando la función integrando es igual a la unidad: Considere una región definida como: { } = u,v u u u + u v v v + v (IV.5) La cual se aprecia en la figura 4. Figura 4. Una región en el plano uv Por lo tanto la región es un rectángulo cuyos vértices son los puntos: A ( u,v), ( u + u,v ), C ( u,v v) 0 0 ( u0 + u,v0 + v) y 0 0

6 33 Considere ahora, una función de transformación T( u,v ), la cual puede aproximarse como: T u,v T u,v T u v (IV.6) onde T es la derivada de T evaluada en ( u,v 0 0). La imagen del rectángulo bajo el efecto de la transformación T propuesto en la expresión IV.6 se muestra en la figura 4.3 Figura 4.3 Región bajo el efecto de la expresión IV.6 Los vectores u i y v j son: u ui = 0 0 v j = v Por otra parte, x u x y u = u, u y u u u x v x y v = v, v y v v v Entonces, la aproximación de T, planteada en IV.6, transforma al rectángulo en un paralelogramo con vértice en T( u 0,v 0) y con lados adyacentes, correspondientes a los vectores: T u i como: y T ( v j ) u y v, definidos por, los cuales pueden escribirse x x x u v u u T ( ui ) = = u y y 0 y u v u x x x u v 0 v T ( vj ) = = v y y v y u v v (IV.7) (IV.8)

7 El área de un paralelogramo cuyos lados están definidos por los vectores: ( a,b ) y ( c,d ) Se obtiene como el valor absoluto del determinante: a b a c = c d b d Recuerde que u y v son longitudes, por lo tanto: u = u v = v 34 onde las derivadas parciales de las ecuaciones IV.7 y IV.8 están evaluadas en ( u,v 0 0). Luego, el área del paralelogramo de la figura 4.3 está dada por: x x x x x x u v u v u v u v det = det u v = det u v y y y y y y u v u v u v u v Empleando la ecuación IV.9, se tiene: x x u v u v ( x,y) ( x,y) det = u v = u v y y ( u,v) ( u,v) u v u v (IV.9) (IV.0) Ahora, si la región es dividida en pequeños rectángulos con lados de longitud u y v, y se emplea la aproximación de T planteada en IV.4, estos rectángulos son transformados en pequeños paralelogramos cuyos lados están definidos por los vectores x y u, u u u paralelogramo se obtiene como y x y v, v, donde el área de cada v v ( x,y) ( u,v) T, denotada A T( ) se puede aproximar como: A ( ) T ( x,y) ( u,v) u v, entonces el área de u v (IV.) Luego tomando el límite cuando expresión anterior, resulta: u y v tienden a cero, en la A ( ) T ( x,y) ( u,v) = dudv (IV.)

8 35 Entonces, queda demostrada la ecuación da = ( x,y) ( u,v) dudv En la figura 4.4 se aprecia la transformación de la región pr medio de T. Figura 4.4 Transformación T en una región EJEMPLO 4. Calcular la integral doble da, empleando un cambio de + xy variable adecuado, donde es la región del plano en el primer cuadrante limitada por y = x, y = x, xy = y xy =. Solución: A continuación se muestra el recinto. y = x (, ) y = x En este ejemplo, la transformación T( u, v) = ( x, y) no está dada por lo cual a partir de la gráfica se propone una transformación T x, y = u, v, y = x Figura 4.5 (, ) Región del ejemplo 4. (, ) y= x

9 36 A partir de la gráfica anterior, se propone el siguiente cambio: Con el cambio propuesto se obtiene la región y y = x = u = x y y = x = u = x xy = v= xy = v = Es decir: y, xy =, x ( uv ) (, ) = (, ) T x y u v Con este cambio de variable, la región de integración cambia mediante la expresión T =, por lo tanto: { } = u,v u v En la figura 4.6 se observa la transformación de la región a la región. T v = Por medio de la tranformación T, la nueva región de integración es una región rectangular. Valor de u a la entrada de u = Valor de u a la salida de u = v = Figura 4.6 Transformación de la región en del ejemplo 4. Para poder resolver la integral doble pedida empleando el cambio de variable, se necesita determinar el jacobiano cual se emplea la propiedad IV.0, luego ( x, y) ( u,v), para lo Recuerde que: y u x = v xy y ( u,v) x x y y y = det = = = u ( x,y) x x x y x

10 37 Empleando la ecuación IV. se tiene que: I = da = dudv = dudv xy v u v u ln I = dv = ln ln ln ( + v) ( 3) 3 da = ln ln ln + xy EJEMPLO 4. Calcular la integral doble y x cos da, empleando un cambio y+ x de variable adecuado, donde es la región mostrada a continuación. C C C 4 Figura 4.7 C 3 Región del ejemplo 4.

11 38 Solución: eterminando las ecuaciones de las curvas que limitan a la región se tiene: C : x= 0 C : y = x y+ x= C : y = 0 3 C : y = x y+ x= 4 Con el cambio propuesto se obtiene la región y+ x= v= y+ x= v= u = x y = 0 v= x y = 0 u = v u = y x = 0 v = y x = 0 u = v A partir de la función integrando f ( x y) una transformación del tipo T ( x, y) ( u, v) y x u = y + x v Entonces: y x, = cos, se propone y+ x = : { } = u,v v u v v La figura 4.8 muestra la transformación de la región a la región por medio de T. T v = Por medio de la tranformación T, la nueva región de integración es una región tipo. Valor de u a la entrada de u = v Valor de u a la salida de u = v v = Figura 4.8 Transformación de la región en del ejemplo 4.

12 Recuerde que: y x u T ( x, y) = = y+ x v 39 ( x, y) Calculando el jacobiano, se tiene que: ( u,v) ( u,v) = det = = ( x,y) Empleando la ecuación IV. se tiene que: y x v u 3 I = cos da cos dudv sen vdv sen = y x v = = + v () () y x 3 cos da = sen y+ x () 4.. TRANSFORMACIÓN A COORENAAS POLARES En el APÉNICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas polares. A continuación se describe un caso particular del cambio de variable para integrales dobles: cambio a coordenadas polares. x,y da, Considere que se desea calcular una integral doble donde es una región como la mostrada en la figura 4.9. f x + y = r x + y = r Figura 4.9 Una región general

13 40 La región está definida como sigue: { ( θ) ( θ) } = x,y r x + y r tg x y tg x (IV.3) Para expresar dicha región en coordenadas polares, denotada, es necesario hacer la trasformación de coordenadas T:, señalada en la expresión IV.4: ( θ) ( θ θ) T r, = r cos,rsen = x, y (IV.4) Para que la función: T: sea inyectiva es necesario que: 0 θ < Por lo tanto la región es: {( θ ) θ θ θ} = r, r r r (IV.5) En la figura 4.0 se observa como la región del plano rθ es transformada a través de la función T en la región del plano xy. Figura 4.0 Transformación de la región en la región a través de T( r, θ ) = ( x,y) Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral doble, se tiene: ( x,y) ( r, θ ) f ( x,y) da = f ( r cos θ,rsenθ) drdθ (IV.6)

14 4 En donde el jacobiano de la transformación es: Recuerde que: rcosθ x T( r, θ ) = = rsenθ y Y que la identidad fundamental es: cos θ + sen θ = x x cosθ rsenθ ( x,y) r θ = det = det = r cos θ + rsen θ ( r, θ ) y y senθ r cosθ r θ ( x,y) ( r, θ ) ( θ θ) = r cos + sen = r (IV.7) Por lo cual se puede enunciar el siguiente teorema de cambio a coordenadas polares de una integral doble. TEOREMA: Cambio a coordenadas polares en una integral doble Sea f : una función continua en un rectángulo, definido por 0 θ θ <, entonces: { θ θ θ θ} = r, r r r, donde = f x,y da f r cos θ,rsen θ rdrd θ (IV.8) En algunas ocasiones, la región es más general que la planteada anteriormente, tal como la región que se ilustra a continuación: Figura 4. Una región más general

15 4 Entonces, la región de la figura 4. puede expresarse en coordenadas polares como sigue: {( θ ) ( θ) ( θ) θ θ θ} = r, r r r (IV.9) Al emplear la ecuación de cambio de variable IV.9 resulta: θ r θ = f x,y da f r cos θ,rsenθ rdrdθ (IV.30) θ r ( θ) Existen, también, regiones generales, que en coordenadas polares, quedan definidas como: En estos casos: {( θ) θ θ θ} = r, r r r r r (IV.3) r θ r = f x,y da f r cos θ,rsen θ rd θ dr (IV.3) θ r r EJEMPLO 4.3 Calcular la integral doble 4 y 0 4 y variable a coordenadas polares. dxdy, empleando un cambio de Solución: Este ejercicio se resolvió en el sistema de coordenadas cartesianas en el ejemplo.5 parte c del capítulo, y se obtuvo que: 4 y dxdy = 0 4 y La región está definida como {(, ) } = x y y x y y La función integrando es f ( x,y ) = y la función de transformación a coordenadas polares es T( r, θ ) ( rcos θ,rsenθ) =, entonces, al componer las funciones f con T, se obtiene: f T r,θ =

16 43 Al emplear la transformación a coordenadas polares, se deben definir lo nuevos límites de integración, por lo que, en la figura 4. se muestran, sobre la gráfica de la región, los valores de r y θ a la entrada y salida de dicha región. Valor de r a la salida de r = Valor de θ a la salida de θ = Valor de r a la entrada de r = 0 Figura 4. Valor de θ a la entrada de θ = 0 Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.3 Por lo tanto la región, que se observa en la figura 4.3, está definida como: Resolviendo la integral resulta: {( θ ) 0 0 θ } = r, r Figura 4.3 Región ejemplo y dxdy = rdrd = d = 0 4 y θ θ 0 0 rdrdθ =

17 EJEMPLO Calcule el área de la corona circular cuyos radios exterior e interior son 4 y, respectivamente, empleando coordenadas polares. Solución: En el ejemplo 3.3 del capítulo 3, y se obtuvo que: A= dydx= La región, se define como: {(, ) 4 6 } = x y x + y En la siguiente figura se muestran los valores de r y θ a la entrada y salida de la región. Valor de r a la salida de r = 4 Valor de r a la entrada de r = θ = θ = 0 Figura 4.4 Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.4 Entonces, la región, tal como se ilustra en la figura 4.5, es: {( θ ) 4 0 θ } = r, r Luego el área se obtiene como: Figura 4.5 Región ejemplo A= rdrdθ = 6dθ = rdrdθ =

18 EJEMPLO Calcule el volumen del sólido S acotado por las superficies: z x y = + y z 0 x y =, empleando integrales dobles y coordenadas polares. Solución: En el ejemplo 3.4 del capítulo 3, y se obtuvo que: V = 9, En coordenadas cartesianas, el volumen del sólido S, que se aprecia en la figura 4.6, viene dado por: = 0 + V x y x y da donde {, 4 } = x y x + y En la figura 4.7, donde se aprecia la región, se señalan los valores de r y θ a la entrada y salida de dicha región. Figura 4.6 Sólido S del ejemplo 4.5 Valor de r a la salida de r = θ = Valor de r a la entrada de r = 0 θ = 0 Figura 4.8 Región ejemplo 4.5 Figura 4.7 Valores de r y θ para el cálculo de la integral doble del ejemplo 4.5 Como: rcosθ x T( r, θ ) = = rsenθ y Entonces: x + y = r cosθ + rsenθ x + y = r onde { θ 0 0 θ } = r, r Entonces, al emplear la ecuación IV.8, se tiene que: V = x y x + y da = r r rdrdθ

19 46 V = 5 dθ 5 9, = Finalmente: θ = r r rdrd TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA E 3 3 e manera similar a una transformación de transformación geométrica del tipo 3 3, una se emplea cuando se desea convertir o transformar una región tridimensional del espacio xyz en una nueva región del espacio tridimensional uvw. Sea T una función definida como 3 3 T:, tal que: Por lo tanto, la función T transforma todo punto ( u,v,w) en un. punto ( x,y,z) onde: ( 3) T u,v,w = T u,v,w,t u,v,w,t u,v,w (IV.33) T ( u,v,w) = x (IV.34) T ( u,v,w) = y (IV.35) La función T también suele escribirse como: T ( u,v,w) x T( u,v,w) = T ( u,v,w) = y T3 ( u,v,w) z Entonces, la función de transformación T es: T3 ( u,v,w) = z (IV.36) ( x,y,z) T u,v,w = (IV.37)

20 47 TEOREMA: Cambio de Variable en una Integral Triple Sea f : 3 una función continua definida en la región 3. Sea T una función inyectiva que transforma los 3 puntos ( u,v,w) en ( x,y,z) expresión T( u,v,w) ( x,y,z) y que la derivada T ( u,v,w) ( u,v,w), entonces: 3, mediante la =. Suponga que T es de clase C = ( ) es una matriz inversible ( x,y,z) ( u,v,w) f x, y,z dv f T u,v,w dudvdw (IV.38) El jacobiano ( x, y,z) ( u,v,w) se obtiene como: El jacobiano también se denota como: xu xv xw ( x,y,z) = det yu yv y w ( u,v,w) zu zv z w x x x u v w ( x,y,z) y y y = det ( u,v,w ) u v w z z z u v w (IV.39) Existen dos casos particulares de cambios de variables para integrales triple, los cuales consisten en cambiar el sistema de coordenadas de rectangular a: coordenadas cilíndricas o coordenadas esféricas.

21 TRANSFORMACIÓN A COORENAAS CILÍNRICAS En el APÉNICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas cilíndricas. A continuación se describe como emplear un cambio de variable a coordenadas cilíndricas para resolver una integral triple. Considere que se desea calcular una integral triple f x,y,z dv, donde es un recinto como el mostrado en la siguiente figura. z = z ( x,y) z = z ( x,y) Figura 4.9 Una región general La región está definida como sigue: { } = x,y,z x,y z x,y z z x,y (IV.40) onde es la proyección del sólido sobre el plano xy. Si Figura 4.0 Proyección de la región sobre el plano xy dicha región puede expresarse en coordenadas polares, entonces la función de transformación a coordenadas cilíndricas, 3 3 definida T:, viene dada por: ( θ ) ( θ θ ) T r,,z = r cos,rsen,z = x, y,z (IV.4) Por lo tanto la región es:

22 49 {( θ ) θ θ θ ( θ) ( θ) } = r,,z r r r z r, z z r, (IV.4) Para emplear el teorema de cambio de variable en una integral triple, se debe determinar el jacobiano de la transformación: La función T de transformación a coordenadas cilíndricas, también se escribe como: rcosθ x T ( r, θ,z) = rsenθ = y z z x x x cosθ rsenθ 0 r θ z ( x,y,z) y y y = det = det sen r cos 0 = r cos + rsen ( r, θ,z) r θ z z z z 0 0 r θ z θ θ θ θ ( x,y,z) ( r, θ,z) ( θ θ) = r cos + sen = r (IV.43) Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas cilíndricas en una integral triple queda enunciado como sigue: TEOREMA: Cambio a coordenadas cilíndricas en una integral triple Sea f : 3 una función continua en una región tridimensional, definido como: {( θ ) θ θ θ ( θ) ( θ) } = r,,z r r r z r, z z r,, donde 0 θ θ <, entonces: = f x,y,z dv f r cos θ,rsen θ,z rdzdrd θ (IV.44)

23 EJEMPLO 4.6 En el ejemplo.5 del capítulo, y se obtuvo que: 9 xyzdv = 8 50 Evalúe la integral triple xyzdv, empleando coordenadas cilíndricas, donde está definida como: { } = x,y,z x + y + z, x + y, x, y, z Solución: El sólido, junto con su proyección en el plano, xy se muestran a continuación, en la figura 4. Valor de z a la salida de z = 4 r Cambiando la ecuación de la esfera x + y + z = 4 a coordenadas cilíndricas se tiene: z = 4 x y = 4 r Figura 4. Valor de z a la entrada de z = 0 Región del ejemplo 4.6 Entonces, en coordenadas cartesianas: 0 4 x y I = xyzdv = xyzdzda donde es la proyección de la región en el plano xy. Lo que interesa a continuación es definir dicha región, mostrada en la figura 4., en coordenadas polares, la cual se denota como.

24 5 Valor de r a la salida de r = θ = Valor de r a la entrada de r = θ = 0 Figura 4. Región del ejemplo 4.6 Así, la región en coordenadas polares es: = ( r, θ) r 0 θ Por otra parte, al componer la función integrando, f ( xyz,, ) = xyz, con la función de transformación, T ( r, θ,z) ( r cos θ,rsen θ,z) obtiene: = = =, se f T r, θ,z r cosθ rsenθ z r cosθsenθ z Por lo tanto la integral triple es: 4 r = xyz dv r cosθ senθz r dzdrdθ 0 0 r ( 4 r ) 3 xyz dv = cos sen drd 0 θ θ θ 9 9 xyz dv = cosθsenθ dθ = r 3 r cos sen z dzdrd 0 0 θ θ θ = 9 8

25 EJEMPLO 4.7 Evalúe la integral triple 5 xyz dv, donde es la región del primer octante comprendida entre los conos, z ( x y ) = + y z = x + y y el plano z = 4, empleando coordenadas cilíndricas. En el ejemplo.6 del capítulo, y se obtuvo que: xyz dv = 64 Solución: El sólido, junto con su proyección en el plano, xy se muestran a continuación, en la figura 4.3 Recuerde que las funciones del tipo z = f ( x, y) deben expresarse en función de r y θ, por lo tanto: z = x + y = r y z = x + y = r Valor de z a la salida de z = 4 Valor de z a la entrada de z = r Valor de z a la salida de z = r Valor de z a la entrada de z = r Figura 4.3 Sólido del ejemplo 4.7 Como el valor de z cambia a la salida del sólido, entonces, en coordenadas cartesianas: xyz dv xyz dzda xyz dzda 4 x + y = + x + y x + y donde y son las proyecciones del sólido en el plano xy. ichas regiones y se pueden expresar en coordenadas polares fácilmente, lo cual se aprecia en las siguientes figuras.

26 53 Valor de r a la salida de r = 4 θ = Valor de r a la entrada de 8 r = Recuerde que al definir una región en coordenadas polares, dicha región se denota θ = 0 Figura 4.4 Región del ejemplo 4.7 Valor de r a la salida de 8 r = θ = Valor de r a la entrada de r = 0 θ = 0 Figura 4.5 Región del ejemplo 4.7 Ecuación de transformación a coordenadas cilíndricas rcosθ x T ( r, θ,z) = rsenθ = y z z e las figuras 4.4 y 4.5 se tiene que: = ( r, θ) 8 r 4 0 θ = ( r, θ) 0 r 8 0 θ Como la función integrando es f ( xyz,, ) = xyz, entonces: = = f T r, θ,z r cosθ rsenθ z r cosθsenθ z

27 54 Entonces la integral, en coordenadas cilíndricas, queda como sigue: I = xyz dv = r cosθ senθz r dzdrdθ r r r r cosθsenθz r dzdrdθ ( 6 ) 4 r 3 r 8 r 5 I = cosθ senθ drdθ + cosθsenθ drdθ I = cosθ senθdθ + cosθsenθdθ I = + = Entonces: r 3 3 r cos sen z dzdrd 0 8 r 0 0 r θ θ θ + r cosθsenθz dzdrdθ = TRANSFORMACIÓN A COORENAAS ESFÉRICAS En el APÉNICE A, se presenta un repaso del sistema de coordenadas esféricas. Otro cambio de variable ampliamente empleado en las integrales triples consiste en cambiar las coordenadas del sistema rectangular al sistema esférico. Considere una integral triple f x,y,z dv, donde es una región tridimensional como la mostrada en la siguiente figura.

28 55 z = z ( x,y) z = z ( x,y) Figura 4.6 Una región general onde la región puede escribirse de una manera sencilla si se emplea una transformación T a coordenadas esféricas, definida 3 3 T:, viene dada por: ( ρθφ) ( ρ θ φ ρ θ φ ρ φ) T,, = cos sen, sen sen, cos = x, y,z (IV.45) Entonces, la región es: {( ρ θφ) ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ} =,, (IV.46) La función T de transformación a coordenadas esféricas, también se escribe como: ρcosθsenφ x T ( ρθφ,, ) = ρsenθsenφ = y ρcosφ z Para emplear un cambio de variable en una integral triple, se debe determinar el jacobiano de la transformación, entonces: x x x cosθ senφ ρcosθcosφ ρsenθsenφ ρ φ θ ( x,y,z) y y y = det = det senθ senφ ρsenθcosφ ρcosθsenφ ( ρφθ,, ) ρ φ θ z z z cosφ ρsenφ 0 ρ φ θ ( x,y,z) ( ρφθ,, ) 3 ( ρ sen θsen φ) ( ρ cos θcos φsenφ) = ρ sen θcos φsenφ ρ cos θsen φ

29 56 ( x,y,z) ( ρφθ,, ) ( x,y,z) ( ρφθ,, ) = sen cos + sen + cos sen cos + sen 3 ρ φ θ θ φ φ θ θ ( sen cos sen ) sen ( sen cos ) = + = + 3 ρ φ φ φ ρ φ φ φ ( x,y,z) ( ρφθ,, ) = ρ senφ (IV.47) Entonces, el teorema de cambio de variable a coordenadas esféricas en una integral triple queda enunciado como sigue: TEOREMA: Cambio a coordenadas esféricas en una integral triple Sea f : 3 una función continua en una región tridimensional, definida como: {( ρ θφ) ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ} =,,, donde θ θ < y 0 0 φ φ <, entonces: = f x, y,z dv ρ cos θ sen φ, ρ sen θ sen φ, ρ cos φ ρ sen φ d ρ d φ d θ (IV.48) Existen también otras regiones más generales que se pueden definir en coordenadas esféricas de la siguiente manera: {( ρ θφ) ρ( θφ) ρ ρ( θφ) θ θ θ φ φ φ} =,,,, (IV.49) En ese caso, la integral triple queda como: θ φ ρ( θ, φ) f ( x, y,z) dv = ( cos sen, sen sen, cos ) sen d d d θ φ ρ( θ, φ) ρ θ φ ρ θ φ ρ φ ρ φ ρ φ θ (IV.50)

30 EJEMPLO Calcular mediante integrales triples en coordenadas esféricas, el volumen comprendido entre dos esferas concéntricas de radios y 4. Solución: El volumen pedido en este ejercicio se planteó en el ejemplo 3.7 del capítulo 3; sin embargo, nótese lo fácil que resulta calcular dicho volumen en coordenadas esféricas. El sólido, en coordenadas cartesianas está definido como: Y su volumen es V { 6 } = x,y,z x + y + z = dv En la figura 4.4 se muestra el sólido, pero para poder identificar los valores de ρ, en la figura 4.8 se retira la porción del sólido que se encuentra en el primer y en el quinto en el octante. Figura 4.7 Región tridimensional del ejemplo 4.8 φ = 0 Valor de ρ a la salida de ρ = 4 φ = Valor de ρ a la entrada de ρ = Figura 4.8 Porción de la región tridimensional del ejemplo 4.8 Para identificar los valores que toma θ a la entrada y salida de la región, generalmente se proyecta dicha región sobre el plano xy ; sin embargo como en este ejemplo la región es sencilla, ya que se obtienen dos círculos concéntricos, entonces, en coordenadas esféricas la región tridimensional es:

31 Recuerde que el volumen entre dos esferas concéntricas se puede calcular como: V = ( R r ) 3 donde r: radio interno R: radio externo Entonces: 4 V = ( 64 ) = {( ρ θφ) ρ 4 0 θ 0 φ } =,, I xyz dv 4 = = ρ sen d d d φ ρ θ φ I = senφ dθdφ = 4 senφdθdφ = 84 4 ρ senφd ρdθdφ = EJEMPLO 4.8 En el ejemplo.5 se resolvió la integral empleando coordenadas rectangulares, mientras que en el ejemplo 4.6 se empleó coordenadas cilíndricas. La función T de transformación a coordenadas esféricas es: ρcosθsen φ x T ( ρθφ,, ) = ρsenθsenφ = y ρcosφ z Por otra parte, por definición, ρ 0 Resolver la integral triple xyzdv planteada en el ejemplo 4.6, pero empleando coordenadas esféricas: Solución: El sólido, en coordenadas cartesianas está definido como: { } = x,y,z x + y + z, x + y, x, y, z Transformando a coordenadas esféricas se tiene: x y z ρ + + = 4 = ( ρ φ θ) ( ρ φ θ) x y sen cos sen sen + = + = x + y = ρ sen φ cos θ + sen θ = ρ sen φ = ρ ρ φ sen φ x + y = = = csc uscando la intersección entre ρ = 4 y ρ = cscφ ρ = ρ = cscφ = cscφ = senφ = senφ

32 Recuerde que: 0 φ < 59 Luego: φ = arcsen = 6 En la figura 4.9 se muestra la región y se señalan los límites de integración empleados en coordenadas esféricas. Valor de ρ a la salida de ρ = φ = 6 θ = Valor de ρ a la entrada de ρ = cscφ φ = Figura 4.9 θ = 0 Figura 4.30 Proyección del sólido sobre el plano xy Entonces la región es: Región del ejemplo 4.8 = ( ρθφ,, ) cscφ ρ 4 0 θ 0 φ Luego, la función integrando es f ( x,y,z) = xyz. Al componer dicha función con la transformación: Se tiene: ( ρ θφ) = ( ρ θ φ ρ θ φ ρ φ) T,, cos sen, sen sen, cos 3 = = f T ρ, θφ, ρcosθsenφ ρsenθsenφ ρcosφ ρ cosθsenθsen φcosφ Por lo tanto la integral triple es:

33 60 I 3 = ( xyz ) dv = ( cos sen sen cos ) sen d d d 0 cscφ 6 ρ θ θ φ φ ρ φ ρ φ θ 5 3 I = ( cos sen sen cos ) d d d 0 cscφ 6 ρ θ θ φ φ ρ φ θ φ θ θ φ φ φ θ I = sen 3 cos sen cos ( 64 csc 6 ) d d I = cosθsenθdθ = Finalmente: 0 6 cscφ 5 3 ρ cosθsenθsen φcosφ d ρdφdθ = 9 8 EJEMPLO 4.9 Calcular el volumen del sólido definido por las superficies: x y x + =, z = 0 y z = x + y, empleando: a) Coordenadas cartesianas. b) Un cambio de variable adecuado. Solución: El volumen de un sólido se obtiene mediante la integral dv. La superficie de ecuación x + y = x puede escribirse como: x y + =, por lo cual dicha ecuación es una superficie circular cilíndrica. La superficie z = 0 es un plano horizontal y la superficie z = x + y es un paraboloide. A continuación se muestra la gráfica del sólido.

34 6 Figura 4.30 Sólido del ejemplo 4.9 Luego para calcular el volumen de este sólido se debe seleccionar el sistema de coordenadas a emplear: a) En el sistema de coordenadas cartesianas: La integral de volumen puede resolverse utilizando la integral iterada dzdydx, por lo que se debe identificar los valores que toma la variable z a la entrada y salida de dicho sólido. En la figura 4.3 se muestra el primer orden de integración. Valor de z a la salida de z = x + y Valor de z a la entrada de z = 0 Figura 4.3 Primer orden de integración en coordenadas cartesianas para el sólido del ejemplo 4.9

35 6 Por lo tanto, el volumen se calcula como: V = x + y 0 dzda onde es la proyección del sólido en el plano xy. icha proyección se ilustra en la siguiente figura. Valor de y a la salida de y= x x Valor de y a la entrada de y= x x Figura 4.3 Región del ejemplo 4.9 Por lo tanto la región bidimensional está definida como: Por lo cual: { 0 } = x,y x x x y x x x x x + y x x 0 x x 0 0 x x V = dzdydx = x + y dydx V = x x + x x x dx= 0 x x x + y 0 x x 0 3 dzdydx = b) El cambio de variable más adecuado para este ejercicio es emplear el sistema de coordenadas cilíndricas, ya que una de las superficies es un cilindro, luego las superficies en este sistema son:

36 La transformación es: rcosθ x T ( r, θ,z) = rsenθ = y z z donde: r = x + y La gráfica de r = cosθ se obtiene para θ [ 0, ]. Cuando θ 0, se obtiene la semicircunferencia superior, mientras que para θ,, el radio vector es negativo y por lo tanto se genera la semicircunferencia inferior. 63 ( θ) + = = θ = 0, entonces: x y x r rcos r r cos Para el paraboloide se tiene: x + y = x r = cosθ z = x + y z = r En coordenadas cilíndricas la primera integración se realiza respecto a la variable z, cuyo valor a la entrada del sólido es z = 0 y a la salida del sólido es z = r, tal como se mostró en la figura 4.3. Cuando se proyecta el sólido en el plano xy se obtiene el disco mostrado en la figura 4.3; sin embargo dicha región debe definirse en coordenadas polares. Valor de r a la entrada de r = 0 θ = θ = 0 Figura 4.33 Región del ejemplo 4.9 Valor de r a la salida de r = cosθ Observe que calcular el volumen del sólido en el sistema de coordenadas cilíndricas es mucho proceso más corto y sencillo que en coordenadas cartesianas. Así, la región en coordenadas polares es: {( θ ) 0 θ 0 θ } = r, r cos Luego el volumen en coordenadas polares es: 3 = θ = θ = θ θ = cosθ r cosθ 3 4 V rdzdrd r drd 4cos d cosθ r 3 rdzdrdθ =