PROBLEMAS EXAMEN FINAL/PAU MATEMÁTICAS CCSS II MAYO/2016

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1 PROBLEMAS EXAMEN FINAL/PAU MATEMÁTICAS CCSS II MAYO/2016 ÁLGEBRA 1. Una refinería utiliza dos tipos de petróleo A y B, que compra a un precio de 350 y 400 por tonelada respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0,10 toneladas de gasolina y 0,35 toneladas fuel-oil. Por cada tonelada de petróleo tipo B que refina, obtiene 0,05 toneladas de gasolina y 0,55 toneladas de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 toneladas de gasolina y al menos 50 toneladas de fuel-oil. Por cuestiones de capacidad no pueden comprar más de 100 toneladas de cada tipo de petróleo. Empleando técnicas de programación lineal, determina cuántas toneladas de petróleo de cada tipo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades a mínimo coste y cuál es el coste mínimo. 2. El dueño de un supermercado ha comprado embutido, bebidas y conservas, por un importe total de El valor de las conservas es el mismo que el de las bebidas y embutidos juntos. Si vende todos estos productos, añadiendo un beneficio del 10% en el embutido, el 20% en las bebidas y el 15% en las conservas, obtendrá un importe total de Calcula lo que pagó por cada uno de ellos 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales, siendo m un nº real cualquiera: x + my + z = 2 + m (1 m)x + y + 2z = 1 mx y z = 1 m a) Discutir en función de los distintos valores de m la solución del sistema. b) Resolver el sistema para m=0 4. Sean las matrices A = , B = y C = 2 1. Se pide: 3 2 a) Calcular la inversa de la matriz E=2A+3B b) Resolver la ecuación 2AX+3BX=4C b) Calcular A 4, A 14 y A Un banco quiere distribuir a sus empleados entre sus oficinas centrales y sus sucursales. Cada oficina central necesita 10 empleados de tipo A y 6 empleados de tipo B. Cada sucursal necesita 4 empleados de tipo A y 1 empleado de tipo B. Hay un total de 260 empleados de tipo A y 86 empleados de tipo B. Como máximo debe haber 8 oficinas centrales. Si el banco gana 3 millones de euros en una oficina central y un millón de euros en una sucursal, empleando técnicas de programación lineal, determina cuántas oficinas centrales y sucursales debe abrir para que el beneficio sea máximo y cuál será el beneficio máximo. 6. Encontrar el valor o valores de kєr para los que la matriz C=AB no tiene inversa, siendo A= 1 2 k y B = k Sean las matrices A = y B = a) Calcular A -1 b) Resolver la ecuación XA+B=I 3, siendo I 3 la matriz nula de orden Sea matriz A= , comprobar que A2 = I 2, siendo I 2 la matriz unidad de orden 2. A) Calcular A -1, A 4 y A 2015 B) Calcular el valor de la matriz Z que cumple la ecuación matricial 2A 4 Z+ A 3 =4A+ A Sabiendo que se verifica la ecuación matricial AB t X+X=2B, siendo A = 1 y B = 1 y que B t es la 0 1 matriz traspuesta de B, cuál es el orden de la matriz X?. Calcular la matriz X. 1

2 x Sean las matrices A = 2x 1 B = 1 z 1 y C = 2z D = 0 donde x, y z son desconocidos. x 1 z 1/3 a) Sabiendo que AB+C=3D, plantea el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de x, y, z. b) Estudia el sistema anterior por el método de Gauss. Cuántas soluciones tiene?. Encuentra una si es posible. 11. Sean las matrices A = y B = a) Calcular la matriz A -1. b) Calcular el valor de la matriz X que cumple la ecuación matricial A 2 + AX=2B-3I 2, siendo I 2 la matriz unidad de orden 2 (m + 1)x + y + z = Dado el sistema de ecuaciones lineales, siendo m un nº real cualquiera: x + 2y + mz = 4 x + my + 2z = 2 a) Discutir en función de los distintos valores de m la solución del sistema. b) Resolver el sistema para m= Una fábrica produce tres tipos de herramientas: A, B y C. En la fábrica trabajan tres obreros, durante 8 horas diarias cada uno, y un revisor para comprobar las herramientas durante 1 hora diaria. Para fabricar una herramienta de tipo A se emplean 2 horas de mano de obra y se necesitan 6 minutos de revisión, para la fabricación de una de tipo B se emplean 4 horas de mano de obra y 4 minutos de revisión y para una de tipo C se necesitan 1 hora de mano de obra y 4 minutos de revisión. Por limitaciones en la producción, se deben producir exactamente 12 herramientas al día. Calcula el número de herramientas de cada tipo que se elaboran cada día en la fábrica. 14. Una confitería realiza una oferta a sus clientes a través de dos tipos de lotes A y B. El lote A lleva 3 tabletas de turrón y 5 cajas de bombones. El lote B está compuesto por 5 tabletas de turrón y 3 cajas de bombones. Por cuestiones de estrategia comercial, el número de lotes tipo B debe ser menor que el número de lotes de tipo A incrementado en 4. Para cubrir esta oferta, disponemos en el almacén de 52 tabletas de turrón y de 60 cajas de bombones, 60. La venta de un lote del tipo A reporta una ganancia de 6,5 y uno del tipo B, 8,5. Empleando técnicas de programación lineal, determina el número de lotes de cada tipo que debe vender para que la ganancia sea lo mayor posible y calcula la ganancia máxima Discutir en función de los distintos valores de m la solución del sistema y resolverlo caundo sea compatible indeterminado. (m + 1)x + y + z = 3 A) x + 2y + mz = 4 x + my + 2z = 2 x + y + mz = m B) y z = m x + my + z = m b 1 2 x Discutir en función de los valores del parámetro b (nº real) el sistema: y = 0 1 b 2 z 0 Resolverlo en los casos de compatibilidad. α Sea la matriz A = i) Para qué valores de α la matriz A tenga inversa? 0 1 α ii) Estudiar el rango de la matriz según los valores de α. k Sean las matrices A = 1 k, B = k y X = x y, donde k es un nº real cualquiera Discutir en función de k la solución del sistema AX=B. 2

3 Sean las matrices A = 2, B = 2, C = 0 1 0, D = 2 y E = 5. Se pide: a) Calcular AB t. Esta matriz, tiene inversa? b) Rango de AD t. x c) Calcular la matriz M= y tal que (AB t +C)M=E. z Dadas las matrices B = 0 1 0, mєr, C = y D = m a) Encontrar el valor de m para que exista la inversa de la matriz B. Calcular B -1 para m=1. b) Para m=1, calcular la matriz X que cumple XB+C=D ANÁLISIS 1. El rendimiento, en %, de una máquina, a lo largo de las 7 horas que permanece en funcionamiento cada día, viene dado por la función f(x) = x 3-10,5x 2 +30x donde x indica el número de horas transcurridas desde que la máquina se pone en marcha. a) Determina en qué momento se produce el máximo y el mínimo rendimiento. b) Calcula el rendimiento de la máquina en esos dos momentos del día. 2. Se considera la función definida por f(x)= x 3 +ax 2 +bx, con a y b R a) Qué valores debe tomar a y b para que la f(x) tenga un máximo relativo en el punto P(1,4)? b) Para a = -2 y b = -8, calcular los puntos de corte de la gráfica de f(x) con los ejes coordenados y los puntos de inflexión de dicha gráfica. 3. Dada la función f(x) = () a) Calcula sus asíntotas y estudia su posición relativa respecto a la función. b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y sus mínimos. c) Con los datos anteriores, representa gráficamente la función. 4. Un agricultor dispone de 3000 para cercar un terreno rectangular, usando el río adyacente como lado con el fin de que el recinto sólo necesite 3 cercas. El coste de la cerca paralela al río es de 5 por metro instalado, y el de la cerca para cada uno de los lados restantes es de 3 por metro instalado. Calcula las dimensiones del terreno de área máxima que puede cercar con el presupuesto que tiene. a + x + ln(x + 1) si x 0 5. Calcular el valor que deben tomar a y b R para que la función f(x) = x + be si x < 0 sea continua y derivable en x=0. 6. La producción de cierta hortaliza Q(t), en kg, en un invernadero depende de la temperatura t, en ºC según la función: Q(t) = (t + 1) (32 t) a) Calcular la temperatura a mantener en el invernadero para que la producción sea máxima y la producción de hortaliza que se obtendrá a esa temperatura. b) Estudiar la variación de la producción de hortalizas en el intervalo de temperaturas desde -1 a 32 grados centígrados. c) Representar de manera aproximada la función en ese intervalo. 7. Dada la función f(x) = () a) Calcula sus asíntotas y dibuja su posición relativa respecto a f(x). b) Determina sus intervalos de crecimiento, sus máximos y sus mínimos. 3

4 c) Con ayuda de la información anterior y los puntos de corte con los ejes, representa la función. 8. a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x + 3x 4 en su punto de inflexión. b) Calcular el valor de m, nº real, sabiendo que la función f(x) = 1 + tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=3. Se trata de un máximo o un mínimo?. Razona la respuesta. 9. Una persona desea donar sus 3000 libros a dos bibliotecas A y B. En las instrucciones de donación, deja establecido que los dos lotes de los libros se repartan de modo que el producto del número de libros destinados a la biblioteca A por el cubo del número de libros destinados a la biblioteca B sea máximo. Determina la cantidad de libros recibida por cada biblioteca. 10. Sea f(x) = ax. Calcular los valores de a y b, nº reales, para que la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=1 sea y=3x Dada la función f(x) = () a) Calcula sus asíntotas. b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y sus mínimos. c) Traza un dibujo aproximado de la representación gráfica de f(x). 12. Una fábrica arroja diariamente material contaminante a una balsa según el ritmo dado por la siguiente función: m(t) = 0,01t 0,2t + t + 1 siendo m la cantidad de material en kg y t la hora del día. a) A qué hora del día se arroja la mínima cantidad?. b) Estudiar la variación de la cantidad de material arrojado a la charca a lo largo de un día. 13. Una panadería se dedica a la elaboración y venta de magdalenas caseras. El coste en euros de producir diariamente x kg de magdalenas viene dado por la función f(x) = 0,02x 0,3x + x El precio de venta de 1 kg de magdalenas es 5 euros. a) Determina la función de beneficio neto diario de la panadería por la producción de las magdalenas. Cuál es el beneficio del panadero si en un día elabora y vende exactamente 5 kg de magdalenas? b) Halla la cantidad de magdalenas que debe elaborar diariamente para conseguir el mayor beneficio. Cuál es el beneficio máximo que puede alcanzar al día por la elaboración y venta de magdalenas? representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo x el nº de artículos vendidos. Calcula el nº de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máximo y determina dicho beneficio máximo. + 1 si x < Sea la función f(x) = x si 0 x < 2 3x + 2 si x 2 a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función f (x) en todos sus puntos. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto x = 1. c) Representa gráficamente la función f (x). 16. La puntuación obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo t, expresado en horas, 14. La función B(x) = que se haya dedicado a su preparación según la siguiente función: P(t) = si 0 t 15, si t > 15 a) Estudiando hasta 15 horas, a qué puntuación podemos llegar? Cuántas horas hay que dedicar a preparar un examen para obtener una puntuación de 7,5 puntos? b) Justifica que la puntuación nunca puede superar los 10 puntos. e si x < Dada la función f(x) = x + 2a si 0 x 2, calcular el valor de a y b para que f(x) sea continua en 1 x > 2 todo R. 18. Calcular el valor de k para que la función f(x) = si x 3 sea continua en x=3. k si x = 3 4

5 19. El rendimiento físico de cierto deportista de élite durante un tiempo de 60 minutos, viene dado a través 20t t si 0 t < 15 de la función: f(t) = 75 si 15 t < si 30 t 60 a) Representa gráficamente dicha función. b) A la vista de la gráfica obtenida, o mediante los cálculos oportunos, identifica en qué momentos del tiempo el deportista alcanza su máximo rendimiento físico, mantiene su rendimiento físico y disminuye su rendimiento físico. 20. Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad x que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión : R(x) = 0,001x + 0,4x + 3,5 con x 10. a) Calcula la rentabilidad para una inversión de euros b) Deduce y razona qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad y qué rentabilidad máxima se obtendría. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1. El censo realizado en una comunidad autónoma española determina que el 40% de la población inmigrante procede del norte de África, el 20 % procede de países asiáticos y el resto procede de los países de Sudamérica. Además, el 50% de los procedentes del norte de África, el 25% de los procedentes de Asia y el 65% de los procedentes de Sudamérica están en situación administrativa legal. a) Elegido un inmigrante al azar, cuál es la probabilidad de que su situación administrativa sea ilegal? b) Elegido un inmigrante en situación administrativa ilegal, cuál es la probabilidad de que proceda de Sudamérica? 2. La probabilidad de que Juan y Luis consigan una canasta de tres puntos jugando al baloncesto es 7/9 y 5/7, respectivamente. Cada uno de ellos realiza un lanzamiento de tres puntos, calcular: a) La probabilidad de que los dos jugadores consigan un triple. b) La probabilidad de que solamente uno de los dos jugadores consiga un triple. c) La probabilidad de que al menos uno de los dos jugadores consiga un triple. 3. En una ciudad el 80% de la población adulta ven la TV, el 30% lee algún libro y el 25% ve la TV y lee algún libro. Si pide a) De entre los que leen libros, qué porcentaje ve la TV?. b) Porcentaje de los que no hacen ninguna de las de los cosas. c) Elegido un habitante al azar, la probabilidad de que no vea TV y lea algún libro. d) Sabiendo que una persona no lee libros, qué probabilidad hay de que vea TV?. 4. A) El 10% de las personas tiene miedo a las arañas, el 30% a las ratas y el 8% a las dos, cuál es la probabilidad de que una persona tenga miedo a las arañas o a las ratas? (1 punto) B) El 60% de los clientes de una frutería compran naranjas y el 30% no compra ni naranjas ni manzanas. Qué porcentaje de clientes compra manzanas, pero no naranjas? (1,5 puntos) 5. A) Un examen de oposición consiste en desarrollar por escrito un tema de un total de 50. El tribunal elige al azar 2 temas y cada candidato debe escoger uno de ellos. Halla la probabilidad de que un candidato suspenda el examen si tan sólo ha estudiado 35 temas. B) Calcula P(AUB) y P(A/B)sabiendo que P(A) = 2/5, P(B) = 1/5 y P(B / A) = 1/3 6. Sean A y B dos sucesos independientes, tal que P(A) = 0.2 y P(A B) = Hallar P( A B). 7..La probabilidad de que un niño, cuando sea mayor, estudie una carrera universitaria es 1/6 y en el caso de una niña es 1/10. Si se toman al azar un niño y una niña, calcula las probabilidades siguientes: a) Que los dos estudien una carrera universitaria. 5

6 b) Que ninguno de ellos estudie una carrera universitaria. c) Que al menos uno de ellos estudie una carrera universitaria. 8. En una urna hay 10 bolas blancas y 6 negras. Sacamos dos bolas sucesivamente y sin reemplazamiento y definimos la variable aleatoria X como el nº de bolas negras extraídas. Hallar la función de probabilidad asociada a esa variable y calcula el número esperado de bolas negras extraídas. 9.- En un supermercado, el 70% de las compras las realizan mujeres y el resto hombres.. De las compras realizadas por una mujer, el 80% supera los 20., mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad.) Elegido un ticket de compra al azar, cuál es la probabilidad de que supere los 20.? 10. El diámetro de las cabezas de unos tornillos sigue una distribución normal de media μ= 5.5 mm y varianza σ 2 =0.64 mm 2. Sabiendo que los tornillos son aprovechables si su diámetro está entre 4.3 y 7.1 mm, cuál es el porcentaje de tornillos aprovechables? 11. Los salarios mensuales de una empresa siguen una distribución normal de media 7000 y desviación típica Sabiendo que un 10% de las personas ganan más que el trabajador X Cuánto gana el trabajador X? 12. El departamento de personal de una empresa ha hecho un estudio sobre las edades de sus empleados y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 44 años. De un total de 500 empleados hay 17 con más de 55 años. Cuál es la desviación típica?. 13. La probabilidad de que un golfista haga hoyo en un lanzamiento es 0,4. Si lo intenta 10 veces, calcula la probabilidad de que acierte a lo sumo 2 veces. Si lanza 1000 veces y su capacidad de acierto se mantuviera, cuál es la probabilidad de que acierte más de 450 veces?. 14. Un examen tipo test consiste en 60 preguntas, con dos posibles respuestas: verdadero o falso. Para aprobar es necesario contestar correctamente al menos a 50 preguntas. La probabilidad de que Juan conozca la respuesta a cada pregunta es 0,8. Calcula la probabilidad de que apruebe el examen. 15. El departamento de personal de una empresa ha hecho un estudio sobre las edades de sus empleados y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 44 años. De un total de 500 empleados hay 17 con más de 55 años. Cuál es la desviación típica?. 16. Junio La temperatura del cuerpo humano sigue una distribución normal de media 37 ºC y desviación típica de 0.5 ºC. a) Halla la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre 36.5 ºC y 37.5 ºC. b) Si elegimos una muestra de 25 personas, cuál es la probabilidad de que la media de sus temperaturas sea mayor que 36.7 ºC? 17. Una industria conservera envasa latas de sardinas, cuyo peso sigue una distribución normal con media μ y desviación típica σ =1. a) Suponiendo que μ = 90 gramos y que cada lata debe pesar entre 88 y 92 gramos para salir al mercado, qué proporción de latas salen efectivamente al mercado? b) Suponiendo que se desconoce μ, se toma una muestra de 25 latas para su estimación, obteniéndose un media muestral de gramos. Determina un intervalo de confianza al 95% para μ. 18. Sept La estatura de los alumnos de un colegio es una variable aleatoria que tiene una distribución normal de desviación típica 25 cm. Se ha elegido una muestra de 100 alumnos de ese colegio comprobándose que la estatura media es de 170 cm. Calcula: a) El intervalo de confianza para la estatura media con un nivel de confianza del 99%. 6

7 b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95%, un error máximo de 8 cm en la estimación de la estatura media. 19. El 5% de los clientes de una entidad bancaria son morosos. Cuál es la probabilidad de encontrar al menos un moroso entre 10 clientes elegidos al azar? 20. Una panadería fabrica panes cuyos pesos tienen una distribución normal con media μ y desviación típica σ. a) Calcula la desviación típica σ, si μ = 250g y el 90% de los panes pesa más de 245g. b) Suponemos ahora μ desconocido. Obtén un intervalo de confianza al 95% para μ si σ = 3 y la media muestral basada en una muestra de tamaño n = 16 resultó ser 251g. 21. El diámetro de las cabezas de unos tornillos sigue una distribución normal de media μ= 5.5 mm y varianza σ 2 =0.64 mm 2. Sabiendo que los tornillos son aprovechables si su diámetro está entre 4.3 y 7.1 mm, cuál es el porcentaje de tornillos aprovechables? 22. Junio Una empresa fabrica tornillos para llantas cuyo diámetro sigue una distribución normal de media μ milímetros y desviación típica 2 milímetros. Se selecciona un lote de 100 tornillos y resulta una media muestral de 19 milímetros. a) Determina un intervalo de confianza al 98% para μ. b) Para un determinado modelo de automóvil, se exige que el diámetro medio de los tornillos sea de 20 milímetros. Plantea un test de hipótesis que permita decidir si los tornillos fabricados se ajustan a este tamaño, con una confianza del 95%. 23. El 10% de los huevos de un supermercado están rotos. Halla la probabilidad de que un cliente que compra media docena de huevos encuentre como mucho un huevo roto. 24. Sept En un almacén hay un gran número de cajas. El peso de cada una de ellas es una variable aleatoria con distribución normal de media 50 kg y desviación típica 5 kg. a) Halla el porcentaje de cajas que pesan entre 50 y 55 kg. b) Para transportar las cajas se dispone de un camión que tiene autorizado un peso máximo de 2000 kg en total. Cuál es la probabilidad de que el camión soporte la carga de 41 cajas sin exponerse a superar el peso máximo autorizado? 25. En cierto instituto aprueba la asignatura de filosofía el 80% de los alumnos. Cuál es la probabilidad de que de un grupo de 8 alumnos elegidos al azar hayan aprobado 6 alumnos? 26. Junio En un determinado municipio, los ingresos mensuales de sus habitantes siguen una distribución normal de media μ y desviación típica 200. Se seleccionó al azar una muestra de 100 personas cuya media de ingresos mensuales resultó de a) Para un nivel de confianza del 95%, calcula un intervalo de confianza para el ingreso medio mensual en ese municipio. b) Si se toma un nivel de significación de 0.01, calcula el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el ingreso medio mensual con un error menor de La probabilidad de romper una galleta al ser envasada es el 1%. Si en un envase hay 10 galletas, cuál es la probabilidad de que al menos una galleta esté rota debido a la operación de envasado? 28. Sept Una Universidad pública recibe 800 solicitudes de acceso para uno de los Grados en los que la oferta de plazas se reduce a 120. Sabiendo que la nota final, de un solicitante, después de las pruebas de acceso sigue una distribución normal de media 7.3 y desviación típica 0.7, calcula la nota mínima para obtener una de las 120 plazas ofertadas. 29. Junio El porcentaje de vacas que enferman después de suministrarlas una determinada vacuna es del 2%. En una granja se vacuna a 600 vacas. a) Halla el número esperado de vacas vacunadas que no enfermarán. b) Halla la probabilidad de que, como máximo, enfermen 20 vacas vacunadas. 7

8 30. Sept Los pesos de los sacos de leña que se venden en una gasolinera siguen una distribución normal con desviación típica 1 kg. Se quiere comprobar con una confianza del 95% que el peso de 10 kg que marca la etiqueta de cada saco es correcto. Para ello se toman al azar 100 sacos de leña, resultando un peso medio de 9.75 kg. a) Plantea un test de hipótesis adecuado que permita hacer la comprobación requerida. b) Proporciona un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de los sacos. 31. Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución normal N(50,10). Calcula la probabilidad P(X>=80) 32. Junio Según cierto estudio, el tiempo, medido en horas, que un alumno de Bachillerato estudia en la biblioteca semanalmente sigue una distribución normal con media μ y desviación típica 2.5. Al tomar una muestra aleatoria de 100 estudiantes, se obtuvo una media muestral de 6.5 horas. a) Suponiendo que la media poblacional es μ = 6.3 horas, es compatible el resultado muestral con ese valor poblacional, considerando un nivel de confianza del 95%? b) Para el mismo nivel de confianza y suponiendo μ desconocida, determina el tamaño muestral adecuado para que el error máximo cometido en su estimación sea de 0.1 horas. 33. Septiem Se sabe que el tiempo que una persona dedica a ver la televisión cada día sigue una distribución normal con media μ minutos y desviación típica σ = 20 minutos. Un estudio desea comprobar si el tiempo medio diario por persona viendo la televisión es de 3 horas. Para ello se entrevista a una muestra representativa de 225 televidentes, resultando un tiempo medio muestral de 188 minutos. a) Plantea un test de hipótesis que permita decidir si el tiempo medio es de 3 horas con una confianza del 95%. b) Proporciona un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio μ dedicado a ver la televisión. 34. Junio Una panadería elabora magdalenas caseras cuyos pesos siguen una distribución normal con media 40 gramos y desviación típica 5 gramos. a) Calcula el porcentaje de magdalenas que pesan más de 43 gramos. b) Las magdalenas se empaquetan en bolsas de 20 magdalenas para su venta. El panadero considera aceptable una bolsa cuando su peso no supera los 820 gramos. Cuál es la probabilidad de que una bolsa no sea aceptable? 35. En una localidad llueve en 73 de los 365 días del año. Cuál es la probabilidad de que llueva más de 2 días en una semana cualquiera? 36. La duración de una batería de móvil sigue una distribución normal de media 3 años y desviación típica 0.5 años. Calcula la probabilidad de que una batería dure entre 2 y 4 años. 37. Sept La temperatura corporal es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 36.7 ºC y desviación típica 3.8 ºC. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 personas. a) Calcula la probabilidad de que la temperatura corporal media de la muestra sea menor que 36.9 ºC. b) Calcula la probabilidad de que la temperatura corporal media de la muestra esté comprendida entre 36.5 ºC y 37.3 ºC. 38. Sept Las especificaciones de un fabricante de botes de pintura dicen que el peso de los botes sigue una distribución normal de media 1 kg de pintura y una desviación estándar de 0,1 kg. a) Cuál es la media y la desviación estándar de la media muestral de los pesos de una muestra aleatoria simple de 20 botes? b) Se ha comprado un lote del que se ha tomado una muestra de 20 botes y en el que la media de los pesos obtenidos es de 0,98 kg, Construye un intervalo de confianza del 95% para la media. 39. Junio Una máquina de llenado, está diseñada para llenar bolsas con 300 g de cereales. Con el objeto de comprobar el buen funcionamiento de la máquina, se eligen al azar 100 bolsas llenadas en un día y se pesa su contenido. El valor de la media muestral fue de 297 gramos. Suponiendo que la variable 8

9 peso tiene una distribución normal con varianza 16, es aceptable el funcionamiento de la máquina al nivel 0,05? 40. Junio Se quiere estimar la media de la nómina mensual que reciben los directivos de las compañías multinacionales que operan en Europa. a) Si la varianza de la nómina en la población es de Cuál es la varianza de la media muestral cuando el tamaño de la muestra es de 100?. b) Si en las condiciones del apartado anterior, la media muestral es de 4008 Se rechazaría, con un nivel de confianza del 0,95, la hipótesis de que la nómina media es de 4000?. 41. Una máquina de envasado automático de refrescos vierte en cada lata una cantidad de refresco que puede suponerse que sigue una distribución normal de media 32, 5 cl y desviación típica 0, 5 cl. El llenado de la lata se considera incorrecto si la cantidad de refresco vertido es inferior a 31,5 cl ó superior a 34 cl. a) Cuál es el porcentaje de llenados incorrectos para esta máquina?. b) Cuál es la probabilidad de que en el llenado de 3 latas con esa máquina todos los llenados sean correctos? 9