Cómo calcular sumas usando la notación sigma ( ) con la Class Pad? Prof. Robinson Arcos

Transcripción

1 Cóo calcular suas usado la otacó sga () co la Class Pad? Prof Robso Arcos INTRODUCCIÓN: La Aplcacó Prcpal de la Class Pad dspoe de u coado que perte el cálculo de suas dode los téros o suados, fora ua sucesó de úeros cuyo téro geeral depede de ua varable etera Para precsar esto, supoga que los téros de ua sua S puede obteerse dado valores eteros cosecutvos (de hasta ) a la varable de ua certa expresó ateátca E(), esto es, S E() E( ) E( ) L E( ) E() Esta escrtura puede abrevarse utlzado el síbolo (que es la letra grega sga ayúscula, de la que derva uestra S) e la fora: E() E( ) E( ) L E( ) E() E() De aera sétrca, decos que la expresó E() se desarrolla e la fora: E() E() E( ) E( ) L E( ) E() Por eeplo, la sua de los úeros,,, y puede abrevarse e la fora: S teeos la expresó ( ), decos que la sa se desarrolla e la fora: 0 ( ) (0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Propedades del síbolo sua : S c es ua costate real, etoces ca c a (a ± b ) a ± b r Bao el cabo de varable r, se tee a a r r E este ateral struccoal ecotrará dsttas aeras de calcular suas co la otacó

2 Cóo calcular suas co la otacó e la ClassPad? Cuado se actva el eú secudaro [Cálculo ] del eú desplegable [Accó], aparece u lstado de coados relacoados co dversos probleas de cálculo El coado (coo dca la patalla ostrada e la Fgura ), es el que perte el cálculo de suas co este síbolo Staxs del coado : Para calcular ua sua de los valores que se obtee bao ua expresó E() para u tervalo de valores eteros, esto es E() epleaos la sguete staxs: (expresó (E()), varable (), líte feror (), líte superor ()) Fgura Exprese cada ua de las sguetes suas e la otacó sga y calcule la sua: a) π π π π π 7π b) π π 7 Ates de coezar es ecesaro realzar e la Aplcacó Prcpal de la ClassPad las sguetes tareas de lpeza y cofguracó: Operacó co la Class Pad () Actve la Aplcacó Prcpal tocado el coo del pael de coos () Toque [Edt] [Borrar todo] [Acep] para lpar el área de trabao () Toque el botó Toque dos veces [a] Aparecerá las varables que ha sdo asgadas e otros cálculos S este es el caso, toque [Todo] [Seleccoar todo] [Edt] [Borrar] [Acep] Por últo toque [Cerr] dos veces para regresar al área de trabao Estas accoes lpa el adstrador de varables () Toque e el Pael de Icoos el coo peraete Al desplegarse el eú toque [Cofguracó ] [Forato básco] () E el cuadro de dálogo Forato básco realce las cofguracoes dcadas e Fgura Falete toque [Def] Bao esta cofguracó obtedrá e patalla los resultados ostrados e este Cóo? Fgura Solucó a la stuacó probleátca a): Observe que cada uo de los suados e la sua puede geerarse por edo de la 7

3 expresó E(), dado a la varable cada uo de los valores,,,,, De odo que 7 Para el cálculo de esta sua, tega presete la staxs dcada del coado La expresó es varable es, el líte feror es y el líte superor es Luego la staxs dcada es: (,,, ) Utlzareos preraete el eú [Accó] para calcular esta sua, la () Opra la tecla para actvar el teclado vrtual y toque la legüeta para acceder al teclado de platllas D (7) Toque [Accó] [Cálculo ] [ ] (8) Toque Ubque el cursor e el deoador de la expresó y toque (9) Coloque el cursor edataete al lado de la expresó y toque Se obtee 7 (Fgura ) 7 0 Fgura Solucó a la stuacó probleátca b): De aera aáloga, la sua e el cso b) puede escrbrse e la otacó sga e la fora: 8 π π π π π 7π π π π Observe que la varable e la expresó puede ser cualquer letra, e este caso heos epleado la varable E téros de la staxs del coado teeos: ( π,,, 8) (0) Toque [Accó] [Cálculo ] [] () Toque () Ubque el cursor e el deoador de la expresó y toque () Ubque el cursor edataete al lado de la expresó y toque π π π π π 7π Se obtee π π 9π 8 8 π π π Observe que, por la prera propedad,, dado que es ua costate, esto es, o depede la varable Para coprobar esto, sga las sguetes struccoes: Fgura () Toque y edte la expresó π () Coloque el cursor al lado de la expresó y toque [Accó] [Cálculo ] [ ] () Segudaete, toque Fgura

4 8 8 π π Se obtee que 9π Cóo calcular suas co la otacó usado otros eús o odos e la ClassPad? El Teclado Vrtual D dspoe de ua platlla que perte edtar e fora drecta la sua E() La platlla está dseñada de aera que se puede edtar la sua E() coo e u edtor de ecuacoes 0 Calcule cada ua de las sguetes suas: a) l( ), b) x e, c) x Observacó: Habtualete la sua E() se escrbe e la fora E() No es ecesaro dcar la varable e el líte superor Esta es la fora e que se edta la sua al usar la platlla Solucó a la stuacó probleátca a): (7) Toque para regresar el teclado D a la odaldad de platllas (8) Toque el botó y luego toque la platlla cetral (9) Toque y e el prer recuadro feror del síbolo toque Coloque el cursor e el sguete recuadro y toque (0) Ubque el cursor e el recuadro superor y toque () Ubque el cursor e el recuadro al lado del síbolo y toque la legüeta y segudaete toque Se obtee ua expresó l() l() l() l() Esta expresó puede splfcarse del sguete odo: () Toque [Accó] [Trasforacó ] [Splfy] () Toque Se obtee el valor de la sua splfcado: l() l(0) Para obteer este valor e fora decal, sga la sguete struccó: () Seleccoe co el lápz táctl la expresó l(0) que se ecuetra e la líea de salda (ver Fgura 8) () E la barra de herraetas toque el botó Obtedrá el valor decal de la sua: l(),78797 Fgura Fgura 7 Fgura 8

5 El Teclado Vrtual th dspoe del botó para edtar drectaete la staxs del coado Solucó a la stuacó probleátca b): () Ubque el cursor e la líea de etrada (7) E el teclado vrtual th, toque para regresar este teclado a la odaldad de fucoes (8) Toque para vsualzar los botoes de cálculo (9) Toque el botó Observará que esto actva el coado (0) Toque () Toque [Accó] [Trasforacó ] [Splfy] [as] [Eec] 0 Se obtee x e ( e)( e )( e )e x () Para obteer el valor decal de esta expresó, seleccóela e la líea de salda y toque 0 Se obtee x e ( e)( e )( e )e 8, x Fgura 9 Tabé puede utlzarse el eú [Iteractvo] para calcular E() Se edta e la líea de etrada la expresó E(), luego se seleccoa ésta Al actvar el coado desde el eú [Iteractvo], aparece u cuadro de dálogo que solcta la varable, el líte feror y el líte superor Falete, al aceptar se obtee el valor de la sua Solucó a la stuacó probleátca c): () Ubque el cursor e la líea de etrada () Toque y toque edte la fraccó Desplace el cursor presoado la tecla elíptca dos veces [ ] [ ] () Toque Desplace el cursor presoado [ ] Toque y edte uevaete la fraccó () Desplace el cursor presoado [ ] [ ] [ ] Toque y edte la fraccó Seleccoe toda la expresó que se ecuetra e este oeto e la líea de etrada y toque [Iteractvo] [Cálculo ] [ ] (7) Toque y e el recuadro rotulado Varable: toque Iserte el cursor e el recuadro rotulado Iferor: y toque Iserte el cursor e el recuadro rotulado Superor: y toque Falete toque [Acep] El resultado obtedo puede splfcarse de la sguete aera: Fgura 0

6 (8) Toque [Accó] [Trasforacó ] [cobe] [as] [Eec] Se obtee etoces, Fgura Cóo calcular suas dobles y trples? La odaldad de platllas que ofrece el Teclado Vrtual D perte, de aera efcete, edtar suas dobles y trples, esto es, suas de la fora y q p ) (, E q p S r,) E(, Calcule la sua de los productos dcados que se ecuetra e la atrz Solucó a la stuacó probleátca: La sua de estos productos puede escrbrse e la fora Esta doble sua se desarrolla calculado prevaete, para cada fla ( ), la sua de sus cuatro eleetos Ua vez calculados los valores de estas cco suas, se procede a suarlas:,,,, (9) Borre la patalla tocado [Edt] [Borrar todo] [Acep] (0) Actve el teclado D de platllas () Toque Obtedrá ua expresó adada que le pertrá edtar la doble sua () Edte los lítes ferores y superores y la expresó de la doble sua () Toque Obtedrá coo podrá verfcar co lápz y papel 0 Fgura

7 0 8 Calcule la sua trple ( ) 0 8 Cuál es el valor ecotrado de ( )? Cóo calcular suas eésas co la ClassPad? La sua calculada e el cso c), esto es, que su desarrollo es: 7 es u eeplo de ua sua eésa Observe L Otros eeplos so: a) 9 L b) L ( ) ( ) c) a (a r) (a r) (a r) L(a ( )r) (a ( )r) d) a ar ar L ar ar Toeos el eeplo del cso b) y observeos alguos detalles: El últo téro es llaado el téro geeral eéso Este téro tee varas fucoes: ( ) Idca el patró de foracó de los deás téros de la sua, esto es, da orge a la expresó E() de la sua ( ) ( ) Observe los deás eeplos ( ) Idca que la varable elegda (e uestro caso ) es u cotador esto sgfca que, ua vez coocda la expresó E(), la varable toa los valores,,, L, Icádose e el valor (líte ( ) feror) y culado e el últo valor (líte superor) De aera que la sua se abreva escrbedo E (), obteédose la detdad b) ( ) La ClassPad perte ecotrar el valor de la sua e fucó de e alguos casos, partcularete, cuado los téros e la sua so los téros de ua: Progresó geoétrca (casos a) y d)) Progresó artétca (caso c)) Sua telescópca (caso b))

8 7 Utlce la odaldad de platllas del teclado vrtual d para verfcar el valor de cada ua de las sguetes suas eésas: a) ( )( ) 9 L b) L ( ) (a r r) c) a (a r) (a r) (a r) L (a ( )r) a( r ) d) a ar ar ar L para r r A odo de eeplo verfcareos aquí la sua del cso a): () Borre la patalla tocado [Edt] [Borrar todo] [Acep] () Actve el teclado D de platllas () Toque (7) Toque y edte la sua Obtedrá ua expresó (8) C o el lápz táctl seleccoe toda la expresó e la líea de salda y toque el botó para coparla e el portapapeles (Fgura ) (9) Ubque el cursor e la líea de etrada y toque el botó para pegar la expresó (0) Seleccoe úcaete el uerador de la expresó e la líea de etrada () Toque [Iteractvo] [Trasforacó ] [factor] Obtedrá ua expresó ( )( ) 9 L Fgura Fgura Cóo calcular suas de Rea co la ClassPad? La sua es tabé ua sua de Rea Estas suas aproxa tegrales defdas b Dada la tegral f (x)dx, la sa puede aproxarse por edo de la sua a f ( ξ ) x Cálculo de ua sua eésa de Rea para ua tegral defda: ) Costruya la partcó regular de [a, b] e subtervalos Esto es, ) Ela e cada subtervalo I [ x,x ] u úero ξ y calcule f( ξ ) De odo que ( b a) S f( ξ ) x f( ξ ) b a x x x para,, 8

9 (b a) Dado que x a, para 0,,, ; se tee e partcular, (b a) (b a) S f a, sedo ξ el extreo zquerdo de I 0 (b a) (b a) S f a, sedo ξ el extreo derecho de I Cálculo de ua tegral defda coo líte de ua sua eésa de Rea: b ) Splfque y escrba S e fucó de y toe el líte lí S f(t)dt a 8 Para la tegral ( x x )dx calcule: a) Su valor b) La sua eésa de Rea co extreos derechos c) El valor de la sua Rea ateror para 0 d) El valor de la tegral coo líte de la sua eésa de Rea Solucó a la stuacó probleátca 8a): Para proceder efceteete e este problea, covee defr la fucó coo ua fucó de usuaro () Borre la patalla tocado [Edt] [Borrar todo] [Acep] () Actve el teclado vrtual y toque la legüeta Esto da acceso al catálogo de fucoes y coados A la derecha aparece el recuadro de eleccó [Fora] () E el recuadro [Fora] toque y toque [C o] () E la últa fla de letras toque Observe que esto seleccoa e la lsta los coados co letra cal D () Toque e el lstado el coado [Defe] y toque (7) Toque la legüeta para actvar el teclado alfabétco (8) Utlce el teclado alfabétco y las teclas de la calculadora y escrba segudaete la expresó f(x)x^x (9) Toque (observe la Fgura ) (0) Toque la legüeta y la platlla Edte e la tegral los lítes de tegracó y () Actve el teclado alfabétco Ubque el cursor e la caslla del tegrado toque () Falete toque E la caslla del dferec al toque Obtedrá (x x )dx 8 (Fgura ) Fgura Fgura Solucó a la stuacó probleátca b): 9

10 La sua eésa de Rea co extreos derechos, para esta fucó, es Aquí a y b De odo que para,,, L, x S f () Actve el teclado D de platllas () Toque y luego la legüeta y edte la fraccó () Toque [ ], luego toque y edte la sua f alterado etre l os teclad os D y abc () Toque (7) Toque [Accó] [Trasforacó ] [cobe] [as] [Eec] (8) ( 8 9) Obtedrá S Fgura 7 Solucó a la stuacó probleátca c): Para calcular la sua de Rea S 0 podeos susttur e la sua parcal eésa el valor 0 (9) Seleccoe la expresó que se ecuetra e la líea de salda Toque y ubque el cursor e la líea de etrada Toque para pegar la expresó (70) Toque la legüeta para actvar el teclado ateátco Toque el botó y luego toque el botó que actva el coado wth (7) Toque y edte co este teclado y el de la calculadora 0 (7) Toque Se obtee 97 S 00 (7) Seleccoe la frac có e la líea de salda y toque Se obtee (x x )dx Fgura 8 Solucó a la stuacó probleátca d): Para calcular la tegral coo líte de ua sua de Rea eésa calculaos lí S (7) Ubque el cursor e la líea de etrada (7) E el teclado D de platllas toque, luego toque y e el prer recuadro feror del síbolo de líte toque (7) Ubque el cursor e la seguda caslla feror y toque (77) Ubque el cursor e el recuadro superor y toque Observe que se obtee el valor de la tegral Fgura 9 0

11 9 PROBLEMAS Y EJERCICIOS: Ecuetre el valor de cada ua de las sguetes seres uércas: a) b) c) ( )( ) e d) L 8 Calcule ua sua eésa de Rea para ca da ua de las sguetes tegrales y luego toe el líte cuado Verfque el resultado obtedo por tegracó a) (x ) dx b) c) π sex dx 0 e x dx 0 Verfque cada ua de las sguetes gualdades: a) L ( ) ( ) b) 7 L ( ) c) L ( ) ( ) d) L ( ) e) ( ) ( ) ( ) L ( ) f) L ( )( ) ( ) ( )( ) Ecuetre el valor de la sua fta L Se dea caer ua pelota de goa desde ua altura de 0 S rebota aproxadaete la tad de la dstaca e cada caída ftas veces, calcule aproxadaete la dstaca total que recorre la pelota ates de deteerse U cultvo de bacteras se creeta 0 % cada hora S el cultvo orgal teía 0000 bacteras, ecuetre ua fórula para deterar el úero de bacteras que hay después de t horas Cuátas bacteras habrá e el cultvo al cabo de 0 horas? 7 U cclsta va cuesta abao e su bccleta y recorre etros e el prer segudo y e cada uo de los segudos sguetes recorre etros ás que e el segudo ateror S llega hasta abao e segudos, ecuetre la dstaca total que recorre 8 Ua pla de lstoes tee de ellos e la prera capa, e la seguda, e la tercera y así sucesvaete La últa capa cotee 0 lstoes Ecuetre el úero total de lstoes de la pla 9 Ecuetre el valor de cada ua de las sguetes suas: 0 8 ( )( a) ( 9) ) b) 8 7 ( ) ( )( ) e 0 S e la sua se realza el cabo de varable se obtee ( )( )( ) 8 e Verfque estas suas so guales ( )( )