Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano

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1 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano Lema Fernández, Carmen S. [colito@udc.es] Pedreira Andrade, Luis P. [lucky@udc.es] Dpto. Economía Aplicada II Universidade da Coruña Allende Alonso, Sira [sira@matcom.uh.cu] Universidad de La Habana (La Habana-Cuba) RESUMEN El problema del tráfico es un tema importante para la mayor parte de las ciudades industrializadas del mundo. No es solamente una cuestión social y económica sino también un factor muy importante de comodidad para una ciudad. En este artículo hacemos un análisis de los diferentes modelos y métodos de optimización del tráfico urbano. Hemos organizado los trabajos en tres clases: sistemas avanzados de información al viajero, sistemas avanzados de gestión del tráfico y sistemas avanzados de optimización del tráfico. Finalmente nos centramos en la optimización de los ciclos de los semáforos. Este es un problema NP-duro que no parece que tenga una solución determinística conocida en el momento actual. Proponemos un método híbrido de solución consistente en una heurística (recocido simulado) para fijar los valores del vector longitud de fase, más un algoritmo eficiente para resolver un problema de complementariedad lineal. ABSTRACT The traffic problem is a major issue for the most of the industrialized cities in the world. It is not just a social and economical matter but also a very important comfort factor for a city. In this paper we make an analysis of the different models and methods for optimization of the urban traffic. We have categorized works in three classes: Advanced traveller information Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 702 1

2 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira systems, advanced traffic management systems and advanced traffic optimization systems. Finally, we concentrated in traffic lights cycles optimization. This is an NP-hard problem, which seems not to have a known deterministic solution at the present time. We propose a hybrid method of solution. This method will consist of a heuristic (simulated annealing) to fix the values of the phase length vector, plus an efficient algorithm to solve a linear complementarity problem. Palabras claves: Simulación del tráfico; optimización del tráfico; optimización de semáforos. Keywords: Traffic simulation; traffic optimization; traffic lights optimization. Clasificación JEL (Journal Economic Literature): C61 Área temática: Programación matemática 1. INTRODUCCIÓN Los problemas de congestión, seguridad y eficiencia que existen en los sistemas de transporte de algunos países causan enormes pérdidas económicas, daño al medio ambiente y numerosos accidentes de tráfico. A partir de la década de los 80, los responsables de los departamentos de tráfico intuyeron que las soluciones tradicionales que se estaban aplicando no serían capaces de resolver esta problemática. Estas soluciones típicamente implicaban la construcción de nuevas infraestructuras o la ampliación de las ya existentes, pero en muchos casos no eran soluciones viables debido a los costes, a la carencia de espacio disponible y a las consecuencias para el medio ambiente. Por tanto, los departamentos de tráfico de todo el mundo están muy interesados en la optimización de las infraestructuras existentes para obtener el mejor servicio que puedan proporcionar. Entonces surge la idea de aplicar los últimos avances de la tecnología para dar soluciones más efectivas al transporte. De esta forma aparecen los sistemas inteligentes de transporte (ITS). Algunos ejemplos son los sistemas avanzados de información al viajero (ATIS) y los sistemas avanzados de gestión del Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702 2

3 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano tráfico (ATMS). La mayor parte de ellos proporcionan a los conductores y a los ingenieros la situación actual real o simulada- del tráfico y los pronósticos para el mismo. Pueden incluso sugerir acciones para mejorar la circulación. Para obtenerlos, los investigadores han dedicado mucho trabajo a simulaciones del tráfico, especialmente al desarrollo de simuladores microscópicos exactos. En las décadas pasadas el uso de esa familia de simuladores fue restringido a pequeños casos de prueba, debido a sus altos requisitos computacionales. Actualmente, la disponibilidad de ordenadores más rápidos y baratos ha cambiado esta situación. Una premisa importante a considerar es, por tanto, la relación entre la exactitud del modelo y la complejidad computacional del análisis del modelo dado. Ya hay muchos modelos posibles para modelizar sistemas de tráfico: algunos son matemáticos como el descrito por [H.J.C. Huijberts y J.H. van Schuppen (1995)], en el que se formula como un problema dinámico de teoría de juegos el problema de control de rutas para una red de autopistas y se propone un procedimiento de búsqueda de un equilibrio de Nash, o los explicados por [A.D. May (1990)]. Otros son modelos computacionales como SATURN (es una colección de programas de análisis de redes desarrollada por el Instituto para los estudios del transporte de la Universidad de Leeds y distribuída por WS Atkins de Epsom desde 1981, que funciona como modelo combinado para simulación y asignación de tráfico permitiendo cambios de relativa importancia en la red, como por ejemplo, introducción de calles de sentido único, calles para circular únicamente buses etc.), RONETS (simulador de redes de carreteras), TRANSYT/versión 8S para redes de semáforos, SIDRA para analizar intersecciones aisladas semaforizadas o de prioridad, AINSUM2 (simulador microscópico de tráfico urbano) etc. Uno de los problemas más importantes en la optimización del tráfico es la optimización de los ciclos de los semáforos. En nuestro grupo hemos estado trabajando en la optimización de los ciclos de los semáforos para el mejor funcionamiento de las redes de tráfico urbano. Según las indicaciones de [Brockfeld, E. y otros, (2001)], los ciclos de los semáforos tienen una influencia fuerte en los resultados de la circulación. Por esa razón decidimos centrarnos en ese problema. Siguiendo a [de Schutter, B. y de Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 702 3

4 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira Moor, B. (1998)] hemos combinado una heurística (simulated annealing) con un algoritmo eficiente para resolver un problema LCP (de complementariedad lineal). El resto del trabajo se organiza como sigue: En la sección 2 damos algunos conceptos básicos que se usan a lo largo del artículo, en la sección 3 se expone el estado de la investigación, o sea se relatan algunos trabajos significativos en el área, en la 4 explicamos nuestra propia contribución a la materia y, para concluir damos algunas ideas de las tendencias previsibles de investigación. 2. CONCEPTOS BÁSICOS En la teoría de tráfico existen diferentes medidas que sirven para estimar la utilización de las calles. Algunas de ellas son: Flujo: es la cantidad de vehículos por unidad de tiempo. Velocidad: distancia recorrida por unidad de tiempo. La velocidad a la que circulan los vehículos es un dato importante para medir el nivel de congestión que existe. Para eso se define la velocidad media en atravesar la calle, que es la velocidad a la que se espera conducir en esa calle. Este valor varía dependiendo del tiempo. Si no pasan vehículos, entonces la velocidad de circulación va a aumentar hasta la velocidad máxima permitida. A medida que circulen vehículos por la calle, la velocidad que se puede esperar alcanzar para atravesar la calle, será similar a la velocidad que tenga el resto de vehículos. La velocidad de cada vehículo que pasa por la calle es obtenida por el censor instalado en esa calle. Esta medida es una estimación, ya que supone que la velocidad que lleva un vehículo al pasar por el censor se mantiene a lo largo de toda la calle. Tiempo: es el tiempo de viaje sobre un segmento del camino conocido. Esta medida es obtenida dividiendo el largo de la calle entre la velocidad media en atravesar la calle. Ocupación: es el porcentaje de tiempo que en un segmento del camino es ocupado por vehículos. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702 4

5 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano Densidad: es la cantidad de vehículos por unidad de distancia, en un lapso de tiempo. Tiempo entre el paso de un vehículo y otro. Distancia entre un vehículo y otro. 3. ESTADO DE LA INVESTIGACIÓN En esta sección queremos relatar algunos trabajos significativos en el área. Los hemos organizado en tres clases: primero, los sistemas avanzados de información al viajero (ATIS); segundo, los sistemas avanzados de gestión del tráfico (ATMS), y un tercer grupo que denominamos sistemas avanzados de optimización del tráfico (ATOS) Sistemas avanzados de información al viajero (ATIS) Los sistemas avanzados de información al viajero son esos servicios que pueden potencialmente ayudar a los conductores a tomar mejores decisiones para así realizar el viaje en las mejores condiciones de eficiencia y seguridad. Hay muchas iniciativas en este área. Aquí mostramos algunos ejemplos. En [Florian, D.G. (2004)], esta tesis se proporciona un estudio empírico del impacto de ATIS en la calidad de servicio de las redes del transporte usando una aplicación de DynaMIT (asignación dinámica de la red para la gestión de la información a los viajeros). Los resultados principales son que la disposición de la dirección dinámica de la ruta puede beneficiar simultáneamente al funcionamiento individual de los conductores guiados y no guiados, así como al funcionamiento del sistema de infraestructura de transporte existente. En [Hafstein, S.F. y otros (2004)] se aplica a un sistema de información de tráfico en una autopista sin peaje, un modelo autómata celular de alta resolución para simulación de tráfico. Se proporciona una simulación para el tráfico actual en zonas sin detectores de lazo, así como pronósticos del tráfico en los siguientes 30, 60 minutos. Esta información a los usuarios de la red es proporcionada por un java applet en una página web. 5 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 702

6 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira 3.2. Sistemas avanzados de gestión del tráfico (ATMS) Los sistemas avanzados de gestión del tráfico son los sistemas que ayudan a los ingenieros a mejorar el manejo de las redes de tráfico. Hay muchos trabajos acerca de esta materia, la mayor parte de ellos se centran en la simulación del tráfico. Los modelos de simulación de tráfico se pueden dividir en dos grandes categorías: microscópica y macroscópica, dependiendo del nivel de abstracción que utilicen. En los modelos microscópicos o de micro simulación se modela el tráfico a nivel de cada vehículo. En los modelos macroscópicos se abstrae hasta ver el comportamiento de todo el sistema, permitiendo así tener una visión global del comportamiento. Algunos ejemplos son los siguientes. El modelo INTEGRACIÓN se ha utilizado para simular el tráfico del Salt Lake Metropolitan Área [Rakha, H. y otros (1998)]. El objetivo de este artículo es triple. Primero se presenta la viabilidad de modelar una red a gran escala con un nivel de detalle microscópico. En segundo lugar, se describe la colección de datos que están implicados en la construcción y calibración de una red a gran escala microscópicamente. Tercero, se describen las oportunidades únicas y las aplicaciones del uso de una herramienta de simulación microscópica en oposición a una macroscópica. El modelo de MITSIM [Yang, Q. (1997)] se ha utilizado para evaluar aspectos del sistema de control de tráfico y de las configuraciones de rampa del proyecto área central/túnel en Boston. Incorpora explícitamente la predicción del tráfico, la información del tráfico en tiempo variable y la elección de ruta dinámica. AIMSUN2 se ha utilizado para simular los anillos de carretera de Barcelona [Barcelo, J. y otros (1996)]. La simulación del tráfico usando modelos autómatas celulares también se ha realizado en superordenadores para simular el tráfico en el tiempo más corto posible. [Nagel, K. y Schleicher, A. (1994)]. El modelo de INTELSIM se usa en [Aycin, M.F. y Benekohal, R.F. (1998)] y [Aycin, M.F. y Benekohal, R.F. (1999)]. En esos trabajos se ha desarrollado un modelo de aceleración lineal de los llamados modelos de autos siguiéndose o modelos de seguir 6 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702

7 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano al líder (los cuales modelan el comportamiento de cada vehículo individual dependiendo del vehículo que lo antecede) para la simulación realista del flujo de tráfico en aplicaciones a sistemas inteligentes de transporte (ITS). Se simulan los tiempos de reacción de freno y los tiempos de reacción en cadena de los conductores. Por consiguiente, dicen que el buen funcionamiento del sistema en las condiciones de autos siguiéndose y en las condiciones de parar y continuar hace que este modelo sea adecuado para usarse en sistemas inteligentes de transporte (ITS). Además en [Aycin, M.F. y Benekohal, R.F. (1999)] se comparan varios métodos de autos siguiéndose con el método que ellos proponen y con datos de campo. En [Bham y otros (2004)] se propone un modelo high fidelity para simular un gran volumen de tráfico a nivel regional. Su modelo usa conceptos de autómatas celulares y de modelos de autos siguiéndose. (En el modelo de autómata celular utilizado en el modelo de autos siguiéndose, el universo está dado por las calles de la ciudad, o por las carreteras a nivel regional y los elementos son los vehículos que se mueven siguiendo un conjunto de reglas. El modelo se puede extender fácilmente para representar otros elementos, por ejemplo conductores con distintos perfiles psicológicos, distintos tipos de vehículos, distintas representaciones de cruces de calles o semáforos). Proponen el concepto de la ocupación del espacio (SOC) y lo usan para medir la congestión de tráfico. Su objetivo es simular grandes volúmenes de tráfico con un tiempo de ejecución más corto usando algoritmos eficientes en un ordenador personal. En [Tveit, O. (2003)], se explica que un common cycle time (duración común de los ciclos) para un conjunto de intersecciones es un acercamiento menos útil que una duración de ciclo distribuída e individualizada. En [Smith, M. J. (1988)] se argumenta el uso de señales de respuesta de la capacidad de la red (en vez del total de gastos de viaje) como criterio del control. La capacidad de la red se maximiza si las señales funcionan para igualar la densidad de tráfico en las zonas más ocupadas de la red. Éste es otro ejemplo de optimizaciones locales múltiples en vez de una optimización global. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 702 7

8 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira En [Logi, F. y Ritchie, S.G. (2001)] se presenta un sistema experto para gestionar la congestión de tráfico. El modelo propuesto abarca un algoritmo de fusión de datos para el análisis de la congestión que permite representar e interpretar diferentes tipos de datos con distintos niveles de fiabilidad e incertidumbre junto con un algoritmo eficiente para la selección de planes de control que determina respuestas alternativas al control del tráfico. Se describe el plan propuesto con una explicación del proceso de razonamiento para ayudar a las decisiones de los operadores del tráfico y se muestra un ejemplo de validación para exhibir la capacidad del sistema para reducir la congestión Sistemas avanzados de optimización del tráfico El proyecto TRANSIMS (Transportation Análisis and simulation system) utilizó modelos de autómatas celulares para simular el tráfico para la ciudad de Fort Worth- Dallas usando las computadoras paralelas [Nagel, K and Barrett, C. (1997)]. Incluye módulos de simulación microscópica, planificación de rutas y estimación de la emisión de gases. En [Wann-Ming Wey y otros (2001)] se controla una intersección aislada aplicando técnicas basadas en la teoría de control de sistemas lineales para resolver el problema del modelo lineal de tráfico. La contribución principal de esta investigación es el desarrollo de una metodología para aliviar la congestión recurrente en la intersección aislada, causada por la alta demanda del transporte, usando la tecnología existente. En [de Schutter, B. y de Moor, B. (1998)] se analiza un problema de control óptimo de semáforos para un cruce de dos carreteras con los dos sentidos de circulación. Se expone primero, un modelo exacto y acíclico que describe la evolución de las longitudes de las colas en cada carril como una función del tiempo y de los instantes de cambio ( switching ). También se expone la forma de determinar una sucesión switching sub-óptima para este sistema. En [Febbraro, A, Di y otros (2002)] se aplican las redes de Petri para proporcionar una representación modular de las redes de tráfico urbano regulado por semáforos. Con el fin de describir minuciosamente el movimiento de vehículos en la red de tráfico, se adopta una representación microscópica realizada vía redes de Petri. Una Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702 8

9 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano característica interesante del modelo diseñado consiste en la posibilidad de representar las coordinaciones entre los diferentes ciclos del semáforo como incrustado en la estructura del modelo mismo. Aunque es un trabajo muy interesante, los autores optimizan solamente la coordinación entre diferentes ciclos del semáforo. Otro trabajo interesante usando redes de Petri es [Li, L. y otros (2004)] donde se utilizan para controlar una sola intersección los controladores lógicos programables (PLCs). Comparan tres métodos para modelar los semáforos en una intersección y encuentran que el más conveniente es el que combina las redes de Petri con PLCs. En [Spall, J.C. y Chin D.C. (1994)] los autores presentan un enfoque con redes neuronales para optimizar los ciclos de semáforos. Se utiliza una red neuronal (NN) para implementar semáforos. El proceso de desarrollo de la NN se alimenta exclusivamente con datos reales. Debido a ello, este método sólo es útil en un sistema que tenga un módulo de adquisición de datos on-line instalado. Sin embargo, tales sistemas no son hasta ahora comunes en absoluto. En [López, S. y otros (1999)] se optimiza el offset-time (es decir el tiempo desde que un semáforo cambia a verde hasta que el próximo semáforo por ejemplo, en un boulevard- cambia también a verde) entre dos semáforos usando redes neuronales artificiales (ANNs). En [GiYoung, L. y otros (2001)] se propone una técnica de optimización local en tiempo real de una intersección basada en lógica difusa (fuzzy logic). En [You-Sik, H. y otros (1999)] los autores presentan un sistema de control borroso para ampliar o reducir el ciclo fijado del semáforo. Mediante un semáforo electrosensitivo pueden ampliar el ciclo del semáforo cuando están pasando muchos vehículos en la carretera o reducir el ciclo si hay pocos vehículos pasando. A través de la simulación presentaron resultados mejorados del rendimiento. Este trabajo realiza una adaptación local para un solo semáforo en vez de una optimización global. En [Rouphail, N. y otros (2000)] se utiliza una arquitectura ad hoc para optimizar una red de tráfico de 9 intersecciones. Utiliza algoritmos genéticos (GA) como técnica de optimización que funciona en una sola máquina. Se usa el modelo 9 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 702

10 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira CORSIM (Corridor Traffic Simulation Model) [Halati, A. y otros (1997)] como función de evaluación del GA. En [You-Sik, H. y otros (2001)] se propone el concepto de algoritmo de tiempo verde óptimo, que reduce el tiempo de espera medio de los vehículos al tiempo que mejora la media de velocidad del vehículo usando reglas borrosas (fuzzy) y redes neuronales. A través de la simulación por ordenador este método ha demostrado ser mucho más eficiente que las señales de intervalo de tiempo fijo. La red neuronal borrosa mejorará constantemente el tiempo de espera, la velocidad del vehículo, y el consumo de combustible. Una combinación interesante de algoritmos y simulación de tráfico se publica en [Taniguchi, E. y Shimamoto, H. (2004)]. En este trabajo se presenta un sistema de previsión y programación de rutas para vehículos de carga. Usan algoritmos genéticos (GA) como técnica de optimización. El objetivo de los GA es la minimización del coste del viaje. Se propone un algoritmo dinámico de programación de rutas para vehículos y se prueba con un test para redes de carreteras. El modelo de simulación de tráfico implementado es macroscópico. Otro trabajo muy interesante se presenta en [Varia, H. R. y Dhingra, S.L. (2004)], en él se formula un sistema dinámico óptimo (DSO) para un modelo de asignación de tráfico para una red urbana congestionada con un número de cruces señalizados. También combinan simulación de tráfico con algoritmos genéticos. Lo fundamental de este trabajo es asignar a cualquier viajero una ruta. Se utiliza un algoritmo genético para minimizar el tiempo total de viaje de los usuarios. Se usa un modelo macroscópico para la estimación de los retrasos del tráfico. El problema DSO se resuelve con la sincronización y optimización de las señales. Se publica un trabajo muy atrayente en [Wiering, M. y otros (2004)]. En este artículo, se piensa el tráfico como formado por un conjunto de cruces que son optimizados de forma individual. Proponen usar algoritmos de aprendizaje por refuerzo para optimizar lo que ellos consideran un problema de decisión multiagente. En [Sánchez, J.J. y otros (2004)] se presenta una metodología para la optimización de los ciclos de un semáforo en una red de tráfico. Se diseña un modelo de Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702 10

11 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano tráfico microscópico y se usa además un autómata celular. Con esta teoría los vehículos se consideran como entidades unidimensionales, las calles se ejemplifican como un conjunto de puntos; en cada punto sólo puede haber un vehículo en cada instante de tiempo. Para alcanzar una solución del problema se representa el estado de los semáforos mediante un cromosoma, que tiene longitud variable en función del período de tiempo que se quiera optimizar, aunque se supone que ese período de tiempo representa un ciclo base que se repite indefinidamente. Este cromosoma está compuesto por valores enteros que representan qué semáforo está abierto en el cruce en cada momento. Los resultados obtenidos con esta codificación y el simulador descrito muestran que aparte de ser una forma válida, permite optimizar varias intersecciones al mismo tiempo, lo que reduce los tiempos de cálculo con respecto a otras soluciones. En [Sánchez, J.J. y otros (A) (2005)] se comparan dos versiones de un simulador microscópico de tráfico: un simulador de tráfico estocástico con uno determinístico. Hay tres diferencias entre la versión estocástica y la determinística: el orden de actualización de las celdas, el tiempo de creación del nuevo vehículo y la probabilidad de aceleración. En este trabajo se concluye que el simulador estocástico es un proceso estadístico (convergente) adecuado de comparación y se demuestra que las salidas del simulador determinístico tienen una alta correlación lineal con las estocásticas. Por lo tanto, el simulador determinístico puede organizar la clasificación de la población en orden a la función fitness al menos como el simulador estocástico, pero con un tiempo de cálculo notablemente más bajo. En [Sánchez, J.J. y otros (B) (2005)] se describe la diferencia entre dos tipos de codificación: el rendimiento entre diferentes cruces y las estrategias de mutación. El logro principal de este trabajo fue demostrar (por medio de un amplio conjunto de tests) que, al menos para el caso particular de un cruce de pequeño nivel, si se combina con una probabilidad variable para la mutación se obtiene un gran ahorro de tiempo de cálculo. Además se expone cómo esa elección permite al algoritmo cubrir más rápidamente el espacio de soluciones debido a la mayor variabilidad de genes entre generaciones. Esa combinación parece evitar una convergencia prematura. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:

12 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira En [Sánchez, J.J. y otros (2007)] se introduce un estudio considerando tres criterios candidatos a ser el primer paso para la extensión de la función fitness hacia una multicriterio. En ese criterio se relaciona el número total de vehículos que abandonan la red, la ocupación de la red y la emisión de gases de efecto invernadero. Se realiza un estudio de la correlación entre esos parámetros. 4. NUESTRA CONTRIBUCIÓN En el trabajo que presentamos en las XIV Jornadas ASEPUMA y II Encuentro Internacional [Allende, S.; Blanco, A.; Lema, C. y Pedreira, L. (2006)] analizábamos un problema de control óptimo de semáforos que consistía en: Conocidas las tasas de llegada y de salida de vehículos del cruce, para un entero N dado, y un tiempo inicial t 0, queremos calcular una sucesión t 1, t 2,,t N de instantes de cambio de las luces de los semáforos (tiempos switching) óptima bajo un criterio. El criterio a considerar se expresa en una función objetivo a minimizar que denotamos por J. Es posible, por ejemplo, considerar como criterio: Longitud media de la cola sobre todas las colas J 1 = 4 i= 1 w i t t N 0 t l (t)dt N i - t 0 (1) Longitud media de la cola sobre la peor cola i J t0 2 = max i w i t N t 0 tn l (t)dt (2) Longitud de cola en el peor caso max w l (t) J 3 = ( ) i,t i i (3) Tiempo de espera medio sobre todas las colas (El tiempo de espera medio es igual a la longitud media de cola dividida por la tasa media de llegada). Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702 12

13 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano J 4 = 4 i= 1 w i t N t0 λ (t i l i N (t)dt t 0 ) (4) Tiempo de espera medio sobre la peor cola i J t0 5 = max i w i λi (t N t 0 ) tn l (t)dt (5) donde w i >0 para todo i, son los factores peso que se pueden usar para dar una importancia más alta a algunos carriles; l i (t) es la longitud de la cola (es decir el número de coches esperando) en el carril L i en el instante de tiempo t; llegada de vehículos en el carril L i (dada en vehículos por segundo). λ i es la tasa media de En la práctica se establecen las duraciones mínimas y máximas para los tiempos verde y rojo del semáforo y longitudes máximas para las colas. Todo ello conduce al siguiente problema P: sujeto a: Minimizar J (6) N δ min,verde,1 δ 2k+1 -δ amb δ max,verde,1 para k=0,1,, 1 2, (7) δ min,verde,2 δ 2k -δ amb δ max,verde,2 N 1 para k=0,1,, 2, (8) x k x max para k=1,2,,n (9) x 2k+1 =max(x 2k +b 1 δ 2k +b 3,b 5 ) N 1 para k=0,1,, 2, (10) N x 2k+2 =max(x 2k+1 +b 2 δ 2k+1 +b 4,b 6 ) para k=0,1,, 1 2, (11) donde δ min,verde,i (respectivamente δ max,verde,i ) es el mínimo (respectivamente el máximo) tiempo verde en el carril L i, y (x max ) i es la máxima longitud de cola en el carril L i. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:

14 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira 4.1. Métodos para resolver el problema P Escribir las restricciones del problema P como un ELCP Para determinar la sucesión temporal switching óptima debemos optimizar la función objetivo J en la solución del ELCP (problema de complementariedad lineal extendido)[de Schutter, B. y de Moor, B. (1998)]; para ello consideramos (10) para un índice arbitrario k. Esta ecuación se puede reescribir como sigue: x 2k+1 x 2k +b 1 δ 2k +b 3 (12) x 2k+1 b 5 (13) (x 2k+1 ) i = (x 2k +b 1 δ 2k +b 3 ) i o (x 2k+1 ) i = (b 5 ) i para i =1,2,3,4 (14) o equivalentemente: x 2k+1 - x 2k -b 1 δ 2k -b 3 0 x 2k+1 - b 5 0 (x 2k+1 -x 2k -b 1 δ 2k -b 3 ) i (x 2k+1 -b 5 ) i = 0 para i=1,2,3,4 Como una suma de números no negativos es igual a 0 si y sólo sí todos los números son iguales a 0, este sistema de ecuaciones es equivalente a: x 2k+1 -x 2k -b 1 δ 2k -b 3 0 (15) x 2k+1 -b 5 0 (16) 4 i= 1 (x 2k+1 -x 2k -b 1 δ 2k -b 3 ) i (x 2k+1 -b 5 ) i = 0 (17) Podemos repetir este razonamiento para (11) y para cada k. Así si definimos: x*= x x M obtenemos el problema P en la siguiente forma: 1 2 x N sujeto a: δ0 y δ*= δ1 donde δ k = t k+1 -t k, k=0,1,2,,n-1 M δ N 1 Minimizar J (18) Ax*+Bδ*+c 0 (19) x*+d 0 (20) Ex*+Fδ*+g 0 (21) (Ax*+Bδ*+c) T (x*+d)=0 (22) Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702 14

15 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano cuyas restricciones son un caso especial de ELCP y donde A y E son matrices cuadradas de orden 4N (A es P-matriz); B y F son matrices de orden 4NxN; c,d y g son vectores de orden 4Nx1. La dificultad de este método es que el problema ELCP es un problema NP-duro, y el algoritmo propuesto en [de Schutter, B. y de Moor, B. (1995)] para resolver el ELCP usa tiempos de ejecución exponenciales, lo que implica que no es factible si el número de ciclos switching N es grande Resolver un problema aproximado-relajado En este método [de Schutter, B. y de Moor, B. (1998)] se usan funciones objetivo aproximadas que dependen explícitamente de x* y δ*, de la siguiente forma: ~ ~ dados x 0 y t 0, se define la función li (., x*,δ*), -o para abreviar li (.) - como la función lineal a trozos que interpola en los puntos ((t k,l i (t k )) para k=0,1,,n. Las funciones objetivo aproximadas ~ para l=1,2,3,4,5 están definidas como en (1)-(5) pero Jl ~ reemplazando l i por li ; y se relajan las restricciones reemplazándose las ecuaciones (10)-(11) por ecuaciones de la forma (12)-(13) sin tener en cuenta (14). Se obtienen soluciones subóptimas y cuando se manejan las funciones aproximadas de J 1 y J 4 la solución para este problema es una solución suficientemente buena para el problema P, pero no se puede afirmar lo mismo cuando se usan las aproximadas de J 2, J 3 y J Método híbrido de solución N Consiste en una heurística para fijar los valores de δ* ( IR + ) o más un algoritmo eficiente para resolver el problema LCP [Allende, S.; Blanco, A.; Lema, C. y N Pedreira, L. (2006)] que se obtiene usando la siguiente propiedad: Para cada δ* ( IR + ) o, las restricciones de ELCP (19) (22) describen un problema de complementariedad lineal (LCP) con solución única, esto quiere decir que dado δ* la longitud de las colas está unívocamente determinada. El proceso sería el siguiente: Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:

16 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira 0) Ĵ =M (valor suficientemente grande), k=1. Repetir q veces. 1) Mediante una heurística se explora el dominio acotado del vector δ*: Construir un vector δ*. 2) Fijado δ*, se determina la solución factible única del problema de complementariedad lineal LCP(δ*) correspondiente. Sea x*(δ*) la solución determinada. 3) Se evalúan las funciones J i según los distintos criterios. 4) Para cada criterio s: Si Js(x*(δ*))< Ĵ S entonces q=q+1 Ĵ S :=J S (x*(δ*)) y δˆ (s)= δ*. La heurística utilizada en el mencionado trabajo fue simulated annealing. Esta es una heurística que simula el proceso de enfriamiento de un sólido sometido a altas temperaturas a fin de mejorar su estructura cristalina, fue introducido por [S. Kirkpatrick y otros (1983)]. En cada iteración este algoritmo genera aleatoriamente un nuevo punto. La distancia de ese nuevo punto al punto inicial o la extensión de la búsqueda esta basada en una distribución de probabilidad con una escala proporcional a la temperatura. El algoritmo acepta todos los nuevos puntos que mejoran la función objetivo, pero también con una cierta probabilidad puntos en los que la función objetivo toma un peor valor, así se evita el quedar atrapados en mínimos locales, y se puede explorar globalmente para obtener otras soluciones posibles. A medida que la temperatura disminuye, el algoritmo reduce la extensión de su búsqueda para converger a un mínimo. Es un algoritmo interesante ya que genera soluciones iniciales para utilizar otro algoritmo. Ofrece buenas aproximaciones al óptimo; se demuestra su convergencia en probabilidad a una solución óptima. Una versión primaria del algoritmo basado en el método descrito fue programado en MATLAB. A modo de ilustración presentamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Datos: 5 fases. Tiempo en ámbar: 3 seg. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702 16

17 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano Carril 1 Carril 2 Carril 3 Carril 4 Tasa-llegada Tasa-sal. ver Tasa-sal. ámb Pesos Mín. Verde 1 3 Mín. Verde 2 30 Resultados: Longitud de Carril 1 Carril 2 Carril 3 Carril 4 Delta cola Fase Fase Fase Fase Fase Sum=tiempo: Longitud media de la cola sobre todas las colas Longitud media de la cola sobre la peor cola Longitud de la cola en el peor caso Ejemplo 2 Datos: 5 Fases. Tiempo en ámbar: 3 seg. Carril 1 Carril 2 Carril 3 Carril 4 Tasa-llegada Tasa-sal. ver Tasa-sal. ámb Pesos Mín. verde 1 3 Mín. verde 2 30 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:

18 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira Resultados: Longitud Carril 1 Carril 2 Carril 3 Carril 4 Delta de cola Fase Fase Fase Fase Fase Sum=tiempo: Longitud media de la cola sobre todas las colas Longitud media de la cola sobre la peor cola Longitud de la cola en el peor caso LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN Usar otras heurísticas para explorar el dominio acotado del vector de longitudes de fase, usando el ambiente de programación Matlab y las facilidades que éste ofrece en Optimizatión Toolbox, Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox. Modelar y estudiar situaciones en cruces más complejos, por ejemplo extender los resultados obtenidos en este estudio para redes de colas dependientes, es decir, una situación donde las salidas de algunas colas serán conectadas con las entradas de otras colas. Aplicar los resultados teóricos obtenidos a situaciones reales de cruces de calles en la ciudad de A Coruña. Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702 18

19 Un análisis de los modelos y métodos de optimización del tráfico urbano 6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALLENDE, S.; BLANCO, A.; LEMA, C. y PEDREIRA, L. (2006). Modelo de optimización con restricciones de equilibrio para el control de semáforos. Rect@, Actas 14, 1, pp AYCIN, M. F. y BENEKOHAL, R. F. (1998). Linear acceleration car-following model development and validation. Transportation research record, 1644, pp AYCIN, M. F. Y BENEKOHAL, R. F. (1999). Comparison of car-following models for simulation. Transportation research record, 1678, pp BARCELO, J. y otros (1996). The Parallelization of AIMSUN2 microscopic simulator for ITS applications. Proceedings of The 3rd World Congress on Intelligent Transportation Systems. BHAM, GHULAM, H. y BENEKOHAL, RAHIM F. (2004). A high fidelity traffic simulation model based on cellular automata and car following concepts. Transportation Research part C, 12, pp BROCKFELD, E. y otros (2001). Optimizing traffic lights in a cellular automata model for city traffic. Phys. Rev.E, 64, DE SCHUTTER, B. y DE MOOR, B. (1998). Optimal Traffic Light Control for a Single Intersection. European Journal of Control, 4,3, pp DE SCHUTTER, B. y DE MOOR, B. (1995). The extended linear complementarity problem. Mathematical Programming 71, 3, pp FEBBRARO, A. Di y otros (2002). On applying Petri nets to determine optimal offsets for coordinated traffic light timings. The IEEE 5 th International Conference on Intelligent Transportation Systems, pp FLORIAN, D.G. (2004). Simulation-based evaluation of Advanced Traveler Information Services PhD Thesis, Massachusetts Institute of Technology. Technology and Policy Program. 19 Rect@ Vol Actas_17 Issue 1: 702

20 Lema Fernández, Carmen S.; Pedreira Andrade, Luis. P; Allende Alonso, Sira GIYOUNG, L. y otros (2001). The optimization of traffic signal light using artificial intelligence. The 10 th IEEE International Conference on Fuzzy Systems, 3 pp HAFSTEIN, S.F. y otros (2004). A High-Resolution Cellular Automata Traffic Simulation Model with Application in a Freeway Traffic Information System. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering, 19, pp HALATI, A. y otros (1997). CORSIM Corridor Traffic Simulation Model. The 76 th Annual Meeting of the Transportation Research Board. HUIJBERTS, H.J.C. y VAN SCHUPPEN, J.H. (1995). Routing control of a motorway network: A summary. Proceedings of the 3 rd European Control Conference, pp LI, L. y otros (2004). Implementation of Traffic Lights control Based on Petri Nets. The 7 th IEEE International Conference on Intelligent Transportations Systems, 3, pp LOGI, F. y RITCHIE, S.G. (2001). Development and evaluation of a knowledgebased system for traffic congestion management and control. Transportation Research Part C: Emerging Technologies, 9, 6, pp LÓPEZ, S. y otros (1999). Artificial Neural Networks as useful tools for the optimization of the relative offset between two consecutive sets of traffic lights. LNCS. Foundations and Tools for Neural Modeling. Springer-Verlag, pp MAY, A.D. (1990). Traffic Flow Fundamentals. Prentice- Hall. NAGEL, K. y SCHLEICHER, A. (1994). Microscopic traffic modeling on parallel high performance computers. Parallel Computing, 20, 1, pp NAGEL, K. y BARRETT, C. (1997). Using microsimulation feedback for trip adaptation for realistic traffic in Dallas. Int. J. Mod. Phys. C, 505. RAKHA, H. y otros (1998). Construction and Calibration of a Large Scale Microsimulation Model of the Salt Lake Area. Transportation Research Record, 1644, pp Rect@ Vol Actas_17 Issue 1:702 20