LA VISIÓN DEL OJO Y EL MÁXIMO DE WIEN DEL ESPECTRO SOLAR

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1 LA VISIÓN DEL OJO Y EL MÁXIMO DE WIEN DEL ESPECTRO SOLAR Jaes M. Overduin a) Astrohysics and Cosology Grou, Deartent of Physics, Waseda University, Okubo, Shinjuku-ku, Tokyo , Jaan (A. J. Phys. 71(6), 519 (2003), Traducción de G. Fuster) Se dice que los huanos veos ejor a longitudes de onda aarillo-verde orque heos evolucionado bajo un Sol cuyo esectro de cuero negro tiene su áxio en la arte verde del esectro. Sin ebargo, el esectro solar en función de la frecuencia tiene su áxio en el infrarrojo. Por qué el ojo huano no evolucionó ara tener su sensibilidad áxia en este últio rango, siendo que el ojo es un eficiente detector de fotones? El isterio uede resolverse si suoneos que la selección natural actuó de odo de axiizar la energía total detectada or la retina en un rango de longitudes de onda (cuyos líites áxio y ínio están deterinados or restricciones biológicas). De este odo se uede deostrar que nuestros ojos están en realidad erfectaente adatados ara vivir bajo un sol del tio G2. Extendiendo este razonaiento odeos hacer conjeturas razonables acerca del tio de visión que uede haber evolucionado en otros sisteas lanetarios, coo or ejelo, el recienteente descubierto sistea alrededor de la enana roja Gliese 876. I. INTRODUCCIÓN Los libros de Astronoía nos enseñan que el ojo huano tiene su áxia sensibilidad en el rango ótico (con su áxio entre 500 y 560 n) orque ha evolucionado ara toar ventaja del esectro de cuero negro del Sol. Cuando se evalúa en función de la longitud de onda, el áxio de Wien ocurre a 502 n, de odo que este arguento aarece lógico a riera vista. La realidad sin ebargo uede ser ás colicada que esto, orque el esectro solar evaluado en función de la frecuencia tiene su áxio a ν 3, Hz. Esta frecuencia corresonde a una longitud de onda de 884 n. Si el ojo es un eficiente detector cuántico de fotones: no debería haber evolucionado hacia este últio áxio, donde odría recolectar el áxio núero de fotones? Por qué entonces soos incaaces de ver en el infrarrojo? Esta regunta ha sido lanteada or recher 1, quien llega a la conclusión de que otros factores (tales coo la disonibilidad de igentos adecuados) debió haber jugado un rol ás iortante que la fora del esectro de la luz solar en la deterinación del áxio de sensibilidad del ojo huano. Aunque uchos factores colejos, tanto bioquíicos coo de otra naturaleza, deben ciertaente haber estado involucrados, e gustaría interretar los hechos de otra anera. Suongaos que alguna vez la naturaleza hubiera exerientado con foras de vida cuya visión estaba finaente sintonizada ara una sensibilidad áxia recisaente en el áxio de Wien. Tales criaturas habrían sucubido frente a coetidores caaces de funcionar en un alio rango de condiciones de iluinación, en vez de tener una agudeza visual liitada a un rango estrecho en torno a un áxio. En otras alabras, en un edio abiente colejo y siere cabiante, la selección natural habría oerado ara roducir el ejor balance osible entre un áxio de sensibilidad a una deterinada longitud de onda, y un rango de longitudes de onda,, dentro del cual la retina fuera caaz de resonder. En el caso del ojo huano este rango se extiende aroxiadaente desde 400 n a 700 n, de odo que 300 n. El ejor balance osible odrá estar influenciado or uchos factores, ero desde el unto de vista de la luz solar, odeos suoner que la cantidad relevante es la energía total a disosición del ojo. Esta cantidad no es roorcional al esectro de radiación del cuero negro (ni en función de la longitud de onda ni en función de la frecuencia), sino a su integral resecto a una u otra variable. Si suoneos que la sensibilidad es aroxiadaente siétrica, la integral debe evaluarse desde /2 hasta + /2. Siguiendo este razonaiento, encontrareos que la visión huana, evolucionando bajo la luz de una estrella G2 tal coo el Sol, debería tener un áxio de sensibilidad cerca de 560n, exactaente coo se observa en la realidad. II. LA FUNCIÓN DE CUERPO NEGRO DEL SOL La función de Planck que describe el esectro de la radiación eitida or un cuero negro a una teeratura T uede escribirse ya sea en función de la longitud de onda o de la frecuencia ν: hc / ( T) =, (1a) ex( hc / kt ) hν / c ν( T) =. (1b) ex( hν / kt) 1 Estas exresiones tienen diensiones de intensidad or unidad de rango de longitud de onda en el rier caso, y or unidad de rango de frecuencia en el segundo. La sustitución de ν=c/ en ν (T) no resulta 1

2 igual a (T). Es la integral de cualquiera de estas funciones (con resecto a o ν según corresonda), la que debe dar la isa intensidad a una teeratura dada. Para graficar las dos funciones (T) y ν (T) ara la luz solar, necesitaos estiar la teeratura de cuero negro del Sol. El Sol es generalente odelado con un cuero negro con una teeratura efectiva de 5800 K. (Esto corresonde en realidad a la teeratura de un cuero negro cuya otencia total radiada es la isa que la del Sol). Sin ebargo, el esectro de la luz solar que recibios sobre la suerficie de la Tierra es odificado or la atósfera terrestre. Los efectos ás iortantes son el scattering de Rayleigh y el continuo de absorción or el ozono; abos efectos deslazan el esectro hacia longitudes de onda ás largas. La absorción roducida or oléculas de oxígeno, vaor de agua y otros gases generan una larga serie de estrechas líneas de absorción que odifican aún ás la fora del esectro, esecialente hacia el costado de longitudes ayores que la del áxio de Wien. Para las ediciones hechas en dirección hacia el Sol, estos rocesos se cobinan ara reducir la teeratura de cuero negro efectiva a unos 5200 K, en una gran variedad de condiciones cliáticas 3. La luz diurna abiental (es decir, la luz solar edida en otras direcciones) tiene una teeratura efectiva ás alta, orque el scattering de Rayleigh disersa referenteente la luz de longitudes de onda ás cortas. (Esta es la razón de or qué el cielo se ve azul.) En resuen, el esectro roedio que recibios sobre la suerficie de la Tierra uede ser odelado aroxiadaente coo el de un cuero negro a una teeratura ubicada en algún valor entre 5200K y 5800K. Toeos esta teeratura coo T SOL =5500±300K. Las dos funciones (T SOL ) y ν (T SOL ) están graficadas en la Fig. 1. La sensibilidad esectral aroxiada del ojo huano tabién se uestra en la Fig. 1 ara coaración (línea unteada delgada). Para la visión adatada a la luz diurna, o fotóica, la curva es aroxiadaente de fora gaussiana y está centrada en 555 n. He toado /2 igual a 3σ, tres desviaciones estándar, de odo que σ 50 n. Este odelo es, or suuesto, uy silificado. Los detalles son uchos ás colicados y tabién ucho ás interesantes. La visión fotóica en los riates es debida a tres tios diferentes de células cónicas cuyas sensibilidades individuales tienen sus áxios aroxiadaente a 430 n (violeta azul), 535 n (verde), y 562 n (aarillo). 4 Esta configuración articular uede haber evolucionado ara ayudar en la detección de frutas 5 u hojas tiernas 6 en contraste con un trasfondo redoinanteente verde. La resencia de células sensibles al color rojo odría en rinciio haber eritido una ejor discriinación de los colores ero uede que no se haya roducido debido a la enor energía de los fotones a esas longitudes de onda. 7 (Este es un unto relevante al resente artículo). La visión adatada a la oscuridad o escotóica, or otra arte, está basada en células cilíndricas cuya sensibilidad es áxia a los 550 n. Estas arecen haber evolucionado desués de las células cónicas. 8 Muy ocos fotones de longitudes de onda enores que 400 n alcanzan la retina. Aquellos en el rango 315<<400 n son absorbidos or el cristalino (en donde causan cataratas), ientras que aquellos con < 315 n no logran trasasar la córnea. Restricciones siilares deben oerar ara las deás foras de vida, roorcionando la base biológica ara la cantidad. Fig.1. The Planck blackbody sectru, evaluated as a function of wavelength (solid line) and as a function of frequency ν, where =c/ν (dashed line). The sectral sensitivity of the huan eye (dotted line) is shown for coarison. Coareos a continuación la longitud de onda en el áxio de sensibilidad del ojo huano (555 n ara visión fotóica) con la ubicación de los dos áxios de radiación de cuero negro en la Fig.1. Podeos obtener aroxiaciones analíticas a estos áxios de la siguiente fora. Diferenciaos cualquiera de las dos exresiones en Ec. (1) e igualaos el resultado a cero (ara el áxio a = c / ν = ) obteniendo la ecuación: 1 hc / kt = ex( hc / kt ) (2) en donde =5 ara (T) y =3 ara ν (T). Abos lados de la Ec. (2) son equeños. Si llaaos al lado izquierdo ε, el lado derecho queda ex[- (1 - ε)] y la Ec. (2) uede escribirse coo ε ex( ) = ex( ε) (3) Si exandios ex(ε) en serie de Taylor y conservaos hasta los térinos de orden ε 2, obteneos la ecuación cuadrática 2 2 ε e / 2 ( ) ε + 1= 0 (4) Resolviendo la Ec. (4) ara ε encontraos que el áxio del esectro de cuero negro ocurre a la longitud de onda 2

3 hc = (1 ε) kt hc = 2 kt ( e / 1) 2 ( e 1) 1 + Para =5 Ec. (5) se reduce a la conocida fórula de 2,9[ K ] Wien = ; ara =3 el áxio se T 5,1[ K ] encuentra en =. Para la luz del Sol ν T recibida en la suerficie de la Tierra (T SOL =5500±300K) estas exresiones dan longitudes de onda de 550±30n y 930±30n, resectivaente, en concordancia con las ubicaciones de los áxios en la Fig. 1. Estos valores están suficienteente cerca de 555 n ara darnos algún grado de certeza de que la fora del esectro de cuero negro de la radiación solar tuvo algún efecto en la evolución de la visión huana. Si esto es así, entonces: cuál de los dos áxios del esectro de cuero negro es el relevante? (Si es que alguno lo es). III. LA INTENSIDAD Y EL OJO ÓPTIMO De hecho, ninguno de los dos áxios del esectro de cuero negro de la Fig. 1 es articularente relevante en sí iso. Lo razonable es suoner que el ojo huano ha evolucionado a través del tieo de fora de recolectar la áxia cantidad de energía osible de luz solar, sujeto a las restricciones biológicas de un rango finito (y no cero) de longitudes de onda, centrado en una longitud. En térinos de (T) esta suosición significa axiizar la cantidad: + /2 I (, ) = ( T) d (6) /2 Esta integral tiene unidades de energía or unidad de tieo y or unidad de área, es decir de intensidad. Los resultados están graficados en la Fig.2 coo una función de ara el rango 100 n < < 2200 n y ara siete diferentes valores de. [La integración de ν (T) sobre el corresondiente intervalo de frecuencias ν=c/ roduciría exactaente el iso gráfico]. Suongaos que la biología hubiera dictado que el ojo fuera sensible a un rango uy estrecho de longitudes de onda, =10n. Dicha situación estaría reresentada en la Fig. 2 or la curva de ás baja intensidad (unteada doble), que tiene su áxio a = 530 n, valor que corresonde al áxio de Wien ara la luz solar edida en la suerficie de la Tierra. (De hecho, el áxio de Wien es recisaente el líite cuando 0 del valor ótio de, tal coo heos definido esta últia cantidad). Por otra arte, si hubiéraos sido tan afortunados de (5) tener retinas con un rango de longitudes de onda tan alio coo =2000 n, la Fig. 2 nos deuestra que la selección natural nos habría llevado a centrar este alio rango en el infrarrojo lejano, cerca de =1210 n (la curva de ayor intensidad). En la realidad, la sensibilidad esectral huana está caracterizada or n. La curva que corresonde a este valor en la Fig. 2 (línea continua) tiene alcanza su áxio a 560n. No es sorrendente entonces, que la visión fotóica en los huanos alcance su áxia sensibilidad a los 555 n. Esto resonde a la interrogante acerca de cuál de los áxios de Wien es el relevante: Lo iortante no es la función del esectro solar en sí isa sino su integral, cuyo valor resulta siere el iso sin iortar si integraos usando (T) o ν (T). La conclusión uede extenderse a otras situaciones en física en la que uno tiene una función de distribución o de densidad que es esencialente de naturaleza diferencial, (coo or ejelo, que es intensidad or unidad de rango de longitud de onda; otros ejelos en astronoía son: la densidad de asa or unidad de distancia radial en un cascarón esférico en el interior de una estrella, y la sección transversal de absorción or unidad de asa en el edio interestelar). Es una regla general que las cantidades integradas (or ejelo la asa total de la estrella, y la fracción de absorbida a lo largo de la línea de visión) son físicaente ás significativas que las densidades en sí isas. Fig. 2. The intensity of solar radiation eitted between wavelengths /2 and + /2, lotted as a function of for seven values of. Los resultados que heos obtenido hasta ahora ueden ser resentados en otra fora que es ás coacta y ás sugestiva. Encontreos nuéricaente el valor áxio de l (, ) coo función de y de, y grafiqueos los resultados coo contornos en el esacio de fase definido or estas dos variables. Siguiendo este rocediiento obteneos (ara el caso de la luz solar en la suerficie de la Tierra, con T SOL 5500 K) el diagraa ostrado en la Fig. 3. La línea sólida corresonde a los valores de (, ) ara los cuales I alcanza su áxio valor, 3

4 I,áx. Los otros contornos corresonden a cobinaciones de (, ) ara los cuales I es igual a 0,95 I,áx, 0,8 I,áx, y 0,5 I,áx resectivaente. La cruz arca la ubicación en esacio de fase corresondiente al ojo huano (300 n, 555 n), y se observa de inediato que éste está en realidad adatado erfectaente ara la vida bajo una estrella del tio G2. Por suuesto que otros factores deben tabién haber jugado un rol. El esectro de la luz solar filtrado or la atósfera terrestre no es en realidad idéntico en fora al de un cuero negro. 3 La absorción y el scattering característicos de la atósfera ueden haber variado significativaente a lo largo de la evolución huana. La suervivencia requiere una agudeza visual no sólo bajo la luz del día, sino adeás bajo la luz de la Luna, de las estrellas, e incluso bajo luz artificial. Las reflectividades de las suerficies individuales en nuestro edio abiente roducen esectros uy diferentes que los de la luz solar. Y la sensibilidad de la retina deende de la longitud de onda en una fora no trivial. Consideraciones de este tio odrían ser toadas en cuenta, ultilicando (T) en el integrando de la integral (6) or funciones de que esaran las diferentes longitudes de onda de fora aroiada. Sin ebargo, no hay razones ara ensar que dichos efectos sean ás iortantes que el esectro de cuero negro del Sol en sí iso. En realidad, es adirable que hayaos odido redecir tan recisaente las verdaderas características del ojo huano sin toar en cuenta los refinaientos encionados. Coo una alicación de nuestro razonaiento, reguntéonos ahora cóo habría evolucionado la visión bajo la luz de una estrella diferente. Más de cien lanetas extrasolares han sido descubiertos recienteente, orbitando alrededor de estrellas adres con una alia variedad de roiedades. Entre estos sisteas, uno de los ás interesantes es Gliese 876, una estrella enana roja de la clase M4 ubicada a 15 años luz de la Tierra en la constelación de Acuario. Al igual que el Sol, esta estrella ertenece a la secuencia rincial, ero es ucho ás equeña, ás débil y ás fría que nuestra estrella adre. La asa, diáetro y luinosidad de Gliese 876 han sido estiadas coo 1/3, 1/5 y 1/800 de las del Sol, resectivaente. Dos gruos de investigación descubrieron indeendienteente un laneta orbitando a esta estrella en 1998, 9,10 y un segundo laneta fue detectado tres años ás tarde. 11 Abos lanetas son gigantes gaseosos, con asas de alrededor de 1,9 y 0,6 veces la asa de Júiter. Ellos orbitan su estrella adre en tan sólo 61 y 30 días, resectivaente. Aun cuando es uy oco robable que la vida tal coo la conoceos haya evolucionado en alguno de estos dos lanetas, odría ocurrir que las condiciones necesarias estuvieran resentes en algún laneta siilar a la Tierra uy cercano a la estrella, o quizás en alguna de las lunas de los gigantes gaseosos. La Figura 4 uestra una vista del sistea Gliese 876 coo odría verse desde una de tales lunas. Fig. 4. A view of Gliese 876 and its two gas-giant lanets, as seen fro a rocky oon. Figure Lynette Cook, reroduced by erission. Contact the artist at lynette@saceart.org to license and obtain-resolution color files deicting this and other extrasolar systes. To see ore of the artist s work, go to (htt://extrasolar.saceart.org). Fig.3. Contours of equal solar intensity in the hase sace defined by the araeters and. We would exect the huan eye to evolve to the solid line, where it is sensitive to the greatest aount of energy fro the Sun. This does in fact see to have occurred (location of cross). IV. CÓMO HARÍA EVOLUCIONADO LA VISIÓN AJO LA LUZ DE OTRAS ESTRELLAS? A artir de las diferencias en los colores de sus bandas V- (ótica), y de las I-, y K-, (infrarrojas), la teeratura efectiva en la suerficie de Gliese 876 ha sido estiada entre 3100 K y 3250 K. 10 Si suoneos, sólo ara alicar nuestro arguento, que los deás lanetas con vida tiene atósferas siilares a la de la Tierra, entonces la teeratura de cuero negro efectiva de la luz de Gliese 876 recibida en la suerficie de uno de tales undos odría ser aroxiadaente T G876 = 2900 K ± 300 K. Los áxios de las funciones ( T G876 ) y ν (T G876 ), calculados ediante la Ec. (5) serían = 1000 ± 120n y = 1760 ± 120n. Reelazando T G876 en vez de ν 4

5 T SOL y reitiendo el rocediiento de otiización descrito en la Sec. III, odeos construir el diagraa de la Fig. 5. Tal coo antes, este es un gráfico en el esacio de fase definido or las características visuales y. La osición del ojo huano está arcada de nuevo or una cruz. Se uede observar claraente a artir de este diagraa que los huanos estaríaos uy obreente adatados a la vida en Gliese 876. Si fuéraos transortados reentinaente a este sistea, encontraríaos que seríaos sensibles a enos del 50% de la luz estelar otencialente disonible. El ojo huano ha evolucionado ara sacar rovecho de la fora del esectro de cuero negro de la luz solar. Sin ebargo, no es la curva en sí isa la que iorta (ya sea en función de longitud de onda o de frecuencia) sino su integral, que es roorcional a la intensidad de la luz del Sol. Al toar en cuenta este hecho, junto con la observación de que la visión huana está caracterizada no sólo or una longitud de onda en el áxio del esectro, sino adeás or un rango finito de longitudes de onda, entonces odeos fácilente exlicar el or qué odeos ver ejor en el rango aarillo del esectro. Alrededor de otras estrellas, un razonaiento siilar nos lleva a conclusiones diferentes, y heos deostrado a anera de ejelo, que foras de vida en el sistea extrasolar alrededor de Gliese 876 habrían evolucionado robableente hacia un áxio de sensibilidad en el infrarrojo. VI. AGRADECIMIENTOS El autor ha sido aoyado or la Sociedad Jaonesa ara la Prooción de la Ciencia (JSPS). a) Correo electrónico: overduin@gravity.hys.waseda.j Fig. 5. The sae diagra as in Fig. 3, but now assuing a class M4 star like Gliese 876 in lace of the Sun. The huan eye would be oorly adated to life around this star (location of cross). ased on this diagra, we would exect life-fors whose range of vision was coarable to ours ( 300 n) to evolve to a eak sensitivity of 1000n. Suongaos que alguna otra fora de vida hubiera evolucionado sobre alguno de los lanetas o lunas de este sistea, y aún ás suongaos que las restricciones biológicas allá fueran coarables a las de la Tierra, de odo que la sensibilidad de la retina se hubiera desarrollado aroxiadaente en el iso rango de longitudes de onda, 300n. Trazando una vertical hacia arriba desde la ubicación de la cruz en la Fig. 5, odeos ver que la selección natural habría llevado a las criaturas a evolucionar hacia un áxio de sensibilidad en la vecindad de 1000n. Si nosotros hubiéseos evolucionado en las cercanías de Gliese 876, robableente seríaos caaces de ver en el infrarrojo. 1. K. recher, Why dont we see in the infrared?, ull. A. Astron. Soc.193,34.01(1999). 2.. W. Carroll and D.A. Ostlie, An Introduction to Modern Astrohysics (Addison-Wesley, Reading, MA,1997). 3. M. L. ierann, D. M. Katz, R. Aho, J. Diaz arriga, and J. Petron, Wien s law and the teerature of the Sun, Phys. Teach. 40, (2002). 4. G. H. Jacobs and J. F. Deegan II, Unifority of colour vision in Old World onkeys, Proc. R. Soc. London, Ser 266, (1999). 5. D. Osorio and M. Vorobyev, Colour vision as an adatation to frugivory in riates, Proc. R. Soc. London, Ser. 263, (1996). 6. N. J. Doiny and P.W. Lucas, Ecological iortance of trichroatic vision to riates, Nature (London) 410, (2001). 7. P. Gouras, Color vision, Webvision: The Organization of the Retina and Visual Syste (online textbook at (htt://webvision.ed.utah.edu/)). 8. J. K. owaker, Evolution of colour vision in vertebrates, Eye 12, (1998). 9. G. W. Marcy, R. P. utler, S. S. Vogt, D. Fischer, and J. J. Lissauer, A lanetary coanion to a nearby M4 dwarf, Gliese 876, Astrohys. J. Lett 505, L147-L149 (1998). 10. X. Delfosse, T. Forveille, M. Mayor, C. Perrier, D. Naef, and D. Queloz The closest extrasolar lanet, Astron. Astrolys. 338, L67-L70 (1998). 11. G. W. Marcy, R. P. utler, D. Fischer, S. S. Vogt J. J. Lissauer, and E. J. Rivera, A air of resonant lanets orbiting GJ 876, Astrohys. J. 556, (2001). V. CONCLUSIONES 5