Modelos de valoración de opciones financieras:

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1 financieras: Algunas extensiones con énfasis en representaciones del imaginario de volatilidad en el contexto del mercado de renta fija en Colombia 3 de Septiembre de 2014 VII SEMINARIO INTERNACIONAL EN MERCADOS FINANCIEROS E INNOVACIÓN TECNOLÓGICA Ingeniería Financiera Angie Paola Orozco y NeixonSemillero Fabian Rincon Aristos:Miller Modelos de Ariza valoración de opciones financieras:

2 Generalidades Objetivos Indice Consideraciones Generales Desarrollo y complejidad Interdisciplinariedad Mercados Financieros Representaciones de volatilidad Analogías con las ciencias Riesgo Renta Fija Gran participación y variaciones significativas de las tasas Requiere Modelos B&S (1973) Determinista Heston (1993) Estocástica Duan (1995) Condicional Merton (1975) Con saltos Cobertura Las opciones son el mejor instrumento para cubrir el riesgo (Lamotte y Peréz,2003) financieras:

3 Generalidades Objetivos Indice Objetivo General Proponer extensiones de los modelos Con el fin de generar varias alternativas para establecer las primeras negociaciones en este mercado. B&S (1973) Black (1976) Duan (1995) Información histórica diaria de enero de 2009 a marzo de 2014 GARCH Volatilidad impĺıcita Simulación de Montecarlo y Desviación estandar Exponente H de mandelbrot (1968) Valorar opciones sobre el TES julio del 24 financieras:

4 Generalidades Objetivos Indice Índice 1 Contexto de la investigación Generalidades Objetivos Indice 2 Riesgo de mercado en renta fija 3 Representaciones del imaginario de volatilidad Imaginario de volatilidad Origen representaciones Proceso de Difusión con saltos Cálculo del VaR 4 Contexto Opciones sobre renta fija 5 Contexto y definición teórica Volatilidad Impĺıcita Reescalación de la volatilidad en el tiempo 6 Resultados valoraciones Resultados Backtesting 7 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía financieras:

5 Riesgo de mercado en renta fija Mercado de Renta Fija Generalidades Participación 91 % del volumen total 3 o más grande en Latinoamérica Participación TES: % y % TES en pesos 420 billones Evolución: Valderrama, Martínez, González, & Ramírez (2012) 1 Etapa de crecimiento entre 2002 y 2006: 2 Contracción en la liquidez entre 2007 y 2008: 3 Recuperación no sostenida 2009 en adelante: financieras:

6 Riesgo de mercado en renta fija Riesgo de mercado en renta fija Precio de un bono: valor presente de los flujos de caja que este genera, compuesto por cupones y principal (nominal). Duración: Promedio ponderado de tiempo que habría que esperar para recuperar el precio o la inversión realizada. Duración Modificada: Velocidad con que varía el precio a medida que la tasa se modifica. Convexidad: Rapidez en que cambia el precio ante cambios en la tasa. Riesgo por duración y convexidad: T C t P(y 0 ) = t=1 (1 + y) t = 127,76 T tc t D = dp dy = t=1 (1 + y) t = 7, 72 P T tc t t=1 (1 + y) t+1 DM = P T t(t + 1)C t t=1 (1 + y) t+2 CX = P P P = 6,67 = 33,41 = DM y + 1 CX ( y)2 2 financieras:

7 Imaginario de volatilidad Origen representaciones Proceso de Difusión con saltos Cálculo del VaR La volatilidad como imaginario Desarrollo en los mercados Oportunidades Variaciones en los precios: Volatilidad Riesgo Oferta Demanda Respuesta a expectativas Imaginario: capacidad que tienen grupos de personas, de forma socializada de imaginar o idear simbólicamente formas y contenidos,significados significantes permitiéndoles reconocerse y encontrando una forma de representar mentalmente el espacio y el tiempo. (Baenza 2000) financieras:

8 Imaginario de volatilidad Origen representaciones Proceso de Difusión con saltos Cálculo del VaR La volatilidad como imaginario Representaciones: producción del sentido a través del lenguaje describir,dibujar,llamar algo a la mente mediante una descripción.(hall 1997) Modelos Imagenes Simplificadas Incertidumbre Comportamiento de los precios Interdisciplinariedad Origen en otras ciencias o disciplinas Opciones Financieras Derivados Volatilidad principal insumo de valoración financieras:

9 Imaginario de volatilidad Origen representaciones Proceso de Difusión con saltos Cálculo del VaR Origen de los modelos financieros más populares Pionero mat-finan Robert Brown(1828) Precios Variables Movimiento Browniano Sustento científico Definición Teórica Bachelier (1900) Aleatorios Independientes Distribución Normal Einstein (1905) Wiener (1923) financieras:

10 Imaginario de volatilidad Origen representaciones Proceso de Difusión con saltos Cálculo del VaR Origen de los modelos financieros más populares Bollerslev (1986) GARCH Varianzas condicionadas en t 1 Volatilidad Condicional Estacionariedad Autocorrelación Engle (1982) ARCH Varianzas no constantes Dependencia de la historia financieras:

11 Imaginario de volatilidad Origen representaciones Proceso de Difusión con saltos Cálculo del VaR Difusión con saltos Merton (1976) Comportamiento de los precios Proceso estocástico con saltos MB + Saltos dq = ds = µsdt + σdz + (1 J)Sdq { 0 con probabilidad 1 λ(t)dt 1 con probabilidad λ(t) financieras:

12 Imaginario de volatilidad Origen representaciones Proceso de Difusión con saltos Cálculo del VaR Difusión con saltos en los rendimientos del TIFT DETERMINACIÓN No DESVIACIONES AJUSTE DE DISTRIBUCIÓN PRONÓSTICOS EN TASA VARIACIÓN A UN DÍA M = 1 S + it = ib + M = 0 0 M = 1 S i t = i t 1 + it P 95 = 6,924 % i = 0,1190 % financieras:

13 Imaginario de volatilidad Origen representaciones Proceso de Difusión con saltos Cálculo del VaR VaR en tasa con representaciones de volatilidad DELTA NORMAL* SIMULACIÓN HISTÓRICA MODELO EWMA* n (x i x) 2 i=1 σ = σt 2 n 1 t 1 + (1 λ)r t 1 2 VaR i = 0,1360 % N = 1140 VaR i = P 95 = 0,1341 % λ = 0,9315 VaR i = 0,0937 % SIMULACIÓN ARCH-GARCH* DIFUSIÓN DE MONTECARLO CON SALTOS Distribución Laplace σ 2 = 6,9263e 0,8 0,168ε 2 t simulaciones +0,732σt 1 2 N = VaR i = 0,13 % VaR i = 0,112 % VaR i = i = 0,119 % σ Z 95 % t financieras:

14 Imaginario de volatilidad Origen representaciones Proceso de Difusión con saltos Cálculo del VaR VaR en precio con representaciones volatilidad VaR = DM σ 1 2 CX σ2 i Kupiec.1995 H 0 : p = alpha H i : p alpha p = x H Kupiec = 2 ln px (1 p) H x p(1 p) H x Christoffersen.1998 Proyección condicionada a la información disponible en el periodo anterior. Excesos estadísticamente independientes financieras:

15 Contexto Opciones sobre renta fija Mercado de derivados en Colombia Mercado extrabursátil: 2007 = 0,18 % y 2013 = 1,94 % OTC es el más grande Derivado Monto Posición Forward 18 USD 32 Swaps 125 USD 39 Opciones 0,163 USD 45 El mercado organizado es menos riesgoso Monto promedio diario apxoximado de 528 mil millones de pesos financieras:

16 Contexto Opciones sobre renta fija Opciones sobre renta fija Subyacente Bono, TES o Tasa de interés Para qué sirve? Administrar el riesgo dentro de los portafolios de inversión Reducir los costos de transacción Puede ayudar a maximizar ganancias y disminuir pérdidas Cobertura, Especulación o Arbitraje financieras:

17 Contexto y definición teórica Volatilidad Impĺıcita Reescalación de la volatilidad en el tiempo Años 70 Fischer Black Jack Treynor Auge de los derivados Estudiante brillante uso del CAPM en la Preocupación por su valoración pero indeciso relación riesgo vs retorno Teoría del equilibrio general Myron Scholes Black & Scholes 1973 Analogía realizada por Black con Black concluyen que Opción mejor aproximación para la combinación de activos el CAPM no es efectivo al cero riesgo Robert Merton 1975 Dupire 1994 Duan 1995 Cambio en el precio de los activos Derman y Kani Dependencia de la historia y variación no continuo. Aproximación a la Rubinstein en el tiempo bajo valuación neutral volatilidad impĺıcita V olatility Smile mediante un modelo GARCH financieras:

18 Contexto y definición teórica Volatilidad Impĺıcita Reescalación de la volatilidad en el tiempo Modelo Black & Scholes (1973) Modelo de Duan (1995) c(s, t) = S 0 N(d1) Ke rt N(d2) d1 = Ln( S K )+(r+ 1 2 σ2 )T σ T d2 = d1 σ T c(s, t) = e rt E [(St K, 0) St] c = e rt 1 N Ni=1 máx(ŝ i,t+t K,0) Modelo Black (1976) R t+1 = Ln(S t+1 ) Ln(S t) c(s, t) = e rt [F 0 N(d1) KN(d2)] ( ) d1 = Ln F0 K σ2 T σ T d2 = d1 σ T R t+1 = r 1 2 σ t+1 + σ t+1 Z t+1 F 0 = (S 0 C)e rt σ 2 t+1 = α 0 + α 1 (σ tz t λσ t θσ t) 2 + βσ 2 t financieras:

19 Contexto y definición teórica Volatilidad Impĺıcita Reescalación de la volatilidad en el tiempo Volatilidad Impĺıcita Existe en el mercado de opciones Precio teórico y el precio observado coinciden Superficie de volatilidad: [σ(k)] y [σ(t )] Moneyness de compradores Money CALL PUT ITM S > K K > S ATM S K S K OTM S < K K < S financieras:

20 Contexto y definición teórica Volatilidad Impĺıcita Reescalación de la volatilidad en el tiempo Raíz H del tiempo H es la relación entre distancia y tiempo Rango reescalado: Rango de las sumas parciales de las desviaciones reescalada por la desviación estándar de la serie. Log(R/S) n = Log(c) + HLog(n) H < 0,5 Antipersistente H = 0,5 Independiente H > 0,5 Persistente S(T + t) S(t) La serie sigue N(0, σ 2 T 2 ) σ 2 = 1 a 5 periodos N(0, ) = N(0, 5) financieras:

21 Contexto y definición teórica Volatilidad Impĺıcita Reescalación de la volatilidad en el tiempo Raíz H del tiempo: hipótesis nulas de independencia No Descripción H esperado Estadístico 1 Caso asintótico H n = 0,5 0, ,818 2 Caso cuasi-asintótico H iid N (0, 1) 0,5232 7,616 3 Caso cuasi-asintótico con exceso de sesgo y curtosis 0,5279 6,973 4 Series fínitas 0,5828 0,635 5 Series aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas como una normal 0,5653 0,398 6 Simulación de 5000 versiones independientes de la serie original 0, ,172 7 Estadístico Vq que verifica efectos del corto plazo [0,809 1, 862] 1,2055 Significativo al 1 % Fuente: Cálculos de los autores financieras:

22 Resultados valoraciones Resultados Backtesting Metodología B&S(1973) Volatilidad Impĺıcita T T H σ T Valoración de opciones Black (1976) Duan (1995) T Simulación de Montecarlo GARCH T H T H financieras:

23 Resultados valoraciones Resultados Backtesting Precios de ejercicio financieras:

24 Resultados valoraciones Resultados Backtesting Valoración de Opciones con distintas representaciones de la volatilidad Volatilidad no condicional en Black 76 Simulación de Montecarlo en Black 76 financieras:

25 Resultados valoraciones Resultados Backtesting Valoración de Opciones con distintas representaciones de la volatilidad Volatilidad impĺıcita en Black & Scholes (1973) Volatilidad condicional con Duan 1995 financieras:

26 Resultados valoraciones Resultados Backtesting Backtesting sobre valoración de opciones Criterios de evaluación 1 Call PayOff = St (K + ce rt ) Put PayOff = (K pe rt ) St RMSE = 1 n PayOffi 2 n i=1 2 Proporción y rango precios 3 Indicador de desviación sistémica se muestra gráficamente IDS = VO MP VO B VO B financieras:

27 Resultados valoraciones Resultados Backtesting Resultado backtesting general a 30 días financieras:

28 Resultados valoraciones Resultados Backtesting Resultado backtesting por moneyness a 30 días financieras:

29 Resultados valoraciones Resultados Backtesting Resultado backtesting por moneyness a 30 días financieras:

30 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía CONCLUSIONES Variaciones en los precios: Fenómeno evidenciado en las principales crisis. Factores de riesgo reconocidos por entes reguladores Volatilidad: Imaginario asociado a la variación en precios que es reconocida a través de las representaciones que sirven como aproximaciones a la incertidumbre Representaciones: necesidad de simplificar para explicar el comportamiento de los precios.enfoques cuantitativos con raíces en otras ciencias o disciplinas inclusive financieras:

31 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía CONCLUSIONES Representaciones: Base para el planteamiento de desarrollos que componen la teoría financiera. Valoración de opciones financieras, evidencia de ello. Movimiento Browniano: supuestos de las representaciones más utilizadas, las cuales no se cumplen en la mayoría de casos. : evidencia de la volatilidad por variaciones en tasa de descuento. Colombia, necesidad de nuevos instrumentos y metodologías. Opciones financieras, las más óptimas. financieras:

32 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía CONCLUSIONES La convexidad tiene un efecto positivo en el riesgo Duración modificada es un buen estimador del riesgo Restan niveles de subvaloración Leve sobrevaloración del riesgo EWMA y ARCH-GARCH Difusión con saltos escenarios extremos Sonrisa de volatilidad en plazos más cercanos al vencimiento Superficie de volatilidad σ ITM y OTM, σ ATM t T financieras:

33 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía CONCLUSIONES Precios mayores usando volatilidad impĺıcita con raíz H Volatilidad histórica precios elevados usando H Simulación de montecarlo variaciones más rápidas en las call que en las put Extensión Duan precio de las put cambia más rápido que el de las call ante pequeñas K financieras:

34 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía CONCLUSIONES A 30 días Duan A 60 días Call: Montecarlo Hurst Put: ITM y ATM Duan, OTM impĺıcita 0,5 A 90 días Call: OTM Montecarlo H ATM Montecarlo 0,5 ITM Duan Put: Duan financieras:

35 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía CONCLUSIONES Se respondió el interrogante Qué pasaría si se juega con los supuestos de los modelos? OWEN WEATHERALL(2013) El modelo original adopta mayor efectividad variando el parámetro de volatilidad Impĺıcita y Montecarlo con 2 t Montecarlo H t Supuestos originales sobrevaloración de opciones call ITM y put ATM y, subvaloración de call ATM Volatilidad impĺıcita permite corregir sesgos asociados a B&S y B-76 financieras:

36 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía RECOMENDACIONES Uso de otras representaciones de la volatilidad Volatilidad estocástica Extensión de las aplicaciones a las opciones americanas. Hacer estudios para la estimación de la tasa libre de riesgo. Aplicación a otros mercados para verificar efectividad de los modelos. Desarrollo de nuevos aportes a partir de la interdisciplinariedad. financieras:

37 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía Reflexión final Reflexión final Las propuestas no son 100 % aplicables en todos los mercados Permiten disminuir la brecha entre la incertidumbre y lo medible Independiente del modelo todos demuestran el intento del ser humano por brindar una aproximación a un imaginario Las Representaciones Pueden surgír a partir de otras ciencias o disciplinas Deben usarse con sentido común y en consideración de sus limitaciones financieras:

38 Conclusiones Recomendaciones Bibliografía Bibliografía financieras:

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