Parte III. TEORÍA DE LOS MERCADOS DE CAPITALES Y VALORACIÓN DE ACTIVOS

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1 INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA FINANCIERA Parte I. INTRODUCCIÓN Tema 1. Fundamentos de Economía Financiera Parte II. TEORÍA DE LA ELECCIÓN INDIVIDUAL Tema 2. Consumo, inversión y mercados de capitales Tema 3. Teoría de carteras Parte III. TEORÍA DE LOS MERCADOS DE CAPITALES Y VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS Tema 4. El modelo de equilibrio de activos financieros Tema 5. El modelo de valoración de opciones financieras 1

2 Parte III. TEORÍA DE LOS MERCADOS DE CAPITALES Y VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS Tema 5. El modelo de valoración de opciones financieras Objetivos: Conocer y explicar los conceptos básicos asociados a las opciones Determinar el valor intrínseco de una opción y el beneficio asociado a posiciones y carteras básicas Explicar el Teorema de la paridad Diseñar yvalorar activos sintéticos i Determinar la cartera réplica Aplicarp la valoración neutral al riesgo Calcular el valor de una opción con el método binomial Calcular el valor de una opción mediante la fórmula de Black y Scholes 2

3 Tema 5. El modelo de valoración de opciones financieras Estructura: 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Modelos de valoración de opciones 3.1. Modelo binomial 3.2. Modelo de Black y Scholes Bibliografía básica: Bodie, Kane y Marcus (2004) caps Brealey, Myers y Allen (2006) caps Alexander, Sharpe y Bailey (2003) cap. 24 Bibliografía complementaria: Fernández y García (1992) cap. 15 3

4 Tema 5. El modelo de valoración de opciones financieras 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Modelos de valoración de opciones 3.1. Modelo binomial 3.2. Modelo Black y Scholes 4

5 1. Definición y conceptos básicos de valoraci ión de opcio ones financ cieras El modelo Tema 5. Objetivos: Definir una opción Explicar la terminología asociada a las opciones Representar el valor de una opción y su resultado al vencimiento Contenidos: Concepto de opción y terminología relacionada El valor de una opción de compra y de venta al vencimiento para el emisor y el comprador El beneficio/pérdida (resultado) de una opción de compra y de venta al vencimiento para el emisor y el comprador

6 1. Definición y conceptos básicos Qué es una opción? Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Un contrato que otorga asuposeedor (holder o buyer) el derecho no la obligación- a comprar (op. compra o call) ovender(op. de venta o put) un determinado activo el activo subyacente (underlaying asset)- a un precio determinado precio de ejercicio (strike price)-, pudiéndose ejercer el derecho hasta una fecha determinada fecha de expiración o vencimiento (expiration date)-, en cuyo caso es una opción americana, o sólo en dicha fecha, en cuyo caso se denomina opción europea, pagando por ello una prima (premium) o precio dela opción de compra. El vendedor o suscriptor (writer) de la opción de compra tiene la obligaciónde vender el activo en la fecha y precio acordados. El vendedor de una opción de venta tiene la obligación ió de comprar el activo en la fecha y precio acordados d La opción es un activo derivado o contingente (su valor depende del valor de otro activo, el subyacente) Existen otros activos derivados (futuros, warrants, ). Las opciones se negocian en mercados organizados o en OTC (over the counter)

7 1. Definición y conceptos básicos Futuro es un acuerdo entre dos partes por el cual una de las partes se compromete a comprar una cantidad d de unactivo determinado d el activo subyacente- en una fecha futura fecha de expiración o vencimiento- a un precio fijado hoy precio del futuro-; y la otra parte se compromete a la venta del activo en los mismos términos. Se negocian en mercados organizados.

8 Nota Didáctica nº 1 CALL PUT COMPRADOR Puede o no Puede o comprar no vender VENDEDOR Obligado a vender Obligado a comprar

9 1. Definición y conceptos básicos Partes del contrato t de opción: Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Emisor o vendedor (writer) (está obligado). Posición corta El vendedor de la opción adquiere la obligación de entregar (call) o adquirir (put) el activo subyacente Comprador o poseedor (tiene el derecho). Posición larga El poseedor de la opción adquiere el derecho a comprar (call) o vender (put) el activo subyacente Tipos de opciones Según el vencimiento Europea: se puede ejercer sólo en el momento de vencimiento Americana: sepuedeejercerhastaelmomentodevencimiento. La opción americana es más flexible que la europea, por lo que deberá tener más valor Según el derecho que otorga a su poseedor Call Put

10 1. Definición y conceptos básicos Compra/Venta Opción Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras CALL PUT Prima Comprador Opc. Vendedor Opc. Opción Compra/Venta Activo Subyacente: Acción P. de Ejercicio Comprador Opc. Vendedor Opc. Acción P. de Ejercicio Comprador Opc. Vendedor Opc. Acción

11 1. Definición y conceptos básicos Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Conceptos asociados El activo subyacente puede ser una inversión, el derecho sobre un bien, un activo financiero, una divisa, un producto agrícola, etc. sobre el que se tiene el derecho. Precio o cotización del subyacente (S): Valor del subyacente. Es incierto. Precio de ejercicio (E ó X): Valor al que se puede comprar (call) o vender (put) el activo subyacente. Se conoce con certeza. Fecha de vencimiento (T): Momento hasta el cual se puede ejercer (opción americana) o en el cual se puede ejercer (opción europea) la opción. Pasada esta fecha, la opción expira, se pierde el derecho. Se conoce con certeza.

12 Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Conceptos asociados 1. Definición y conceptos básicos La prima: Precio que paga el poseedor (y que cobra el emisor) de la opción por tener ese derecho. Se conoce con certeza Tiene dos componentes: valor intríseco + valor del tiempo Valor intrínseco (valor téorico): el valor de la opción si se ejerce en este momento. Diferencia entre precio de mercado (cotización) y precio de ejercicio. S-E para call y E-S para put, ambos con el límite de cero Valor extrínseco tí (valor del tiempo): recogeel valor que hace el mercado a que en el futuro el subyacente pudiera tomar un valor tal que la opción valga más. A la diferencia entre la prima y el valor intrínseco se le denomina valor tiempo o valor extrínseco En función de su valor intrínseco las opciones se clasifican como: In the money (en dinero): valor intrínseco positivo (S>E para las call y S<E para las put) Out of the money (fuera de dinero): valor intrínseco negativo (S<E para las call Y S>E para las put) At the money (a la par): valor intrínseco nulo: S=E (para call y put)

13 1. Definición y conceptos básicos Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Quién compra/emite una call? La compra quien posee expectativas alcistas sobre un título: me aseguro comprar a un precio La emite quien posee expectativas bajistas sobre un título: me aseguro ganar la prima Quién compra/emite una put? La compra quien posee expectativas bajistas sobre un título: me aseguro vender a un precio La emite quien posee expectativas ti alcistas sobre un título: me aseguro ganar la prima

14 1. Definición y conceptos básicos El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Representación del valor de una opción sobre una acción en el momento de vencimiento (Diagramas de Bachelier). Valor intrínseco en T C T = max(s T -E,0) P T = max(e-s T,0) C T Posesión CALL P T Posesión PUT C T E S T -E Emisión CALL Valor ilimitado S T P T E E-S T Valor ilimitado E Emisión PUT S T Tema 5. E E-S T S T S T -E Pérdidas ilimitadas -E E Pérdidas limitadas S T Posesión y Emisión Call juego suma cero Posesión y Emisión Put juego suma cero

15 1. Definición y conceptos básicos Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Representación del resultado de una opción sobre una acción en el momento de vencimiento La prima de la call es c y el de la put es p Punto muerto *: Beneficio =0 Bº Posesión CALL Posesión PUT Bº -c Bº Pérdidas E E-p * E+c S * Pérdidas T -p E-p S T Emisión ió CALL Emisión PUT Bº c Ganancias E+c E * S T p p-e E-p * E Ganancias E S T Posesión y Emisión Call juego suma cero Posesión y Emisión Put juego suma cero

16 1. Definición y conceptos básicos El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Qué nos permiten las opciones? Completar el mercado: amplían el conjunto de oportunidades de inversión, al permitir diferir la operación a realizar por falta de información, liquidez o formación de expectativas Cobertura del riesgo: limitar las pérdidas posibles sin renunciar a las posibilidades de ganancias, obtener posiciones libres de riesgo (las ganancias pueden ser ilimitadas) it Especulación, con menor inversión y beneficio esperado mayor: el efecto apalancamiento en las opciones Tema 5.

17 Nota Didáctica nº 2 DETERMINANTES DEL VALOR DE UNA OPCION: PRECIO DEL ACTIVO SUBYACENTE (S T ) PRECIO DE EJERCIO DE LA OPCION (E) VENCIMIENTO DE LA OPCION (T) VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL ACTIVO SUBYACENTE ( 2 ) TIPO DE INTERES LIBRE DE RIESGO (r) El efecto que dichos factores tienen, según se trate de CALL, o PUT, es el siguiente:

18 Nota Didáctica nº 2 Factor CALL PUT Factores exógenos (de mercado): Precio del activo subyacente (S T ) + - Volatilidad ( 2) + + Int. SIN RIESGO según vencimiento de la opción (r) + - Factores endógenos (específicos del contrato): Plazo (T) + + Precio de ejercicio (E) - +

19 Tema 5 El modelo de valoración de opciones financieras 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Modelos de valoración de opciones 3.1. Modelo binomial 3.2. Modelo Black y Scholes 19

20 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Objetivos: Representar las posiciones de los cuatro activos básicos: call, put, subyacente e inversión libre de riesgo Presentar las relaciones entre las carteras de derivados y las carteras formadas por el activo subyacente y el activo libre de riesgo: Teorema de la Paridad Definir y valorar activos sintéticos Contenidos: Gráficos de las cuatro posiciones básicas al vencimiento Gráficos de carteras Teorema de la paridad Activos sintéticos

21 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Partimos de cuatro activos financieros básicos: Una Put (P) y una Call (C) europeas que no reparten dividendos, con el mismo vencimiento (T), subyacente (S) y precio de ejercicio (E) El subyacente (S); el mismo sobre el que se definen las opciones La inversión (préstamo o endeudamiento) libre de riesgo por importe del precio de ejercicio (E) Comparación del valor al vencimiento de 2 carteras diferentes formadas a partir de los cuatro activos: Cartera 1: Poseer una call (C) y emitir una put (-P) Cartera 2: Poseer el subyacente (S) y endeudarse por el importe del precio de ejercicio de las opciones (-E)

22 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Cartera 1 (C-P): Poseer una Call y Emitir una Put C T Posesión CALL P T Emisión PUT + Si S T<E No ejercemos la Call,, su valor es cero T E S T -E E S T Valor Cartera 1 en T = -E Posesión CALL y Emisión PUT El comprador de la Put la ejerce, por lo que como somos emisores de la Put perdemos S T -E (-) RESULTADO= 0 + S T -E = S T -E (-) Si S T>E Ejercemosj la Call,, su valor es S T -E (+) El comprador de la Put no la ejerce, por lo que como somos emisores de la Put su valor es cero RESULTADO= S T -E + 0 = S T -E (+) La cartera 1 en T siempre vale S T -E, pero si S T <E tiene valor negativo y si S T >E tiene valor positivo E S T

23 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Cartera 2 (S-E): Poseer el Subyacente y Endeudarse Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras S T Posesión Subyacente E S T -E Endeudamiento + = E S T Posesión Subyacente y Valor Cartera Endeudamiento 2 en T La cartera 2 en T siempre vale S T -E, perosis T <E tiene valor negativo y si S T >E tiene valor positivo -E E S T

24 Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Cartera 1 (C-P): Poseer una Call y Emitir una Put C T Posesión CALL P T Emisión PUT + E S T Valor Cartera 1 en T E S T -E -E Cartera 2 (S-E): Poseer el Subyacente y Endeudarse Posesión Subyacente S S T Endeudamiento = + = Posesión CALL y Emisión PUT E S T Posesión Subyacente y Endeudamiento Valor Cartera 2 en T E S T E S T E S -E T -E Las Carteras 1 y 2 proporcionan el mismo resultado en T deben valer lo mismo en T (ley de precio único, equilibrio en el mercado, arbitraje) Valor Cartera 1 en T= Valor Cartera 2 en T C T P T = S T E (Teorema de la Paridad)

25 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad PARIDAD PUT-CALL Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras En el vencimiento se verifica: C T P T = S T E En cualquier momento anterior al vencimiento i se verificará: C 0 P 0 = S 0 E e -rt r=ln (1+r f ) A partir de esta relación se pueden obtener activos sintéticos: C -rt -rt 0 = P 0 + S 0 E e C 0 = P 0 S 0 + E e P 0 = C 0 S 0 + E e -rt P 0 = C 0 + S 0 E e -rt S 0 = C 0 P 0 + E e -rt S 0 = C 0 + P 0 E e -rt E e -rt = S 0 + P 0 C 0 E e -rt = S 0 -P 0 + C 0

26 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad ión de opcio ones financ cieras E Pét Préstamo S T Emisión Subyacente E S T de valoraci E S T Tema 5. El modelo

27 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Para opciones europeas si la acción paga dividendo: C 0 -P 0 = (S 0 -D 0 ) E e -rt (D 0 =valor actual de la corriente de dividendos pagados hasta T) Para opciones americanas: S 0 E C 0 -P 0 S 0 -E e -rt Para opciones americanas con pago de dividendo: (S 0 -D 0 ) E C 0 -P 0 S 0 -E e -rt

28 Tema 5 El modelo de valoración de opciones financieras 1. Definición y conceptos básicos 2. Relaciones entre las opciones de compra y de venta: el teorema de la paridad 3. Modelos de valoración de opciones 3.1. Modelo binomial 3.2. Modelo Black y Scholes 28

29 3. Modelos de valoración de opciones de valoraci ión de opcio ones financ cieras El modelo Tema 5. Objetivos: Explicar los fundamentos y desarrollar los principales modelos de valoración de opciones (en tiempo continuo y discreto) Valorar opciones de distintas características por aplicación de los modelos de valoración Contenidos: Hipótesis de los modelos de valoración Modelo binomial en tiempo discreto Modelo de valoración de Merton, Black y Scholes (1973) en tiempo continuo

30 3. Modelos de valoración de opciones Modelo en tiempo discreto: Binomial Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Supuestos de partida: 1.- Los mercados de capitales son perfectos 2.- El tipo de interés libre de riesgo (r f ) permanece constante alo largo de la vida de la opción 3.- El activo subyacente no genera rendimientos durante la vida de la opción 4.- El mercado de capitales es perfecto. 5. Consideramos opción europea 6. El precio de activo subyacente sigue un proceso binomial multiplicativo en tiempo discreto (existe la probabilidad p de que la cotización del subyacente aumente un U% y una probabilidad (1-p) de que baje un D% U u 1 D d

31 3. Modelos de valoración de opciones Modelo en tiempo discreto: Binomial (cont.) En el modelo binomial buscamos: ENCONTRAR LA COMBINACION ENTRE ACCIONES Y PRESTAMOS QUE SON EQUIVALENTES A UNA INVERSION EN LA OPCION. DEBIDO A QUE LAS DOS ESTRATEGIAS DAN IDENTICOS RESULTADOS EN EL FUTURO, DEBEN SER VALORADAS AL MISMO PRECIO HOY

32 3. Modelos de valoración de opciones El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras u y d son independientes y u>1, 0<d<1 y d<1+r f <u Modelo de valoración Call T=1 p S 1u = us 0 S 0 Árbol binomial del precio del subyacente 1-p S 1d = ds 0 C 1u = Max (S 1u -E, 0)= Max (us 0 -E, 0) p Tema 5. C 0? 1-p Árbol binomial del precio de la opción C 1d = Max (S 1d -E, 0)= Max (ds 0 -E, 0)

33 3. Modelos de valoración de opciones Modelo Binomial Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras En nuestro ejemplo: (u=1,33 y d= 0,75). Call europea s/ accs. KK (E= 55, T= 6 meses, S 0 =55, r f = tipo int. Libre de riesgo 2% Árbol binomial del precio del subyacente 55*(1+0,33)=73,33 u.m. p 55 u.m. 1-p 55*(1-0,25)=41,25 u.m. Árbol binomial del precio de la opción C 1u = Max (S 1u -E, 0)= Max ( (73,33-55, 0)=18,33 u.m. p C 0? 1-p C 1d = Max (S 1d -E, 0)= Max (41,25-55, 0)=0 u.m.

34 3. Modelos de valoración de opciones Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Cartera réplica G: Compuesta por acciones S y una inversión en bonos libres de riesgo por importe de B unidades monetarias (son dos activos financieros cuyos precios se conocen con certeza en t=0). Las probabilidades al alza (p) yalabaja(1-p) son las del subyacente Árbol binomial de la cartera G G 0 = S 0 +B p 1-p En nuestro ejemplo: G 0 = *55+B p 1-p G 1u = S 1u +B(1+r F )= us 0 +B(1+r F ) G 1d = S 1d +B(1+r F )= ds 0 +B(1+r F ) G 1u = *73,33+B*(1+0,02) G 1d = *41,25+B*(1+0,02)

35 3. Modelos de valoración de opciones Si se impone la condición ió que la cartera G replique los resultados (el valor) de la opción (C) al vencimiento en cada estado de la naturaleza: Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras G 1u = C 1u G 1d = C 1d G 0 = S 0 +B En nuestro ejemplo: G 1u = C 1u G 1d = C 1d G 0 = *55+B p 1-p G 1u = us 0 +B(1+r f )= Max (us 0 -E, 0) [C 1u ] Réplica G 1d = ds 0 +B(1+r f )= Max (ds 0 -E, 0) [C 1d ] Sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas: y B p G 1u = *73,33+B*(1+0,02)=18,33 33+B*(1+0 02) u.m. 1-p G 1d = *41,25+B*(1+0,02)=0 * *( ) u.m. Sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas: y B

36 3. Modelos de valoración de opciones Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Si no hay posibilidades de arbitraje en el mercado, entonces: G 0 =C 0, dado que ambos activos (cartera réplica y opción de compra) presentan el mismo resultado futuro ante los mismos estados de la naturaleza y con igual probabilidad de ocurrencia Resolviendo en y B el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, resulta: = C 1u -C 1d (u-d)s 0 En nuestro ejemplo: uc 1d -dc 1u B = C (u-d) (1+r f ) 0 = G 0 = S 0 +B = (18,33-0)/(73,33-41,25) = 0,5714 accs. B = (1,33x0)-(0,75x18,33)/((1,33-0,75)x1,02) = - 23,11 u.m. C 0 = G 0 = S 0 +B= 0,5714x55-23,11= 8,32 u.m. No arbitraje

37 3. Modelos de valoración de opciones n de opcion nes financie eras Sustituyendo y B por sus valores y operando se obtiene: = C C 0 = S 0 +B= 1u -C 1d.S 0 + (u-d)s 0 C 1u-C 1d (u-d)s 0 (1+r f ) - d u - (1+r f ) C 0 = (u - d) C 1u + (u - d) uc 1d-dC 1u (u-d) (1+r f ) 1 C 1d (1+r f ) uc 1d-dC 1u B = (u-d) (1+r f ) Tema 5. El modelo de valoració 1 C 0 = q C 1u + (1 q) C 1d (1+r f ) E(C 1 ) = (1+r f ) (1+r f ) - d u - (1+r f ) siendo q = y 1 - q = Probab. neutrales al riesgo (u - d) (u - d) En nuestro ejemplo: q = 1+0,02-0,75 = 0,465 C 0 =(0,465x18,33+(1-0,465)x0)/(1+0,02)= 8,3 u.m. (1,33-0,75)

38 3. Modelos de valoración de opciones Modelo de valoración Call europea T=2 p S 2uu = us 1u =u 2 S 0 de valoraci ión de opcio ones financ cieras S 0 p 1-p S 1u= us 0 S 1d = ds 0 1-p S 2ud = ds 1u =uds 0 p = S 2du= us 1d =dus 0 1-p S 2dd = ds 1d =d 2 S 0 C 2uu = Max (u 2 S 0 -E, 0) p El modelo Tema 5. C 0? p 1-p C 1u? C 1d? 1d 1-p p C 2ud = Max (uds 0 -E, 0) C 2du = Max (dus 0 -E, 0) = 1-p C 2dd = Max (d 2 S 0 -E, 0)

39 3. Modelos de valoración de opciones de valoraci ión de opcio ones financ cieras Dos problemas de valoración uniperiodo: C 1u y C 1d, para después valorar C 0 Valorar de t=2 a t=1 Valorar C 1u (problema de valoración uniperiodo) S 1u = us 0 p 1-p S 2uu = us 1u =u 2 S 0 S 2ud = ds 1u =uds 0 El modelo Tema 5. C 1u? Resolver por réplica y arbitraje p 1-p C 2uu = Max (u 2 S 0 -E, 0) C 2ud = Max (uds 0 -E, 0)

40 3. Modelos de valoración de opciones Valorar de t=2 a t=1 Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Valorar C 1d (problema de valoración uniperiodo) p S 2du= us 1d=duS 0 S 1d = ds 0 1-p S 2dd = ds 1d =d 2 S 0 p C 2du = Max (dus 0 -E, 0) C 1d? 1-p C 2dd = Max (d 2 S 0 -E, 0) Resolver por réplica y arbitraje

41 3. Modelos de valoración de opciones Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Valorar de t=1 a t=0 Valorar C 0 (problema de valoración uniperiodo) p S 1u = us 0 S 0 p C 0? 1-p 1-p S 1d = ds 0 C 1u C 1d Resolver por réplica y arbitraje Sus valores se han determinado por dos procesos de arbitraje

42 3. Modelos de valoración de opciones Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Valorar mediante probabilidad neutral al riesgo (valorar de t=2 a t=0) 1 C 0 = q 2 C 2uu + 2q (1-q) C (1 q) 2 2ud + C 2dd (1+r f ) 2 siendo q = (1+r f ) - d u - (1+r f ) 1 - q = (u - d) (u - d) (q = probabilidad neutral al riesgo) Valor futuro esperado de la call actualizado al tipo de interés libre de riesgo

43 3. Modelos de valoración de opciones Modelo de valoración Call americana T=2 Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Determinación del momento óptimo de ejercicio Ejercer en t=1 o aplazar la decisión? No ejercer en t=1 no implica ejercer en t=2 Analizar los resultados de ejercer la opción en t=1 (se obtendría el valor intrínseco en t=1) frente a esperar y posponer esta decisión hasta t=2 (vencimiento): Si el valor de ejercicio en t=1 es superior al valor de esperar hasta t=2 ejercer en t=1 Si el valor de ejercicio en t=1 es inferior al valor de esperar hasta t=2 no ejercer en t=1

44 3. Modelos de valoración de opciones Modelo de valoración Call T=1 con reparto de dividendos ión de opcio ones financ cieras S 0 p 1-p S 1u = us 0 S 1d =ds 0 Árbol binomial del precio del subyacente ex dividendo (S 1u, S 1d ) u y d no coinciden con Call T=1 sin dividendos de valoraci p C 1u = Max (S 1u -E, 0)= Max (us 0 -E, 0) Tema 5. El modelo C 0? 1-p C 1d = Max (S 1d -E, 0)= Max (ds 0 -E, 0)

45 3. Modelos de valoración de opciones El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Cartera réplica G: acciones S y una inversión en bonos libres de riesgo por importe de B unidades monetarias G 0 = S 0 +B p 1-p G 1u = us 0 + Dividendo + B(1+r F ) G 1d = ds 0 + Dividendo + B(1+r F ) (La posesión de acciones da derecho a la percepción de los dividendos) Tema 5.

46 3. Modelos de valoración de opciones El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Si se impone la condición que la cartera Grepliquelos resultados de la opción (C), entonces: G 1u = C 1u G = G 1d = C 0 S 0 +B 1d siendo r = (1+r F ) p 1-p G 1u = us 0 + Div +Br= Max (us 0 -E, 0) G 1d = ds 0 + Div +Br= Max (ds 0 -E, 0) Si no hay posibilidades de arbitraje en el mercado, entonces: G 0 =C 0 Resolviendo en y B el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, resulta: Tema 5. = C 1u -C 1d (u-d)s 0 B = (u+div/s 0 )C 1d -(d +Div/S 0 )C 1u (u-d) (1+r F )

47 3. Modelos de valoración de opciones C 0 = G 0 = S 0 +B Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras ((1+r F ) Div/S 0 ) d u ((1+r F ) Div/S 0 ) 1 C 0 = C (u d) 1u + (u d) C 1d (1+r F ) siendo q = 1 C 0 = q C 1u + (1 q) C 1d (1+r F F) ((1+r F F) Div/S 0 ) d u ((1+r F F) Div/S 0 ) 1 q = (u d) (u d) (q = probabilidad neutral al riesgo, que coincide con la calculada cuando no se reparten dividendos)

48 3. Modelos de valoración de opciones Si representa la rentabilidad por dividendo en el periodo: (Div/S 0 ) Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras ((1+r F ) ) d u ((1+r F ) ) 1 C 0 = C (u d) 1u + (u d) C 1d (1+r F ) 1 C 0 = q C 1u + (1 q) C 1d (1+r F F) ((1+r F ) ) d u ((1+r F ) ) siendo q = 1 q = (u d) (u d) (q = probabilidad neutral al riesgo) El valor de la Call/Put se modifica (baja/sube) cuando hay reparto de dividendos, porque cambian los resultados de la Call/Put en t=1, al cambiar (bajar) el valor del subyacente en t=1

49 3. Modelos de valoración de opciones Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras Conclusiones del modelo binomial: 1. Las probabilidades bilid d del precio futuro de la acción, p y 1-p, no influyen en el precio de la opción 2. El valor de la opción no depende de la actitud del inversor ante el riesgo: valor neutral al riesgo 3. 0<q<1, por lo que se puede interpretar como una probabilidad. Si los inversores son neutrales ante el riesgo, q es la probabilidad de que el precio de la acción suba hasta us 0 al final del periodo y 1-q la probabilidad de que baje hasta ds 0 4. El precio de la opción depende de S, E, (1+r F ), T, u, d 5. La única variable aleatoria de la que depende el precio de la opción es el precio de la acción (S)

50 Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras 3. Modelos de valoración de opciones Modelo de Black y Scholes (1973) El trabajo de Black y Scholes (1973) constituye el punto de partida de la teoría de valoración de opciones al hacer explícito el cálculo del valor de una opción de compra europea, en el caso particular de una acción de una empresa que no distribuye dividendos en el período de vida de la opción El valor de la opción de compra viene determinado por la siguiente fórmula: Siendo: C 0 = S 0 N(d 1 ) - E e -r t N(d 2 ) d 1 S ln r E t 2 2 t S 0 = precio actual de la acción S 0 d d1 2 E = precio de ejercicio de la opción r = tipo de interés libre de riesgo en capitalización compuesta y continua r = ln (1+r f ) t = tiempo hasta el vencimiento de la opción 2 = varianza del rendimiento de la acción N(d) = función de distribuciónib ió normal tipificada ifi -N(0,1)- con media 0 y varianza 1. Representa la probabilidad de que la variable aleatoria z tome un valor que d t

51 3. Modelos de valoración de opciones Interpretación de la expresión: En el momento del vencimiento de la opción (T), el poseedor de la misma recibirá la acción menos el precio de ejercicio; ello ocurrirá si el precio de la acción S 0 - supera la precio de ejercicio -E- Tema 5. El modelo de valoraci ión de opcio ones financ cieras C -r 0 = S 0 N(d 1 ) - E e t N(d 2 ) P 0 = E e -r t N(-d 2 ) S 0 N(-d 1 ) El primer término de la fórmula representa el valor actual de la acción si y sólo si S 0 >E El segundo término es el valor actual del precio de ejercicio si y sólo si S 0 >E Son distintos d 1 y d 2 porque los determinantes del precio final de la acción y la opción son distintos En el caso de que S >>>E, entonces N(d 1 ) N(d 2 ) 1 y por tanto C 0 S 0 -E e -r t Para aplicar la expresión de B-S es necesario conocer cinco parámetros: S 0, E, r, t y

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