Registro contable de Supuesto 10 Determinación del derivados OTC valor de una prima de opción (2)

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1 Ejercicio DETERMINACIÓN DE UNA PRIMA EN UNA OPCION (MODELO DE BLACK SCHOLES) Instrucciones Vamos a calcular cual es el importe al que asciende una prima en una opción aplicando el modelo más extendido en la práctica (Black Scholes). Puedes pasar la página, lo comentaremos en voz alta. ***************** ***************** ***************** ***************** Conocimiento y Habilidades, S.L. 1

2 ENUNCIADO DEL SUPUESTO Supongamos que una acción, que no reparte dividendos, y cuyo precio de contado es de 3,500. Si la volatilidad diaria histórica es del 0.8%, debemos de calcular: a) La prima de la opción call con precio de ejercicio 3,600 y vencimiento dentro de 10 días b) La prima de la opción put de igual vencimiento y precio de ejercicio La tasa efectiva libre de riesgo es del 3% El sistema de ecuaciones que define al modelo Black-Scholes son, para una opción call los siguientes: c = { SN(d 1 ) EN(d 2 )e -r(t-t) } d 1 = Ln(S/E) +(r + 1/2σ 2 ) (T t) σ (T t) d 2 = d 1 - σ (T t) Conocimiento y Habilidades, S.L. 2

3 Siendo: c = prima de la opción S = precio de la acción al contado E = precio de ejercicio r = rentabilidad anual libre de riesgo (continua) T-t = plazo hasta el vencimiento (en años) σ = volatilidad (en términos anuales) La volatilidad anual, en nuestro caso, es desconocida, pero de las propiedades de la distribución normal se deduce que: σ ANUAL = σ DIARIA 365 La razón es la siguiente: estamos asumiendo que el rendimiento diario del activo subyacente se distribuye normal con varianza σ 2. El rendimiento acumulado de dos días, se compone a través de la expresión: Ln (S t + 2 / S t ) = Ln (S t + 2 S t + 1 / S t + 1 S t ) = Ln (S t + 2 / S t + 1 ) + Ln (S t + 1 / S t ) Como suma de los rendimientos del día uno más el día dos. Análogamente, el rendimiento acumulado de 365 días (un año) será igual a la suma de 365 variables aleatorias normales de varianza σ 2. Esta variable se distribuye normal, con varianza 365σ 2., ya que la varianza goza de aditividad. La desviación típica será, por tanto, la raíz cuadrada de la varianza, esto es: σ ANUAL = σ DIARIA 365 Tal como se expuso antes. En nuestro caso, pues, la volatilidad anual es: (365) 0.5 = Tampoco conocemos directamente r, puesto que nos dan la tasa efectiva libre de riesgo, y necesitamos la tasa nominal compuesta de modo continuo. Según es conocido: r = Ln (1.03) = Conocimiento y Habilidades, S.L. 3

4 Por último, aunque esto no reviste mayor dificultad, recordemos que: T-t = 10/365 = años El resto de datos son directos; S = 3,500; E = 3,600. Así pues, sin más que sustituir, obtenemos que: d 1 = Ln(3,500/3,600) +(r / ) ( ) d 1 = d 2 = = c = 3,500 N( ) 3,600 N( )e = La prima calculada está expresada en unidades monetarias, al igual que los precios. La prima de la put (p) podemos calcularla a través de la paridad que, como ya sabemos, se expresa en nuestro caso: p = c + E e -r(t-t) S p = ,600e ,500 = Conocimiento y Habilidades, S.L. 4

5 Los parámetros básicos, en el modelo de Black-Scholes, tienen la expresión siguiente: DELTA (sensibilidad de la prima al precio del subyacente) (call) = N (d 1 ) ; (put) = N (d 1 ) 1 GAMMA (sensibilidad de la delta al precio del subyacente) γ(call) = γ(put) = Z (d 1 ) / Sσ (T t) ; Z (d1) = e - (d 1 2) / 2 / 2 Z es la función de densidad de la distribución normal. VEGA (eta) (sensibilidad de la prima a la volatilidad) η (call) = η (put) = S (T t) Z(d1) THETA (sensibilidad de la prima al paso del tiempo) θ(call) = SZ(d 1 ) σ/2 (T t) + Ee -r(t-t) Rn(d 2 ) ; θ(put) = θ(call) - ree -r(t-t) RHO (sensibilidad de la prima al tipo de interés) ρ(call) = (T-t)Ee -r(t-t) N(d 2 ) ; ρ(put) = ρ(call)- (T-t)e -r(t-t) Todas estas expresiones se obtienen tomando en las ecuaciones del modelo las correspondientes derivadas parciales primeras (segundas, en el caso de la gamma) respecto a los oportunos parámetros. Los valores para las opciones de compra y venta (que se obtienen por aplicación directa de las fórmulas) en el caso que nos ocupa, son: Conocimiento y Habilidades, S.L. 5

6 Call Put Delta Gamma Vega Theta Rho Las lecturas son las siguientes: Delta refleja la probabilidad de ejercicio, es un valor próximo a cero en el caso de la call, por cuanto ésta está fuera de dinero. Por el contrario el valor absoluto en el caso de la put (el signo indica la correlación inversa entre precio y prima) es cercano a uno, al estar ésta muy dentro de dinero. En el caso de la call, una variación de un punto porcentual en el subyacente haría subir la prima un 0.14%. Gamma nos indica cómo variaría la delta en caso de variaciones del subyacente. En el caso de la call, una variación del 1% en el subyacente implicaría un alza de puntos en la delta (que sería, entonces ). En el caso de la put, sin embargo, el aumento aditivo supondría un descenso del valor absoluto de la delta ( < 0.857) Una gamma elevada perjudica a las posiciones cortas en opciones (opciones vendidas de compra u opciones compradas de venta). Vega es positiva e igual en ambos casos, por cuanto una mayor volatilidad favorece a todo tipo de opciones. Un cambio de un 1% en la volatilidad (de 0.15 a 0.16) provoca un cambio de: 0.01 x = 1.30 puntos (positivo en las primas) Theta está expresado en términos anuales. Es común cambiarle el signo, por cuanto el valor positivo expresa la pérdida de valor por transcurso del tiempo. La theta diaria (por unidad de tiempo) es el cociente entre theta y 365, y nos expresa la pérdida de valor por transcurso de un día: / 365 = para la call / 365 = para la put un día implica, en la call la pérdida de puntos de prima Conocimiento y Habilidades, S.L. 6

7 Rho. Su lectura, en el caso de la call es la siguiente: un alza de 0.01 puntos en el tipo libre de riesgo implica la ganancia de: y análogamente para la put x = puntos de prima Conocimiento y Habilidades, S.L. 7

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