El algoritmo binomial de Barle y Cakici para valuar opciones

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1 El algoritmo binomial de Barle y Cakici para valuar opciones Víctor Hugo Vázquez Guevara Alducin Yóbal Rocío Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Av. San Claudio y Río Verde San Manuel 72570, Puebla, Puebla. Resumen Se presenta el algoritmo binomial de Barle y Cakici (BC) para valuar opciones europeas. Este algoritmo subsana algunas deficiencias del algoritmo de Derman y Kani (DK)tales como la incorrecta reproducción del efecto smile. en los casos en que las tasas de interés libre de riesgos son altas y la posibilidad de probabilidades de transición negativas. Cabe mencionar que este algoritmo también toma en cuenta la dependencia de la volatilidad implćita con respecto al precio de ejercicio. Keywords: Opciones europeas, Derman-Kani, volatilidad implicita, smile, árboles binomiales, Barle- Cakici 1. Introducción Las opciones son, en el contexto de los instrumentos financieros, productos muy populares y difundidos, debido a que ayudan a disminuir el riesgo en algunas negociaciones; además, por su apalancamiento (una inversión será más apalancada cuando debamos invertir una menor cantidad de capital del esperado con el fin de obtener resultados económicos y financieros adecuados, es decir, mayor rentabilidad), de una pequeña inversión se pueden obtener grandes beneficios, y por su versatilidad permiten al inversionista realizar estrategias para lograr sus objetivos dentro del mercado, por otra parte tienen facilidad de combinarse con otros instrumentos financieros. De esto, la importacia del estudio de las opciones para los inversionistas es debida a la especulación y a la cobertura que ofrecen. Definición 1 Una opción es un contrato entre dos personas (tenedor y escritor) que da el derecho al tenedor pero no la obligación de comprar o vender cierta cantidad de acciones a cierto precio (llamado precio de ejercicio) en determinada fecha (también llamada fecha de expiración o maduración). Existen diferentes tipos de opciones, pero las que estudiaremos son las opciones europeas. Definición 2 (Opción europea) Es el tipo de opción que sólo se puede ejercer en la fecha de expiración. Las opciones europeas a su vez se dividen en dos tipos: Definición 3 (Opción Call) Las opciones Call son las que dan el derecho de adquirir un bien. Definición 4 (Opción Put) Las opciones Put son las que dan el derecho de vender un bien. El estudio de las opciones ha ganado cierta relevancia en el mercado; entre otras razones,por que existe una forma sistemática de determinar su valor, es decir, el tenedor de la opción debe pagar por el privilegio de ser dueño de la opción [6]. Los valores de las opciones en el mercado han confirmado las diferencias entre los valores ofrecidos por el modelo de Black-Scholes y los observados en el mercado [5], esto se debe en gran parte a que este modelo supone una volatilidad constante, debido a esta suposición se han creado modelos que toman a la volatilidad de manera explícita, esto es, la volatilidad se calcula como una función que depende del valor de la opción en

2 el mercado y del precio de ejercicio. Los modelos binomiales implícitos capturan las variaciones de la volatilidad implícita con respecto al precio de ejercicio, mejor conocida como la sonrisa de volatilidad (o efecto smile). 2. Modelo Binomial Implícito de Barle y Cakici Derman y Kani [4] realizan una propuesta alternativa al modelo binomial CRR, en el cual el árbol se construye considerando en cada paso valores de opciones con precios de ejercicio iguales a los precios del subyacente del paso anterior y con vencimiento en el momento inmediatamente posterior. De esta manera el árbol se construye teniendo en cuenta opciones con diferentes vencimientos. Los valores de la opciones observados en el mercado muestran que la volatilidad implícita, calculada con el precio de las opciones en le mercado mediante la inversion de la fórmula de Black-Scholes varía con respecto al precio de ejercicio y al tiempo de expiración, éstas variaciones son conocidas como efecto smile (skew). El método de Derman y Kani captura la estructura smile (basándose en un enfoque de libre arbitraje) [4]. Existen tres requerimientos que el árbol implícito debe cumplir: Debe tener una correcta reproducción del smile. Las probalidades de transición deben estar en el intervalo [0,1]. El proceso de ramificación debe ser neutral al riesgo (es decir, el precio del activo subyacente es el valor esperado de sí mismo) en cada paso [5]. La construcción del árbol implícito de Derman y Kani se lleva acabo iteradamente paso a paso empezando en el nivel uno, en el cual es conocido el precio del bien sobre el que se está considerando la opción (S 1 1 ), y apartir de éste se comienza el cálculo para los precios del activo subyacente en los siguientes nodos del árbol, los cuales están basados en los precios Arrow-Debreu, que son los precios de una opción que paga una unidad de recompensa si el precio del bien en el tiempo t S t, alcanza el valor S i n y 0 en otro caso, también estan basados en los precios futuros del activo subyacente y los valores de opciones europeas. Los precios de las opciones utilizados son preferiblemente los precios observados en el mercado financiero, pero también pueden ser obtenidos mediante el modelo de Black-Scholes o del modelo CRR [4]. Supongamos que ya se han construido los primeros n niveles del árbol, así los parámetros y notaciones que utilizaremos para la construcción del siguiente nivel son los siguientes: : el precio del activo subyacente en el nivel n y el nodo i, Sn+1 i+1 r: la tasa de interés con componente continuo. λn+1 i+1 : el precio Arrow-Debreu, F i n: el precio futuro del activo subyacente, P i n: la probabilidad de transición de nodo a nodo (es decir, P i n = P[S n+1 = S i+1 n+1 S n = S i n]), C(K,t): el precio de una opción Call europea con precio de ejercicio K y tiempo de expiración t. P(K,t): el precio de una opción Put europea con precio de ejercicio K y tiempo de expiración t. Para la construcción del árbol binomial implícito usamos inducción con espacios entre los niveles de igual tamaño t. Se inicia la construcción del árbol, tomando n = 1, el precio del bien en el primer nodo coincide con el precio actual del activo en el mercado S, esto es, S 1 1 = S además, se considera que el primer precio Arrow- Debreu cumple que λ1 1 = 1, y los demas precios se calculan de la siguiente manera, e r t (1 p 1 λn i n 1 )λ n 1 1 si i = 1 = e r t ((1 p i n 1 )λ n 1 i + pi 1 n 1 λ n 1 i 1 ) si i [2,n 1] e r t p n 1 n 1 λ n 1 n 1 si i = n (1) en donde, p i n son las probablidades de transición si el precio del bien sube y éstan dadas por, p i n = Fi n Sn+1 i Sn+1 i+1. (2) Si n+1 para hallar los valores del bien en los nodos subsiguientes será necesario calcular el precio futuro a una tasa libre de riesgo r, F i n = S i ne r t sin embargo, como el árbol implícito debe ser neutral al riesgo, debe cumplirse que el valor futuro del bien subyacente sea igual al promedio de los dos nodos futuros conectados al nodo actual, esto es,

3 F i n = p i ns i+1 n+1 + (1 pi n)s i n+1 (3) Sean C(K, t) y P(K, t) los valores conocidos de opciones Call y Put respectivamente, en donde los valores de cada una de estas opciones son calculadas por la interpolación con la curva smile. El valor teórico ofrecido por el esquema binomial para la estructura de una opción Call y Put esta dados por, C(K,n t) = Σ n+1 i=1 λ n+1 i max(si n+1 K,0) (4) P(K,n t) = Σ n+1 i=1 λ n+1 i max(k Si n+1,0) (5) 3. Problemas y soluciones en el modelo de Derman y Kani Algunos problemas presentes en el esquema de Derman y Kani son: El primer problema que se presenta en el algoritmo es que a veces se tienen probabilidades de transición negativas, como no pueden ser negativas, entonces el precio del bien Sn+1 i+1 debe estar en el siguiente intervalo F i n < S i+1 n+1 < Fi+1 n. (6) Si se viola la primera parte de la desigualdad se tiene que (1 P i n) será negativa, mientras que si no se cumple la segunda parte de la desigualdad p i n tendrá un valor negativo. Usando la desigualdad (6) la ecuación (4) puede ser modificada como C(F i n,n t) = Σ n+1 j=i+1 λ i n+1 (S j n+1 Fi n) (7) Si el precio de ejercicio K es elegido como Fn, i y resolviendo (3) para Sn+1 i+1, se tiene: donde, S i+1 n+1 = Si n+1 c i λ i nf i n(f i n S i n+1 ) c i λ i n(f i n S i n+1 ) (8) c i = e r t C(F i n,n t) Σ n j=i+1 λ j n (F j n F i n) (9) Al igual que el modelo de Derman y Kani los primeros nodos en ser calculados son los centrales, y los nodos superiores serán calculados por la expresión (8). Derman y Kani suponen que K = Sn i en la ecuación (9), es decir, suponen que Sn i < Sn+1 i+1 < Si+1 n, es por eso que en ocasiones se generan probabilidades de transición negativas. El segundo problema se tiene cuando se requiere calcular el precio de una opción que poseé una tasa de interés muy alta, esto es debido a la forma en que se eligen los precios del bien subyacente en los nodos centrales. En este algoritmo los primeros nodos en ser calculados en cada etapa son los centrales, un nodo en el caso de los niveles impares y dos en los niveles pares([4][5]). Derman y Kani proponen que el nodo central (en el caso de los niveles impares) sea calculado como en el árbol estándar de Cox-Ross-Rubinstein, es decir, que S n (n+1)/2 = S1 1, sin embargo, resulta natural pensar que el precio del bien subyacente debería incrementar su valor a una tasa de interés con componente continuo. Así, Barle y Cakici proponen que en lugar de fijar el precio del activo subyancente en el nodo central (para los niveles impares) éste cambie su valor, S (n+1)/2 n = S 1 1e rn t Para los niveles pares se tienen dos nodos centrales que deberán satisfacer, Sn n/2 Sn n/2+1 = (Fn n/2 ) 2. Agregando la condición anterior a la ecuación (8), se obtiene la expresión para el nodo central superior en el nivel n + 1, Sn+1 i+1 = Fi+1 n λn i+1 Fn i+1 c i+1 λn i+1 Fn i+1 + c i+1 y el precio bien en el nodo central inferior estará dado por, S i n+1 = Fi+1 n+1 S i+1 n+1 Una vez que ya se han obtenido los precios del subyacente en los nodos centrales en cada nivel, se procede con el cálculo de los nodos superiores (los cuales se obtienen con la ecuación (8)) y por último con los valores en los nodos inferiores, la expresión para estos nodos se obtiene de manera análoga a (8) empleando (5) en vez de (4), de esta forma se tiene, donde, S i n+1 = λ i nf i n(s i+1 n+1 Fi n) p i Si+1 n+1 λ i n(s i+1 n+1 Fi n) p i (10)

4 p i = e r t P(F i n,n t) Σ i j=1 λ j n (F i n F j n ). Se observa que en cada nodo los precios del bien S i n son calculados usando distintos parámetros entre ellos los valores de ciertas opciones europeas (call o put, según sea el nodo). Para calcular el precio de las opciones se puede utilizar el modelo de Black-Sholes, el modelo binomial de Cox-Ross-Rubistein o los valores del mercado si están disponibles tomando como precio de ejercicio el precio futuro del bien en el nodo anterior y una volatilidad que va cambiando de acuerdo al comportamiento del precio del bien (efecto smile). En el primer nodo tenemos una volatilidad inicial, y de acuerdo al comportamiento del precio del bien es como se obtiene el valor de la volatilidad en los nodos posteriores, esto es, por cada diez puntos de cambio en el precio del activo subyacente la volatilidad incrementa (ó decrece) linealmente, según el precio de ejercicio baje (ó suba). A la cantidad que incrementa (o decrece) la volatilidad se le conoce como el skew. La volatilidad en cada nodo será calculada de la siguiente forma: En la Figura 1 se muestra la reprodución del efecto smile de ambos algoritmos considerando una tasa de interés baja (r=0.1). Observamos que para esta tasa de interés tal reproducción es buena. En la Figura 2 observamos que al considerar una tasa de interés alta (r=0.4) el algoritmo de Derman y Kani no es tan eficiente, a diferencia del de Barle y Cakici que conserva su buen desempeño. Volatilidad implícita Smile DK BC Precio de ejercicio en donde V 1 1 V i n = V 1 1 skew Si n S es la volatilidad inicial. Figura 2. Reproducción del smile con r= Conclusiones Volatilidad implícita Smile BC DK El algoritmo de Barle y Cakici es un método númerico para valuar opciones que captura el efecto smile de una mejor forma que el algoritmo de Derman y Kani en condiciones en que la tasa de interés libre de riesgo es alta. Además elimina el problema de la posibilidad de tener probabilidades de transición negativas. Finalmente, mejora el desempeño del algoritmo de Derman y Kani cuando se consideran tasas de interés altas Referencias Precio de ejercicio Figura 1. Reproducción del smile con r=0.1 Para comparar la eficiencia de los algoritmos de Derman y Kani y de Barle y Cakici, recalculamos el efecto smile al construir varios árboles con cada uno de los algoritmos usando distintos precios de ejercicio, una vez que en cada uno de ellos obtenemos el valor de la opción en consideración, calculamos la volatilidad implícita según el modelo de Black-Scholes. [1] Alducin R., Vázquez V. H., Sometido en el libro de Aportaciones y aplicaciones de la probabilidad y la estadística, Vol.5, Fomento editorial Buap, [2] Barle S., Cakici N., How to Grow a Smiling Tree, The Journal of Financial Engineering, Vol. 7, , [3] Derman E., Kani I., The Volatility Smile and Its Implied Tree, Quantitative Strategies Research Notes, 21 pag., [4] Derman E., Kani I., Implied Trinomial Trees of de Volatility Smile, Quantitative Strategies Research Notes, 25 pag., [5] Hardle W., Hautsch N., Overbeck L., Applied Quantitative Finance, Springer, Segunda edición, 2009.

5 [6] Higham D. J., An Introduction to Financial Option Valuation,Cambridge, Primera edición, [7] Hoek J., Elliot R. J., Binomial Models in Finance, Springer, [8] Hull J. C., Options, Futures and other Derivatives, Prentice Hall, Cuarta edición, 1996.

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