Marialejandra Castillo Torres Carlos Enrique Vecino Arenas, Ph. D

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1 Marialejandra Castillo orres Carlos Enrique Vecino Arenas, Ph. D

2 Las opciones son transadas en los mercados financieros. Una opción call le da a su propietario el derecho más no la obligación de comprar un activo subyacente en un tiempo y a un precio predefinidos. Por su parte una opción put le da a su propietario el derecho más no la obligación de vender un activo subyacente en un tiempo y a un precio predefinidos.

3 En los comienzos de los años 70 s Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton realizaron el mayor avance en lo que concierne a la valoración de opciones financieras. Este modelo ha tenido gran influencia en la forma en que los traders valoran las opciones.

4 Lognormalidad de los Precios de las Acciones Donde S es el precio de la accione en el tiempo, S0 es el precio en tiempo cero y φ(m,s) es una distribución normal con media m y desviación s., ln ln, ln ln S S S S σ σ μ φ σ σ μ φ

5 No existen costos de transacción o impuestos. odos los títulos valores son perfectamente divisibles. No existen dividendos durante la vida de los derivados. No existen oportunidades de arbitraje sin riesgo. Las transacciones de los títulos valores es continua. Latasalibrederiesgoesconstanteeigualpara todos los tiempos de ejercicio.

6 Esta es sin duda la principal herramienta para el análisis de los derivados. Esta propiedad puede aplicarse debido a que no existen variables que estén afectadas por las preferencias de riesgo de los inversionistas. Por tanto puede hacerse el supuesto de que los inversionistas son neutrales al riesgo.

7 d r K S d r K S d d N S d N K e p d N K e d N S c r r σ σ σ σ σ = + = + + = = = ) / ( ) / ln( ) / ( ) / ln( donde ) ( ) ( ) ( ) (

8 A pesar de que el modelo de Black and Scholes es tan importante en la historia de la valoración de las opciones financieras, muchas veces es visto como una caja negra debido a su gran cantidad de supuestos.

9 De una forma más intuitiva y ayudados de la simulación de Monte Carlo es posible encontrar el valor de las opciones. Para poder encontrar el valor de la opción es necesario conocer los mismos parámetros que son requeridos por el modelo B&S.

10 Datos de entrada Drift annual Volatility annual Initial price Risk free rate ime to maturity Cálculos preliminares Periodic drift Periodic volatility Drift mean Exercise Price Cálculos finales Movimiento Browniano Geométrico Price option

11 Nombre de la acción: DELL Drift anual: 0,076% asa libre de riesgo: 0,076% Volatilidad anual: 33,84% Fecha del contrato: 18 de Junio Día de valoración: 11 de Mayo iempo para la maduración: 38 días Precio inicial: $16,41 Número de subperiodos 365

12 Movimiento Browniano Geométrico

13 Drift Periódico (μ)= Drift anual/número de subperiodos Volatilidad Periódica(σ)= Volatilidad anual/(número de subperiodos)^1/ Media del Drift = (μ (σ^/))

14 El precio de la acción estará dado por el Movimiento Browniano Geométrico así: St = σ So*exp μ + σ * RiskNormal (0,1)

15 El precio en el tiempo de ejercicio es una variable de salida. σ St = Riskoutput ("Pr ice ") + S 1 *exp μ + σ * RiskNormal(0,1)

16 El pago de la opción estará dado por: Payoff = Riskoutput(" OptionPayoff") + MAX (0;( S K)

17 El pago esperado estará dado por la media de la distribución de probabilidad del pago: Expected _ Payoff = Riskmean( Payoff El valor de la opción estará dado por el valor presente del pago esperado: ) Option _ value = Expected _ payoff * EXP( r )

18 El uso de la simulación de Monte Carlo ofrece una gran ventaja para demostrar procesos como el Movimiento Browniano Geométrico. La corrida de la simulación para el cálculo de la opción con un mayor número de iteraciones arroja resultados más cercanos al valor obtenido con Black and Scholes.

19 La diferencia entre los valores calculados radica en la discretización del tiempo, ya que B&S cálcula el valor de la opción en tiempo continuo.

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