TEMA 6: La valoración de opciones y futuros

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1 TEMA 6: La valoración de opciones y futuros Índice 1. Introducción 2. Definición de futuros y opciones 2.1. Elementos en un contrato de opciones 2.2. Tipos de opciones 3. Funcionamiento de las opciones 3.1. Call: opción de compra 3.2. Put: opción de venta 4. Determinantes del valor de las opciones 5. Modelos de valoración de opciones 5.1. Modelo de valoración de opciones en 2 etapas 5.2. Valoración neutral al riesgo 5.3. Modelo de valoración Black Scholes Página 1

2 Bibliografía básica Hull, J.C. (1996): Introducción a los mercados de futuros y opciones. Prentice Hall, Hemel Hempstead. Bibliografía complementaria Bishop, M. (2009): Economics. An A Z Guide. The Economist, London. Brealey, R.A. y Myers, S.C. (2003): Principios de finanzas corporativas. McGraw-Hill, Madrid. Constantinides, G.M.; Harris, M. y Stulz, R.M. (2003): Handbook of the Economics of Finance. Volume 1B Financial Markets and Asset Pricing. Elsevier, Amsterdam. Fabozzi, F.J. (1995): Investment Management. Prentice Hall International, New Jersey. Página 2

3 Hillier, D.; Ross, S.; Westerfield, R.; Jaffe, J. y Jordan, B. (2010): Corporate Finance. European Edition. McGraw- Hill, Maidenhead. Martín Marín, J.L. y Trujillo Ponce, A. (2004): Manual de mercados financieros. Thomson, Madrid. Suárez Suárez, A.S. (2005): Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa. Ediciones Pirámide, Madrid. Sharpe, W.F.; Alexander, G.J. y Bailey, J.V. (1995): Investments. Prentice Hall International, New Jersey. Página 3

4 1. Introducción Opciones y futuros son derivados: instrumentos cuyos precios dependen de otras variables subyacentes. Ej.: Precio de una opción sobre acciones depende del valor de la acción subyacente. Ej.: Precio de futuros sobre una mercancía depende del valor del producto subyacente. Los contratos de opciones llevan menos tiempo negociándose que los contratos de futuros. Orígenes de los mercados de futuros: Edad Media. Creados para satisfacer demandas de agricultores y comerciantes. Página 4

5 Ejemplo: Situación de incertidumbre de agricultor y comerciante en el mes de abril. Riesgos ante variaciones en precios del cereal Escenario Agricultor Comerciante Escasez Precio alto Precios exorbitantes Abundancia Precio bajo Precios favorables Cosecha del cereal en junio y se desconoce precio de la cosecha ahora. Agricultor y comerciante deberían acordar en abril (o antes) precio del cereal => contrato de futuros, que reducirá riesgo de un precio futuro del cereal incierto. Página 5

6 2. Definición de futuros y opciones Contrato de futuros: acuerdo para comprar o vender un activo en una fecha futura a un precio cierto. Contrato de opciones: otorga a su titular el derecho (no obligación) a comprar o vender un activo en una fecha determinada a un precio establecido. Caso de las opciones: emisor de una opción de compra (call) deberá vender las acciones al dueño de la call cuando éste desee ejercitar su derecho. Emisor de una opción de venta (put) está obligado a comprar las acciones al dueño de la put siempre que éste decida ejercitar su derecho. => La obligación [ ] => El derecho [...] Página 6

7 Diferencias entre opciones y futuros Titular de un contrato de futuros a l/p [ ]; Mientras que el titular de una opción de compra [ ] Suscribir un contrato de futuros no cuesta nada (excepto requisitos de garantías); Sin embargo, para suscribir un contrato de opciones el inversor deberá pagar precio de adquisición o prima Elementos en un contrato de opciones 1. Fecha de vencimiento o de ejercicio. 2. Precio de ejercicio. 3. Precio de adquisición o prima. Página 7

8 2.2. Tipos de opciones 1. En función del período de ejercicio (criterio temporal): Americanas Europeas 2. En función del activo subyacente: Sobre mercancías (commodities) Sobre instrumentos financieros: a) Acciones b) Divisas c) Índices d) Tipos de interés e) Futuros Página 8

9 3. En función del mercado donde se negocian: En mercados organizados OTC (over-the-counter) 4. En función del derecho que confieren: Opción de compra (call) Opción de venta (put) Página 9

10 3. Funcionamiento de las opciones 3.1. Call: opción de compra Un inversor compra opciones de compra (call) europeas para adquirir 100 acciones de Movistar. Precio de ejercicio = 40 Precio actual de las acciones = 38 Vencimiento = 4 meses Precio de adquisición de la opción de compra = 5 => Inversión inicial o prima = [ ] En fecha de vencimiento: Precio acción < 40 => [ ] Precio acción > 40 => [ ] Ej.: precio acción = 55. Inversor compra 100 acciones a 40 /acción => B o bruto = [ ] y B o neto = [ ] Página 10

11 Ej.: precio acción = 42 /acción. Entonces [ ] En la fecha de vencimiento, opciones de compra deben ejercerse si [ ] Beneficio de una opción de compra Precio de ejercicio 40 Precio actual de cada acción 38 Precio de 1 opción para comprar 1 acción 5 Precio de adquisición o prima: [ ] Resultado de la operación: Precio por acción = 55 => [ ] Beneficio bruto = [ ] Beneficio neto = [ ] Precio por acción es < a 40 => [ ] Pérdida bruta = pérdida neta = [ ] Precio por acción = 42 => [ ] Beneficio bruto = [ ] Pérdida neta = [ ] Página 11

12 Gráfico: Comprador de call Beneficio de comprar una opción de compra europea Beneficio ( ) Precio de la acción en t+1 ( ) Características del comprador de call: Paga la prima. Obtiene derecho a comprar al precio de ejercicio. Riesgo máximo = [ ] Rentabilidad máxima = [ ] Página 12

13 Gráfico: Vendedor de call Beneficio de vender una opción de compra europea Beneficio ( ) Precio de la acción en t+1 ( ) Características del vendedor de call: Cobra la prima. Se compromete a vender al precio de ejercicio. Riesgo máximo = [ ] Rentabilidad máxima = [ ] Página 13

14 3.2. Put: opción de venta Un inversor compra opciones de venta (put) europeas para vender 100 acciones de Repsol Precio de ejercicio = 70 Precio actual por acción = 65 Vencimiento = 3 meses Precio de una opción de venta de = 7 => Inversión inicial = [ ] En fecha de vencimiento: Precio acción < 70 => [ ] Precio acción > 70 => [ ] Ej.: precio acción = 55. Inversor compra 100 acciones a 55 /acción y, con opción de venta, vende a 70 /acción => B o bruto = [ ] y B o neto = [ ] Página 14

15 En la fecha de vencimiento, las opciones de venta deben ejercerse si [ ] => Comprador de call espera que precio de acciones [ ]; comprador de put espera que precio [ ] Beneficio de una opción de venta Precio de ejercicio 70 Precio actual de cada acción 65 Precio de 1 opción para vender 1 acción 7 Precio de adquisición o prima: [ ] Resultado de la operación: Precio por acción = 55 => [ ] Beneficio bruto = (70 55) x 100 = [ ] Beneficio neto = = [ ] Precio por acción es > a 70 => [ ] Pérdida bruta = pérdida neta = [ ] Página 15

16 Gráfico: Comprador de put Beneficio de comprar una opción de venta europea Beneficio ( ) Precio de la acción en t+1 ( ) Características del comprador de put: Paga la prima. Obtiene derecho a vender al precio de ejercicio. Riesgo máximo = [ ] Rentabilidad máxima = [ ]; B o neto máximo = [ ] Página 16

17 Gráfico: Vendedor de put Beneficio de vender una opción de venta europea Beneficio ( ) Precio de la acción en t+1 ( ) Características del vendedor de put: Cobra la prima. Se compromete a comprar al precio de ejercicio. Riesgo máximo = [ ] (pda. bruta); riesgo máximo = [ ] (pda. neta). Rentabilidad máxima = [ ] Página 17

18 Tabla resumen Decisión del comprador de opciones Tipo de opción Relación Pr. Mercado /Pr. Ejercicio Decisión Call Pr. Mercado > Pr. Ejercicio [ ] Pr. Mercado Pr. Ejercicio [ ] Put Pr. Mercado Pr. Ejercicio [ ] Pr. Mercado < Pr. Ejercicio [ ] Resultado de la operación Call: [ ] Pr. Mercado > Pr. Ejercicio Put: [ ] Pr. Mercado < Pr. Ejercicio Página 18

19 4. Determinantes del valor de las opciones Cómo se determina el valor de mercado de una opción (no al vencimiento)? Límite inferior Opción de compra (call) Ej.: opción de compra (americana) que se encuentra dentro de dinero ( in the money ) antes de la fecha de vencimiento. Precio de la acción = 60 Precio de ejercicio = 50 => Opción no puede venderse por menos de Página 19

20 Qué sucedería si la opción se vende a 9? Fecha Transacción ( ) Hoy (1) Compra de la call. [ ] Hoy (2) Ejercicio de la call (compra del activo subyacente al precio de ejercicio). [ ] Hoy (3) Venta de la acción al precio de mercado. [ ] B o del arbitraje [ ] Un beneficio de arbitraje no se puede dar regularmente en mercados financieros que funcionan correctamente. Exceso de demanda de estas opciones hará que su precio [ ] Probablemente precio opción > 10. Ej.: precio = 12 => valor intrínseco de la opción = 10 ; valor restante = = 2 = prima del tiempo (cantidad adicional que inversor está dispuesto a pagar por posibilidad de que precio acción antes del vencimiento). Página 20

21 Límite superior Opción de compra (call) Existe un límite superior al precio de las opciones? Límite superior del precio de una opción = precio del activo subyacente. Intuición: La acción proporciona resultado mejor que la opción. Ej.: Si en el vencimiento, precio de la acción > precio de ejercicio => valor de la opción = [ ]. Si precio de la acción < precio de ejercicio => valor de la opción = [ ], pero propietario de la acción posee aún un título con valor. Página 21

22 Determinantes del valor de una opción Pueden clasificarse en dos grupos: Relacionados con características del contrato de la opción. Relacionados con características del título y del mercado. 1. El precio de ejercicio Cuando el precio de ejercicio, el valor de la opción de compra (call) [ ]. (Intuición: adquirimos un derecho a comprar más caro). Cuando el precio de ejercicio, el valor de la opción de venta (put) [ ]. (Intuición: adquirimos un derecho a vender más caro). Página 22

23 2. El período de tiempo hasta el vencimiento El valor de las opciones de compra (call) y venta (put) americanas, cuando el período de vencimiento [ ]. (Intuición: se otorga a propietarios mismos derechos y > flexibilidad para ejercerlos). Relación [ ] no necesariamente cierta en caso de opciones de compra y venta europeas. 3. El precio de la acción Si precio de la acción, valor de la opción de compra (call) [ ]. (Intuición: adquirimos derecho a comprar a precio fijo un título que es más caro en el mercado). Si precio de la acción, valor de la opción de venta (put) [ ]. (Intuición: adquirimos derecho a vender a precio fijo un título que podríamos vender a precio > en el mercado). Página 23

24 4. La volatilidad o riesgo del activo subyacente Cuando volatilidad del activo subyacente, valores de la opción de compra (call) y de venta (put) [ ]. Ejemplo: Justo antes de la fecha de vencimiento: Precio de la acción = 100 con prob. = 50% Precio de la acción = 80 con prob. = 50% Valor de la call con precio de ejercicio = 110? [ ] Qué sucede con un precio de la acción más variable? (Añadimos y descontamos 20 a los escenarios). Precio de la acción = 120 con prob. = 50% Precio de la acción = 60 con prob. = 50% Página 24

25 Variabilidad en precio de la acción, pero valor esperado de la acción es el mismo: [ ] Valor de la call con precio de ejercicio = 110? Ahora [ ] Importante: diferencia entre poseer una opción sobre un activo subyacente vs. poseer activo subyacente Si los inversores son adversos al riesgo, un en variabilidad del título su valor de mercado. Pero, propietario de una call obtiene un B o de la cola positiva de la distribución de probabilidad => un en la variabilidad del título subyacente valor de mercado de la call. Página 25

26 5. Tipos de interés Cuando tipos de interés, valor de la call [ ]. (Intuición: la posibilidad de diferir el pago es más valiosa cuando los tipos de interés son elevados). Cuando tipos de interés, valor de la put [ ]. (Intuición: posibilidad de vender acción a un precio de ejercicio fijo en algún momento futuro es menos valiosa si el valor actual del precio de ejercicio se reduce por un tipo de interés alto). Supongamos: tenemos opción que será canjeada por una acción => somos hoy propietarios de la acción pero no tenemos que pagar precio de ejercicio hasta más tarde. a) Compra de opción = compra de acción financiada con deuda (préstamo = valor actual del precio ejercicio). b) Valor de la call = [ ] Página 26

27 Importante: inversores que adquieren acciones a través de una opción de compra lo hacen a crédito. Este pago aplazado es más valioso cuando tipos de interés son altos y opción tiene un período de vencimiento largo. => Valor de la call [ ] con: a) tipos de interés y b) período de vencimiento. 6. Dividendos Dividendos precio acción en fecha ex-dividendo. Esto afecta [ ] al valor de opción de compra y [ ] al valor de opción de venta. Es decir, valor de la call [ ], cuando valor de los dividendos anticipados ; pero valor de la put [ ], cuando valor de los dividendos anticipados. Página 27

28 5. Modelos de valoración de opciones 5.1. Modelo de valoración de opciones en 2 etapas Supongamos que: Valor de mercado de acción en t 0 = 50 Valor de mercado en t 1 puede ser = 60 o 40 Call sobre esta acción con vencimiento = 1 año y precio ejercicio = 50 Inversor puede endeudarse a tipo de interés = 10% => Cuál es el valor de la opción de compra? Vamos a analizar dos estrategias: Estrategia 1. [ ] Estrategia 2. [ ]: a) [ ], y b) [ ] Página 28

29 Flujos de caja Estrategia 1 = Flujos de caja Estrategia 2 Como flujos de caja son equivalentes => estamos duplicando opción de compra con segunda estrategia Al final del año (en t 1 ), los pagos son: Pagos futuros en t + 1 Estrategia inicial Precio de la Precio de la acción = 60 acción = Comprar una call [ ] [ ] 2. Comprar acción ordinaria [ ] [ ] Tomar dinero prestado [ ] [ ] Total de la estrategia acciones ordinarias + endeudamiento [ ] [ ] Página 29

30 Estrategia opción de compra = estrategia acción ordinaria y endeudamiento (en estructura de pagos futuros) => Con cualquier estrategia un inversor acabaría con [ ] si precio de acción y [ ] si precio de acción. Ambas estrategias son equivalentes. Qué relación debería existir entre sus costes iniciales? [ ] Coste inicial en estrategia de compra de acciones ordinarias y endeudamiento: Comprar acción ordinaria => Tomar dinero prestado => Desembolso a realizar Como opción de compra proporciona mismos pagos que estrategia de compra de acciones ordinarias y endeudamiento => valor de la call (en mercado sin oportunidades de arbitraje) = [ ]. Página 30

31 Quedan 2 cuestiones por aclarar: 1. Delta Cómo calculamos el porcentaje de acción que es preciso comprar en la estrategia equivalente? Precio de la call al final del año = [ ] Precio de la acción = [ ] Dispersión de precios de opción = [ ] Dispersión de precios de acción = [ ] Delta de la opción Dispersión de precios posibles de la opción = Dispersión de precios posibles de la acción Delta => variación en precio acción de 1 origina variación en precio opción de ½. (Intuición: riesgo de ½ acción ordinaria = riesgo de 1 opción compra). Página 31

32 2. Préstamo Qué cantidad de dinero debemos tomar prestada? Si compramos ½ acción ordinaria => obtenemos [ ] a la fecha de vencimiento Si compramos 1 opción de compra => obtenemos [ ] en la fecha de vencimiento => La diferencia es la misma en ambos escenarios: [ ] Para replicar compra de la call mediante compra de acciones ordinarias => préstamo que suponga devolver 20 de principal e intereses: [ ] Podemos expresar valor de la opción como: Valor de la opción = Precio de la acción Delta Préstamo = ,18 = 6,82 Página 32

33 5.2. Valoración neutral al riesgo Por qué debe venderse opción de compra por 6,82? Al decir precio de una opción = 6,82, no es necesario saber nada sobre posición del inversor frente al riesgo. Si inversor es indiferente al riesgo, tasa de rentabilidad esperada de la acción = tipo de interés libre de riesgo: Las acciones pueden subir un 20% o bajar un 20%. => Prob. de un de precios en mundo neutral al riesgo: Rentabilidad esperada = [prob. aumento x 20%] + [(1 prob. aumento) x 20%] = 10% Tras resolver esta ecuación: Prob. de un en los precios = [ ] Prob. de una en los precios = [ ] Página 33

34 Prob. de 3/4 no es verdadera prob. de en precio de acciones => como inversores son adversos al riesgo requerirán rentabilidad esperada de acciones > a tipo de interés libre de riesgo => verdadera prob. es > 3/4. Sabemos que: Si precio acción => opción de compra valdrá [ ] Si precio acción => opción de compra valdrá [ ] Si inversores son neutrales al riesgo => valor esperado de la opción de compra es: Valor de la opción = Conclusión: 2 formas de calcular valor de una opción 1. Encontrar combinación entre acciones ordinarias y préstamo que replica inversión en la opción Página 34

35 2. Simular que inversores son indiferentes al riesgo, con lo que tasa de rentabilidad de la acción = tipo de interés. Calcular valor esperado futuro de la opción en este mundo neutral al riesgo y descontarlo al tipo de interés libre de riesgo Modelo de valoración Black Scholes Fórmula final que obtuvieron Black y Scholes es: C = SN(d 1 ) Ee Rt N(d 2 ) donde d 1 = ln(s E ) + (R + σ2 /2)t σ 2 t d 2 = d 1 σ 2 t Página 35

36 5 parámetros determinan valor de la call (C): S = precio actual de la acción E = precio de ejercicio de la opción R = tasa de rentabilidad anual libre de riesgo σ 2 = varianza de rentabilidad de precio acción t = período de tiempo hasta fecha de vencimiento También aparece en la fórmula la función estadística: N(d) = [ ] Ejemplo de Black Scholes Consideremos la compañía X. El 4 de octubre del año X0, la opción de compra de esta compañía con fecha de vencimiento el 21 de abril (precio ejercicio = 49 ) tenía un valor de 4. La acción se estaba vendiendo a 50. El 4 de octubre, la opción tenía un período de vencimiento de 199 días (fecha de vencimiento = 21 de abril del año X1). La tasa de rentabilidad anual libre de riesgo era del 7%. Página 36

37 Esta información nos proporciona 3 variables: 1. Precio de la acción (S) = [ ] 2. Precio de ejercicio (E) = [ ] 3. Tasa de rentabilidad libre de riesgo (R) = [ ] Además, la fecha de vencimiento (t) en años es: 4. Fecha de vencimiento (t) = [ ] Problema: [ ] Por qué? Solución En nuestro ejemplo, suponemos que inversor ha obtenido una estimación de la varianza: 5. Varianza de acciones de la empresa X = 0,09 al año. Página 37

38 Con estos 5 parámetros, podemos calcular valor de la opción de compra de una acción de la empresa X mediante la fórmula de Black Scholes en tres pasos: Paso 1: Calcular d 1 y d 2 Calculamos estos valores de un modo directo: d 1 = ln S σ2 + R + E 2 t σ 2 t = ln 50 0,09 + 0, , , ,0627 = = 0, ,2215 d 2 = d 1 σ 2 t = 0, Página 38

39 Paso 2: Calcular N(d 1 ) y N(d 2 ) Mejor manera de comprender valores de N(d 1 ) y N(d 2 ) es examinando gráfica de una función normal: Gráfica de la distribución normal Probabilidad Valor Figura representa una distribución normal con media esperada = 0 y desviación típica = 1 => distribución normal estandarizada. Página 39

40 Cuál es la prob. de que representación de la función normal estandarizada se encuentre por debajo de un valor? P. ej.: Prob. de que la representación esté por debajo de 0? [ ] En nuestro caso concreto: N(d 1 ) = N(0,3742) = [ ] N(d 2 ) = N(0,1527) = [ ] 1 er valor => [ ]% de prob. de que distribución normal estandarizada sea < 0, o valor => [ ]% de prob. de que distribución normal estandarizada sea < 0,1527 En general, N(d) = prob. acumulada de d. Página 40

41 Forma más sencilla de calcular N(d 1 ) y N(d 2 ) es con la función DISTR.NORM.ESTAND de Microsoft Excel. En nuestro ejemplo: DISTR.NORM.ESTAND(0,3742) = [ ] DISTR.NORM.ESTAND(0,1527) = [ ] Paso 3: Calcular C Tenemos lo siguiente: C = S N(d 1 ) Ee Rt N(d 2 ) = [50 N(d 1 )] [49 e 0, N(d 2 ) = (50 0,6459) (49 0,9626 0,5607) = 32,295 26,447 = 5,85 Precio estimado = 5,85 > al precio actual = Página 41

42 Intuición detrás de la fórmula de Black Scholes? Estrategia compra acción ordinaria + endeudamiento. La ecuación de Black Scholes es: C = SN(d 1 ) Ee Rt N(d 2 ) Valor de la opción = Precio de la acción Delta Préstamo => El modelo nos dice: es posible replicar opción de compra: a) Comprando [ ] acciones ordinarias b) Tomando prestado [ ] Página 42

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