Universidad de Alcalá Departamento de Ecología MÉTODOS DE ANÁLISIS DE DATOS EN ECOLOGÍA

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1 Universidad de Alcalá Departamento de Ecología MÉTODOS DE ANÁLISIS DE DATOS EN ECOLOGÍA Prácticas de Ecología Licenciaturas de Biología y Ciencias Ambientales Curso

2 . INTRODUCCIÓN 4.. Distribuciones de datos 4.. Pruebas de contraste de hipótesis 6. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS: TEST DE LA c 7.. Requisitos e hipótesis de trabajo 7.. Procedimiento de cálculo 7.. Contraste de hipótesis 9.4. Caso práctico 9. TESTS DE COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS 0.. Selección del test 0.. Test paramétrico: t de Student 0... Requisitos 0... Hipótesis... Procedimiento de cálculo..4. Caso Práctico.. Test no paramétrico: U de MannWhitney... Requisitos... Hipótesis... Procedimiento de cálculo..4. Caso práctico 4. TESTS DE COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MEDIAS 4.. Selección del test Test paramétrico: Análisis de la Varianza (ANOVA) Requisitos Hipótesis Procedimiento de cálculo Caso Práctico Test no paramétrico: KruskalWallis Requisitos Hipótesis Procedimiento de cálculo Caso práctico: 7

3 5. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS: ÍNDICES DE CORRELACIÓN Rangos de variación de los coeficientes Hipótesis Selección del test Correlación paramétrica: r de Pearson Procedimiento de cálculo Caso práctico Correlación no paramétrica: r de Spearman Procedimiento de cálculo Caso práctico 0 6. TABLAS ESTADÍSTICAS 6.. Tabla de valores críticos del estadístico c 6.. Tabla de valores críticos del estadístico t de Student 6.. Tabla de valores críticos del estadístico U de Mann Whitney Tabla de valores críticos del estadístico F de Snedecor Tabla de valores críticos del estadístico H de KruskalWallis Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Pearson (r) Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman (r s )

4 . INTRODUCCIÓN La estadística es una disciplina que proporciona a la Ecología las herramientas necesarias para el análisis de los datos. Dado que no podemos hacer estudios en toda la población (no es posible contar todos los ácaros que hay en un suelo, ni es posible medir el área foliar de todas las hojas de los árboles de un bosque, ni medir la longitud del cuerpo de todas las carpas que tiene un lago), la estadística nos permite cuantificar la probabilidad de cometer error al extrapolar los resultados obtenidos de una serie de muestras al conjunto de la población. Por tanto, la estadística permite cuantificar el error que cometemos al aceptar nuestros resultados obtenidos a partir de muestras ( encuestas ) de una población generalmente muy extensa. Hay dos tipos de estadística, la estadística descriptiva, que reúne un conjunto de técnicas que facilitan la organización, resumen y comunicación de datos; y la estadística inferencial, que permite hacer pruebas de contraste de hipótesis... Distribuciones de datos Cuando tenemos una colección de datos como resultado de un trabajo científico que hemos realizado, es importante conocer el tipo de distribución que siguen esos datos para poder decidir posteriormente qué herramientas estadísticas son más adecuadas para el análisis de los mismos. Los histogramas de frecuencias son una herramienta de representación de datos que nos permiten observar cómo se distribuyen los mismos. Están formados por rectángulos adyacentes que tienen por base cada uno de los intervalos de la variable medida y por altura las frecuencias absolutas (nº de veces que aparecen datos dentro de ese intervalo). La superficie de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia de cada una de las clases y el área total lo será al número de individuos en la muestra. El número de intervalos a utilizar (k) se puede calcular según la regla de Sturges (96): K =. * log (n), donde n es el tamaño de muestra. Frecuencia 4,5 4,5,5,5 0,5 0,*,4*,5*,6*,7*,8*,9* 4,0* 4,* 4,* 4,* 4,4* 4,5* Longitud del ala (cm) Figura : Representación gráfica de la distribución de frecuencias de la variable longitud del ala en una población de aves Asimismo, para conocer mejor cómo se distribuyen unos datos es importante conocer cuál es valor central de los mismos así como el grado de dispersión de los datos alrededor de ese valor central. Para ello existen una serie de parámetros que informan acerca de estas características de las distribuciones de datos. 4

5 Medidas de tendencia central: indican alrededor de qué valores se agrupan los datos observados. Distinguimos:. Media aritmética: es el centro de gravedad de la serie de datos y se calcula como x i /n. µ media de la población x media de la muestra.. Mediana: es el punto medio de una serie ordenada de datos. Moda: es el valor más frecuente de la serie de datos. Figura. Representación de la media (mean), mediana y moda en cuatro distribuciones. Medidas de dispersión: indican si los valores de la variable están muy dispersos o se concentran alrededor de la medida de centralización. Son: Rango. Diferencia entre el valor máximo y el mínimo observado. Rango: x max x min Varianza. Expresa la dispersión de valores entorno a la media σ varianza de la población σ ( x i x) = n x) s varianza de la muestra s = n Desviación estándar. Es la raíz cuadrada de la varianza σ desviación estándar de la población s desviación estándar de la muestra De entre todas las distribuciones posibles que puedan seguir unos datos, la distribución normal es la más interesante desde el punto de vista estadístico, pues reúne unas propiedades que han hecho posible que a partir de ella se desarrollaran numerosos métodos de análisis de datos. En ella, los valores cercanos a la media son los más abundantes y a medida que nos alejamos de la media, los datos presentan una frecuencia cada vez menor. Por este motivo, el histograma de frecuencias adopta una forma de campana de Gauss: ( x i 5

6 La distribución normal posee una serie de características: Corresponde a variables cuantitativas continuas. Se caracteriza por dos medidas: media y desviación típica. Es unimodal. Es simétrica alrededor de la media. Por tanto, media, mediana y moda coinciden. Tiene forma acampanada, sin un pico excesivo. El área bajo la curva =. El 50% de las observaciones se encuentran por debajo de la media y el 50% por encima. El 68% de las observaciones se encuentran dentro del intervalo x ± s El 95% de las observaciones se encuentran dentro del intervalo x ±,96 s El 99% de las observaciones se encuentra dentro del intervalo x ±,57 s... Pruebas de contraste de hipótesis Debido a esta propiedad de poder conocer la probabilidad de que un valor determinado forme parte de la distribución normal, se han desarrollado numerosos tests estadísticos que permiten realizar pruebas de contraste de hipótesis a partir de la distribución normal, son las pruebas paramétricas. Sin embargo, no siempre los datos que obtenemos en un trabajo científico se ajustan a la distribución normal, por lo que para hacer pruebas de contraste de hipótesis necesitaremos recurrir a la estadística no paramétrica. La aplicación del método científico no nos permite demostrar la veracidad de una hipótesis sino su falsedad, es decir, que las hipótesis ecológicas (H ecol ) que proponemos se dan por válidas siempre y cuando no se demuestre que son falsas. En las pruebas de contraste de hipótesis, las diferentes pruebas estadísticas utilizan la llamada hipótesis nula (H 0 ) para verificar la validez de las hipótesis ecológicas. La hipótesis nula siempre presupone que la distribución de los datos es al azar, es decir, que no existen diferencias entre los grupos o asociación entre las variables debidas a factores ecológicos. Dicho de otra forma, la H 0 es la negación de la hipótesis ecológica. Por tanto, cuando realizamos cualquier test estadístico de contraste de hipótesis, nuestro objetivo será rechazar la H 0, lo que nos permite seguir dando por válida la hipótesis ecológica. El grado de significación estadística (p) es el parámetro que cuantifica el error que se estamos cometiendo al aceptar nuestros resultados. Concretamente, lo que indica es la probabilidad de que rechacemos la H 0 siendo cierta. Cuanto más pequeño sea el valor de p menor será la probabilidad de que H 0 sea cierta, y por tanto mayor es la probabilidad de que H ecol sea la correcta. Para tomar una decisión respecto a cuál sea la hipótesis verdadera, el investigador fija el nivel máximo de error que se permite al aceptar H ecol (a). En general, se ha fijado por convenio el umbral de p=0.05 como válido, es decir, nos permitimos un error máximo del 5% en nuestra afirmación de la hipótesis ecológica. En cualquier caso, conviene señalar que lo más importante es dar a conocer el error de nuestros resultados. En función del número de variables implicadas en un análisis estadístico, distinguimos tres tipos de métodos de análisis de datos: Métodos monovariantes: Se han registrado los valores de una sola variable, o de dos variables pero al menos una de ellas es cualitativa Métodos bivariantes: Se han registrado los valores de dos variables cuantitativas Métodos multivariantes: Se han registrado los valores de tres o más variables En el siguiente cuadro se muestran de forma resumida las diferentes pruebas estadísticas que la estadística paramétrica y la no paramétrica proporcionan a los 6

7 investigadores para realizar las pruebas de contraste de hipótesis necesarias en los trabajos científicos: Variable Variable Métodos paramétricos Métodos no paramétricos Cualitativa Cualitativa Test de la c (tablas de contingencia) Cuantitativa Cualitativa t de Student t de Student para datos pareados Análisis de la Varianza U de MannWhitney Prueba de los rangos de Wilcoxon Prueba de KruskalWallis Cuantitativa Cuantitativa Coeficiente de Correlación de Pearson Coeficiente de Correlación de Spearman. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS: TEST DE LA c El test de la χ se utiliza para analizar la asociación entre dos variables cualitativas (por ejemplo, la presencia de una especie con el tipo de suelo, o la presencia de individuos en estado de flor con una época del año, etc...). Lo que hace el test es comparar la distribución de frecuencias observadas de la asociación entre las variables con la distribución de frecuencias esperadas en caso de que no existiera asociación (es decir, si las dos variables cualitativas no están asociadas sino que se distribuyen al azar). Para analizar la asociación entre las variables cualitativas multiestado se utilizan las tablas de contingencia. A nivel general, este test sirve para comparar frecuencias, por lo que puede utilizarse para verificar si una colección de datos se distribuye de acuerdo a algún tipo de distribución específica... Requisitos e hipótesis de trabajo La aplicación de este test requiere que las muestras estén tomadas al azar y que las frecuencias esperadas sean superiores a 5. Como se trata de un test que relaciona variables cualitativas, no hay ningún requisito acerca de la distribución de las variables. Las hipótesis de trabajo serán del tipo: H ecol : Existe relación entre las variables H 0 :.. Procedimiento de cálculo Las dos variables son independientes (no hay asociación entre ellas) Supongamos, por ejemplo, que queremos saber si existe asociación entre la presencia de la especie A (un invertebrado acuático) y el tramo del río (alto, medio y bajo) para el caso del río Henares. Para ello hemos hecho un muestreo a lo largo del río y en cada tramo hemos registrado la presencia () o ausencia () de la especie en 5 muestras de agua tomadas al azar. Los resultados obtenidos son: 7

8 Tramo Alto Tramo Medio Tramo Bajo A partir de estos datos construiríamos una tabla de contingencia con los datos observados en campo de la siguiente manera: Especie A Tramo del río Alto Medio Bajo 4 A continuación se calcula el estadístico χ siguiendo la siguiente fórmula: cal χ( α, gl.) = ( o e) e o = frecuencias observadas en el inventario e = frecuencia esperada de una celda, suponiendo que no hubiese asociación c * f t t e = N c t = total de la columna donde está la celda f t = total de la fila donde está la celda N = nº total de casos gl. (grados de libertad) = (nº columnas)*(nº filas) En nuestro ejemplo, el cálculo del estadístico χ se haría de esta forma: cal 8

9 * Tramo del río Alto Medio Bajo Total Especie A (5.) (5.) (5.) 6 (9.7) (9.7) 4 (9.7) 9 Total * Entre paréntesis aparecen las frecuencias esperadas calculadas Caso especial: En las tablas de contingencia de x, como la de la figura: Variable A B Total filas (a) (b) (ab) Variable (c) (d) (cd) Total columnas (ac) (bd) (abcd) el estadístico χ se puede calcular también de esta forma : cal χ cal Si N 0 ( a* d b* c) * N = ( a b) *( c d)*( a c)*( b d).. Contraste de hipótesis χ cal Si N < 0 (Corrección de Yates) N * ( a * d b * c N / ) = ( a b) * ( c d) *( a c) *( b d) Se compara el valor obtenido de χ con el valor χ correspondiente al número de cal crit grados de libertad apropiados y al valor de α previamente seleccionado (normalmente, α=0.05 ó 0.0): Si χ, se rechaza la H 0 (hay asociación entre las variables) Si cal χ crit χ < χ cal crit, se acepta la H 0 (no hay asociación entre las variables).4. Caso práctico Continuamos con el ejemplo que hemos empezado antes, en el que queremos estudiar si existe asociación entre la presencia de la especie A y el tramo del río Henares donde esta especie vive. Recordemos que, en nuestro caso: siguiente forma: H ecol : Existe relación entre la presencia de la especie A y el tramo del río H 0 : La presencia de la especie A es independiente del tramo del río A partir de la tabla de contingencia elaborada en el apartado., calculamos el estadístico χ de la cal χ cal = ( 5,) ( 5,) ( 5,) ( 9,7) ( 9,7) ( 4 9,7) =.8 9

10 ? crít ( g.l., a=0.05) = 5.99? cal >? crít Se rechaza H 0 ; por tanto, concluimos que la especie A aparece preferentemente en los tramos altos del río.. TESTS DE COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS Sirven para comparar las medidas de tendencia central (media o mediana) de dos grupos de datos distintos, para determinar si las diferencias entre dichas medidas se deben al azar del muestreo o a diferencias reales entre los grupos que se están comparando. Relacionan una variable cualitativa de dos casos (variable independiente) con otra cuantitativa (variable dependiente). Los dos estados de la variable cualitativa son los que designan los grupos. Si quisiéramos estudiar, por ejemplo, si existen diferencias en el potencial hídrico de las encinas entre el día y la noche, y hubiéramos tomado muestras de potencial hídrico en encinas de día y otras muestras en encinas por la noche, para analizar los datos utilizaríamos un test de este tipo. En ese caso, la variable cualitativa es la hora del día, que es la variable independiente que define los dos grupos de datos; y el potencial hídrico sería la variable dependiente y cuantitativa... Selección del test Para seleccionar el test apropiado para analizar nuestros datos, una vez realizado el muestreo se construye un diagrama de frecuencias (o se realiza un test estadístico si se dispone de software apropiado) para comprobar la normalidad de la variable cuantitativa en cada uno de los dos grupos. Asimismo, se realiza el test de la F de Snedecor* para comprobar la homogeneidad de las varianzas entre los dos grupos. * Prueba de comprobación de varianzas iguales: F de Snedecor Se calculan las varianzas de cada una de las dos muestras: s y Se calcula el estadístico F cal a partir de la siguiente fórmula: F = cal s s mayor menor grados libertad: n, n (n tamaño de la muestra de varianza mayor) H o : varianzas iguales. Si F cal F crít (La F crít se busca en las tablas, ver sección dedicada al ANOVA ), se rechaza la H o, es decir, se concluye que las varianzas no son iguales. s Si la variable cuantitativa sigue la distribución normal en todos los casos y las varianzas no son significativamente distintas, se utilizará el test paramétrico: t de Student En cualquier otro caso se realizará el test no paramétrico: U de MannWhitney.. Test paramétrico: t de Student Se utiliza para detectar la existencia de diferencias significativas entre las medias de una determinada variable cuantitativa en dos grupos de datos.... Requisitos Datos distribuidos según una distribución normal en cada grupo Las varianzas de las dos muestras han de ser iguales Muestras independientes y tomadas al azar 0

11 ... Hipótesis a) HIPÓTESIS DE DOS COLAS: La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medias de los dos grupos considerados, sin presuponer cuál de las dos medias es mayor que la otra. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medias. H ecol : µ? µ H 0 : µ = µ b) HIPÓTESIS DE UNA COLA: La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medias de los grupos considerados, presuponiendo que una de las dos medias es mayor que la otra. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medias, o que las diferencias van en sentido contrario a como han sido expresadas en la hipótesis ecológica.... Procedimiento de cálculo H ecol : µ > µ H 0 : µ µ H ecol : µ < µ H 0 : µ µ Se calcula el estadístico t cal a partir de la siguiente fórmula: tcal x x = donde: Sc n n n y n = tamaños de las muestras y respectivamente x y x = medias de las muestras y respectivamente s y Sc = s = varianzas de las muestras y respectivamente n s n s n n A continuación se mide la significación del estadístico t cal, comparando ese valor con el valor de un estadístico t crit que se obtiene mirando las tablas correspondientes. Para identificar el t crit que nos corresponde hemos de fijarnos en el número de colas que tiene nuestra hipótesis (una cola: onetailed; dos colas: twotailed), en el nivel de significación (a) con el que pretendemos rechazar la hipótesis nula (normalmente a = 0.05 ó 0.0); y en los grados de libertad del test (n n ). Si t cal t crit (a=0.05 o inferior) se rechaza H 0 y se acepta H ecol (las medias son diferentes) Si t cal < t crit (a=0.05) se acepta H 0 y se rechaza H ecol (las medias son iguales)..4. Caso Práctico Queremos saber si la humedad del suelo en un determinado lugar varía en función de la cubierta vegetal del mismo (tomillar o suelo desnudo), pues suponemos que la cubierta vegetal contribuye a aumentar la humedad del suelo por disminución de la evaporación. Para ello se ha realizado un muestreo en el que se ha medido la humedad de suelo (en % del volumen) en seis muestras distribuidas al azar bajo tomillares y en 8 muestras también distribuidas al azar en la misma zona, pero en condiciones de suelo desnudo. Variables: Cobertura de suelo (cualitativa, independiente) Humedad del suelo (cuantitativa, dependiente) Hipótesis ecológica: H ecol : la humedad de suelo es mayor bajo el tomillar: µ tomillar >µ suelo desnudo Se trata, por tanto, de un test de una cola.

12 Hipótesis nula: H 0 : µ tomillar µ suelo desnudo Tras el muestreo se obtienen los siguientes datos: Cobertura Humedad de suelo (%) n Media tomillar suelo desnudo s Cálculo del estadístico t cal : t cal = =.6 Comprobación de la significación del estadístico t cal : t cal =.6 > t crít (a=0.05, gl, una cola) =.78 Por tanto, se rechaza la H 0, y se acepta la H ecol, es decir, se concluye que existen diferencias significativas en la humedad del suelo en función de la cobertura vegetal, siendo mayor en condiciones de cubierta vegetal de tomillar que en condiciones de suelo desnudo... Test no paramétrico: U de MannWhitney Compara las diferencias entre dos medianas, por lo que se basa en rangos en lugar de en los parámetros de la muestra (media, varianza). Se emplea cuando los datos no siguen la distribución normal, en lugar del test de la t de Student (paramétrico).... Requisitos Variable cuantitativa que no cumple los requisitos de normalidad y/o homogeneidad de varianzas, o variable semicuantitativa. Muestras independientes y al azar.... Hipótesis a) HIPÓTESIS DE DOS COLAS: La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medianas (M) de los dos grupos considerados, sin presuponer cuál de las dos medianas es mayor que la otra. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medianas. H ecol : M? M H 0 : M = M b) HIPÓTESIS DE UNA COLA: La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medianas de los grupos considerados, presuponiendo que una de las dos medianas es mayor que la otra. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medianas, o que las diferencias son en sentido contrario a lo expresado en la hipótesis ecológica.... Procedimiento de cálculo H ecol : Μ > M H 0 : Μ M H ecol : Μ < M H 0 : Μ M Asignación de rangos a cada dato. Para ello se ordenan todos los datos (juntando los dos grupos) en orden creciente. El rango de cada dato será el número de orden que le

13 corresponde a cada dato. Cuando se repita el mismo valor numérico, el rango que se asigna a esos datos es la media aritmética de los rangos que les corresponderían en función del número de orden que ocupan. Se suman los rangos de cada uno de los inventarios (grupos) y se calcula la suma de los rangos de los datos de cada uno de los grupos (R y R ) Se calculan los estadísticos U y U a partir de las siguientes fórmulas: U n ( n = n n U = n n ) R n ( n ) R Se obtiene el estadístico U cal escogiendo el valor más grande entre U y U. Se comprueba la significación estadística del estadístico U cal comparando este valor con el valor de un estadístico U crít obtenido a partir de las tablas correspondientes. Si U cal U crít (a=0.05 o inferior) se rechaza H 0 y se acepta H ecol (las medianas son diferentes) Si U cal < U crít (a=0.05) se acepta H 0 y se rechaza H ecol (las medianas son iguales)..4. Caso práctico Se quiere estudiar si el número de especies de ácaros edáficos se ve influido por un incendio de baja intensidad. Para ello se simuló un incendio de baja intensidad en una parcela de un territorio homogéneo, y se tomaron 6 muestras al azar de la zona incendiada y 7 muestras también al azar de la zona no incendiada, contándose el número de especies de ácaros edáficos en cada muestra. Variable dependiente: número de especies de ácaros edáficos (cuantitativa) Variable independiente: ocurrencia de un incendio (cualitativa) H 0 = La mediana del número de especies de ácaros edáficos es igual en la parcela quemada que en la no quemada: M quemada = M no quemada H ecol = La mediana del número de especies de ácaros edáficos varía dependiendo de que se haya producido un incendio: M quemada? M no quemada. Por tanto, de acuerdo con nuestra hipótesis ecológica, vamos a hacer un test de dos colas. Los datos obtenidos en el muestreo son los siguientes: Parcela Número de especies de ácaros edáficos n quemada no quemada Asignación de rangos a cada dato: dato * rango * en negrita los valores correspondientes al inventario de la parcela quemada Se suman los rangos de cada grupo: R =8 R =6 Cálculo del estadístico U cal : U =6x7[(7x8)/]6=7 U =6x7[(6x7)/]8=5 U cal Comprobación de la significación del estadístico U cal : U cal = 5 < U cít (a=0.05) = 6 No se rechaza la H 0, concluimos que el número de especies de ácaros edáficos no se ve influido significativamente por la ocurrencia de un incendio de baja intensidad. 4. TESTS DE COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MEDIAS Sirven para comparar las medidas de tendencia central (media o mediana) de más de dos grupos de datos distintos, para determinar si las diferencias entre dichas medidas se deben al azar del muestreo o a diferencias reales entre los grupos que se están comparando.

14 Relacionan una variable cualitativa de más de dos casos (variable independiente) con otra cuantitativa (variable dependiente). Los estados de la variable cualitativa designan dichos grupos. Un ejemplo de problema científico en el que utilizaríamos este tipo de tests sería determinar si existen diferencias significativas en la densidad de escarabajos (variable dependiente, cuantitativa) que encontramos en un determinado lugar en las cuatro estaciones del año (variable independiente, cualitativa, define los grupos). 4.. Selección del test La selección del test apropiado para analizar nuestros datos se hace a través del siguiente procedimiento: Una vez que se ha hecho el muestreo y se ha medido la variable cuantitativa en cada uno de los grupos de la población, se construye un diagrama de frecuencias (o se realiza un test estadístico si se dispone de software apropiado) para comprobar la normalidad de la variable cuantitativa en cada uno de los grupos. Asimismo, se realiza el test de la F de Snedecor para comprobar la homogeneidad de las varianzas entre los distintos grupos. Si la variable cuantitativa sigue la distribución normal en todos los casos y las varianzas no son significativamente distintas, se utilizará el test paramétrico: ANOVA En cualquier otro caso se realizará el test no paramétrico: KruskalWallis 4.. Test paramétrico: Análisis de la Varianza (ANOVA) Se utiliza para detectar la existencia de diferencias significativas entre las medias de una determinada variable cuantitativa en tres o más grupos de datos Requisitos Datos distribuidos según una distribución normal Las varianzas de las distintas muestras han de ser iguales Muestras independientes y tomadas al azar 4... Hipótesis La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medias de los grupos considerados, es decir, que al menos dos de las medias serán distintas. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medias. H ecol : No todas las medias son iguales H 0 : 4... Procedimiento de cálculo µ = µ =... = µ k La valoración de las diferencias entre las medias de los distintos grupos se basa en la descomposición de la variabilidad total del conjunto de datos en dos términos: variabilidad debida a las diferencias entre los grupos (variabilidad entre grupos), y variabilidad debida al azar del muestreo (variabilidad dentro de grupos). Variabilidad total = Variabilidad entre grupos Variabilidad dentro grupos La variabilidad entre datos se puede estimar con la varianza (s ), y con Suma de Cuadrados (SS), que es el cociente entre la varianza y los grados de libertad (gl.). Por tanto: 4 SS total = SS entre grupos SS dentro grupos

15 k = n ú m e r o d e g r u p o s N = n úú mm e or o t o t at ol t a l d e d e d a t od sa t o s n n, n, n,..,..,.. n, n k k = = n ú m en rú om e r o d e d e d a t od sa t o s e n e n c a d ca a d a g r u pg or u p SS total k Las diferentes sumas de cuadrados se obtienen a partir de las siguientes fórmulas: ( x) ( x ) ( x ) ( x ) ( x) k = x SSentre grupos =... N n n nk N número de grupos N = número total de datos n, n,..., n = número de datos en cada grupo = k x = cada uno de los datos de cada grupo El cálculo de la suma de cuadrados dentro de grupos es más laboriosa y por ello la obtenemos despejando de la ecuación: SS dentro grupos = SS total SS entre grupos Cálculo de los grados de libertad de las sumas de cuadrados: g. l. SStotal = N g. l. SS = k s entre grupos entre gupos g. l. SS dentrogrupos = N k Conversión de las sumas de cuadrados (SS) en varianzas: SS = g. l. entregrupos entregrupos SS = entre grupos k Cálculo del estadístico F: s dentrogrupos SS = g. l. dentrogrupos dentrogrupos SS = dentro grupos N k F = s s entregrupos dentrogrupos Si en la población de la que proceden las muestras no hay diferencias reales entre los grupos definidos por la variable cualitativa, la varianza entre grupos será similar a la varianza dentro de grupos (por tanto el cociente entre ambas estará cerca de ). En el caso de que existan diferencias reales entre los grupos (lo que presupone la hipótesis ecológica) la varianza entre grupos será mayor que la varianza dentro de los grupos (el cociente entre ambas será mayor de ). El estadístico que nos dice si las desviaciones respecto a ese valor de son significativas es F. El contraste de hipótesis se realiza comparando el valor de la F cal con el valor F crít obtenido a partir de la tabla para el valor de α previamente establecido (normalmente α=0.05 o inferior). La búsqueda de dicha F crít requiere del número de grados de libertad del numerador y del denominador. La forma habitual de notación que se usa en las tablas lleva el valor de α entre paréntesis, y los grados de libertad del numerador y del denominador a continuación, en orden consecutivo y separados por comas. Por ejemplo, F crít (0.05),. significa el valor del estadístico F de las tablas para un α=0.05, con grados de libertad en el numerador y en el denominador. Si F cal F crít se rechaza H 0 y se acepta H ecol (alguna de las medias es diferente) Si F cal < F crít se acepta H 0 y se rechaza H ecol (las medias son iguales) Caso Práctico Se quiere saber si el tipo de cobertura de suelo (suelo desnudo, piedras, hojarasca y pastizal) influye sobre la densidad de hormigueros. Para ello se ha realizado un muestreo en el que se ha medido el número de hormigueros en diez muestras distribuidas al azar dentro de cada una de las zonas con diferente cobertura. 5

16 Variables: cobertura de suelo (cualitativa, independiente) y densidad de hormigueros (cuantitativa, dependiente) H ecol : Alguna de las medias es diferente (la cobertura de suelo influye sobre la densidad de hormigueros) H 0 : µ suelo desnudo = µ piedras =µ hojarasca = µ pastizal Tras el muestreo se obtienen los siguientes datos: Cobertura Densidad de hormigueros n Media Sx (Sx) Sx suelo desnudo piedras hojarasca pastizal Total Cálculo de la suma de cuadrados total: SS T = 500 (70) /40 = Cálculo de la variabilidad entre grupos (SS entre grupos ): SS entre = /0 6046/ / /0 70 /40 = 4.9 Cálculo de la variabilidad dentro de los grupos (SS dentro grupos ): SS T = SS entre SS dentro SS dentro = SS total SS entre = = Determinar los grados de libertad de cada una de las suma de cuadrados estimadas: SS T = N = 40 = 9 SS entre grupos = k = 4 = SS dentro grupos = N k = 40 4 = 6 Estimación de las varianzas dividiendo las SS por los grados de libertad: s entre grupos = 4.9/ =.97 s dentro grupos = 455.6/6.66 Cálculo del estadístico F cal y comparación con el estadístico F crít : F cal = s entre grupos /s dentro grupos =.97/.66 = 9.00 F crít (0.05), 6 <.9 F cal > F crít Rechazamos H o La abundancia de hormigueros no es la misma en todas las zonas con distinta cobertura de suelo 4.. Test no paramétrico: KruskalWallis Se basa en rangos en lugar de los parámetros de la muestra (media, varianza). Se emplea cuando los datos no siguen la distribución normal y/o tienen varianzas distintas, en sustitución del ANOVA paramétrico. Cuando el número de grupos es es idéntico a la U de MannWhitney Requisitos Variable cuantitativa que no cumple los requisitos de normalidad y/o homogeneidad de varianzas, o variable semicuantitativa. Muestras independientes y al azar Hipótesis La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medianas (Μ) de los grupos considerados, es decir, que al menos dos de las medianas serán distintas. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medianas. H ecol : Las medianas no son todas iguales H 0 : Μ = Μ =... = Μ k 4... Procedimiento de cálculo Asignación de rangos: se realiza exactamente igual que para la U de MannWhitney. 6

17 Cálculo del estadístico H: k Ri H = N( N ) ni i= ( N ) k = número de grupos N = número totalde datos = número de datosen el grupo Cuando existen rangos ligados (dos o más números con el mismo rango) se aplica un factor de corrección, siendo H c el estadístico que se utiliza en lugar de H, calculado según la siguiente expresión: Hc = H C C = m ( ti i= N t ) i N El valor crítico del estadístico calculado (H o H c ) se consulta en la tabla de la χ si N 5, o si k > 5, para (k) grados de libertad. Si N<5 y k<5 se consulta en la tabla específica para H. Si H cal H crít (χ crít) se rechaza H 0 y se acepta H ecol (alguna de las medianas es diferente) Si H cal < H crít (χ crít) se acepta H 0 y se rechaza H ecol (las medianas son iguales) ni t i m = número de rangos ligados en cada grupo = número de grupos de rangos ligados i Caso práctico: Se quiere estudiar si el ph de cuatro charcas situadas sobre sustratos diferentes es distinto. Para ello se obtuvieron 8 muestras de agua procedentes de cada una de las charcas, midiéndose el ph en cada una de ellas. Los datos de ph se ordenaron de forma ascendente para cada charca. (Una muestra de agua de la charca nº se perdió, de forma que n =7; pero el test no requiere igualdad en el número de datos de cada grupo). Los rangos se muestran entre paréntesis. Variable dependiente: ph (cuantitativa) Variable independiente: tipo de sustrato sobre el que cada charca (cualitativa) H 0 = el ph es el mismo en las cuatro charcas H ecol = el ph no es el mismo en las cuatro charcas * Rangos ligados Charca Charca Charca Charca () 7.7 (6*) 7.74 (.5*) 7.7 (6*) 7.69 () 7.7 (0*) 7.75 (6) 7.7 (6*) 7.70 (.5*) 7.74 (.5*) 7.77 (8) 7.74 (.5*) 7.70 (.5*) 7.74 (.5*) 7.78 (0*) 7.79 () 7.7 (8) 7.78 (0*) 7.80 (.5*) 7.8 (6*) 7.7 (0*) 7.78 (0*) 7.8 (6*) 7.85 (9) 7.7 (0*) 7.80 (.5*) 7.84 (8) 7.87 (0) 7.76 (7) 7.8 (6*) 7.9 () n =8 n =8 n =7 n 4 =8 R =55 R =.5 R =45 R 4 =6.5 7

18 N = = = Ri H N ( N ) n k i= i ( N ) = () Número de gruposde rangos ligados = m = m ( t i ti) = ( ) ( i= m ( ti ti ) i= 68 C = = = N N ) ( ) ( = ) ( ) ( H.876 H c = = =.94 ν = k = χ C , = () =.876 ) ( ) = 68 H c cal > χ crít Se rechaza H 0 El ph no es el mismo en todas las charcas 5. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS: ÍNDICES DE CORRELACIÓN El coeficiente de correlación cuantifica el grado de asociación entre dos variables cuantitativas. ρ es el coeficiente de correlación real que existe entre dos variables en el conjunto de la población. r y r s son los coeficientes medidos sobre la muestra. 5.. Rangos de variación de los coeficientes Los coeficientes de correlación varían entre y del siguiente modo: a) ρ > 0 : correlación positiva. b) ρ < 0 : correlación negativa. c) ρ 0 : no hay correlación, los valores de x e y varían de forma independiente. Cuanto más cerca esté el coeficiente de ó, más fuerte es la correlación 5.. Hipótesis a) HIPÓTESIS DE DOS COLAS Existe correlación entre las variables x e y, ya sea positiva o negativa. La hipótesis nula dice que no existe correlación entre las variables. H ec : ρ 0 (ρ < 0 ó ρ > 0) 8

19 H 0 : ρ = 0 b) HIPÓTESIS DE UNA COLA Existe correlación positiva o negativa entre las variables x e y. La hipótesis nula dice que no hay correlación o que ésta es del signo contrario al esperado en la hipótesis ecológica. 5.. Selección del test H ecol : ρ > 0 H 0 : ρ 0 H ecol : ρ < 0 H 0 : ρ 0 Para seleccionar el tipo de correlación con el que analizaremos nuestros datos (paramétrica o no paramétrica), seguiremos los siguientes pasos: una vez que se haya realizado el muestreo y hayamos medido las variables x e y en la muestra, representaremos los pares de datos en un diagrama xy. A continuación comprobaremos la normalidad de las variables (construyendo el diagrama de frecuencias o utilizando un software apropiado). Si las dos variables cuantitativas siguen una distribución normal, utilizaremos la correlación de Pearson (paramétrica). Si alguna de las dos variables cuantitativas no sigue una distribución normal, utilizaremos la correlación de Spearman (no paramétrica) Correlación paramétrica: r de Pearson Procedimiento de cálculo r = El cálculo del índice de correlación de Pearson se hace a partir de la siguiente fórmula: n n= i n= x i n i= n i= n= i n= x y i i xi i= n x n n= i n= i= n i i= i= y y i i n= i n= yi n nº de pares de muestras x i valores de la variable x y i valores de la variable y A continuación, se comprueba la significación del índice de correlación calculado comparándolo con el valor de un estadístico r crit obtenido a partir de la tabla correspondiente, para una a = 0.05 o inferior y las colas que establezca la hipótesis. Si r cal r crit (a=0.05 o inferior) Se rechaza la hipótesis nula. Existe correlación Caso práctico Un ornitólogo está interesado en conocer la longitud del pico de una población de aves que estudia. Sin embargo esa medida resulta más costosa de tomar que el peso corporal. Por ello quiere saber si ambas variables se correlacionan para estimar la primera a partir de la segunda. Variables: x longitud del pico; y peso corporal. Ambas son cuantitativas y normales. Hipótesis de dos colas: H ecol : ρ 0 (ρ < 0 ó ρ > 0) H 0 : ρ = 0 Tras tomar una muestra de 0 individuos se obtienen los siguientes datos: 9

20 Obs. Longitud del pico (mm) Peso corporal (g) x y xy SUMA n = 0; r = 0.779, r cal = > r crit (0.0) n=0 = Se rechaza H 0 y se acepta H ecol Por tanto, se puede concluir que existe una correlación positiva entre el peso corporal y la longitud del pico de esa población de aves. Esto significa que los cambios en peso corporal de esas aves son un fiel reflejo de los cambios en la longitud del pico Correlación no paramétrica: r de Spearman Procedimiento de cálculo Para calcular la r de Spearman hay que realizar los siguientes pasos: Ordenar los pares de datos en función del valor de x y asignar rangos a x. Repetir la ordenación en función de y y asignar rangos a y. Calcular el coeficiente: r s = 6 i n = i= n d i n n = nº de pares de datos d i = diferencia de rangos en las variables del par i Para comprobar la significación estadística del índice de correlación se consulta en la tabla correspondiente el valor crítico de r s para n pares de datos, para p=0.05 o inferior y para el número de colas acorde con la hipótesis. Si r s cal r s crít, se rechaza H Caso práctico Se sospecha que la abundancia de la especie de gramínea Poa bulbosa en los pastizales mediterráneos depende en gran medida de la humedad que hay en el suelo. Para comprobar la hipótesis se realiza un muestreo con una cuadrícula de 0 cm de lado, que se dispone veces al azar sobre la comunidad de pasto. En cada cuadrícula se mide la cobertura de la especie y la humedad del suelo mediante un TDR. Variables: Cobertura de la especie y humedad del suelo. Ambas son cuantitativas, y no siguen una distribución normal. Hipótesis de una cola: existirá una correlación positiva entre la cobertura de Poa y la humedad. H ec : ρ > 0 H 0 : ρ 0 Tras realizar el muestreo se obtienen los siguientes datos: 0

21 Obs. Cobertura Humedad Rango cob. Rango hum. d d Suma = = 0.8 r s > r s crit (0.05) = 0.50 > Se rechaza H 0, hay correlación positiva entre la cobertura de Poa bulbosa y la humedad del suelo. Es importante destacar que este muestreo no es una demostración de una relación causaefecto entre las variables, es decir, que con este muestreo no podemos concluir que la mayor humedad de suelo es la causa de la mayor abundancia de Poa bulbosa. Para determinar relaciones de causaefecto se necesita realizar experimentos controlados y otros tests estadísticos que verifiquen ese tipo de relación.

22 6. TABLAS ESTADÍSTICAS 6.. Tabla de valores críticos del estadístico c

23 6.. Tabla de valores críticos del estadístico t de Student One tailed: hipótesis de una cola Two tailed: hipótesis de dos colas

24 6.. Tabla de valores críticos del estadístico U de Mann Whitney a una cola a dos colas n n a una cola a dos colas n n a una cola a dos colas n n

25 a una cola a dos colas n n a una cola a dos colas n n a una cola a dos colas n n

26 a una cola a dos colas n n a una cola a dos colas n n a una cola a dos colas n n

27 a una cola a dos colas n n a una cola a dos colas n n a una cola a dos colas n n

28 6.4. Tabla de valores críticos del estadístico F de Snedecor? : grados de libertad del numerador? : grados de libertad del denominador a = 0.05 a = 0.0 8

29 6.5. Tabla de valores críticos del estadístico H de KruskalWallis n n n n4 n5 a=0.05 a= n n n n4 n5 a=0.05 a=

30 6.6. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Pearson (r) Una cola Dos colas n a=0.05 a=0.0 a=0.05 a=

31 6.7. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman (r s ) a (): hipótesis de una cola a (): hipótesis de dos colas