Capítulo 3 Relación de procesos de persistencia estimados a través de los coeficientes Hurst y volatilidad implícita en el mercado mexicano

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1 55 apíulo 3 Relación e procesos e persisencia esimaos a ravés e los coeficienes urs y volailia implícia en el mercao mexicano Guillermo Sierra G. Sierra Universia e Guaalajara Deparameno e Méoos uaniaivos UE Periférico Nore 799 Núcleo Universiario Los Belenes Zapopan alisco. M.Ramos F.Mirana es. Opimización-Esocásica-Recursiva-oherene-Sisémica y sus varianes probabilia economería y esaísica aplicaa Temas Selecos e Opimización- EORFN-Saniago e omposela España 0.

2 56 bsrac This paper proposes a comparaive analysis in perios of high volailiy of he persisence measure ih urs exponen process. In general he persisence is consan or even reuce for he unerlying Ínice e Precios y oizaciones IP before he highes volailiy value. Besies using The --B meho ges he Black Scholes equaion an o propose a soluion for he case ih sochasic volailiy an finally call an pu opions are valuae for ifferen urs coefficiens an he volailiy. 3 Inroucción La volailia es un ema financiero e gran imporancia en la acualia y ha sio esuiao en la lieraura ese varios moelos. Sin embargo el enfoque que planeamos en ese rabajo esá relacionao principalmene con la meoología e Rango Reescalao R/S cuyos rabajos seminales fueron originalmene propuesos por Manelbro [968] y [98] y en una aplicación muy específica en el área e hirología por urs[95]. También los libros e Peers[99] y los rabajos e Sierra[007] y [008] son referencias básicas para ese rabajo. El oro ema imporane en ese rabajo es el relaivo al movimieno broniano fraccional MBF. Enre los auores que han publicao sobre el movimieno broniano fraccional y su aplicación en las Finanzas son Oksenal [004] y u[000] aemás e Duncan y Pasik- Duncan00. Esos rabajos van recuperano varias e las écnicas maemáicas que el moelo Black-Scholes raicional uiliza aemás meiane el uso el prouco Wick las erivaas Malliavin y las inegrales Skoroho es posible generalizar enre oros el eorema e Girsanov las esperanzas conicionales y lema e Io para su poserior aplicación en las finanzas. Los arículos e Necula [00][00 b] y e Rosek 006presenan una perspeciva iferene e los esuios e Oksenal y u y en forma pracica presenan una eucción e la ecuación Black-Scholes a parir e movimienos broniano fraccionales. 3. neceenes sobre la volailia El ema e la volailia se relaciona como inicaor e la inceriumbre e los renimienos y generalmene esá asociao al esimaor e esviación esánar e un acivo. En los hechos empíricos se observa os caracerísicas imporanes: la primera es que volailiaes alas ienen a persisir por perioos prolongaos anes e alcanzar un equilibrio e largo plazo efeco conocio como clusering. La seguna caracerísica que hay que consierar es que la volailia aumena más que proporcionalmene cuano los renimienos aumenan que cuano los renimienos isminuyen esa propiea es conocia como apalancamieno. En la sección siguiene se propone la volailia como un proceso esocásico que aemás ambién posee un comporamieno e persisencia o e memoria larga. emás se revisa y se aplica la meoología e urs para comprobar icha hipóesis.exisen isinas formas e moelar la volailia como pueen ser: la esimación paramérica la hisórica con promeio móvil uilizano series e iempo RMGR con procesos esocásicos y la volailia implícia. El méoo paramérico es el más sencillo pero el menos preciso e los méoos. La volailia es un parámero que no cambia en el iempo y maniene su mismo valor urane oa la serie el iempo. La volailia hisórica e promeio móvil abre una venana móvil e un ciero amaño. iferencia el caso anerior la volailia no es un parámero sino un proceso que va evolucionano en el iempo.

3 El moelo RM moelo auoregresivo y e promeios móviles consiera que el promeio e los renimienos es e cero y moela la varianza e los renimienos o el cuarao e los renimienos meiane una regresión lineal con el cuarao e los renimienos e perioos aneriores. Ese moelo se puee pensar como una generalización el caso anerior one los coeficienes o pesos esán eerminaos meiane un proceso e regresión. El propósio el moelo GR Generalize uoregressive onicional eeroskeasiciy es esimar la varianza no conicional e los renimienos e los acivos financieros. En el moelo mas sencillo GR meiane una regresión lineal supone que la varianza conicional como función e un érmino inepeniene el error el perioo anerior y e la varianza el perioo anerior que correspone al ermino auoregresivo. Para que en moelo sea esacionario se requiere que los esimaores o coeficienes e la regresión sean posiivos incluyeno el érmino inepeniene y que la suma e los os primeros sea menor o igual a uno. El moelo e la volailia esocásica consise en esimar meiane un movimieno geomérico broniano el comporamieno e la varianza e un acivo compueso por un érmino e enencia y una pare esocásica e un movimieno broniano. 3. nálisis e la volailia con meoología rango reescalao R/S En el rabajo seminal e Black-Scholes 973 el érmino esocásico el subyacene se planeaba moelao con un movimieno broniano. Más elane se propusó moelar simuláneamene el subyacene y la volailia como un proceso esocásico como es el caso e arículo e 987 e ull an Whie one se planea la ecuación y la solución cerraa para la generalización e la formula Black-Scholes. onsierano lo anerior el siguiene paso es eerminar si las serie financiera esocásica e la volailia el ínice IP pueen ser consieraa como series persisenes anipersisenes o inepenienes. Para lograr eso se aplica la meoología e rango reescalao R/S para el cálculo el coeficiene urs. urs esarrollo la meoología e nálisis e Rango Reescalao R/S cuyo coeficiene o exponene conocio como urs es una meia e inepenencia e las series e iempo y una manera e isinguir series fracales. Ese méoo inicialmene fue propueso para resolver un problema e la hirología. Por meio e una regresión lineal e los punos e lnr/sn conra lnn se eermina el exponene e urs. Si la serie iene caracerísicas e inepenencia enonces = 0.50 si 0.5< <.0 la serie e iempo es persisene es ecir caracerizaas por efecos e memoria e largo plazo que sucea hoy impacara en el fuuro por siempre y si 0.0 < <0.5 significa anipersisencia. En érminos generales la meoología e Rango Reescalao R/S consise en omar los renimienos logarímicos e una serie e iempo e amaño T. Poseriormene se forman subperioos coniguos e longiu y para caa subperioo Ia e longiu se eermina el valor promeio el renimieno e la variable. Se van sumano las iferencias e caa elemeno respeco e la meia para obener una nueva serie acumulaa y se eermina Rango a la iferencia enre los valores máximo y mínimo e la serie. Por ora pare se esima la esviación esánar muesral raicional SIa e las series e iferencias e la forma raicional. Y para caa perioo el rango RIa se normaliza iviieno por su esviación esánar muesral SIa corresponiene. Por lo ano el rango reescalao para caa subperioo Ia es igual a RIa / SIa. omo enemos perioos coninuos e longiu n enonces omamos el valor promeio R/S para perioos e longiu. La longiu o el amaño el subperioo se incremenaa al siguiene valor enero posible e T-/. Iniciamos con el valor mas pequeño e acuero a la conición anerior y se repien los pasos y se repien hasa = T-/ Poseriormene aplicamos una regresión e mínimos cuaraos e logr/s conra log. 57

4 La orenaa al origen es el log c y la peniene e la ecuación es la esimación el exponene urs. Para mayores ealles consular urs[95] o Sierra[007]. plicano la meoología el Rango Reescalao espués e seguir los pasos el algorimo se hace una regresión e lnr/s conra ln. Sin embargo se ebe esablecer un crierio para planear una prueba e significancia sobre los resulaos e un análisis R/S similar a las pruebas "" e las regresiones lineales. Siguieno Peers [99] enconramos un resumen e los esimaores propuesos para el valor esperao y la varianza sobre el coeficiene realizaos por Feller y lanis an Lloy. El esaísico que nos ice cuanas esviaciones esánar se encuenra alejao el valor meio E y el valor obenio e en el proceso e Rango-Reescalao. Supone en la hipóesis nula que =0.5 iene un comporamieno e caminaa aleaoria o e broniano raicional y por ano e inepenencia conra las hipóesis alernaivas <>0.5 que correspone a comporamieno persisene o anipersisene e los procesos. plicano la meoología R/S y los esaísicos asociaos para eerminar su nivel e significancia sobre la serie el IP llegamos un coeficiene urs e 0.55 y no resula esaísicamene significaivo para ser consierao como con un proceso con persisencia para mayores ealles consular Sierra. Si se consiera únicamene el valor el exponene se poría eucir que la serie IP no sigue el comporamieno e una serie persisene. Pero para confirmarlo se necesia consierar las pruebas e hipóesis para ver si el resulao para esa muesra es significaivo enonces se acepa la hipóesis inicial e una serie con caracerísicas e inepenencia. plicano el mismo análisis R/S sobre la serie e la volailia e los renimienos el IP generaa e la venana móvil mencionaa en aneriormene llegamos un coeficiene urs e y en ese caso si resula esaísicamene significaiva para ser consieraa una serie con persisencia. 3.3 Méoo --B con movimieno broniano fraccional para moelar volailia esocásica El problema el consumior esocásico es un problema e conrol ópimo esocásico one se consiera una función a maximizar sujeo a una resricción con un érmino esocásico moelao por un movimieno broniano para resolver el problema se aplica la meoología e amilon- acobi-bellman puee aplicarse a la solución e ese problema. Una referencia imporane para revisar el méoo es Venegas [006]. Suponemos inicialmene un agene racional que represena a oos los inversionisas y cuya uilia epene el consumo. Ese agene esea formar un porafolio res iferenes ipos e acivos: un bono e asa fija una acción y un erivao sobre esa acción. El problema consise en enconrar el consumo ópimo y las inversiones que eberán realizarse en caa uno e los íulos e al forma que maximicen su uilia. El problema el consumior planea maximizar la siguiene función conocia como e uilia inireca o e consumo uilizano la función e uilia logarímica u0 ln 0 58 W max E 0 ln 0e F 3. Done E son las expecaivas cuasiconicionales recorano que ahora esamos proponieno un movimieno broniano fraccional en el érmino esocásico ver ariculo e Necula [00] u an Oksenal[004].La resricción presupuesal el flujo a inverir esa aa por el cambio en la riqueza efinia e la siguiene forma:

5 También se sugiere que para moelar el comporamieno e la volailia e una manera más general poría hacerse meiane un movimieno broniano fraccional es ecir se pue proponer a un acivo subyacene S moelao por un broniano fraccional con un exponene urs cuya volailia V a su vez sea moelaa por oro broniano fraccional exponene urs como en el caso siguiene: S SSB V VVB 3.. on V y aemás poemos suponer en el caso mas sencillo que los os movimienos bronianos fraccionales el subyacene y e la volailia no ienen correlación alguna o bien: OVBB =0 Se propone un erivao financiero que sea función e un acivo subyacene y e su volailia esocásica el mismo enonces =SV y e la generalización el lema e Io consierano los os procesos se llegaría a lo siguiene: B B 3.3 on y aos por: S S S V S S V V V S V onsierano un agene racional que consiuye un porafolio con la posibilia e elegir enre un bono e asa fija e ipo una acción y un erivao sobre esa acción pero suponieno que la volailia esocásica se escribe con un movimieno broniano fraccional. El problema e opimización consise en eerminar el consumo ópimo y las inversiones en caa uno e sus íulos e al forma que maximicen su uilia y para resolverlo uilizaremos el méoo --B. La resricción presupuesal el cambio en la riqueza compuesa por los renimienos el bono la acción y el erivao one y -- son las proporciones el porafolio asignaos a caa uno e los acivos respecivamene y one B es un movimieno broniano fraccional y e la sección anerior y enonces enemos: B B on y y como: 0 r

6 Se aplica el méoo --B esocásico y el problema e elección consise en enconrar 0 y que maximice la ecuación 3. sujea a la resricciones y one recoremos que [] ~ E es la esperanza cuasiconicional consular u an Oksenal [000] ln ~ max 0 } 0 { F e E 3.5 Que ambién puee escribirse como: ln ln ~ max 0 0 } 0 { F e e E 3.6 Después e esarrollar se sigue: ln ~ max 0 } 0 { 0 F o o e E 3.7 Se susiuyen el Lema e Io fraccional y espués e orenar y espreciar algunos érminos omano el valor esperao conicionao y recorano que se supone que la covarianza enre los os bronianos fraccionales es cero se llega a: Se oma: e E ln ~ max 0 0 } 0 { 3.8 Se propone la solución para el siguiene esilo: e V g V 3.9 omo siguiene paso ahora se propone una solución para V e la siguiene forma: V ln Se eriva parcialmene y espués e orenar érminos la ecuación anerior respeco a 0 y y se obiene el siguiene sisema e ecuaciones: 0 3. r 3. r 3.3

7 6 De las ecuaciones aneriores el consumo no se ve afecao por el proceso esocásico que lo moela mienras que las posibles inversiones son funciones e los exponenes urs y y e iempo inicial. Si en la ecuación e soluciones se consiera una solución e esquina = 0 y = se susiuyen las expresiones generales e y se llega a la ecuación Black-Scholes equivalene para movimienos bronianos fraccionales con volailia esocásica fraccional. rs S V S V S V r En one r y el valor e mercao e riesgo esará ao por: La ecuación 3.4 es similar a la ecuación Black-Scholes con volailia esocásica obenia por ull an Whie 987 pero con la iferencia que los procesos esocásico consieraos son movimienos bronianos fraccionales y no exise correlación enre el comporamieno el subyacene y su volailia. 3.4 Volailia implícia e una opción europea moelaa con un MBF El precio e una opción call europea en cualquier 0 T ao un precio e ejercicio K una asa libre e riesgo r una volailia un vencimieno en T y un coeficiene urs e la serie financiera subyacene moelaa por un su pare esocásica por un movimieno broniano fraccional e acuero al rabajo e Necula 00 esa ao por: -rt- S SN - K e N 3.5 Done: S ln r T - T K T - Y S ln r T - T K T Que saisface la ecuación Black-Scholes Fraccional: S S S S rs r S 0 S S on coniciones e Fronera: 3.7 S MaxS - K0

8 lgunos moelos esán basaos en información hisórica y en sus pronósicos no incorporan evenos exremos o cambios esrucurales. Para corregir eso se ebe incluir la información e la volailia implícia en el precio e opciones. La volailia implícia oma los precios e los conraos e las opciones que coizan en el mercao y a parir e esos se infieren las expecaivas e mercao por lo ano iene la venaja e maximizar las oporuniaes e inversión e arbiraje e coberura e incluso e especulación. Ese moelo uiliza la valuación e opciones e Black-Scholes y un méoo numérico e aproximaciones como el e Neon o Neon-Raphson para esimar la volailia parieno el conocimieno el precio y e las variables y los parámeros resanes. De acuero con ese moelo a parir el precio e conraos e opciones europeas call o pu el precio el acivo subyacene el vencimieno e la opción y la asa e inerés libre e riesgos se esima la volailia corresponiene en caa momeno el iempo. Ese proceimieno ya exisía en el caso e procesos esocásicos la novea consise en aplicarlos a procesos moelaos con bronianos fraccionales y exponenes urs. on el valor e la primea y la solución e la ecuación e Black-Scholes Fraccional y 3.6. y el méoo e Neon poemos eerminar el valor e la volailia implícia con un algorimo recurrene e acuero a la siguiene expresión para el caso que se conoce el precio e un conrao call europeo: 6 S N' T S N Ke r Ke r T T N N' T 3.8 De forma análoga para el pu europeo poemos enconrar una fórmula la volailia implícia en el caso e un movimieno broniano fraccional: S N' r T P Ke N S N r T T Ke N' T 3.9 Para realizar la esimación e la volailia implícia e una opción ecuaciones 3.8 y 3.9 con información el mercao e valores uilizaremos la publicación el Mercao Mexicano e Derivaos Mexer e Inicaores el Mercao en el Boleín e Opciones. En ese caso se observaría que la volailia implícia para eerminao precios e ejercicio el IP va aumenano conforme la serie iene mayor persisencia a meia que va aumenano. En oras palabras la volailia implícia e opciones call europeas con subyacene que posea persisencia es mayor que la volailia e opciones call con subyacenes e incremenos inepenienes ver Sierra [007]. Ora función imporane e la volailia implícia aemás e ser un inicaor asociao al riesgo o la inceriumbre es ayuar a la creación e inicaores e proucos referenciaos e ínices. Su imporancia y su acepación han crecio en los úlimos anos ya que brina una iea e la volailia que el mercao esa esperano.

9 El ínice e volailia Vimex La meoología el ínice e volailia implícia el mercao mexicano VIMEX refleja la volailia esperaa el mercao accionario y esimaa la volailia implícia a ravés e las opciones el IP lisaas en el MexDer. El proceimieno consise principalmene e res eapas que se mencionan a coninuación la meoología puee ser revisaa con mayor ealle en la página elecrónica el MexDer. En la primera eapa el proceimieno se esima el promeio e las volailiaes implícias e las parejas e opciones europeas call y pu que se ubican por arriba y por abajo el precio srike eórico e acuero a los vencimienos e opciones más próximas y los segunos vencimienos más próximos. La seguna eapa consise en enconrar la volailia implícia el precio e ejercicio en el inero inerpolano las volailiaes e la eapa anerior uilizano los precios e ejercicio inmeiaos por arriba y por abajo el cierre e mercao respecivamene en el momeno el cálculo y el nivel e cierre el IP el mercao e capiales. En la eapa final e la esimación se poneran las volailiaes el vencimieno más cercano y el seguno más cercano para crear un perioo consane consierano que los vencimienos son rimesrales. onsierano las ecuaciones 3.8 y 3.9 puee esimarse las volailiaes implícias para iferenes niveles e persisencia. 3.6 Persisencia y volailia implícia Tomano la volailia implícia VIMEX el mercao mexicano esimaa e acuero a la meoología e la sección anerior y reporaa por el mercao mexicano e erivaos en su página elecrónica y por ora pare calculano el exponene o coeficiene urs e acuero a la sección 3 omano venana anuales ese el año 004 y hasa 0 para eerminar la persisencia el mismo ínice IP como e su volailia obenemos las figuras 3. y 3.. Figura 3. Volailia Implicia MEXDER oeficiene urs el IP y su Volailia en el iempo Figura 3. oeficiene urs conra Volailia Implicia el IP

10 64 omo puee observarse e la gráfica 3. el coeficiene urs ebería consierarse más que como un numero consane o un parámero como un proceso es ecir es una variable que va cambiano en el iempo alreeor el valor e = 0.5 que es el caso e inepenencia y con forma senoial o puiera ser con regresión a la meia. El coeficiene urs el IP es más volail que el coeficiene urs e la volailia implícia. Incluso si ahora en un seguno paso se esima en ambas series el coeficiene urs el el proceso el coeficiene urs resula que sus valores son =0.596 y = para la serie e la volailia y e ínice IP respecivamene que efecivamene concuera con lo que se aprecia e la grafica más persisencia en el coeficiene e la volailia. Esimano una regresión lineal e la series e volailia y procesos urs el IP omano como variable epeniene la primera e inepeniene la seguna resula una R e casi cero y no significaiva la relación. Por ora pare e las figuras 3. y 3. se observa que en perioos e baja volailia el coeficiene urs el IP puee ir flucuano alreeor e el valor meio e 0.5 y previos al valor máximo e la volailia se piere ese comporamieno y se observa una enencia a la baja. Poserior al máximo en la eapa en que empieza a isminuir la volailia la persisencia el IP empieza a aumenar. Por úlimo hacieno el ejercicio e esimar el valor e la prima call y pu siguieno las ecuaciones y 3.6. asumieno solamene cambios en la volailia implícia y el coeficiene urs en el mismo perioo y consierano los oros parámeros sin cambios imporanes asa libre e riesgo=0.04 Precio e ejercicio= Precio el Subyacene IP=4500 y vencimieno año se obiene la figura 3. en one se aprecia que el facor e volailia en la esimación e ls primas e las opciones es más imporane que el coeficiene urs.

11 Figura 3.3 Valor e la prima e las Opciones all y Pu consierano únicamene cambios en la volailia y la persisencia onclusiones Se revisa las propieaes e inepenencia e la serie IP y e su volailia confirmano que la presencia e persisencia llega a ser significaivas. on base a ese resulao y e oros auores se propone que el comporamieno ano el acivo subyacene como su volailia sea moelao por un movimieno broniano fraccional. Proponieno el méoo --B sobre un acivo y su volailia y moelano su érminos esocásicos con os procesos bronianos fraccionales no correlacionaos es posible planear a una ecuación e ipo Black-Scholes fraccional generalizaa. El coeficiene urs puee planearse e una forma más general que como un parámero más bien como un proceso que iene un comporamieno similar a una senoial oscilano alreeor el valor e serie inepeniene. En ese caso en perioos previos a ala volailia el coeficiene urs el IP iene a ener un valor consane o incluso a ener un comporamieno ligeramene ecreciene. El análisis e regresión lineal no apora ningún resulao concluyene. El valor que preomina para la esimación e las primas e los calls y pus es el e la volailia más que el el coeficiene urs especialmene en los casos e ala volailia. Referencias Black F. an M. Scholes 973 The pricing of Opions an corporae liabiliies ournal of Poliical Economy 8 pp DuncanT. E. Y. u an B.Pasik-Duncan 00 Sochasic alculus for Fracional Bronian Moion SIM.onrol Opim. 38 pp

12 66 u Y. an B. Oksenal 000Fracional Whie Noise alculus an pplicaions o Finance Preprin Universiy of Oslo. ull. an. Whie987The Pricing of Opions on sses on Sochasic Volailiies The ournal of Finance4pp urs.95the long-erm sorage capaciy of reservoirs Transacions of merican Sociey ivil Engineer pp Manelbro B. 98 The Fracal Geomery of Naure NY W.. Freeman Manelbro B. an V. Ness 968 Fracional Bronian Moions Fracional Noises an pplicaions SIM revie 0 3. Necula. 00 Moeling an eecing Long Memory in Sock reurns caemy of Economic Suies Disseraion Paper. Necula. 00 Opion Pricing in a Fracional Bronian Moion Environmen caemy of Economic Suies Buchares Romania. Oksenal B.004 Fracional Bronian Moion in Finance Preprin Universiy of Oslo. Peers E. 99 haos an Orer in apial Markes Ne York: ohn Wiley an Sons. Rosek S. an R. 006 Schobel Risk Preference Base Opion Pricing in Fraccional Bronian MarkePreprin Faculy of Economics an Business minisraion Universiy of Tbingen Germany. Sierra G 007 Procesos urs y Movimieno Broniano Fraccional en Mercaos Fracales Tesis e Docorao en iencias Financieras ITESM M. Sierra G plicación el méoo --B para la moelación esocásica e la volailia en series con persisencia: El caso el IP en México Eseconomía Número 0 Ocubre-Diciembre 008 pp Venegas F 006 Riesgos Financieros y Económicos Thompson.

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