PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE ECONOMIA. Abril, 1999

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1 ISSN: PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE ECONOMIA Oficina de Publicaciones Casilla 76, Correo 17, Santiago VALORIZACION DE DERIVADOS Trabajo Docente Nº 64 Viviana Fernández M * Abril, 1999 * Profesor Instituto de Economía, Pontificia Universidad Católica de Chile. Agradezco el financiamiento de este proyecto por parte de la Vicerrectoría Académica de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Los valiosos comentarios de Julio Galvez y demás participantes del seminario realizado en Termas del Corazón en enero de 1999 han permitido mejorar una versión anterior de este documento docente. Cualquier error u omisión es de mi exclusiva responsabilidad.

2 INDICE Capítulo 1: Conceptos Básicos sobre Opciones, Forwards y Futuros 1 1. Introducción 1 2. Tipos de Derivados 1 3. Futuros y Forwards 8 4. Restricciones Básicas de No Arbitraje para el Precio de Opciones Ejercicio Optimo de Opciones Americanas 27 Referencias 31 Ejercicios Propuestos 31 Capítulo 2: El Modelo Binomial de Valoración de Opciones Introducción Portafolio Réplica de una Opción Fórmula Binomial General Réplica Dinámica Ejemplos del Uso del Arbol Binomial Es el Modelo Binomial Razonable? La Fórmula de Black-Scholes Extensiones de la Fórmula de Black-Scholes 55 Apéndice: Conceptos Básicos sobre Procesos Wiener y el Lema de Ito 59 Referencias 70 Ejercicios Propuestos 71 Capítulo 3: Cobertura de Riesgo de Opciones Introducción Posiciones Cubiertas y Descubiertas La Estrategia de Comprar y Vender Técnicas de Cobertura de Riesgo Más Elaboradas Derivadas Parciales de Otros Derivados: Futuros y Forwards Cobertura de Riesgo 87 Referencias 93 Ejercicios Propuestos 95 Capítulo 4: Valorización de Instrumentos Financieros Corporativos con Teoría de Opciones Introducción Bonos Simples y Patrimonio Warrants Bonos Rescatables 109

3 5. Bonos Convertibles No Rescatables con Opción de Conversión Europea Bonos Convertibles No Rescatables con Opción de Conversión Americana Bonos Rescatables Convertibles 113 Referencias 115 Ejercicios Propuestos 116 Capítulo 5: Swaps, Derivados en Instrumentos de Renta Fija y Estructura de Tasas de Interés Introducción Swaps en Tasas de Interés: Swap Vainilla Simple Valorización y Hedging de Swaps en Tasas de Interés Swaps en Moneda Extranjera Swaptions Opciones en Tasas de Interés Introducción a los Derivados en Instrumentos de Renta Fija y Estructura de Tasas de Interés 130 Referencias 140 Ejercicios Propuestos 141 Capítulo 6: Opciones Reales Introducción Limitaciones de la Regla del Valor Presente Neto Analogía entre una Opción de Inversión y una Opción Financiera Uso del Instrumental de la Teoría de Opciones para Evaluar un Proyecto de Inversión Uso de Cálculo Estocástico para Modelar Opciones Reales 156 Referencias 166 Ejercicios Propuestos 166

4 TRABAJO DOCENTE Nº 64 1 CAPITULO 1 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE OPCIONES, FORWARDS Y FUTUROS 1. INTRODUCCION Un derivado es un instrumento financiero cuyo valor está enteramente basado en el precio de uno o más activos subyacentes. En muchos casos, el activo subyacente es también un instrumento financiero (por ejemplo, una acción o un bono). En los últimos años, el estudio de los derivados se ha convertido en un tema de gran interés en el campo de las finanzas. Un gran número de estudios, tanto teóricos como empíricos, se publica cada año en revistas líderes como The Journal of Finance, The Journal of Financial and Quantitativa Analysis y The Journal of Derivatives, entre otras. Tal interés académico se ha visto motivado tanto por los grandes volúmenes de contratos futuros y opciones transados en los principales mercados financieros mundiales, como por todas aquellas transacciones en contratos forward, swaps y opciones exóticas que tienen lugar fuera de las bolsas (mercados over-the-counter). Dado que los flujos futuros del derivado son determinados por el precio futuro del activo subyacente, es posible obtener una relación entre los precios corrientes del derivado y del activo subyacente en base a argumentos de arbitraje. Dicha relación es a menudo independiente de factores tales como la aversión al riesgo de los agentes que participan en el mercado, y de ciertas características del activo subyacente. El objetivo de este documento docente es dar una visión general de la valoración de instrumentos derivados. Las secciones están estructuradas de manera tal de dar un buen marco teórico sin perder de vista la utilidad práctica del material presentado. A manera de complementar los ejemplos presentados en cada capítulo, se proporciona un conjunto de ejercicios propuestos. Al final de cada capítulo, se presenta una lista de referencias para aquellos lectores que deseen profundizar algunos de los temas aquí presentados. 2. TIPOS DE DERIVADOS Contratos Forward Un forward es un acuerdo entre dos partes para comprar (vender) un bien a un precio preespecificado en una fecha determinada. Aquella parte que acuerda comprar el bien en el futuro tiene una posición larga. En tanto que aquella parte que acuerda vender el bien en el futuro tiene una posición corta. Un contrato forward tiene las siguientes especificaciones: -Cantidad y calidad del bien a ser entregado -Precio de entrega (K)

5 2 VALORIZACION DE DERIVADOS -Fecha de entrega (T) -Lugar de entrega Un contrato forward, además, se caracteriza por el hecho de que el número neto de contratos pendientes es siempre cero. Esto es, el número de posiciones largas iguala el número de posiciones cortas. Los forward son además un juego de suma-cero: las ganancias del ganador son iguales a las pérdidas del perdedor. Ejemplo: Uso de un contrato forward para cobertura de riesgo (hedging) Un fabricante americano espera realizar ventas por un millón de marcos alemanes en Alemania en seis meses más. Su compañía desea protegerse del riesgo asociado con fluctuaciones en el tipo de cambio US$/DM. Los precios corrientes de contratos forward para marcos alemanes (DM) son los siguientes: Fecha Spot 30 días 90 días 180 días Precio foward (US$) 0,659 0,661 0,664 0,668 Para protegerse del riesgo cambiario, este fabricante entra en un contrato forward para vender 1 millón de DM a un precio de US$0,668 en 180 días más. Es decir, éste se compromete a convertir sus ganancias en DM a US$ al tipo de cambio preestablecido. Si S(T) representa el spot en el momento del vencimiento del contrato, la ganancia o pérdida por unidad que experimenta el productor está dada por K-S(T). Esto es, la diferencia entre el tipo de cambio preestablecido y aquél vigente en el mercado en el momento del vencimiento del contrato. Gráficamente, Figura 1: Ganancia/Pérdida Asociada a un Contrato Forward Ganancia/Pérdida Posición larga K S(T), spot en T Posición corta

6 TRABAJO DOCENTE Nº 64 3 b) Futuros Al igual que los forward, los futuros son acuerdos entre dos partes para comprar (vender) un bien a un precio preespecificado. Sin embargo, mientras que los forward son generalmente acuerdos privados entre dos instituciones o una institución y un banco, los futuros son acuerdos regulados y transados en la bolsa (por ejemplo, requerimientos de un margen para cubrir la posición tomada), estandarizados y modificados por fluctuaciones en el precio de mercado (marked-to-market). Los requerimientos de márgenes y el proceso de marked-to-market apuntan a minimizar el riesgo para la bolsa. Ejemplos de centros financieros donde se transa un gran volumen de futuros son el Chicago Board Exchange (CBOT), Chicago Mercantile Exchange (CME), New York Merchantile Exchange (NYMEX) de Estados Unidos y London International Financial Futures Exchange (LIFFE) del Reino Unido. Los contratos estandarizados especifican: -Cantidad y calidad del bien a ser entregado -Fecha de entrega 1 -Lugar de entrega -Precio de entrega -Límites en el movimiento del precio Tanto la posición compradora como la vendedora operan a través de intermediarios financieros, tales como agentes de la bolsa. Ejemplo: Uso de los futuros para protegerse del riesgo de fluctuaciones cambiarias Volvamos a nuestro ejemplo del productor americano. Supongamos que éste entra en una posición corta en futuros en marcos alemanes para junio, los cuales se transan en el International Money Market (IMM) subsidiario del CME. Cada contrato es un acuerdo para comprar DMs. Por lo tanto, el productor necesita tomar una posición corta en 8 de ellos (esto es, se compromete a vender 1 millón de DMs). Supongamos que los precios de los futuros en DMs están dados por: Fecha Spot 30 días 90 días 180 días Precio futuro (US$) 0,6597 0,6631 0,6676 0,6721 Márgenes y Liquidación Diaria (marking-to-market) A fin de entrar en el contrato de futuros, la firma tiene que poner un margen inicial de aproximadamente: 1 La posición corta (esto es, el que vende) tiene usualmente un lapso de un mes en el cual puede hacer entrega del bien.

7 4 VALORIZACION DE DERIVADOS bolsa). 8 contratos x US$1.000/contrato=US$8.000 (monto fijado por el corredor de la El margen de mantención es usualmente 75% del margen inicial, el cual asciende a US$6.000 en este caso. El día cero, la firma vende el contrato en DMs para junio al precio de US$0,668/DM. El día 1, el futuro en DM para junio fluctúa a US$0,669/DM. En dicho caso, al final del día la cuenta de la firma disminuiría en: (0,669-0,6676)(US$/DM) x =US$ La firma tiene ahora una posición corta en ocho contratos de futuros al precio de US$0,669 DM, idénticos a otros contratos en DM para junio. Ello implica que el precio original del futuro no es más un factor relevante en el valor de los contratos. El margen de la firma es ahora US$6.600, el cual es más alto que el margen de mantención. En caso contrario, la firma recibiría lo que se denomina un aviso de margen (call margin): cuando el margen de la firma cae por debajo del de mantención, la firma debe depositar en su cuenta la diferencia entre el margen de mantención (US$8.000 en este caso) y el margen prevaleciente en su cuenta. Un escenario para los próximos días es el siguiente: Fecha Precios futuro en DM, Junio Ganancia de la posición Poner/sacar cuenta de margen Saldo al final del día Día 0 0,6676 US$/DM --- $8.000 $8.000 Día 1 0,6690 US$/DM -US$ $6.600 Día 2 0,6700 US$/DM -US$1.000 $2.400 $8.000 Día 3 0,6685 US$/DM US$ $9.500 Este proceso de liquidación diaria continúa hasta que la firma cierra su posición corta al comprar ocho contratos en marcos (esto es, posición larga), o bien al entregar 1 millón de marcos en la fecha de maduración del contrato al precio prevaleciente del futuro (el cual coincidirá con el spot en dicho caso). Esto nos muestra que un futuro es finiquitado y reescrito a un precio nuevo cada día. El pago (ganancia/pérdida) de un futuro es cercano al de un forward. La única diferencia es que la ganancia o pérdida se materializa gradualmente, y no de una vez como en un contrato forward. Opciones Existen opciones tanto de compra como de venta. Una opción de compra o call da el derecho (pero no la obligación) a comprar un activo a un precio preespecificado (precio de ejercicio o strike ) en la fecha de expiración o antes. Una opción de venta o put da el derecho (pero no la obligación) a vender un activo a un precio preespecificado (precio de ejercicio o strike ).

8 TRABAJO DOCENTE Nº 64 5 Es importante señalar que, a diferencia de los contratos forward y futuros, el dueño de la opción no está obligado a comprar o vender el activo es su opción. Esto implica que la opción será ejercida sólo si proporciona un flujo de caja neto positivo a su poseedor. Existen dos grandes grupos de opciones: las americanas y las europeas. Una opción europea puede ser ejercida sólo en su fecha de vencimiento. Por contraste, una opción americana puede ser ejercida en cualquier momento antes de su expiración. Todas las opciones sobre acciones que se transan en los principales mercados financieros mundiales son americanas. Por su parte, todas las opciones en índices accionarios son europeas, a excepción del S&P 100. Ejemplos de centros financieros donde se transan opciones son el CBOE, Philadelphia Exchange (PHLX), American Stock Exchange (AMEX), Pacific Stock Exchange (PSE) y el New York Stock Exchange (NYSE) de Estados Unidos. Sea S el precio del activo subyacente sobre el cual la opción fue escrita y K el precio de ejercicio de ella. Se dice que una call está in-the-money valdría algo en caso de ser ejercida si S>K. Por contraste, se dice que una put está in-the-money si K>S. La siguiente tabla resume todos los casos posibles de S con respecto a K: S<K S=K S>K Call Out-of-the-money At-the-money In-the.money Put In-the-money At-the-money Out-of-the-money Cuando una opción está out-of-money, su dueño no la ejercerá puesto que perdería dinero. Cuando S=K, el poseedor de la opción está indiferente entre ejercerla o no. Si una call es mantenida hasta su fecha de maduración (T), su valor está dado por: C(T)=max(0, S(T)-K). Si una put es mantenida hasta su fecha de maduración (T), su valor está dado por: P(T)=max(0, K-S(T)), Los diagramas de ganancias o pagos muestran el valor de la opción en la fecha de maduración como función del precio del activo subyacente (esto es, una acción):

9 6 VALORIZACION DE DERIVADOS Figura 2 Funciones de Pago de una Call y Put al Vencimiento (Posición Larga) $ $ K S(T) S(T) Pago de una call en T (posición larga) Pago de una put en T (posición larga) También podemos obtener las funciones de pago al vencimiento de opciones escritas (posiciones cortas). Como se puede ver, el pago de una opción escrita es simplemente el negativo del pago de una opción comprada (posición larga). Notemos que éste es siempre negativo en el momento del vencimiento. Figura 3 Funciones de Pago de una Call y Put al Vencimiento (Posición Corta) $ $ K S(T) K S(T) -K Pago de una call escrita en T Pago de una put escrita en T

10 TRABAJO DOCENTE Nº 64 7 Para ver las ganancias totales debemos restar (sumar) el valor pagado (cobrado) por la opción en t, con t<t. Los gráficos de ganancias totales en T, momento de expiración de la opción, se muestran en la figura 4 (por simplicidad, se ignora el valor del dinero en el tiempo). Figura 4 Ganancia de una Call y Put al Vencimiento (Posición Larga) $ $ K K S(T) K S(T) -c(t) -p(t) Ganancia de una call Ganancia de una put Para un buen tratamiento de aspectos institucionales que rigen a las transacciones en opciones, el lector puede referirse al libro de Hull (1997). Aquí sólo nos limitaremos a mencionar que las opciones sobre acciones no están protegidas contra la entrega de dividendos en dinero, pero sí son ajustadas por divisiones de acciones y dividendos en acciones. Esto quiere decir que, si se hace entrega de un dividendo en dinero, el precio de ejercicio de la opción no es reducido en el monto del dividendo por acción. Sin embargo, cuando se produce una división en acciones de n por m por ejemplo, 3 acciones nuevas son emitidas para reemplazar cada acción existente el precio de ejercicio es reducido a m/n del precio anterior, y el número de acciones incluidas en el contrato aumenta en un factor de n/m. No sólo existen opciones sobre acciones. Existen también opciones sobre índices accionarios esto es, S&P 100, S&P 500, opciones sobre moneda extranjera por ejemplo, libra inglesa, yenes, opciones sobre contratos futuros futuros en bonos del Tesoro Americano, futuros en commodities, tasas de interés. También se pueden encontrar opciones over-the-counter, las cuales no se transan en los mercados financieros sino que son acuerdos entre instituciones financieras y/o corporaciones. Estas son especialmente diseñadas para satisfacer las necesidades del cliente. El precio de ejercicio y vencimiento de dichas opciones no tienen que corresponder con aquéllos del mercado. Ejemplos de este tipo de opciones son: bermudiana la opción es sólo ejercible en fechas preespecificadas durante su vida útil, asiática el pago de la opción es definido en términos del valor promedio del activo subyacente observado hasta la fecha de vencimiento, y as-you-like-

11 8 VALORIZACION DE DERIVADOS it después de un período preespecificado, el dueño de la opción puede escoger que la opción sea una call o una put. Otros ejemplos de derivados son: LEAPS (longer-dated stock options) opciones sobre acciones que expiran hasta dos años en el futuro, swaps acuerdo entre dos partes para intercambiar flujos de caja en el futuro bajo una fórmula preestablecida, swaptions opciones sobre swaps, techos (caps) y pisos (floors) en tasa de interés límites superior e inferior puesto a la tasa de interés en un préstamo, y collares (collars) una combinación de un techo y un piso en tasa de interés. En las próximas dos secciones nos abocaremos a mirar en más detalle la valorización de futuros y forward, y a estudiar ciertas restricciones que deben satisfacer los precios de opciones. 3. FUTUROS Y FORWARDS Definamos primero un concepto que utilizaremos a lo largo de estos apuntes Principio de No-Arbitraje Arbitraje es una estrategia que no requiere dinero como input, pero que tiene una probabilidad positiva de producir ganancias, sin riesgo de pérdida de dinero. Por ejemplo, un portafolio con un precio de cero y con un ingreso estrictamente positivo constituye un arbitraje. El princip io de no-arbitraje establece que no hay oportunidades de arbitraje en los mercados financieros. O, si existen, ellas no pueden persistir por mucho tiempo en mercados financieros eficientes. El principio de no-arbitraje implica que: -Dos activos que generan el mismo flujo de ingresos deben tener el mismo precio. -Si las reglas de arbitraje son violadas, entonces es posible tener ganancias libres de riesgo ilimitadamente Precios de Futuros y Forwards Supongamos que estamos interesados en comprar una acción de la empresa ABC, la cual se transa en $100 actualmente. Podemos comprar la acción en el mercado spot o comprometernos a comprarla en el futuro, por ejemplo en seis meses más. Supongamos que la tasa libre de riesgo anualizada (compuesta continuamente) es 4%. A cuánto debería transarse el precio del forward/futuro 2 en dicha acción hoy día? 2 Como veremos más adelante, cuando las tasas de interés son determinísticas no necesariamente constantes el precio de un futuro es igual al precio de un forward escrito sobre el mismo activo subyacente.

12 TRABAJO DOCENTE Nº 64 9 En equilibrio (ausencia de dividendos), el precio a ser pagado en el futuro debe ser igual al valor futuro del precio corriente. Esto es, (1) F(t, T) = S(t)e (T-t), donde S(t): precio de la acción, T: fecha de expiración del contrato, r: tasa de interés anualizada compuesta continuamente. Claramente, cuando t=t, F(T)=S(T), es decir, el precio forward/futuro coincide con el precio spot al momento del vencimiento del contrato. Para el ejemplo que consideramos, F(t, T)=100 x e 0,04x0,5 =$102,02. Por qué? Supongamos que el precio forward fuera $103 por acción. Esto querría decir que el contrato forward está sobrevalorado. Por lo tanto, vendemos dicho contrato y obtenemos una ganancia segura de $0,96 vía arbitraje: Transacción Flujos de $ hoy día Flujos de $ en T Vender un contrato forward S(T) Comprar una acción -100 S(T) Pedir prestado VP(103) a la tasa libre de riesgo 100, Total 0,96 0 Claramente, el precio forward de $103 no es sostenible en el largo plazo porque se podrían obtener ganancias ilimitadas a través de las transacciones anteriores. Análogamente, podemos demostrar que un precio inferior a $102,02 tampoco es sostenible. Por lo tanto, debe ser el caso que F(t, T)=$102,02. Si el activo subyacente paga un dividendo de un monto de $D en una fecha t 1, donde t 1 <T, la fórmula anterior se transforma en: (2) F(t, T) = [S(t)-VP(D(t 1 ))] e r(t-t), donde VP(D(t 1 )) D.exp{-r(t 1 -t)} representa el valor presente del dividendo a ser pagado en t 1. La relación (2) puede demostrarse también a través de argumentos de arbitraje. Supongamos que F(t, T)>[S(t)-VP(D(t 1 ))]e r(t-t). En este caso el contrato futuro está sobrevalorado, por lo tanto, debemos venderlo. Nos podemos asegurar una ganancia mediante las siguientes transacciones: Transacción Flujo de $ hoy Flujo de $ en t 1 Flujo de $ en T Vender 1 futuro 0 0 F-S(T) Comprar una acción -S(t) D S(T) Pedir prestado VP de D(t 1 ) D e -r(t1-t) -D 0 Pedir prestado VP de F(t, T) Fe -r(t-t) 0 -F Total F.e -r(t-t) -S(t)-D.-r(t1-t) >0 0 0 Es importante resaltar que hemos asumido que no hay costos de transacción y costos asociados con posiciones cortas, y que no existen restricciones crediticias. Es

13 10 VALORIZACION DE DERIVADOS suficiente que estas condiciones se cumplan para un sólo individuo para que se cumplan las relaciones derivadas anteriormente. En algunos casos, el dividendo es proporcional al precio del activo subyacente y es pagado continuamente (por ejemplo, futuros en índices accionarios). En dicho caso la fórmula (2) se transforma en: (3) F(t, T) = [e- q(t-t) S(t)]e r(t-t). = S(t)e (r-q) (T-t). Notemos que esta fórmula nos dice que estamos restando el dividendo en términos continuos Algunos Casos Especiales de Futuros a) Futuros en Moneda Extranjera Valorar un futuro en moneda extranjera es similar a valorar un futuro que paga un dividendo proporcional y continuo. Una unidad de moneda extranjera puede considerarse como una acción cuya tasa de dividendo continuo es igual a la tasa de interés extranjera. Por ejemplo, supongamos que el tipo de cambio dólar/marco es US$0,67 por marco (DM). Las tasas de interés americana y alemana (anualizadas, compuestas continuamente) son r US =4% y r DM =6%. Cuál es el precio de un futuro en marcos alemanes para un contrato a seis meses? (4) F(t, T) = [S(t)e -rdm (T-t) ] e rus(t-t) (rus-rdm) (T-t) =S(t)e =0,67 x e -0,02x0,5 =US$0,663/DM. El activo subyacente de un futuro dólar-marco a seis meses no es 1 marco sino e -rdm (T-t) hoy día. La tasa de interés en marcos es tratada como una tasa de dividendo continuo. Si esta relación no se da, existe una oportunidad de arbitraje. Dejamos la demostración como ejercicio. b) Futuros en la Presencia de Costos y Beneficios de Mantención del Activo Subyacente. Consideremos el caso de futuros en commodities. Un costo de mantención ( cost of carry ) mayor aumenta el precio del futuro en relación al spot. Si conocemos el valor presente del costo total de mantención del activo subyacente desde hoy hasta el vencimiento del contrato, podemos tratarlo como un dividendo negativo conocido, U. Es decir,

14 TRABAJO DOCENTE Nº (5) F(t, T)=[S(t)+U]e r(t-t). El costo de mantención es a veces proporcional al precio del activo y es pagado continuamente. En ese caso, el costo de almacenaje puede tratarse como una tasa de dividendo negativo, u: (6) F(t, T)=[S(t) e u (T-t) ]e r(t-t) =S(t) e (r+u) (T-t). La fórmula (6) nos dice que el precio del futuro debe aumentar con la madurez del contrato a la tasa libre de riesgo más el costo de almacenaje. En algunos casos existe un beneficio de mantener el activo subyacente por ejemplo, fines productivos. En dicho caso, el precio del futuro viene dado por: (7) F(t, T)=S(t)e (r+u-y)(t-t), donde y: tasa de conveniencia ( convenience yield ). En el caso del cobre, por ejemplo, el precio del futuro aumenta con la maduración del contrato (cifras al 2 de julio de 1998 para julio 1998-junio 1999). Es decir, para dicho período, r+u>y. Para el oro, y=0. c) Futuros en Bonos Un futuro en un bono se puede considerar como un contrato futuro en una acción que no paga dividendos. Por ejemplo, supongamos un contrato futuro a 4 meses (diciembre) escrito sobre un bono del gobierno que vence tres meses después del vencimiento del contrato futuro (marzo). El bono, sin cupones, paga $100 en el momento del vencimiento. La tasa de interés libre de riesgo anualizada, compuesta continuamente a 4 meses (agosto-diciembre) es de 4% y la tasa libre de riesgo anualizada, compuesta continuamente a 7 meses (agosto-marzo) es 5%. Cuál es el precio del futuro hoy día? F(t, T) = S(t) e rt,t (T-t) = [100 x e -0,05x7/12 ]e 0,04x4/12 = $98,42. Futuros en Indices Accionarios El caso de un futuro en un índice accionario es análogo a aquel de un futuro en un activo que paga continuamente un dividendo proporcional a su precio. Considere, por ejemplo, un contrato futuro a 6 meses en el S&P (Standard and Poor) 500. Suponiendo que la tasa de dividendo, q, es 3 por ciento por año (anualizada, compuesta continuamente), el índice está actualmente en 600 y la tasa libre de riesgo es de 4 por ciento (anualizada, compuesta continuamente), cuál es el precio corriente de un contrato futuro? En general, el activo subyacente es e -q (T-t) índices. Por qué? Si compramos e -q (T-t) índices hoy día, t, tendremos e -q (T-t) x e q (T-t) =1 índice en el momento de expiración del contrato, T. El costo de e -q (T-t) índices hoy día es $ S(t) e -q (T-t).

15 12 VALORIZACION DE DERIVADOS Para nuestro ejemplo en concreto, el precio del futuro en el índice hoy día es: F(t, T) = [S(t) e -q (T-t) ] e r (T-t) = S(t) e (r-q)(t-t) = $ Resumen de Precios Futuros/Forward. Las fórmulas vistas anteriormente pueden resumirse como sigue: a) Activos Financieros (8) F(t, T) = v t e rt,t(t-t), donde F(t, T): precio del futuro/forward, r t,t : tasa de interés libre de riesgo efectiva entre t y T (compuesta continuamente), v t : cantidad de dinero necesaria en t para una estrategia que genera 1 unidad del activo subyacente en T. Activo subyacente Acción (sin dividendos) Acción (dividendo conocido) Acción (tasa de dividendo conocida, q) Moneda extranjera Bono cero-cupón gobierno que paga $1 en T* v t S t S t -VP(D) e -q(t-t) S t e -rex(t-t) S t e -rt,t*(t*-t) b) Commodities (9) F(t, T)=(S(t)+U)e (r+u-y)(t-t), donde: U: valor presente del costo de mantención entre t y T, r: tasa libre de riesgo entre t y T (anualizada, compuesta continuamente), u: costo de acarreo proporcional entre t y T, y: tasa de beneficio entre t y T. Notemos que, en general, utilizamos U o u.

16 TRABAJO DOCENTE Nº Relación entre los Precios de Futuros y Forwards. Proposición. Si las tasas de interés son determinísticas, los precios de un contrato futuro y de un contrato forward escritos bajo las mismas condiciones son iguales. Demostración Consideremos el caso en que las tasas de interés son determinísticas y constantes. Sea Fˆ 0 y F o los precios de un forward y de un futuro, respectivamente. 1. La ganancia (pérdida) en T de un forward que madura en T, como función del activo subyacente, en el momento de maduración, S ~ T, es S ~ T - Fˆ 0 (posición larga 3 ). 2. Construyamos un portafolio que tiene costo de cero en t=0 y que proporcione ~ una ganancia (pérdida) en T de -F0 en T. Dado que un contrato forward S T tiene un valor de cero en t=0 (iniciación), debe cumplirse que Fˆ 0 = F0. De otra forma uno podría arbitrar, como veremos más adelante. 3. Nuestra estrategia consiste en entrar en un cierto número de contratos futuros cada día y depositar la ganancia obtenida (o, pedir prestado si obtenemos pérdidas) a la tasa libre de riesgo hasta la fecha de expiración del futuro, T. Escogemos el número de contratos de modo tal que la cantidad que tenemos en el banco en T depende sólo del precio del futuro en dicho día, y no del momento en el cual la transacción tuvo lugar. Los flujos generados por esta estrategia son: Día Nº contratos Precio Ganancia diaria Factor de valor futuro Ganancia (pérdida) en T 0 F 0 1 e -r(t-1) ~ F ~ 1 e -r(t-1) ( e r(t-1) ~ 1 -F0 ) 1 -F0 2 e -r(t-2) ~ ~ ~ F2 e -r(t-2) ( F2 - e r(t-2) ~ ~ 1 ) F2 - F 1 3 e -r(t-3) ~ ~ ~ F3 e -r(t-3) e r(t-3) ~ ~ ( F3 - F2 ) F3 - F T-1 e -r ~ ~ ~ F T 1 e -r ( F T 1 - F T 2 e r ~ ~ F T 1 - F T 2 T 1 ~ ~ ~ 1 ~ ~ F T F T - F T 1 F T - F T 1 Total ~ F T F 0 3 La demostración para una posición corta es análoga.

17 14 VALORIZACION DE DERIVADOS El número de contratos es aquel que debiera ser comprado al final del día anterior (esto es, el día 1 indica el final del día cero). Dado que el tiempo es medido en días, la tasa de interés, r, deber ser diaria, compuesta continuamente. ~ ~ La estrategia anterior rinde FT F0 = ST F0 en T, dado que el precio futuro coincide con el spot al momento de la expiración del contrato. Dado que el precio ~ ~ forward es Fˆ 0 - F0, debe el caso que F0 =F0. De otra forma: -si Fˆ 0 >F 0, llevamos a cabo la estrategia descrita en la tabla anterior y tomamos una posición corta en un contrato forward para entrega en T. Esto nos proporciona una ~ ~ ganancia libre de riesgo en T de ( ST -F0 )-( ST - Fˆ 0 )= Fˆ 0 - F 0 > 0. Análogamente, -si Fˆ 0 <F 0, tomamos una posición larga en un forward para T combinada con una posición corta en la estrategia descrita más arriba. En T obtenemos una ganancia libre de riesgo de F 0 - Fˆ 0 >0. Por lo tanto, a fin de que exista un equilibrio, debe cumplirse que F 0 = Fˆ 0. Observaciones a la Demostración 1.- Si la tasa de interés es determinística pero varía a través del tiempo, esta demostración sigue siendo válida. Lo que cambia en dicho caso es el número de contratos y el factor de valor futuro. 2.- La existencia de costos de mantención o dividendos no afecta nuestra demostración puesto que el precio spot no es una variable relevante en la demostración Semejanzas y Diferencias entre los Contrato Forward y Futuros En la sección anterior demostramos que, cuando las tasas de interés son determinísticas, el precio de un forward es igual al de un futuro (para el mismo vencimiento y activo subyacente). Esto es, un contrato forward y un futuro tienen un valor de cero para el mismo precio de entrega en el momento de la iniciación del contrato. La diferencia entre los dos tipos de contratos aparece después de la iniciación. El valor de mercado de ambos contratos fluctúa con el precio spot del activo subyacente. Un contrato forward es, sin embargo, menos sensible con respecto a fluctuaciones del precio spot que un contrato futuro con el mismo vencimiento.

18 TRABAJO DOCENTE Nº El valor de un contrato forward después de la iniciación puede ser calculado comparando los siguientes portafolios: -Tomar una posición larga en un forward con precio de ejercicio igual a K, -Comprar una acción a S t y pedir prestado Ke -r(t-t) hoy día, t. Dado que ambos portafolios producen una ganancia (pérdida) de S T -K en T, deben tener el mismo costo en t. Esto significa que el valor de un forward en t es: (10) fˆ t =St - Ke -r(t-t). De la ecuación anterior, vemos que la sensibilidad de un contrato forward con respecto al precio spot, S t, está dado por: (11) fˆ S t t fˆ t S t = 1 Es decir, por cada aumento (caída) de $1 en el precio spot del activo subyacente, el valor del forward aumenta (cae) en $1. Con respecto al valor de un futuro después de la iniciación, debemos recordar que un contrato futuro es ajustado con las fluctuaciones de precios de mercado (markedto-market) en una base diaria. Cada día el precio de entrega del contrato es el precio de cierre del futuro al final del día anterior, F d-1. Por lo tanto, si dentro de un día el precio del futuro fluctúa a F t, el valor corriente del contrato, f t, es igual a F t -F d-1 (posición larga). Ello es así porque uno siempre puede liquidar el contrato vendiéndolo a F t, recibiendo al final del día una ganancia (pérdida) neta de: f t = (F d -F d-1 )-(F d -F t ) =F t -F d-1 (12) =S t e r(t-t) -F d-1, donde (F d -F d-1 ) es la ganancia (pérdida) por el marcado con el mercado (marking-tomarket) y (F d -F t ) es la ganancia (pérdida) por concepto de cierre de la posición futura. Notemos que el valor del futuro en t, f t, no incluye ganancias (pérdidas) pasadas que han ocurrido al final del día anterior, d-1. De la fórmula anterior, vemos que una variación S t en el precio spot hace que el valor del contrato futuro varíe en F t : (13) F F r(t t) f t t t (St e ) r = = = e (T t) > 1 St St S t St

19 16 VALORIZACION DE DERIVADOS En consecuencia, vemos que después de la iniciación del contrato, un futuro es más volátil que un forward con el mismo vencimiento y escrito sobre el mismo activo subyacente. Ejemplo La acción de la empresa XYZ se transa en $100. (Se sabe que no se repartirán dividendos en los próximos seis meses). La tasa de interés libre de riesgo anualizada, compuesta continuamente, es 4%. El precio corriente del futuro/forward a seis meses es $102,02. Si después de la iniciación del contrato, el precio de la acción aumenta en $1. Cuál es el valor de los contratos forward y futuro a seis meses? Resp. De la fórmula (10), sabemos que el valor del contrato forward aumenta en $1, esto es, en S t. En el caso del futuro, en tanto, el valor del contrato aumenta en F(101; 0,5)- F(100; 0,5)=( ) e 0,04x0,5 =$1,02>$1. 4. RESTRICCIONES BÁSICAS DE NO ARBITRAJE PARA EL PRECIO DE OPCIONES Obtener fórmulas exactas para el precio de una opción es más complejo que para el caso de los contratos forward y futuros. En efecto, a fin de derivar una fórmula para valorar una opción, necesitamos hacer supuestos sobre el comportamiento dinámico del precio del activo subyacente. No obstante, es posible obtener algunas restricciones que deben satisfacer los precios de opciones sin especificar un modelo para el movimiento del precio del activo subyacente. En lo que sigue, supondremos que estamos frente a una opción escrita sobre una acción Relación entre el Precio de una Opción y sus Fundamentos Antes de derivar las restricciones de no arbitraje, es útil ver la relación que existe entre los precios de opciones europeas y americanas y variables tales como el precio de ejercicio de la opción, el precio del activo subyacente y su volatilidad, y la fecha de expiración de la opción. Variable Call europea Put europea Call americana Put americana Precio de la acción Precio de ejercicio Fecha expiración?? Volatilidad Tasa libre de riesgo Dividendos La tabla anterior resume la relación entre los precios de opciones europeas y americanas y el precio de la acción, el precio de ejercicio de la opción, la fecha de expiración, la volatilidad del precio de la acción, la tasa libre de riesgo y el reparto de dividendos. La flecha ( ) indica que existe una relación positiva (negativa) entre

20 TRABAJO DOCENTE Nº ambas variables, manteniendo todo lo demás constante. El signo? indica que la relación es ambigua. Veamos en más detalle el por qué de cada signo. (a) Precio de la acción y precio de ejercicio : Las opciones de compra son más valiosas si el precio de la acción aumenta. Lo opuesto ocurre cuando el precio de ejercicio aumenta. Las opciones de venta se comportan de manera inversa. Notemos que estas conclusiones son válidas tanto para opciones europeas como americanas. (b) Fecha de expiración: Las calls y puts americanas son más valiosas a medida que la fecha de expiración aumenta. La razón es que el poseedor de una opción de vida más larga tiene todas las oportunidades de ejercicio abiertas a un poseedor de una opción de vida más corta y más. Las opciones europeas, en tanto, no necesariamente son más valiosas si aumenta la fecha de maduración. La razón es que una opción europea sólo puede ser ejercida al momento de su vencimiento. (c) Volatilidad: Esta es una medida de cuánta incertidumbre existe acerca de los movimientos del precio futuro de la acción. A medida que la volatilidad aumenta, la probabilidad de que el precio de la acción aumente o caiga crece. El dueño de una call se beneficia de un aumento en precios, pero tiene un riesgo limitado en el evento que el precio de la acción caiga mucho. La razón es que tiene siempre tiene la opción de no ejercer. Análogamente, el dueño de una put se beneficia de disminuciones del precio de la acción y tiene también un riesgo limitado en caso que el precio de la acción aumente mucho. Por lo tanto, los dueños de calls y puts americanas y europeas se ven beneficiados con aumentos en la volatilidad del activo subyacente. (d) Tasa libre de riesgo: Al aumentar la tasa de interés, el valor presente de cualquier flujo de dinero cae. Por otra parte, aumentos en la tasa de interés hacen que suba la tasa de crecimiento del precio de la acción (mundo neutral al riesgo). Esto último favorece al dueño de una call, pero perjudica al dueño de una put. El efecto total de un incremento de la tasa de interés es claro para una put: su precio cae. En el caso de una call, existen dos fuerzas contrapuestas. Se puede demostrar, sin embargo, que el efecto sobre el precio de ejercicio es superado por al efecto crecimiento. Por lo tanto, el precio de una call aumenta frente a incrementos en la tasa de interés. (e) Dividendos: Estos disminuyen el precio de la acción en la fecha de entrega de dividendos. Por lo tanto, el precio de una call está negativamente correlacionada con el tamaño de cualquier dividendo anticipado. Lo opuesto se da para una put Restricciones Básicas de Arbitraje Sea: -Fecha corriente : t -Fecha vencimiento opción : T -Precio corriente activo subyacente : S(t) -Precio corriente de un bono con : B(t, T)=e -r(t-t) valor cara de $1 que vence en T -Precio de ejercicio opción : K

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