PREDICCIÓN DE VOLATILIDAD CON LOS ÍNDICES DE VOLATILIDAD VIX Y VDAX

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1 PREDICCIÓN DE VOLILIDD CON LOS ÍNDICES DE VOLILIDD VIX Y VDX El objevo de ese rabajo es esudar la capacdad predcva de los índces de volaldad. Para el perodo 99-0, analzamos daos de los índces amercanos VXO y VIX y ambén de los índces alemanes VDX y VX. Por oro lado esudamos la predccón de volaldad realzada, en relacón con el empo resane al prmer vencmeno de las opcones. Los resulados muesran que la capacdad predcva a 30 días (45 días para VDX), medda en érmnos de coefcene de deermnacón R, no se ve afecada cuando consderamos dferenes perodos de empo respeco al vencmeno de opcones más cercano. bsrac: he am of hs paper s o sudy how he volaly ndexes can provde useful nformaon conen for he predcon of realzed volaly. In hs paper, usng daa for he US (VXO and VIX) and he German ndexes (VDX and VX), n he perod 99-0, we measure how accurae are he volaly predcons of each volaly ndex, consderng dfferen mes o he neares opons maury. he resuls show an equal 30 day-ahead (45 day-ahead VDX) forecasng power of he ndexes for dfferen mes o he neares opons maury, measured by he deermnan coeffcen R. eywords: índces de volaldad, predccón, VIX, VDX uores: Javer Gner Rubo* Sandra Morn Marrero* Rafael Rosllo Camblor** *Unversdad de La Laguna. Deparameno de Economía Fnancera y Conabldad **Unversdad de León. Deparameno de dmnsracón de Empresas Dreccón para correspondenca: Javer Gner Rubo Faculad Economía, Empresa y ursmo Campus de Guajara ULL Sana Cruz de enerfe (3807) f ;

2 . INRODUCCIÓN Una de las mayores preocupacones de los parcpanes en los mercados fnanceros es la elevada volaldad de los precos de los acvos. En ese sendo, se han vendo desarrollando dversos rabajos que raan de predecr la volaldad fuura que va a regsrar un subyacene con el fn de raar de aprovechar mejor las oporundades del mercado. Para ello se han empleado báscamene dos elemenos que son fáclmene calculables a parr de los daos dsponbles en el mercado: la volaldad hsórca que es una medda esadísca de los movmenos de los precos del subyacene en el pasado y la volaldad mplíca que se calcula a parr de los precos de las opcones que se negocan en el mercado, consderando un modelo de valoracón deermnado y suponendo conocdos el reso de parámeros que nervenen en ese modelo. Por un lado, la volaldad hsórca es una medda de cómo se han movdo los precos en el pasado y su uldad se basa en que se consdera que esa volaldad puede volver a reperse en el fuuro, y por oro lado, la volaldad mplíca se basa en que los precos de las opcones negocadas ncorporan nformacón acerca de cuál va a ser la volaldad del subyacene hasa el vencmeno de la opcón. La mayor pare de los esudos ndcan que la volaldad mplíca es el mejor ndcador de la volaldad fuura. En el mercado amercano de opcones sobre el índce S&P 00 (OEX), lar e al (00) encuenran que la nformacón verdaderamene relevane se encuenra en la volaldad mplíca, e ncluso comprueban que los resulados obendos ulzando seres hsórcas de ala frecuenca no mejoran demasado su capacdad predcva. Sn embargo, dado que sobre un msmo subyacene y para un msmo vencmeno se negocan dferenes opcones (calls y pus) con dferenes precos de ejercco, la caracerzacón de la volaldad mplíca supone un compromso enre la nformacón dsponble y la operavdad de la defncón que se emplee. El procedmeno habual consse en ulzar la volaldad de la opcón más cercana a vencmeno y más a he money (M). Para evar dsorsones debdas a la cercanía del vencmeno de los conraos, el vencmeno más cercano pasa a ser el sguene dsponble cuando el número de días a vencmeno es nferor a una cfra deermnada, aproxmadamene una semana. Esa defncón de volaldad mplíca (VI) supone varos problemas. El prmero de ellos es que oblga a dsngur enre la VI de las opcones de compra y la VI de las opcones de vena. El segundo es que, ulzando las opcones más en dnero de enre las dsponbles, queda abera la posbldad de generar seres hsórcas en las que se enremezclen daos de opcones verdaderamene M con daos que no lo son ano. Y el ercero y fundamenal es que, sendo que la prncpal uldad de la volaldad mplíca es su demosrada capacdad predcva en el perodo hasa vencmeno, las seres de volaldad mplíca M son dfícles de manejar por el hecho de que su perodo de aplcacón va dsmnuyendo en la medda que el empo avanza. S la volaldad de hoy esá referda a 5 días, la volaldad de mañana lo esará para 4 días o la de la próxma semana esará referda para 8 días hasa vencmeno. En ese sendo, surge la dea de crear un índce de volaldad que aglune la nformacón conenda en dferenes opcones, y que homogence el perodo de predccón que puede asocarse a la volaldad mplíca. La dea de crear un índce de volaldad a parr del preco de las opcones surgó en el msmo momeno en que ésas se empezaron a negocar en 973. Desde enonces dversos auores han propueso dferenes formas de calcular ese índce hasa llegar a la propuesa del VIX en 993. El VIX en su orgen fue desarrollado por el

3 Chcago oard of Exchange COE para medr el nvel de volaldad mplíca del mercado. Poserormene oros mercados de opcones han do sumándose a esa ncava, lemana, Rusa o Japón enre oros. En 003, COE camba la meodología de cálculo de su índce de volaldad y de forma generalzada el reso de mercados acaban adopando esa meodología. En ese sendo planeamos un prmer objevo a desarrollar en ese rabajo, analzar s el cambo de meodología ha supueso una mejora real en el poder predcvo del índce. Cenramos nuesra aencón en los índces de volaldad del mercado amercano y alemán, ano en su versón ncal (VXO y VDX respecvamene) como en la empleada en la acualdad (VIX y VX, respecvamene), de los cuales se dsponen de seres hsórcas amplas que permen comparar s el cambo en la meodología de cálculo del índce ha supueso una mejora o no en la nformacón proporconada por el msmo en érmnos de predccón de la volaldad realzada. Por oro lado, Car y Wu (006) o Luo y Zhang (0), enre oros han esudado la nformacón que conene el índce de volaldad respeco a la volaldad realzada, enconrando que el índce proporcona más nformacón que la volaldad hsórca o que las volaldades obendas con algún modelo de volaldad condconal. Sn embargo en odos esos rabajos, se esablece la relacón enre el índce y la volaldad realzada al msmo plazo (30 días naurales). Luo y Zhang (0) dan un paso más y consderan dferenes plazos ano para el VIX como para la volaldad realzada pero sempre esablecendo una relacón de gualdad de vencmenos enre ambos valores. En ese rabajo, proponemos cambar el plazo de cálculo de la volaldad realzada para raar de deermnar para qué perodo de cálculo de la msma el índce ofrece una mejor predccón, ya que el valor del índce no deja de ser una ponderacón de las volaldades mplícas de una sere de opcones cuyos vencmenos no concden con el perodo para el que se calcula el msmo. Por úlmo, y dado que los vencmenos consderados para el cálculo del índce se van desplazando a medda que pasa el empo, se quere analzar s ese desplazameno, en concreo s el valor del vencmeno más cercano, afeca de alguna forma al poder predcvo del índce de volaldad. De ese modo, el rabajo se esrucura al que en el sguene aparado se explca brevemene el procedmeno de elaboracón de los cuaro índces analzados (VXO, VIX, VDX, VX), se comena brevemene su comporameno hsórco y sguendo a Carr y Wu (006) se realza un pequeño análss esadísco descrpvo de las seres empleadas. En el aparado res se demuesra que la capacdad predcva de los índces de volaldad es sempre superor a la capacdad predcva de la volaldad hsórca o de la volaldad condconada calculada a ravés de modelos po GRCH. En ese msmo aparado abordamos el reso de objevos propuesos: la deermnacón del perodo de predccón ópma de los índces de volaldad esudados, y la nfluenca de la fecha del prmer vencmeno en la capacdad predcva general del índce. Fnalzamos a modo de conclusón desacando los resulados más relevanes obendos del análss efecuado.. LOS ÍNDICES DE VOLILIDD EN LOS PRINCIPLES MERCDOS FINNCIEROS El prmer mercado en nroducr un índce de volaldad fue el COE que adopó el VIX en Febrero de 993 como un ndcador de la volaldad de las opcones sobre el S&P 00 (OEX), basándose prncpalmene en la propuesa de Cox y Rubnsen (985) en relacón a la ponderacón de vencmenos y precos de ejercco. Más arde, en 3

4 sepembre de 003, se nrodujo el nuevo VIX, calculado sobre el S&P 500 (SPX) y con una nueva meodología que emplea el preco de las opcones en vez de su volaldad mplíca para consrur el índce. Con el paso del empo dferenes países han do ncorporando índces de volaldad relavos a sus mercados. sí, en el mercado alemán se calcula el VDX desde 994 de forma basane smlar al VIX anguo, y a parr de 007 paso a calcularse sguendo la nueva meodología del nuevo VIX. Sobre el Nasdaq-00 COE calcula el VXN desde Dcembre de ese msmo año sguendo la msma meodología que para el VIX. Desde Ocubre de 997, MONEP calculaba dos índces de volaldad sobre el CC-40, el VX y VX6, basándose en el rabajo de renner y Gala (989), y desde 007 ulza la meodología del nuevo VIX para el cálculo del VCC. Más recenemene, oros países como Canadá (SX VIX), Japón (VXJ), Rusa (RSVX), usrala (SX VIX) o Inda (Inda VIX) han ncorporado índces de volaldad sobre sus mercados, sguendo la msma meodología del COE para el VIX en su nueva versón.. Meodología para el cálculo de los índces de volaldad... El VXO orgnal El VIX en su concepcón orgnal de 993, que ha pasado a denomnarse VXO, se calcula a parr de la volaldad mplíca de un conjuno de ocho opcones sobre el índce S&P 00, cuaro calls y cuaro pus, cercanas a una suacón M denro del prmer y segundo plazo a vencmeno. Como prmer plazo a vencmeno se elge aquel con fecha de expracón más cercana y superor a see días, ya que en general las opcones con un vencmeno menor a una semana pueden presenar nveles anómalos de volaldad. El segundo plazo a vencmeno corresponde a la segunda fecha de expracón más cercana. Para cada vencmeno se escogen dos precos de ejercco () dferenes lo más cerca M posble: el que se encuenra juso por debajo del preco de conado del subyacene (S), <S; y el que se encuenra juso por encma de ése, >S. La volaldad mplíca, calculada con el modelo de lack-scholes, es la volaldad en días naurales anualzada sobre la base acual/365. En lugar de ulzar esa volaldad drecamene, COE ajusa esos valores a los radng days de forma aproxmada: radng calendar calendar radng donde calendar son los días naurales y radng son los días de negocacón enre el momeno acual y la fecha de vencmeno de la opcón. COE calcula radng quando dos días por cada see días naurales a ravés de la sguene expresón: en( 7). Ese ajuse eleva los nveles de volaldad al radng calendar calendar consderar menos días hasa vencmeno. connuacón se van promedando las volaldades en pasos sucesvos hasa obener el VXO. sí, en una prmera eapa se obenen cuaro subíndces (uno por cada vencmeno y preco de ejercco) a parr de la meda smple de cada par de opcones call y pu de déncas caraceríscas. 4

5 5 S denomnamos k j,, a la volaldad mplíca donde: Pu Call P C Vo.sguene Vo. más próxmo j < > S S k obendremos, para el vencmeno más cercano:,,,,, P C + y,,,,, P C + y para el sguene más cercano:,,,,, P C + y,,,,, P C + l esablecer una meda enre las volaldades mplícas de calls y pus se logra en cero modo mgar posbles sesgos causados por la dferene velocdad de reaccón de las prmas de ambos pos de opcones a los cambos en el subyacene; cuando el mercado se mueve muy rápdamene al alza se produce un sesgo posvo (negavo) en las call (pu). El sguene paso consse en calcular la poscón M de cada vencmeno a parr de las medas anerores: + S S,, y + S S,, donde ( ) es el preco de ejercco por debajo (arrba) del preco del subyacene, S. Por úlmo, hay que promedar esos dos valores para que represenen un perodo esandarzado de sesones, lo que se consgue nerpolando lnealmene: + VXO donde es el número de días hasa el prmer plazo de vencmeno, el más cercano y es el número de días hasa el sguene más cercano... El nuevo VIX El 3 de Sepembre de 003 el COE adopó una nueva meodología de cálculo para el índce VIX. Ese cambo presena dos prncpales novedades: ) susur el índce S&P 00 por el S&P 500, aendendo a la mayor lqudez de ese úlmo; ) modfcar el méodo de cálculo susuyendo el uso de volaldades mplícas por una suma ponderada de precos de opcones ou-he-money. La expresón que perme ese cálculo es la sguene: ) ( o r F Q e (I) donde:

6 es el VIX en ano por uno es el empo a vencmeno de las opcones ulzadas para el cálculo F es el preco forward que se derva de los precos de las opcones o es el prmer preco de ejercco por debajo del preco forward F es el preco de ejercco de la h opcón ou-he-money; una opcón call s > o y una opcón pu s < o ; se usan ambas s o nervalo enre precos de ejercco calculado como la meda enre los precos de + ejercco aneror y poseror a,. Para los precos de ejercco exremos por arrba y por abajo se ulzan drecamene la resa respeco al preco de ejercco más cercano. r po de nerés lbre de resgo para el empo resane a vencmeno Q ) es el preco nermedo enre los precos de compra y de vena (bd-ask) de la ( opcón de preco de ejercco El VIX mde la volaldad esperada del índce S&P 500. Para su cálculo ulzamos los precos de las opcones del vencmeno más cercano con al menos una semana a vencmeno y el sguene correspondene. Por úlmo realzamos la meda ponderada de las varanzas del prmer y segundo vencmeno, y, para deermnar por nerpolacón la varanza de 30 días buscada: Var 30 Que se ajusa para obener el VIX : VIX 00 Var30..3 El VDX y el VX El cálculo del VDX es basane smlar al del VXO, aunque dfere en dos aspecos. En prmer lugar, el perodo de referenca es de 45 días naurales por lo que no se realza el ajuse de volaldad a días de negocacón que se realza en el VXO. Y en segundo lugar, el preco del subyacene para el cálculo de la poscón M es el preco forward del subyacene para el vencmeno consderado. Por ano, para calcular el índce de volaldad es requso prevo calcular el preco a plazo del DX (índce bursál del mercado alemán). Para ello, s exsen conraos de fuuros sobre el DX cuyo vencmeno concda con la fecha requerda se coge el preco de esos como preco a plazo del DX, en caso conraro se calcula nerpolando lnealmene los precos de los fuuros precedene y sguene en vencmeno. Se puede obener más nformacón sobre el cálculo del nuevo VIX consulando las ndcacones de elaboracón facladas por COE, o Demeerf e al (999) o Carr y Wu (006). 6

7 ese respeco y a efecos de deermnar qué opcones elegr para la elaboracón del índce, hay que consderar que el VDX se calcula para un perodo consane de 45 días naurales por lo que se escogen aquellos conraos cuya fecha de expracón esé lo más próxma por defeco y por exceso de ese plazo. Para cada vencmeno, de forma smlar al VXO, se elgen cuaro opcones ( call y pu) cuyo preco de ejercco se encuenra lo más cerca por encma y por debajo del preco forward calculado prevamene. esas opcones se les calcula la volaldad mplíca y se procede a calcular los dferenes subíndces de volaldad, uno para cada vencmeno, promedando lnealmene las dos opcones (call y pu) de preco de ejercco más alo y las de preco de ejercco más bajo, gual que para el VXO. Y se vuelve a nerpolar lnealmene enre esas dos medas para hallar el valor de la poscón M de cada vencmeno. De gual forma que para el VXO, a parr de esos dos subíndces se calcula el VDX para un perodo consane de 45 días: VDX donde es el número de días hasa el prmer vencmeno consderado y es el número del segundo. Por su pare el VX se calcula de forma dénca al VIX por lo que no se requere mayor explcacón.. nálss hsórco de las seres Ulzando daos hsórcos de precos de cerre de opcones sobre el índce S&P 500 y sobre el índce S&P 00, el COE ha calculado los valores del VIX desde 990 y del VXO desde 987, y en la acualdad odavía calcula ambos índces. Deusche örse, para el mercado alemán, ha calculado los valores del VDX y del VX desde 99 y, al gual que el COE, sgue dfundendo ambos índces. Se ha elegdo como perodo de esudo el nervalo común que abarca desde de abrl de 99 al 30 de dcembre de 0, lo que supone 4997 días de negocacón. demás de los 4 índces de volaldad, analzamos la volaldad realzada a 30 y 45 días de los índces de mercado referdos. Para el SP 00 (VXO), SP 500 (VIX) y DX (VX) calculamos la volaldad realzada a 30 días de calendaro: m ( r + k r, + 30 ) R +, + 30 (.) m k S+ k donde r + k ln es la renabldad dara del índce en el momeno +k, r, + 30 es la S+ k renabldad meda durane los 30 días naurales, y m el número efecvo de días de negocacón, que será dferene para cada venana de empo, sendo su valor más frecuene días de negocacón. Ese resulado de volaldad dara es anualzado mulplcando por la raíz de 50. Como el VDX consdera un horzone emporal de 45 días, comparamos ese índce de volaldad con la volaldad realzada a 45 días de calendaro, calculada como la desvacón esándar de las renabldades en una venana de 45 días de calendaro: 7

8 m ( r + k r, + 45 ) R +, + 45 (.) m k y donde m es el número efecvo de días de negocacón en cada caso y cuyo valor más frecuene observado en el DX 30 ha sdo 33 días. En oros esudos consulados, por ejemplo Carr y Wu (006) en el mercado amercano, ulzan drecamene un horzone emporal fjo de días de negocacón. Dado que la defncón del VIX es con 30 días naurales de calendaro, hemos opado por ulzar ese méodo de cálculo, más cercano a la defncón exaca. L. PRINCIPLES ESDÍSICOS DE ÍNDICES DE VOLILIDD Y VOLILIDD RELIZD US Germany Sascs RV - S&P500 VIX RV S&P00 VXO RV - DX VX RV - DX VDX Mean Sand.Dev Medan uross Skewness Mnmum Maxmum En la abla se resumen los prncpales esadíscos de los 4 índces de volaldad (VIX, VXO, VX y VDX), y sus correspondenes resulados de volaldad realzada en 30-días ( 45-días para el VDX) sobre los índces de referenca correspondenes. En el mercado amercano se puede observar que la meda muesral de la volaldad realzada en el S&P 00 es lgeramene superor que la del S&P 500. La meda muesral del VXO es lgeramene superor a la del VIX, pero como menconan Carr y Wu (006), el índce VXO presena un sesgo en forma de ncremeno arfcal debdo a la conversón a días de negocacón a parr de los días naurales. Comparando el índce de volaldad con la correspondene volaldad realzada, enconramos que en promedo, el VIX es aproxmadamene 4% mayor que la volaldad realzada en el S&P 500, y el VXO es aproxmadamene 5% mayor que la correspondene volaldad realzada en el S&P 00. Respeco al mercado alemán, la meda de volaldad realzada a 45 días es lgeramene superor a la de 30 días. La meda muesral del VX es aproxmadamene 3% mayor que la meda de la volaldad realzada. Fnalmene, ambén es desacable que los valores mínmos de los índces de volaldad rondan el 9% menras que la volaldad mínma realzada en el mercado se encuenra en orno al 5%. sí msmo, desacan las menores asmería y cuross del mercado alemán respeco al amercano. En general, los nveles de volaldad muesran asmería posva y exceso de cuross, lo que puede ser explcado por la llegada de mporanes salos de nformacón en las seres (Eraker e al, 003). 8

9 Los índces de volaldad se consderan un barómero del medo de los nversores. Cuano mayor es el medo con más velocdad (pendene) se mueven los precos en el mercado y mayor es el valor del índce que recoge la volaldad del msmo. En ese sendo, y omando como ejemplo el VIX y el S&P 500 (Gráfco ) para el perodo se observan claramene res perodos dferencados: ) enre los años 000 y 003 esalla defnvamene la burbuja ecnológca y a medda que el índce S&P 500 rerocede desde nveles máxmos hsórcos cerca de 400 punos, el índce VIX aumena desde 0 hasa 45 en agoso del 00. ) enre los años 003 y 007 el índce SP500 recupera lenamene los valores máxmos del perodo aneror, y en esa eapa de crecmeno y ranquldad (al menos ausenca de malas nocas), el VIX dsmnuye hasa nveles del 0%, valores cercanos al mínmo hsórco regsrado el de Dcembre de 993: ) enre los años 007 y 00 a medda que empezan las caídas bursáles el índce VIX aumena hasa alcanzar un máxmo de el 0-Nov-008. Fgura. VIX y S&P 500, Precos de cerre daros. Efecvamene, Whaley (009) comprueba que los cambos en el VIX son mayores cuando baja el mercado que cuando sube; para comprobar que efecvamene el VIX es más un barómero del medo de los nversores que una medda de opmsmo planea la sguene regresón lneal: RVIX + RSPX + RSPX β β β + ε o Donde RVIX es la varacón dara del índce VIX, RSPX es la renabldad dara del índce S&P 500 y RSPX - mn(0;rspx). 9

10 En las regresones efecuadas para dferenes perodos emporales por dferenes auores como Whaley (009) o Lu (0), odos los coefcenes son sgnfcavos. β0 es práccamene cero, ndcando que s el mercado no se mueve el índce ampoco lo hará. Los coefcenes β y β son ambos negavos, y reflejan claramene, no sólo la relacón nversa enre los movmenos del VIX y los movmenos del S&P 500, sno ambén la asmería de esos movmenos. β oma valores en orno a -3 y β en orno a - En la fgura presenamos las dferencas enre los índces VXO y VIX para el perodo de abrl de 99 a 30 de dcembre de 0, observándose que las dferenca (VXO VX) enre ambos es pequeña, presenando durane ese perodo una meda de 0.66, con una dferenca máxma a favor del VXO de 6.04 en ocubre de 008 y a favor del VIX de 3.3 en mayo de 00. demás, los cambos en ambos índces concden en dreccón un 83% de las ocasones. Fgure. Dfferences (VXO-VIX) n he perod prl h 99 o December 30h 0. El msmo análss se realza enre el VDX y VX, cuyas dferencas (VDX VX) quedan represenadas gráfcamene en la fgura 3. Los resulados muesran que la dferenca meda es de -.48, sendo la dferenca máxma a favor del VDX de 7.5 en ocubre de 99 y de 0.43 a favor del VX en ocubre de 008. Por ano, claramene las dferencas enre el índce anguo y nuevo en el mercado alemán es más pronuncada que en el mercado amercano. La concdenca del sendo del movmeno es ala (83%). 0

11 Fgure 3. Dfferences (VDX-VX) n he perod prl h 99 o December 30h 0. Para valorar s el cambo de meodología proporcona valores realmene dferenes se efecúa un es de dferencas de medas, donde la hpóess nula es que las dferencas observadas enre los valores anguos y nuevos de los índces de volaldad de cada mercado son nulas y la alernava que no lo son. Para US, el es revela que no se puede acepar la hpóess nula, por ano, exsen dferencas esadíscamene sgnfcavas enre los valores del VXO y los del VIX. (pvalue 0.005). Para el mercado alemán, se obene el msmo resulado (pvalue.495e-5). Según esos resulados, el cambo de meodología ha supueso dferencas enre el anguo y el nuevo índce, ano para el mercado amercano como para el alemán. Dferencas no muy sgnfcavas, pero que hay ener en cuena. Sn embargo, lo que más nos neresa es comprobar s esos cambos permen mejorar las esmacones de volaldad fuura. En el aparado sguene analzaremos más en dealle la capacdad predcva de los índces de volaldad. 3. PREDICCIÓN DE L VOLILIDD El objevo en esa seccón es esudar de qué manera los índces de volaldad pueden aporar conendo nformaconal para la predccón de volaldad, y para ello vamos a comparar su capacdad predcva con dos modelos en parcular: el que se obene a parr de la volaldad hsórca y oro basado en un esquema de volaldad condconal GRCH(,). cualmene parece haber consenso respeco a la afrmacón de que exse un mporane conendo nformaconal en la volaldad mplíca de las opcones (Chrsoffersen, 003; Carr y Wu, 006). Sn embargo, auores como Canna y Fglewsk (993) con daos del S&P 00, afrman no observar correlacón alguna enre la volaldad mplíca a he money y la volaldad fuura, por lo que proponen la nclusón de la volaldad hsórca como explcavo de la volaldad realzada. De dfícl explcacón pueden consderarse esos resulados, aunque, al como apuna lar e al (00), exsen seros ndcos a pensar que las seres de volaldad mplíca

12 ulzadas en ése y oros rabajos (por ejemplo Day y Lews (99) o Chrsensen y Prabhala (998)), de alguna manera, conenen mporanes errores de medda cuya magnud se desconoce. Efecvamene, muchas pueden ser las razones que dan lugar a esa errónea especfcacón de la volaldad mplíca, aunque cas odas pueden enconrarse en la msma dfculad de los daos: opcones nunca oalmene a-hemoney, bd/ask muy grandes comparados con los precos de las opcones, dsorsones en la volaldad por el mpaco de la comsones, horzones de empo cambanes conforme dsmnuye la vda de la opcón, ec. Ora posble fuene de errores es el uso de un modelo de valoracón de opcones napropado que enurbe la medda de la volaldad mplíca, por ejemplo, valorar opcones de po amercano, como es el caso de las opcones S&P 00, con un modelo de opcones europeas. Sn que llegue a ser la solucón a odos los problemas, odo parece apunar a que la nroduccón del VIX o índces de volaldad en general puede mgar esos errores de medda. unque odas esas consderacones parecen apunar a un mejor comporameno del VIX frene a oros modelos habualmene ulzados en la predccón de volaldad, serán los resulados expermenales los que perman manfesarse en un sendo u oro. Los daos ulzados en esa pare del rabajo son, para el mercado amercano, las renabldades daras del S&P 00 y del S&P 500, juno con sus índces correspondenes, VXO y VIX. Para el mercado alemán, las renabldades daras del índce DX, juno con los índces VDX y VX. nalzamos el perodo común 99-0, y comparamos la volaldad realzada de las renabldades con las predccones de dferenes modelos mplemenados. 3.. MODELOS DE PREDICCIÓN No se puede decr que exsa un consenso generalzado acerca de cómo medr la volaldad realzada, debdo a que se raa de un no observable. Sn embargo, la endenca habual es calcular la volaldad realzada a ravés de la desvacón esándar de las renabldades fuuras, al como se desprende de algunos de los prncpales rabajos realzados sobre predccón de volaldad, enre ellos ndersen y ollerslev (998), ndersen e al (00a), ndersen e al (00b) y lar e al (00). Nuesro objevo es evaluar la uldad de los índces de volaldad esudados en el aparado aneror como predcores de la volaldad realzada en el plazo al que hace referenca el índce. Para el caso de días de negocacón endríamos: m ( r + k r, + ) R +, + m k donde r +k es la renabldad dara del índce de mercado correspondene (S&P 00, S&P 500 o DX) en el momeno +k y r, + es la renabldad meda de las sesones consderadas, sendo gual a 30 o 45 días de calendaro, según el índce analzado, y m el número efecvo de días de negocacón. Vamos a analzar los res modelos de regresón sguenes:

13 R H +, + α + β ( ), + u (3.) R G +, + α + β +, + + u (3.) R +, + α + β VIX + u (3.3) H donde es la volaldad hsórca de las sesones anerores al cerre del ( ), G mercado el día, es la volaldad condconal GRCH(,) predcha para días adelane y día. +, + VIX es el índce de volaldad mplíca presene al cerre del mercado el Las 3 ecuacones de regresón anerores se basan en la nformacón que aporan dferenes predcores de la volaldad, y que pasamos a descrbr brevemene a connuacón. El prmer de los modelos ulzados, basado en la volaldad hsórca, ha sdo elegdo cas como referenca para suar los valores obendos en un conexo comparavo. La defncón de volaldad hsórca ulzada es la desvacón esándar de las renabldades daras, por lo que para analzar el prmer modelo (3.) es necesaro calcular la desvacón esándar de las renabldades daras r, r -,...,r -(-) anerores al día, ncluyendo la renabldad correspondene al cerre del día acual: (3.4) H ( ), m k m ( r k + r ( ), ) Para los prmeros días del año 99 se ulzaron las úlmas cozacones del año 99 para complear la sere en sus valores ncales. Los resulados son anualzados mulplcando por 50. En el segundo modelo (3.) se consdera el esquema GRCH(,) propueso por ollerslev (986). Para ello, suponemos que las renabldades se dsrbuyen según el modelo r C + ε donde ε sgue una N( 0, ), C es una consane y es la volaldad condconal caracerzada por: ω α ε β (3.5) + + Una vez esmado el modelo, para cada podemos realzar predccones de la varanza condconal para los próxmos días, +, +,..., +, de forma que a ravés de la raíz cuadrada de su meda arméca obendremos el valor esperado de la volaldad realzada según ese predcor, G +, + poserormene mulplcando por 50. k + k. Ese resulado es anualzado 3

14 Exsen oros modelos de volaldad condconal, ales como el GJR [Glosen e al (993)] que permen consderar asmerías en el comporameno de la volaldad ane shocks posvos y negavos. ambén es posble nclur en el modelo efecos de esaconaldad que mejoren la caracerzacón de la sere. Sn embargo, en ese rabajo no vamos a segur esa línea de análss an nenso, aunque somos conscenes de que las especfcacones del modelo son suscepbles de refnadas adapacones. En cuano al ercer modelo (3.3) no es necesaro efecuar cálculos prevos porque se dspone de la sere de daos de los índces de volaldad correspondenes. 3. PREDICIENDO L VOLILIDD RELIZD EN EL PERIODO 99-0 al como djmos prevamene, el perodo de esudo es el comprenddo enre abrl de 99 y dcembre de 0, lo que equvale a una muesra con un oal de 4997 días de negocacón. Con esos daos se obenen los parámeros de los dferenes modelos y se evalúa la capacdad predcva de los msmos. La parámeros resulanes de la esmacón del modelo GRCH(,) de la ecuacón (3.5) para el perodo de esudo (99-0), necesaros para el modelo de la ecuacón (3.), se presenan en la abla. El análss del nvel de correlacón de los resduos esandarzados ulzando el esadísco Ljung-ox, así como los esadíscos, son posvos respeco a la modelzacón realzada. abla. Parámeros esmados y dagnóscos del modelo GRCH (,) para S&P 00, S&P 500 y DX en el perodo Índce C ω α β LQes LQes S&P 00 S&P 500 DX E E-07.3E (4.5) (4.5) (4.7) (8.) (7.5) (7.8) (6.8) (6.) (4.5) (79.7) (74.7) (37.8) Noa: LQes y LQes: Esadíscos Ljung-ox Q(0) para los resduos esandarzados y los resduos esandarzados al cuadrado respecvamene (3.4 es el valor críco al 5%) En la abla 3 pueden observarse los parámeros esmados por mínmos cuadrados para cada uno de los modelos propuesos, así como los esadíscos correspondenes. Ésos han sdo calculados medane el méodo de Newey y Wes (987), aendendo a la no normaldad de los resduos u de las regresones (3.), (3.) y (3.3). 4

15 abla 3. Predccón de volaldad realzada medane los modelos de volaldad hsórca VH, volaldad condconal GRCH(,), índce de volaldad e índce de volaldad & GRCH(,), ecuacones (3.) a (3.3) Mercado Modelo α β R (n-sample ) VH (3.3) (76.4) S&P 00 GRCH(,) (4.7) (83.6) S&P 500 DX (45d) VXO (6.) (89.) 0.65 VH 4.35 (.6) (78.9) GRCH(,) 0.97 (4.8) (86.0) VIX (.3) 0.95 (88.) 0.60 VH 6.6 (7.6) (66.8) 0.47 GRCH(,) 0.66 (.3) 0.94 (76.8) 0.54 VDX (.4) 0.9 (86.3) VH 5.70 (5.) 0.78 (74.9) 0.59 DX GRCH(,) 0.36 (0.9) (83.3) 0.58 (30d) VX 0.34 (.0) (95.) Noa : Esadísco de los parámeros α y β calculado según el méodo de Newey y Wes (987). En negra aparecen los mejores valores de R denro de cada mercado. De los resulados, podemos desacar que para los dferenes mercados la mejor esmacón se obene sempre ulzando como regresor el índce de volaldad correspondene. Para el mercado amercano, la nueva consruccón del índce no mejora el poder predcvo de la angua, obenendo ambas regresones un coefcene de deermnacón ajusado smlar. En ambos casos el érmno ndependene es negavo confrmando los resulados del análss descrpvo realzado prevamene, en el que la volaldad realzada era en meda nferor al valor del índce de volaldad correspondene. En cuano al mercado alemán, sí que la nueva meodología represenada por el índce VX mejora la predccón respeco al VDX. En ese caso el érmno ndependene es posvo ya que al y como vmos anerormene el valor de la volaldad realzada era en meda superor al valor del índce correspondene. unque las res varables predcoras (volaldad hsórca, volaldad condconal e índce de volaldad) han sdo consderadas denro de un esquema regresvo unvarane, ambén podrían planearse modelos de regresón mxos, por ejemplo un modelo de regresón que ncluya la volaldad condconal y la volaldad mplíca, con lo que se nena aunar lo mejor de cada conjuno de nformacón. Sn embargo, las pruebas realzadas en ese sendo no han supueso mejoras sgnfcavas de mencón y por ese movo no las presenamos en el exo, por lo que podemos conclur en desacar el relevane conendo nformaconal de los índces de volaldad. Ora posble línea de accón es la propuesa por lar e al (00) que realzan las predccones basándose en el VIX pero consderando una regresón de orden nfno que ulza las observacones pasadas del índce, no sólo la conemporánea. odo ese po de esudos deja abera la puera a fuuras líneas de nvesgacón en orno a ese ema que deberán ser evaluadas en el fuuro. 5

16 3.3. Capacdad predcva en relacón al prmer vencmeno Como se recoge en el aparado, los índces de volaldad se calculan ponderando lnealmene las varanzas calculadas para el prmer y segundo vencmeno más cercano, salvo en el caso del VDX que al ser a más largo plazo en ocasones ulza el segundo y ercer vencmeno más cercano. En ese aparado queremos responder a la preguna de s los índces de volaldad predcen mejor o peor en funcón del número de días que falan hasa el prmer vencmeno más cercano,, y del número de días que falan hasa el segundo vencmeno más cercano,. Hay que ener en cuena que la fecha de er vencmeno más cercano deja de ulzarse, para evar dsorsones de precos, cuando falan menos de 7 días a vencmeno. En ese momeno el segundo vencmeno pasa a ser el prmer vencmeno. Por lo ano, el menor empo posble hasa el prmer vencmeno es 7 días. ano en el mercado amercano como en el alemán el vencmeno de opcones se produce el 3er vernes hábl de cada mes. Esa caracerísca condcona el valor máxmo que puede omar el número de días que falan hasa el prmer vencmeno más cercano. Fgure 4. Ejemplo de meses con vencmeno más emprano y más ardío. Como se apreca en la fgura 4, cuando el mes empeza en vernes día, enemos un mes con vencmeno muy cercano, el 3er vernes será día 5. Cuando el día es sábado, obenemos un mes con vencmeno muy ardío, el 3er vernes sería el día. Esos son los límes en los que se puede mover la fecha del vencmeno mensual de opcones, enre el día 5 y el día del mes. El mayor empo posble hasa el prmer vencmeno es 39 días, lo que ocurre cuando nos enconramos con un mes al que, después del vencmeno, le quedan odavía semanas de calendaro. De esa forma enemos que, el prmer lunes en el que el er vencmeno ya es en el próxmo, falan 6 semanas (4- días) menos fn de semana, lo que son los 39 días. La cuesón es que el VIX se consruye con la nformacón de opcones referdas a vencmenos dferenes. Suponendo que el º vencmeno se produce 30 días después del er vencmeno, podemos enconrar un er y un º vencmeno en 7 y 37 6

17 días o por el conraro de 39 y 69 días respecvamene (suponendo que enre el prmer y el segundo vencmeno medan exacamene 30 días). Las ponderacones de ambos vencmenos serán guales cuando falen 5 y 45 días respecvamene, como se observa en la abla W(-30)/(-) W(30-)/(-) abla 4. Ponderacones cuando +30 La preguna es s el índce VIX predce mejor para unas combnacones de empos - que para oras. la vsa de la abla aneror parece razonable suponer que la mejor caldad nformava de las opcones se produce cuando es cercano a 30, pues concde con el vencmeno de referenca del VIX, y además se supone que habrá mucha más lqudez y negocacón en las opcones de que en las opcones de, conrbuyendo a una mejor nformacón. Para conrasar esa hpóess se efecúa la regresón del modelo (3.3), dsnguendo en 5 regresones dferenes agrupando para cada uno de los posbles empos, donde [7,39] días. Por lo que se efecúan 0 dferenes regresones : R, +, + α + β VIX + u (3.6) de manera que agrupamos daos de VIX con [7,39] con sus correspondenes volaldades realzadas. Los near enre 35 y 39 no se analzan por no ener sufcenes observacones. 7

18 near R VIX R VDX N obs near R VIX R VDX N obs near R VIX R VDX N obs near R VIX R VDX N obs near R VIX R VDX N obs abla 5. Coefcene de deermnacón R para predccones de volaldad realzada según el número de días resanes hasa el prmer vencmeno más cercano. Los resulados de la caldad del ajuse se recogen en la abla 5, pero no se encuenran dferencas sgnfcavas en la capacdad predcva de los índces cuando clasfcamos según días a er vencmeno,, n en US n en lemana, n enre los nuevos y los anguos índces. Fgure 5. Coefcene de deermnacón R para predccones de volaldad realzada según el número de días resanes hasa el prmer vencmeno más cercano. 8

19 En la fgura 5 presenamos esa nformacón de forma gráfca. N en US n lemana se aprecan dferencas sgnfcavas enre los coefcenes de deermnacón calculados para dsnos empos hasa el vencmeno más cercano. En general odos los valores se encuenran cercanos a los valores globales (sn dsngur enre ) calculados en el aparado aneror, R 0. 65, R 0. 60, R y R VXO VIX VDX V X ampoco se observan parones desacables enre los dferenes días de la semana. Sí se observa el efeco que ya habíamos señalado ambén en el aparado aneror, que la caldad predcva del nuevo índce alemán es lgeramene mejor que la de la anguo. 4. CONCLUSIONES Los índces de volaldad han sdo amplamene esudados en la leraura desde dferenes punos de vsa, sn embargo, hasa ahora no se había raado de deermnar cuál es el perodo ópmo de predccón de ales índces y s las caraceríscas de las opcones que nervenen en su consruccón, en concreo su vencmeno, nfluye o no en la caldad predcva de los msmos. En ese rabajo, además, se efecúa un análss radconal de po descrpvo y de carácer predcvo de la volaldad realzada. Los resulados concuerdan con los obendos por oros auores y se confrma la mejor capacdad predcva de los índces cuando se comparan con la volaldad hsórca o la volaldad condconal. Caben desacar algunos resulados: () el cambo en la meodología no parece afecar posvamene a la capacdad predcora del índce de volaldad en el mercado amercano, aunque sí en el mercado alemán, donde mejora la caldad del ajuse de la volaldad realzada. () En ambos mercados parece exsr un mínmo de volaldad a la que esá dspueso negocar el mercado de opcones que es muy superor a la volaldad mínma que realmene se deeca en el subyacene de las msmas. (3) El valor del prmer vencmeno no parece afecar a la capacdad predcva del índce. 5. REFERENCIS ndersen,.g. & ollerslev,. (998). nswerng he skepcs: yes sandard volaly models do provde accurae forecass. Inernaonal Economc Revew 39, ndersen,.g., ollerslev,., Debold, F.X. & Ebens, H. (00). he dsrbuon of realzed sock reurn volaly. Journal of Fnancal Economcs 6, rd, R. & Yeung, D. (0). How do nvesors reac under uncerany?. Pacfc-asn Fnance Journal, 0(), lar,.j., Poon, S.H. & aylor, S.J. (00). Forecasng S&P 00 volaly: he ncremenal nformaon conen of mpled volales and hgh-frequency ndex reurns. Journal of Economercs 05, 5-6. ollerslev,. (986). Generalzed uoregressve Condonal Heeroskedascy. Journal of Economercs 3,

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