Valoración de opciones de compra y venta del quintal de café en el mercado ecuatoriano

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1 Valoracó de opcoes de compra y veta del qutal de café e el mercado ecuatorao Adrá Morocho Pérez, Ferado Sadoya Sachez Igeero e Estadístca Iformátca 003 Drector de Tess, Matemátco, Escuela Poltécca Nacoal, 994, Profesor de ESPOL desde 996. Resume El presete trabajo realzado se cosdera como ua guía para las próxmas geeracoes co el marco teórco y ejerccos práctcos para los dferetes métodos de valoracó de las opcoes, así como també las dferecas etre los tpos de opcoes que hoy por hoy exste e el mercado y cómo terpretar los resultados obtedos medate el software utlzado para el calculo del valor de las opcoes de compra y veta medate la formula de Black-Scholes. Co todo lo aplcado e la presete tess se pretede dar a coocer los beefcos que se obtee al coordar las dferetes ramas de la estadístca y las fazas para desevolver u tema ta complejo e los actuales mometos como es la mapulacó del preco del preco del qutal de café e el Ecuador. Itroduccó El café e los últmos años ha sdo uo de los productos mas exportados e uestro país, por lo cual se pretede buscar ua solucó a este problema que ha hecho que se especule co la compraveta del qutal e uestro país. La comercalzacó del café es uo de los más seros problemas del grao e el Ecuador, por esta razó, esta debería ser estmada como u factor crítco, desde que el presete esquema presoa cluso a los cafcultores. Ua gra parte de las gaacas va a maos de los termedaros, lo que geera gra malestar e los cafcultores. El hecho es que etre el cafcultor y el exportador de café hay u úmero de termedaros, los cuales e el mejor de los casos se ecuetra desde dos hasta cuatro. E la presete tess se pretede fjar u preco para las opcoes de compra y veta del qutal de café e el mercado ecuatorao, ya que este producto (como lo llamaremos mas adelate como u actvo subyacete) tee perodos durate los cuales el preco se dspara de acuerdo a ua mayor demada y poca oferta, y baja extremadamete cuado la oferta es mayor. Los strumetos dervados so uo de los grades éxtos de la ecoomía facera modera. Etre su cotrbucó facera se puede señalar alguos elemetos de sus fucoes, como so: asegurar precos futuros e aquellos mercados co precos altamete varables; eutralzar los resgos de varacoes e la tasa de terés, co costos meores a los que se obtedría por medo de cambos e la cartera de actvos y co procesos tradcoales de muzacó de portafolos; la compraveta de resgos asocados co la teeca, produccó o uso de actvos y productos.

2 La certdumbre sobre el comportameto de los precos e u mercado costtuye el prcpal elemeto determate de la exsteca de los mercados de opcoes, medate los cotratos de opcoes, las partes cotratates compra o vede actvos reales y / o faceros, e ua fecha futura especfcada de atemao, a u preco acordado e el mometo de la frma del cotrato. De esta forma cabe recalcar que exste dos tpos de opcoes; opcoes de compra (call) y opcoes de veta (put). No obstate ua opcó es u actvo e s msma, y puede comprarse y vederse e el mercado e cualquer mometo de su vda, además a medda que se acerca su fecha de caducdad, el valor temporal de ua opcó dsmuye. Cotedo. Prcpales problemas de comercalzacó del café. La comercalzacó del café es uo de los más seros problemas de la produccó del grao e el Ecuador. Por esta razó, la comercalzacó debería ser estmada como u factor crítco, desde que el presete esquema presoa cluso a los cafcultores. Ua gra parte de las gaacas va a maos de los termedaros, lo que geera gra malestar e los cafcultores.. Los termedaros. Exste evdeca que se comprobó que etre el cafcultor y el exportador de café hay u úmero de termedaros, los cuales e el mejor de los casos ecotramos desde dos y hasta cuatro. Teemos u ejemplo para vsualzar el porcetaje de gaaca de los termedaros. Para el caso del café arábgo, el cual se presume tee u preco teracoal de 03 cetavos de dólar por lbra e New York. Tomado este preco como ua refereca es posble observar como el preco va afectádose hasta que lega a vel de fca. Tabla I Costo de la cadea ETAPAS DE COMERCIALIZACION US $ CENTAVOS/LIBRA PRECIO INTERNACIONAL 03 CASTIGO POR CALIDAD 6 3 SUBTOTAL 87 (-) COSTOS FIJOS EXPORTADOS 4 SUBTOTAL 75 UTILIDAD EXPORTADOR 3 5 SUBTOTAL 7 (-) INTERMEDIARIO 8 (-) INTERMEDIARIO 8 (-) 3 INTERMEIDARIO 8 6 PRECIO A NIVEL DE FINCA 48 FUENTE: BOLETIN ANUAL DE LA OIC 999

3 3. Aálss uvarado de los precos del qutal de café e el Ecuador. Ates de coocer las dsttas herrametas que se ecesta maejar para la valorzacó de opcoes, se debe teer claro el comportameto del preco del qutal de café a lo largo del tempo, para de esta maera saber su tedeca, su época de quebre, su estacoaldad, e f, todas las posbles coclusoes para así realzar u estudo exhaustvo, ya que el preco del café ecuatorao está sujeto a varacoes por cambos e la oferta y demada e el ámbto mudal. Por cuato el objetvo de esta seccó es presetar e terpretar los precos del qutal de café a través del tempo, para la cual se requere la mapulacó de los datos hstórcos que a uestro juco so relevates para u estudo acerca de la valorzacó de opcoes del producto ya mecoado e el Ecuador. Para el aálss descrptvo del preco del café lo vamos a aalzar para la varedad arábga debdo a que estos datos so de refereca e la Bolsa de Valores de Productos Agrícolas a vel acoal. 3. Preco teracoal. Se defe como preco teracoal, al valor mímo referecal mesual e dólares por qutal de café e grao asgado a los países productores por la orgazacó teracoal de café, que actúa como agete regulador de los precos e el ámbto mudal. 3.. Preco mesual del qutal de café arábga e el Ecuador. (00) Para el año 00 el preco del qutal de café cae a veles que ade se lo esperaba, regstrádose así e eero el preco del grao e $47.64, el preco fluctuará etre estos valores, para mayo el preco sube lgeramete a $49.0 sedo este el máxmo e todo el año, y de esta maera el preco del qutal se matuvera e estos bajos valores, llegado así al mes de octubre dode el preco llega a su mímo co $33.8. Y para culmar el año, el qutal e el mes de dcembre regstra u preco de $35.7. El promedo para el 00 fue de $4.7, cas la mtad de lo que se había regstrado e el año ateror. La desvacó estádar fue de $5.70. $60,00 $50,00 $40,00 $30,00 $0,00 $0,00 $0,00 ee-0 feb-0 mar-0 abr-0 may-0 ju-0 jul-0 ago-0 sep-0 oct-0 ov-0 dc-0 Fgura : Comportameto mesual del preco del qutal de café año Preco mesual del qutal de café arábga e el Ecuador. (00) Los datos del 00 se obtuvero hasta agosto, empezado al año co u preco de $36.4 el qutal, de maera sorpresva para febrero el preco cae a su mímo e el año co $34.3, luego de dos meses para abrl se regstra el máxmo hasta ese etoces co u preco de $4.78. La meda aual para el 00 fue de $37.7 el qutal, sedo este el peor año hablado de precos de todos los ses años aalzados aterormete. La desvacó estádar fue de $.66.

4 $45,00 $40,00 $35,00 $30,00 $5,00 $0,00 $5,00 $0,00 $5,00 $0,00 ee-0 feb-0 mar-0 abr-0 may-0 ju-0 jul-0 ago-0 Fgura : Comportameto mesual del preco del qutal de café año Precos semaales del qutal de café arábga e el Ecuador. (00) Ahora vamos a realzar u aálss para el preco del qutal de café regstrado de maera semaal para así poder teer ua perspectva mas profuda acerca del comportameto del preco del qutal del grao e los últmos dos años. Esto os permtrá aalzar co más detalle la evolucó de la volatldad de esta varable. $60,00 $50,00 $40,00 $30,00 $0,00 $0,00 $0, Fgura 3: Comportameto semaal del preco del qutal de café año 00 E el año 00 empezamos eero co u preco de $8. el qutal, así como també se puede observar que el preco se va cremetado a maera que se aumeta los meses del año. Hasta llegar al máxmo preco del año que fue e la semaa 49, es decr e el mes de ovembre co $5.55. E el gráfco se puede ver claramete el pco más alto de la tedeca e la semaa 49. El preco mímo para el grao e el año 00 fue e el mes de febrero co $4.64 el qutal de café. El año cerró co u preco de $40.5 el qutal. Co respecto al año ateror el preco subó alrededor de $ más. La meda del preco para el año 00 fue de $34.33, es decr bajo $.47 co respecto a la meda del año ateror. 4. Evolucó de los mercados de las opcoes. Exste báscamete dos tpos de opcoes: de compra y de veta (call y put). Ua opcó es u acuerdo etre comprador (propetaro o teedor) y u vededor (emsor) que, tras el pago de ua retrbucó, da al comprador el derecho mas o la oblgacó de comprar (call) o veder (put) u actvo e ua fecha determada o ates de ella.

5 El preco cotractual se llama preco de ejercco (strke prce), y la fecha de falzacó o vecmeto del cotrato se deoma (exprato date, excercse date o maturty). La maera más fácl de eteder esta defcó es desglosarla e sus compoetes y observar cada uo de ellos por separados. Hay que señalar que las opcoes europeas solo puede ser ejerctadas e la fecha de vecmeto, metras que ua opcó amercaa, puede ser ejerctada e cualquer mometo hasta su fecha de vecmeto cluda. 5. Factores determates de los precos de las opcoes. Exste ses factores que determa el preco de ua opcó sobre accoes:. Preco de las accoes (S).. Preco de ejercco (K). 3. Tempo hasta el vecmeto (t). 4. Volatldad (σ). 5. Dvdedos (d). 6. Tpos de terés (r). 5. Preco de las accoes y preco de ejercco. S se ejerce e algú mometo e el futuro, el resultado de ua opcó de compra será la catdad por la cual el preco de las accoes excede del preco de ejercco. Las opcoes de compra, por lo tato, tee más valor cuado el preco de las accoes aumeta, y meos valor cuado el preco de ejercco aumeta. 5. Tempo hasta el vecmeto. A medda que se acerca la fecha de vecmeto, el valor temporal de ua opcó dsmuye. Por lo que las opcoes de compra y veta tee más valor cuado mayor es el tempo que falta para el vecmeto 5.3 Volatldad. La volatldad es ua medda del movmeto del preco de ua opcó de ua accó durate u tempo dado. S u actvo subyacete tee ua gra volatldad, el comprador de ua opcó puede teer que pagar más por ella que por ua opcó sobre uas accoes co baja volatldad. 5.4 Tpos de terés. El tpo de terés lbre de resgo afecta drectamete al preco de ua opcó, cuado los tpos de terés aumeta y la tasa del crecmeto esperada de los precos de las accoes aumeta, estos dos efectos tede a dsmur el valor de ua opcó de veta. 6. Estmacó de la volatldad medate datos hstórcos. Para el cálculo de la volatldad se recomeda usar u regstro dode se establezca los movmetos del preco de las accoes durate certo lapso de tempo. Es usual observar los precos de las accoes e u tervalo fjo, ya sea daro, semaal o mesual. A cotuacó se defe tos sguetes parámetros: : umero de observacoes. S t : preco de la accó al fal del perodo, ( = 0,,,...,). T: duracó del tervalo de tempo e años.

6 Para el cálculo de ua estmacó S de la volatldad σ utlzamos las sguetes otacoes: S µ = l S = ( µ µ ) S = Que se puede expresar també como: S = µ ( µ ) ( ) =.Ahora para calcular ua estmacó de la volatldad del preco del qutal de café para el año 00 medate datos hstórcos se va a tomar el valor de = 5, ya que los precos proporcoados por el Mstero de Agrcultura y gaadería (MAG) so semaales, es decr teemos 5 datos para este año. A cotuacó la volatldad para los precos del qutal de café varedad arábga e el año 00. Los resultados para el año 00 fuero los sguetes: 5 = u = ; 5 u = = 0.39 La estmacó de la desvacó estádar de la retabldad dara es: S = u = u = ( ) 5 5 u u = = = (5 ) (5*5) = Como los precos estaba meddos por semaas, asumedo que 5 semaas tee u año, etoces la volatldad estmada por año es de: = = 49.4% Es decr el 49.4% aual. S El error estádar de esta estmacó es = = , el 4.8% aual. * 5 7. El Modelo GARCH (,). El modelo GARCH (Geeralzed Autoregresve Codtoally Heteroscedastc) está basado e la represetacó auto regresva de la varaza codcoal, dcho de otra maera este modelo preseta ua maera de modelar el comportameto de la volatldad e los cambos de precos del qutal de café. El modelo está defdo de la sguete maera: σ γν + αµ βσ = + Dode ν represeta la tasa de varaza a lo largo del perodo, σ - represeta la varaza del perodo - y µ - represeta el cambo porcetual del preco de la accó del perodo ateror. El termo γ es ua tasa asgada para ν, así como α que es ua tasa asgada para µ - y β es la tasa asgada para σ -, dode debe cumplr la sguete codcó: γ + α + β = Ahora haremos uso de u cambo de varable de maera que: ω = γν. Etoces el modelo GARCH queda expresado de la sguete maera: σ = ω + αµ βσ + 7. Estmacó de los parámetros. Se procede al cálculo de los parámetros co los sguetes resultado para el caso del preco del qutal de café e el Ecuador: Tabla II Parámetros del modelo ω 0,047 α 0,337 β 0,7977

7 Por lo que el modelo queda de la sguete maera: σ = µ σ Ahora para realzar las predccoes referetes al próxmo perodo, reemplazamos los valores correspodetes al perodo ateror, e este caso para el preco del qutal de café e el año 00 teemos =5, por lo que teemos que reemplazar la ecuacó ateror correspodetes al térmo =5. σ = ( ) (0.0075) σ = Aplcacó del modelo de Black-Scholes al caso del qutal de café ecuatorao E esta seccó se realzará el cálculo de la valorzacó de opcoes medate el modelo de Black-Scholes, para ello se ecestará la ayuda de u software estadístco facero dseñado e Mcrosoft Excel llamado DervaGem. 8. Explcacó de los parámetros. Utlzado el software ya mecoado, hallamos el valor presete de ua opcó de compra y de veta co el respectvo valor de delta, sus parámetros so los sguetes: Ex. Preco de ejercco de la opcó T: Fecha de vecmeto de la opcó P: Preco del qutal del café S: Desvacó estádar por año (Volatldad) rf: Tasa de Iterés lbre de resgo del mercado La desvacó estádar fue estmada medate los datos hstórcos de los precos del qutal de café, el msmo que fue estmado e 49.4% aual. La tasa de terés lbre de resgo e el mercado al cerre de la semaa 7 del presete año fue del 5.6%. 8. Ejemplo: S queremos saber cual es el preco para las opcoes de compra europeas co el preco del actvo subyacete fjado e $4.68, la volatldad de 49.4%, la tasa lbre de resgo del mercado es del 5.6%, co fecha de vecmeto e ua semaa, el cual se comprede como dvddo para 5, ya que 5 semaas tee u año, y el preco del ejercco que se lo fjó e $40.Etoces tuvmos los sguetes resultados: Tabla III Resultados obtedos por el software Prce:, Delta (per $): 0, Gamma (per $ 0, per $): Vega (per %): 0, Theta (per day): -0,06933 Rho (per %): 0,

8 8.3 Aplcacó del modelo a las opcoes de compra (call). Para el preco del ejercco y el preco del qutal actual se geeró ses varables aleatoras co meda $4.65 y desvacó estádar 49.4%, co estos precos geerados se puede teer mayor aprecacó e el aálss de las opcoes ya que vamos a teer dsttos pares ordeados e los precos y dversos tempos de ejerccos. TABLA IV RESULTADOS NUMERICOS PARA EL PRECIO DE LAS OPCIONES DE COMPRA MEDIANTE EL METODO DE BLACK-SCHOLES Tempo Ex P Preco Delta Gama Theta Vega Rho de la Opcó mes 43,04 43,0,5544 0,544 0,0648 0,0493-0,043 0,074 meses 43,5 43,4 3,65 0,5565 0,0456 0,0696-0,03 0,0340 4,7 43,48 4,873 0,5976 0,036 0,084-0,06 0,058 trmestre 4 meses 4,94 4,94 5,775 0,580 0,03 0,0969-0,0 0, meses 43,69 44,80 6,5955 0,600 0,068 0,0-0,0 0,0883 semaa 43,0 44,03,67 0,685 0,60 0,03-0,085 0, Aplcacó del modelo a las opcoes de veta (put). Ahora vamos a presetar alguos resultados umércos de las opcoes y el valor de delta de la opcó de veta del qutal de café e el mercado ecuatorao, tomado e cueta los msmos datos que se eucaro e el modelo de las opcoes de compra. TABLA V RESULTADOS NUMERICOS PARA EL PRECIO DE LAS OPCIONES DE VENTA MEDIANTE EL METODO DE BLACK-SCHOLES Tempo Ex P Preco Delta Gama Theta Vega Rho de la Opcó mes 43,04 43,0,3098-0,456 0,0648 0,0493-0,037-0,08 meses 43,5 43,4 3,557-0,444 0,0456 0,0696-0,05-0,037 4,7 43,48 3,300-0,406 0,04 0,084-0,07-0,05 trmestre 4 meses 4,94 4,94 3,8963-0,43 0,0363 0,097-0,04-0,074 5 meses 43,69 44,80 3,9330-0,380 0,0303 0,0-0,03-0,087 semaa 43,0 44,03 0,6693-0,359 0,407 0,08-0,068-0,003

9 8.5 Aálss gráfco del comportameto de las opcoes. La fecha de vecmeto va ser de u mes, el preco del ejercco de $43.04, el preco de actvo subyacete de $43.0, a ua tasa del 5.6% lbre de resgo e el mercado, co ua volatldad del 49.4% aual. Fgura 4: Comportameto del preco de la opcó (compra y veta) vs la volatldad Aprecado los gráfcos e la fgura 4 podemos decr que a medda que la volatldad se cremete també se cremetará el preco de la opcó. Aquí la relacó es postva e ambos escearos el de la compra como e el de la veta. A mayor volatldad, mayor certdumbre y mayor es el preco de la opcó. Fgura 5: Comportameto del Delta (compra y veta) vs la volatldad E la fgura 5 se puede aprecar el comportameto del delta de la opcó versus el preco del actvo subyacete, el valor del delta para caso de las opcoes de compra fue de $0.544, esto sgfca cuado el preco del subyacete camba uo por ceto, el preco de la opcó cambará e 0.6 por ceto. Por lo tato la sere está at-the-moey ya que tee u delta alrededor de 0.5, es decr por cada cetavo que varíe el actvo subyacete la prma de ua opcó at-the-moey cambará la mtad, es decr $0.544 Para la opcó de veta, el valor del delta fue de $-0.455, es decr, se ecuetra at-the-moey, ya que su delta se ecuetra alrededor de 0.5. E la aprecacó ambos gráfcos se puede ver claramete que las opcoes call sube de preco al subr el subyacete, por su delta postvo, metas que las opcoes put sube de preco al bajar el actvo subyacete, por lo que su delta es egatvo.

10 Coclusoes. La comercalzacó del café es uo de los más seros problemas de la produccó del grao e el Ecuador. Por esta razó, la comercalzacó debería ser estmada como u factor crítco, desde que el presete esquema presoa cluso a los cafcultores. Ua gra parte de las gaacas va a maos de los termedaros, lo que geera gra malestar e los cafcultores.. Hay que señalar que las opcoes europeas solo puede ser ejerctadas e la fecha de vecmeto, metras que ua opcó amercaa, puede ser ejerctada e cualquer mometo hasta su fecha de vecmeto cluda. 3. Ua opcó de compra tee más mportaca cuado el preco de las accoes sube e el mercado y meos valor cuado el preco del ejercco aumeta, y ua opcó de veta tee mayor mportaca para su poseedor cuado el preco de las accoes baje, metras que su mportaca descede cuado el preco de las accoes suba 4. El comportameto del preco de las opcoes de compra y de veta co respecto al preco de las accoes está correlacoadas egatvamete, esto quere decr que metras la ua se avalúa a mayor preco la otra tede a dsmur su preco. 5. El modelo Garch (,) s os proporcoa predccoes cofables co respecto a las volatldades del cambo porcetual de los precos del qutal del café. 6. Debdo a que la volatldad es ua meda de certdumbre s u actvo subyacete tee ua gra volatldad, el comprador de ua opcó puede teer que pagar más por ella que por ua opcó sobre uas accoes co baja volatldad. 7. Las opcoes de compra tee ua delta postva de etre cero y uo, sedo cero la de las opcoes muy <<out-of-the-moey>> y para las seres que está muy <<-the-moey>>. Las opcoes de veta tee deltas egatvas y está etre - y Las opcoes de compra (call) sube de preco al subr el preco del actvo subyacete, por lo que tee delta postvo, metras que las opcoes de veta (put) sube de preco cuado el preco del actvo subyacete baja, es decr tee delta egatva. 9. S el preco del actvo subyacete está por ecma del preco del ejercco, es cas 00% seguro ejercer la opcó, metras que s el preco de los actvos subyacetes está por debajo del preco del ejercco es cas ulo el hecho de ejercer la opcó Referecas. A. Morocho, Valoracó de opcoes de compra y veta del qutal de café e el mercado ecuatorao.(tess, Facultad de Igeería e Estadístca Iformátca, Escuela Superor Poltécca del Ltoral, 003). JHON c. Hull. Optos, Futures & other Dervates, Pretce Hall 4th Edto. 3. Davd Ford Ivertr e el Mercado de Opcoes, Facal Tmes James Rodríguez de Castro El Resgo Flexble Ceca de CDN La Dreccó. 5. Jame Díaz Toco y Fausto Herádez Trllo Futuros y Opcoes Faceras, Ua Itroduccó 6. Baco Cetral del Ecuador El Café, Nuestro Frete al Nuevo Mleo 7. Jua Bermúdez, febrero 003, Proyecto SICA, 8. Edward Carvajal, febrero 03,

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