Valoración de opciones financieras por diferencias finitas

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1 Valoracón de opcones fnanceras por dferencas fntas José Mª Pesquero Fernández Dpto. Nuevos Productos - Tesorería BBVA

2 Indce INDICE. Introduccón. La ecuacón dferencal 3. Dferencas fntas: esquemas explíctos e mplíctos. 4. Consstenca, convergenca y establdad 5. Opcones exótcas 6. Ventaas de las dferencas fntas en el prcng de dervados 7. Bblografía

3 Introduccón INTRODUCCION Modelo de Black y Scholes: - Comportamento lognormal del actvo: ds = µ ( t, S) dt + σ ( t, S) dz S t - Hpótess: No costes de transaccón, no oportundades de arbtrae, posbldad de negocacón contnua, venta en descuberto permtda y dvsbldad del actvo. - V(t,S): valor del actvo dervado en el nstante t y para un valor del subyacente S. - Lema de Ito y ausenca de arbtrae: V t r t S V V + ( ) + σ ( t, S) S rv = 0 S S Cualquer dervado sobre S debe verfcar esta ecuacón en dervadas parcales. Dferencas fntas: Método numérco para calcular la soucón de la ecuacón dferencal con condcones de contorno. Se presenta como alternatva a otros métodos numércos para la valoracón de dervados fnanceros: árboles, smulacón de montecarlo, ntegracón numérca,...

4 La ecuacón dferencal Ecuacón de dfusón La ecuacón dferencal de Black y Scholes se puede transformar en la ecuacón dferencal de dfusón: u = x u t conocda como la ecuacón del calor en una dmensón (u(t,x) es la temperatura en la dmensón defnda por x). E.: Evolucón de la temperatura en una barra. La ecuacón del calor es una ecuacón dferencal parabólca: Dervada prmera respecto al tempo y segunda respecto a la varable espacal x. La uncdad de la solucón vene marcada por la mposcón de condcones de contorno. Estas son de dos tpos: - Condcones de frontera: Determna la solucón u (t,x*) para todo nstante en los extremos de la barra. - Condcones ncales o fnales: Determna el estado ncal o fnal de temperatura en todo punto de la barra. Es una ecuacón forward: dada una condcón ncal la ecuacón de dfusón defne un proceso de suavzado de esta condcón ncal Condcones de frontera: - Barra nfnta < x <. No es necesaro dar condcones en los extremos de la barra (smplemente mpedr que la temperatura crezca muy rápdo). La solucón es únca smplemente con la condcón ncal. - Barra fnta de solucón. L < x < L. Se necestan poner condcones para todo nstante en los extremos para la uncdad

5 La ecuacón dferencal Ecuacón dferencal de Black y Scholes V t r t S V V + ( ) + σ ( t, S) S rv = 0 S S () Ecuacón dferencal parabólca: Dervada prmera respecto al tempo y segunda respecto a la varable espacal S. Aparece una dervada prmera respecto a S (térmno convectvo o de tendenca). Orgna problemas numércos Es una ecuacón dferencal backwards: Partendo de una condcón fnal para el proceso la ecuacón defne un proceso de suavzado de ésta. La uncdad de la solucón vene marcada por la mposcón de condcones de contorno: condcones de frontera y condcones fnales. No es necesaro mponer condcones de contorno cuando el domno de evolucón del actvo es nfnto 0,+. Este será el caso general para la valoracón de dervados fnanceros. [ ) Eemplo: Valoracón de una opcón de compra (call) del actvo S con vencmento T y preco de eercco K. El valor de la call V(t,S) se obtendrá resolvendo la ecuacón dferencal de Black y Scholes con la condcón fnal: Condcón fnal en T: V ( T, S) = Max( S K, 0 ) () ( ) ( ) Cambo de varables: S Ke x k x k + τ =, t = T τ 4, V = e u x τ, k = r (, ) σ σ El problema pasa a ser: u x = u t con - < x < y u( x,0) = max( e ( k+ ) x ( ) x k,0) (3)

6 Dferencas fntas Métodos numércos No todo método numérco de resolucón de ecuacones dferencales funcona ben en todos los casos. Es necesaro realzar un estudo sobre el método numérco más convenente antes de su aplcacón al problema concreto. Esto garantzará que la solucón numercamente obtenda se aproxme convenentemente a la solucón del problema planteado. La convenenca vene marcada por los sguentes aspectos: - Consstenca: El problema aproxmador es tan cercano al problema ncalmente planteado como queramos. - Convergenca: La solucón del problema aproxmador tende a la solucón del problema ncal. - Establdad: Pequeñas varacones en los datos de partda no provocan grandes varacones en el resultado. - Efcenca: En térmnos de recursos necesaros: memora, tempo de eecucón (nº de operacones realzadas). Dferencas fntas Dscretzacón del problema: La resolucón del problema () con la condcón fnal () (o del problema equvalente (3)) mplca el conocmento de la varable ncógnta V(S,t ) para todo nstante t y valor del actvo S. Para abordar la resolucón numercamente descendemos nuestro nvel de ambcón: calcularemos la solucón (aproxmada) solo en algunos puntos. - Domno: Acotamos el plano de estudo. Por eemplo 0 t T, 0 S Smax 0 t T, x x x * * Nota: Las condcones de frontera pueden no venr mpuestas por el problema ncal sno resultantes de la acotacón realzada.

7 Dferencas fntas - Mallado: Dvdmos el plano en una malla de puntos. La solucón solo se calculará en esos puntos. x * t x x -x * 0 T t Los puntos consderados en el dbuo están equdstantes, por lo que se pueden representar en la forma: ( ) n x, m t n = n,..., n, m = 0,..., m mn max max No tendrían por qué estar gualmente espacados. Calcularemos la solucón sólo en los puntos de la malla: u m = u ( n x, m t ) n

8 Dferencas fntas Aproxmacón de las dervadas en la ecuacón dferencal: Las dervadas son aproxmadas por cocente ncrementales. La ecuacón dferencal pasa a ser una ecuacón algebraca. Eemplos: Dervada prmera: f x x f ( x0 + h) f ( x0 ) ( 0) h f x f ( x + h) Dervada segunda: ( x 0) h) f ( x Desarrollo en sere de Taylor: S f es sufcentemente dferencable: 3 n f f x h f x x x h f f 3 f n ( 0 + ) = ( 0) + ( 0 ) + ( x ) h ( x ) h... ( x ) h Error n 0 + x 3! x n! x f ( x h 0 ) donde Error = ( n + )! n+ x f ( α) h n+ n+ x 0 α x 0 + h - Dervada prmera: Aproxmacón forward: Aproxmacón backward: Aproxmacón central: f x x f ( x0 + h) f ( x0) ( 0) = h f x x f ( x0) f ( x0 h) ( 0) = h f x x f ( x + h) f ( x h) ( 0) = h + O( h) + O( h) + O( h ) 0 0

9 Dferencas fntas - Dervada segunda: f f ( x + h) + f ( x h) f ( x ) Aproxmacón central: ( x0) = + O( h ) x h f x 0 -h x 0 x 0 +h Todas estas aproxmacones se pueden realzar tambén para puntos alrededor de x 0 no equdstantes: f ( x x 0) = h f x h h f x h h ( h f x 0 + ) ( 0 ') ( 0) ' ' h + O( h h')

10 Dferencas fntas Esquema explícto Dscretzacón del problema: u = x u t S consderamos un mallado con puntos equespacados, la expresón dferencal preva para el punto ( t,,x ) se puede reescrbr utlzando dferencas forward para la dervada temporal y central para la dervada espacal como: u( t + t, x ) u( t, x ) u( t, x + x) u( t, x ) + u( t, x x) + O( t) = t x + O( x ) v Denotaremos por a la solucón aproxmada de la ecuacón dferencal preva, que será aquella solucón de la sguente ecuacón en dferencas: Operando: donde: v + v t v v + v = x + ( + ) + v = v + α v v + v α = t x

11 Dferencas fntas La ecuacón preva permte conocer la solucón en el punto ( t +,x ) s se conoce la solucón en los puntos del estado anteror (t,,x + ), (t,,x ), (t,,x - ): x x + x x x - t t + t Este esquema permte calcular la solucón aproxmada al problema con las sguentes condcones de frontera: 0 v = u0( x) mn max ( ) ( ) v = f t v = g t 0 mn, max max

12 Dferencas fntas El algortmo a segur sería el sguente: Se conoce la solucón en el nstante t=0 (condcón ncal) Se conoce la solucón en los puntos superor e nferor del mallado del nstante = (condcones de frontera) Se calcula la solucón en el resto de los puntos de = sguendo el esquema: ( + ) + v = v + α v v + v Se repten teratvamente las etapas anterores hasta llegar a = max Interpretacón del esquema explícto como árbol: + v = α v + ( α ) v + α v + Los coefcentes de la solucón en el nstante se pueden nterpretar como probabldades sempre y cuando 0 < α ya que suman y su valor está entre 0 y : p u = α p = ( α) p d = α La condcón 0 < α se le va a mponer al esquema explícto sempre por razones de establdad (se verá más adelante). Así pues s elegmos α = tenemos un árbol bnomal y 0 < α < nos dá un arbol trnomal.

13 Dferencas fntas Solucón en puntos no pertenecentes al mallado: Realzaremos una nterpolacón lneal de la solucón de los puntos vecnos del mallado. El error cometdo en esta aproxmacón es del msmo orden que el cometdo en la dscretzacón de la ecuacón dferencal. Esquema mplícto Utlcemos ahora para el msmo problema una dferenca backward para aproxmar la dervada temporal. Tenemos entonces: v + v t + + v + v + v = x En esta ocasón la solucón en un punto no depende exclusvamente de la solucón obtenda en el nstante nmedatamente anteror, sno que depende tambén de la solucón en otros puntos en el msmo nstante. Esto hace que el cálculo de la solucón en un nstante dado requera de la resolucón de un sstema lneal de ecuacones: α v + ( + α) v α v = v α α v v mn+ mn + α + α α v mn+ v mn α α... v + 3 v mn mn = : : : : : : : α α v max v max α α v v max max + v α : 0 + v La matrz del sstema de ecuacones es una matrz dagonal domnante: + α > α α > 0 mn max

14 Dferencas fntas La matrz es nvertble, por lo que la solucón es únca. Se utlzará un método de resolucón específco para matrces trdagonales, como por eemplo el LU. x x + x x x - t t + t El algortmo a utlzar para calcular la solucón es: Se conoce la solucón para =0 (condcón ncal). Se conoce la solucón para = en los extremos del mallado (condcón de frontera). Se resulve el sstema de ecuacones prevo para calcular la solucón en el resto de puntos de =. Se repten las etapas prevas teratvamente hasta = max. En esta ocasón vemos que las condcones de frontera en la dmensón x afectan a la solucón en todos los puntos del mallado. Las ecuacones para el cálculo de la solucón están acopladas y cualquer cambo en alguno de los puntos del mallado afecta nstantaneamente a la solucón en el resto de puntos de ese momento de tempo.

15 Dferencas fntas Métodos sem-mplíctos Se obtenen como combnacón de los métodos explícto e mplícto vstos prevamente: v v v + v + v v v + v = θ + ( θ ) t x x + Es una meda ponderada del esquema explícto e mplícto. S θ = 0 tenemos el esquema explícto y s θ = el mplícto. θ es un factor de ponderacón que varía entre 0 y ( + ) ( ) ( + ) + v θ α v v + v = v + θ α v v + v x x + x x x - t t + t

16 Dferencas fntas De nuevo tenemos que resolver un sstema de ecuacones para calcular la solucón en un nstante dado conocda la solucón en el nstante anteror. Un caso especalmente nteresante es cuando se elge θ = (Método de Crank-Ncolson) En este caso el orden de error de la dervada temporal es t en lugar de t, que es el que tenamos en los anterores esquemas.

17 Consstenca, convergenca y establdad CONSISTENCIA, CONVERGENCIA Y ESTABILIDAD Método explícto Consstenca: El modelo aproxmado (ecuacón en dferencas) tende al modelo orgnal (ecuacón dferencal). Se denomna error de truncamento al error debdo a esa aproxmacón: Se puede demostrar que para el esquema explícto el error de truncamento está acotado por: u donde M tt t M y 4 u xxxx 4 x T t M tt + M xxxx + O( t ) 6α El error de truncamento tende a 0 s el ncremento de tempo tende a 0 para α consstente de prmer orden. Convergenca: La solucón del modelo aproxmado tende a la solucón del modelo orgnal. S 0 < α entonces: max E t M tt + M xxxx t 6α donde E es una cota superor del error cometdo en todos los nodos del nstante. max constante. Decmos que es

18 Consstenca, convergenca y establdad Establdad: Pequeños cambos en las condcones del problema mplcan pequeños cambos en la solucón. Es muy mportante puesto que en la resolucón del problema aproxmado en ordenador se cometen errores de redondeo que no se amplfcan en un modelo estable. Medante un análss de establdad de Fourer se llega a la conclusón de que la condcón de establdad es: α Se llega a la msma condcón que exgíamos para obtener la convergenca. Esto no es una casualdad: Método mplícto Un método consstente y estable es convergente. Consstenca: Se llega al msmo resultado que en el método explícto: consstente de prmer orden. Establdad: El método es estable α > 0. Por tanto este método es ncondconalmente estable. Convergenca: Al ser consstente e ncondconalmente estable el método mplícto es ncondconalmente convergente.

19 Consstenca, convergenca y establdad Métodos sem-mplíctos Consstenca: Son consstentes de prmer orden. En el caso de elegr θ = el error de truncamento es de orden: T O( t ) + O( x ) (método de Crank-Ncolson) entonces Establdad:La condcón de establdad vene dada por: α ( θ ) > α Inestabldad / S α el esquema es ncondconalmente estable. Dentro de este grupo de esquemas está Crank-Ncolson. / θ Convergenca: Será convergente cuando sea estable. Por tanto es condconalmente convergente.

20 Consstenca, convergenca y establdad Ecuacones dferencales con coefcentes no constantes La ecuacón dferencal de Black y Scholes sguente es una ecuacón parabólca con coefcentes no constantes. V t r t S V V + ( ) + σ ( t, S) S rv = 0 S S En estos casos el análss de establdad resulta más compleo: - Dado que los coefcentes de la ecuacón son funcones de t y S, las condcones de establdad son dferentes en cada punto del mallado. S tomamos la stuacón más conservadora para formular una condcón de establdad únca para todo el mallado estamos penalzando la efcenca. - La condcón de establdad se formula en dos desgualdades: la prmera lmta el valor de S en funcón del máxmo valor de S en el mallado. Esta restrccón aparece por la exstenca del térmno convectvo en la ecuacón dferencal. La segunda lmta el valor de α = t. x La prmera de estas condcones no aparecía en todos los casos anterores. De nuevo va en peruco de la efcenca. Es por ello que en la medda de lo posble es convenente realzar cambos de varables para transformar la ecuacón dferencal en una con coefcentes constantes, en la cuál las conclusones sobre establdad vstas aplcan.

21 Opcones exótcas VALORACION DE OPCIONES EXOTICAS Dgtales: Se resolvería el problema gual que una opcón plan-vanlla cambando las condcones de frontera. Por eemplo para una call: s S > K V ( S, T) = 0 s S K V ( 0, t) = 0 t r ( T t) V ( S, t) e t cuando S Compound: Opcones sobre opcones. Sea t al vencmento de la prmera opcón y t de la opcón subyacente. Realzamos un mallado de 0 a t. La condcón fnal en t será: ( ) V ( S, t ) = max V '( S, t, K ) K, 0 donde V '( S, t, K) analtcamente. es el preco en t de una opcón con strke K que vence en t. Este se puede calcular Las condcones de contorno dependerán del tpo de opcones que tengamos.

22 Opcones exótcas Opcones chooser: En un nstante futuro t se decde s la opcón que vence en t es una call o put. La manera de resolverlo es realzando un mallado de 0 a t. En t se calcula el preco de una call y de una put (solucón analítca) que vence en t para cada valor del actvo. En t se mpone la condcón fnal: V ( S, t ) = max( Call, Put) y de 0 a t las condcones frontera: V ( 0, t) Ke r t = t ( ) r( t t) V ( S, t) S Ke cuando S Opcones barrera: El cálculo del preco de estas opcones se realza aplcando la metodología standard con condcones adecuadas de frontera. Por eemplo para una call up and out con nvel de la barrera B y con un pago de rebate R en el caso de que toque la barrera, las condcones serían: ( ) V ( S, T) = max S K, 0 V ( 0, t) = 0 t V ( B, t) = R t Por tanto el mallado en la dmensón S se acota entre S=0 y S=B. Esta metodología permte valorar opcones parcales o wndow, que son aquellas en las que la barrera está actva solo durante una parte de la vda de la opcón. La condcón frontera asocada a la barrera se mpondrá solamente durante esa parte de vda de la barrera.

23 Opcones exótcas Opcones asátcas: - Meda contnua: En este caso es necesaro añadr una nueva varable en la resolucón del problema, que es la que defne la meda. t I ( t) = f S( τ ), τ dτ 0 ( ) con: ( ) f S( τ ), τ = S( τ ) ( ) f S( τ ), τ = log S( τ) Meda artmétca Meda geométrca Por tanto: di ( t) = f ( S( t), t ) dt I ( t) La meda se calculará como: t La ecuacón dferencal que verfca el valor de la opcón es en este caso: V t V f S t rs V V + (, ) + + σ S rv = 0 I S S Para aquellas opcones en las que el strke es la meda del subyacente durante la vda de la opcón la ecuacón dferencal anteror y las condcones de contorno se pueden expresar en funcón de uncamente dos varables (una temporal y una espacal) medante un adecuado cambo de varables. Para estos casos entonces aplcaríamos las técncas standard vstas.

24 Opcones exótcas En otras ocasones esta reduccón de varables no es posble. Hay por tanto que plantearse la resolucón de un problema trdmensonal: - Mallado con una dmensón temporal t y dos espacales S e I. I t - Dscretzacón de la ecuacón dferencal trdmensonal preva: Se podría aplcar los msmos esquemas de dscretzacón que hasta ahora, obtenendo resultados de establdad smlares. Sn embargo los esquemas mplíctos resultantes darían lugar a matrces que dean de ser trdagonales. Esto provoca pérdda de efcenca en la resolucón del sstema de ecuacones. Es por ello que se utlzan esquemas de dscretzacón específcos (métodos ADI y LOD) que conservando los resultados de establdad permte la resolucón en dos fases, ambas defndas por matrces trdagonales. - Condcones de contorno: S tenemos por eemplo una opcón put sobre la meda las condcones son: S

25 Opcones exótcas V S I T K I ( (,, ) max T ) =, 0 T V I t e K I t r ( T t) ( ) ( 0,, ) = max, 0 T V ( S, I, t) 0 cuando S r( T t ) V ( S, 0, t) = e K V ( S, I, t) 0 cuando I Meda dscreta: En esta caso la meda se puede defnr por: n ( ) I ( t ) = f S( t ), t = 0 n Pot tanto I es una varable que permanece constante entre nstantes de cálculo de promedo t. Por tanto I se puede consderar como un parámetro en esos tramos. De esta forma el valor de la opcón en estos ntervalos se comporta de acuerdo a la ecuacón dferencal de Black & Scholes. Qué pasa en los nstantes t de promedo? En estos nstantes el valor del parámetro I camba bruscamente. Sn embargo el valor V de la opcón tene que comportarse de manera contnua para evtar oportundades de arbtrae: s un salto de I supone un salto negatvo en V podría aprovechar la oportundad de arbtrae vendendo la opcón nmedatamente antes del cambo de I y recomprarla nmedatamente después. Se obtendrá así un benefco gual al salto de V. S el salto de V es postvo la estratega sería la contrara.

26 Opcones exótcas Por tanto para asegurar la contnudad de V en los puntos de promedo se mponen las denomnadas condcones de salto: + + V ( S( t ), I, t ) V ( S( t ), I, t ) = Por eemplo esta condcón de salto para el caso de meda artmétca se escrbría: + V ( S, I + S, t ) = V ( S, I, t ) Muy probablemente I - +S no concda con nngún nodo en la dmensón I del mallado, lo cuál oblga a realzar nterpolacones en esta dmensón. Por tanto el cálculo de opcones asátcas con muestreo dscreto tenen los sguentes ngredentes: - Mallado con una dmensón temporal t y dos espacales S e I. - Entre nstantes t de muestreo se resuelve la ecuacón dferencal de Black & Scholes con I como parámetro. - Solo es necesaro mponer condcones de contorno en S ya que I se comporta como parámetro. - En los nstantes t se aplcan las condcones de salto.

27 Opcones exótcas Opcones amercanas En cada nstante el poseedor de la opcón tene el derecho de eercer la opcón. Dependendo del valor del actvo subyacente será optmo eercer o no. Por tanto hay que dstngur dos regones: regón de eercco y de no eercco. La frontera de separacón de ambas regones es a pror desconocda: se trata de un problema de frontera lbre. Una restrccón evdente en la valoracón de las opcones amercanas es que el valor de la opcón nunca puede ser nferor al payoff obtendo s eerctaramos en ese momento porque s fuera de otra manera habría oportundad de realzar arbtrae. Por eemplo s tenemos una opcón amercana de compra de un actvo a un preco de eercco K entonces: V ( S, t) max( S K, 0) Regón de eercco: V ( S, t) = max( S K, 0) Regón de no eercco: V ( S, t) > max( S K, 0) Por otra parte la ecuacón dferencal de Black y Scholes se converte en una desgualdad: V t rs V V + + σ S rv 0 LBSV 0 S S Regón de eercco: Es óptmo eercer la opcón. Mantener el portfolo opcón + delta hedge da un rendmento nferor al tpo de nterés sn resgo: LBS V < 0

28 Opcones exótcas Regón de no eercco: El portfolo opcón + delta hedge da como rendmento el tpo de nterés sn resgo: L V BS = 0 Por tanto la valoracón se puede plantear como un problema complementaro: Resolucón numérca L V 0 V ( S, t) max( S - K, 0) BS L V max( S K, 0) = 0 BS (4) - Esquema explícto: Se plantearía el problema como el de valoracón de una opcón europea, calculando la solucón en un nstante de tempo a partr de la solucón en el nstante posteror medante resolucón de la ecuacón dferencal de Black & Scholes. Además en cada nstante t mpondríamos la condcón: V ( V ) = max,payoff - Esquemas mplíctos: A dferenca del anteror el carácter amercano de la opcón no puede ser mpuesto a través de la ecuacón preva sobre la solucón calculada por Black & Scholes. La razón es que en un esquema mplícto la solucón vene dada por un sstema de ecuacones acopladas : cualquer varacón en la solucón en un nodo mplca cambos en la solucón del resto de los nodos de ese nstante de tempo. Hay que utlzar métodos específcos para la resolucón del problema (4), cómo el PSOR.

29 Ventaas de las dferencas fntas en el prcng de dervados VENTAJAS DE LAS DIFERENCIAS FINITAS EN EL PRICING DE DERIVADOS Utlzacón de técncas numércas ya desarrolladas y elaboradas durante años en otros campos de la cenca. Permte la valoracón de opcones bao comportamentos del actvo para los cuales no exsten solucones analítcas. Las técncas de dferencas fntas vstas permten valorar opcones cuando la volatldad del subyacente es una funcón del tempo y del nvel del subyacente. Esto permte representar perfectamente estructuras temporales de volatldad así como smle. En estos casos la ecuacón dferencal pasaría a ser una ecuacón con coefcente σ = σ ( t, S) no constante. Para otra sere de opcones exsten solucones analítcas cuando el actvo paga dvdendos de acuerdo a una tasa contnua, que dean de ser váldas cuando los dvdendos son dscretos. Las técncas vstas permten la valoracón en ambos escenaros. Cuando los dvdendos son contnuos la ecuacón dferencal a resolver pasa a ser: V t r D S V V + ( ) + σ S rv = 0 S S donde D es la tasa de dvdendos, que ncluso puede ser una funcón de t y S. Solo cambaría respecto a lo vsto la aparcón del parámetro D al dscretzar la ecuacón dferencal y en las condcones de contorno. S la tasa de dvdendos es dscreta por un smple argumento de arbtrae se deduce que s en el nstante t hay un pago D de dvdendos, el actvo subyacente se comporta en ese nstante de la sguente manera:

30 Ventaas de las dferencas fntas en el prcng de dervados + S( t ) = S( t ) D ( S( t )) Por tanto la valoracón de opcones sobre actvos con pago de dvdendos dscretos necestaría nclur sobre lo ya vsto condcones de salto en los momentos de pago de dvdendos. Estas condcones de salto venen determnadas por la contnudad del preco de la opcón y se pueden formular como: + + V ( t, S( t )) = V ( t, S( t )) No exsten restrccones en la construccón del mallado. Esto permte representar exactamente nstantes de tempo y nveles del actvo subyacente que sean claves para el dervado a valorar, como por eemplo fechas de pago de dvdendos, fechas de opcón, precos de eercco, barreras,... Además la posbldad de realzar un mallado varable permte refnar la malla en zonas donde se quere reducr el error de aproxmacón, como zonas de alta gamma del dervado, mentras que se puede mantener una malla más gruesa en zonas donde el error de aproxmacón es pequeño. Realzando una eleccón de mallado ntelgente se tene un método de valoracón efcente y precso. Las técncas vstas son empleables en otros modelos de valoracón. Por eemplo se pueden emplear para el cálculo del preco de opcones sobre tpos de nterés. El modelo de Hull & Whte plantea el sguente modelo de evolucón del tpo de nterés nstantáneo bao probabldad resgo neutro:

31 Ventaas de las dferencas fntas en el prcng de dervados ( θ( ) ) dr = t ar dt + σ dw t La ecuacón dferencal que rge el comportamento de cualquer dervado V es: V t σ V V + + ( θ( t) ar) rv = 0 r r La resolucón numérca de este problema se realza medante dscretzacón de esta ecuacón dferencal y adecuadas condcones de frontera. Tambén se pueden plantear modelos multfactorales. Las ecuacones dferencales resultantes nclurán más dmensones, lo cuál mplcará mayor consumo de memora y coste de computacón. Permte la valoracón de opcones path-dependent. Esta característca entra en la opcón como una nueva varable (e.g. asátcas), lo cuál mplca mayores coste computaconales. Aplcando las técncas descrtas para la valoracón de opcones amercanas se pueden valorar opcones amercanas y path-dependent smultaneamente. La técnca de dferencas fntas calcula la solucón en todo los puntos del mallado. Esto permte determnar sensbldades del preco de la opcón ante movmentos del subyacente y el tempo (delta, gamma, theta) sn más que calcular dervadas numercamente con los resultados ya obtendos. De gual manera la solucón te ofrece escenaros para combnacones del valor del subyacente y el tempo.

32 Bblografía BIBLIOGRAFIA Opton Prcng. P. Wlmott, J. Dewynne, S. Howson. Oxford Fnancal Press. 993 Dervatves. P. Wlmott. Wley Numercal Soluton of Partal Dfferental Equatons. K.W. Morton, D.F. Mayers. Cambrdge Unversty Press Partal to the Exotc. J. Dewynne, P. Wlmott. Over the Ranbow. Rsk Publcatons, pp 5-3.

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