Ejercicios Tema 1 Estadística descriptiva

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1 Ejercicios Tema 1 Estadística descriptiva 1. La producción y el rendimiento de avena en secano de las siete comarcas agrarias de Navarra son las siguientes: Comarca Producción (t) Rendimiento (t/ha) I ,070 II ,120 III ,057 IV ,890 V ,890 VI ,300 VII 57 1,500 Calcula el rendimiento medio en Navarra. 2. En una empresa de congelados, la demanda diaria, en lotes de producto, durante 30 días de trabajo es: a) Construir las distribuciones de frecuencias relativa y de frecuencia acumulada. b) Con la distribución acumulada, determine los tres cuartiles. c) Calcular la media aritmética, moda, desviación típica, desviación media, desviación mediana. d) Dibuje el diagrama de tallo y hojas e) Dibuje el diagrama de cajas. 3. Una fábrica de conservas fabrica un lote en menos de un minuto. El siguiente diagrama de tallos y hojas representa el tiempo de fabricación en una muestra de 25 lotes (en segundos) a) Calcula la mediana y los cuartiles 1 y 3. b) Dibuja el diagrama de cajas (Tukey). Visualmente, qué se puede decir de la asimetría?. 1

2 4. En una explotación agraria con 38 trabajadores, los salarios anuales (en miles de euros) se distribuyen de la siguiente manera: Salarios anuales (miles de euros) Trabajadores 12,5 2 12,6 4 13,0 3 13,5 7 14,0 8 14,5 6 14,8 5 18,2 2 20,5 1 a) Dibuja un diagrama de tallos y hojas. b) Calcula las frecuencias relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas. c) Calcula la media aritmética, la geométrica, la varianza, las desviaciones respecto de la media y la mediana. d) Calcula los coeficientes de asimetría y apuntamiento. Qué indican en este caso? 5. Para realizar un determinado experimento se he medido la anchura interorbital, en mm, de una muestra de 40 palomas, obteniéndose los siguientes datos: 12,2 12,9 11,8 11,9 11,6 11,1 12,3 12,2 11,8 11,8 10,7 11,5 11,3 11,2 11,6 11,9 13,3 11,2 10,5 11,1 12,1 11,9 10,4 10,7 10,8 11,0 11,9 10,2 10,9 11,6 10,8 11,6 10,4 10,7 12,0 12,4 11,7 11,8 11,3 11,1 Se pide: a) Construya la tabla de distribución de frecuencias y calcule la media aritmética, la desviación típica y el coeficiente de variación. b) Agrupe los datos en intervalos con la amplitud que se considere más adecuada, calculando de nuevo los parámetros anteriores y comparándolos con los resultados obtenidos a partir de los datos no agrupados. Dibuje el histograma. c) Calcule la mediana y la moda de los datos en intervalos. d) Obtenga el intervalo donde se encuentra el 40% central de la distribución. e) Estudie la simetría y el apuntamiento de la distribución. 2

3 6. A continuación se muestra la ganancia en peso (en gramos) de pollos alimentados con una dieta alta en proteínas: Ganancia de peso Frecuencia 12,5 2 12,7 6 13, , , ,8 4 a) Dibuje el diagrama de barras. b) Calcule la media, la mediana y la moda. c) Calcule la varianza y la desviación respecto de la mediana. d) Calcule los coeficientes de asimetría y de apuntamiento. Qué conclusión se obtiene en este caso?. 7. El número de explotaciones agrarias registradas en 20 municipios de la Comarca de Pamplona es: 2,4,2,5,5,4,6,8,6,8,3,5,3,4,5,5,8,4,5,4 a) Construye una tabla de frecuencias con estos datos y dibuja un diagrama de barras. b) Calcula la media aritmética, la desviación típica, el coeficiente de variación, la mediana y el rango intercuartílico. 8. En un puerto se controla diariamente la entrada de pesqueros según su tonelaje, resultando para un cierto día los siguientes datos: Peso (t) Nº barcos Se pide: a) El peso medio de los barcos que entran en el puerto diariamente, indicando la representatividad de dicha medida. b) El intervalo donde se encuentra el 60% central de la distribución. c) El grado de apuntamiento. d) El tonelaje más frecuente en este puerto. 9. Dos trabajadores del sector del vino ganan y mensuales brutos. El primero pertenece a la bodega A, cuya retribución media y desviación típica vienen dados por y 75, mientras que para la bodega del segundo trabajador se tiene y 95. Tanto uno como el otro ganan salarios por encima de la media, pero cuál de los dos ocupa una mejor posición relativa dentro de su empresa?. 3

4 10.En las siguientes tablas se presentan las muestras A y B. Observe que las dos muestras son iguales, excepto que el 8 en A ha sido sustituido por un 9 en B. A: B: Cuál es el efecto de cambiar el 8 por el 9 sobre cada una de las siguientes estadísticas? a) Media. b) Mediana. c) Moda. d) Rango. e) Varianza. f) Desviación típica. 11.En las siguientes tablas se presentan las muestras A y B. Observe que las dos muestras son iguales, excepto por dos valores. A: B: Cuál es el efecto de cambiar los dos 60 y el 90 sobre cada una de las siguientes estadísticas? a) Media. b) Mediana. c) Moda. d) Rango. e) Varianza. f) Desviación típica ovejas comieron una hierba venenosa. Las horas que tardaron en morir fueron: 44, 27, 24, 24, 36, 36, 44, 44, 120, 29, 36, 36 y 36. a) Calcula la media aritmética, la mediana, la moda. b) Calcula los curtiles 1 y 3 y el percentil 44. c) Calcula la desviación respecto de la mediana, la varianza. d) Calcula el coeficiente de asimetría y el coeficiente de curtosis. e) Dibuja un diagrama de cajas y bigotes (Tukey) 13.Un agricultor perteneciente a una conocida cooperativa agrícola de la Ribera posee una explotación agraria con una superficie de 14 hectáreas. Otro agricultor de una cooperativa de Tierra Estella cultiva una explotación de 9 hectáreas. Si el tamaño medio y la varianza de las explotaciones de los cooperativistas de la Ribera son 9 y 12, y el tamaño medio y la varianza de las explotaciones de los cooperativistas de Tierra Estella son 5 y 7, cuál de los dos agricultores tiene una posición relativa más importante dentro de su cooperativa?. 4

5 14.En un bosque con distintas especies de árboles se anota la longitud en metros que han crecido a lo largo del año, obteniéndose la tabla de información adjunta: Número de árboles: Crecimiento (m): Obtener: a) Tabla de frecuencias completa. Diagrama de barras para frecuencias relativas. Diagrama de frecuencias relativas acumuladas. b) Cuartiles y recorrido intercuartílico. c) Crecimiento medio y mediano. d) Momentos respecto al origen de primer, segundo y tercer orden. e) Momentos centrales de órdenes primero, segundo y tercero. 15.Los datos observados en un estudio sobre el tamaño de los huevos de cuco (biometrika, 1902) fueron los siguientes: Anchura Nº huevos 13,75-14, ,25-14, ,75-15, ,25-15, ,75-16, ,25-16, ,75-17, ,25-17, ,75-18, ,25-18, ,75-19,25 1 a) Calcula la media, la mediana, la moda, la varianza, la dispersión respecto de la mediana, el coeficiente de variación, la asimetría y el apuntamiento. b) Dibuja el histograma de frecuencias absolutas. 16.En 1879, Michelson obtuvo los siguientes valores para la velocidad de la luz en el aire (se dan los resultados restando a los datos originales, en km./seg., para facilitar su manejo): 850, 740, 900, 1.070, 930, 850, 950, 980, 980, 880, 1.000, 980, 930, 650, 760. En 1882, Newcomb, utilizando otro procedimiento obtuvo (restando de nuevo ): 883, 816, 778, 796, 682, 711, 611, 599, 1.051, 781, 578, 796, 774, 820, 772. Se pide: a) Diagrama de tallos y hojas para ambas distribuciones. b) Medias y desviaciones típicas. c) Diagrama de cajas de ambas variables en el mismo gráfico. d) Qué conclusión puede extraerse?. 5

6 17.Una determinada especie de animales mamíferos tiene en cada camada un número variable de crías. Se observa durante un año la camada de 35 familias, anotándose el número de crías obtenido por las familias en dicha camada: Nº de crías: Nº de familias: a) Calcula los cuartiles. b) Calcula el coeficiente de asimetría de Fisher. 18.El maíz es un alimento importante para los animales. De todas formas, este alimento carece de algunos aminoácidos que son esenciales. Un grupo de científicos desarrolló una nueva variedad que sí contenía niveles apreciables de dichos aminoácidos. Para comprobar la utilidad de esta nueva variedad para la alimentación animal se llevó a cabo el siguiente experimento: a un grupo de 20 pollos se 1 día de les suministró un pienso que contenía harina de maíz de la nueva variedad. A otro grupo de 20 pollos (grupo de control) se le alimentó con un pienso que sólo se diferenciaba del anterior en que no contenía harina de la variedad mejorada de maíz. Los resultados que se obtuvieron sobre las ganancias de peso de los pollos (en gramos) al cabo de 21 días de alimentación fueron los siguientes: Variedad normal: Variedad mejorada: a) Calcula la media, mediana y desviación típica para ambas variedades. b) Dibuja los dos diagramas de cajas en un mismo gráfico. 19.En la siguiente tabla se recogen las alturas aproximadas, en cm., de 40 arbustos plantados al mismo tiempo a) Agrupa los datos en 5 clases de anchura 40cm., comenzando a partir de 120. b) Construye la tabla de frecuencias y dibuja el histograma. c) Halla la media aritmética sobre los datos agrupados y sin agrupar. d) Halla la mediana y desviación media respecto de la mediana sobre los datos agrupados y sin agrupar. e) Dibuja un diagrama de cajas para los datos. 6

7 20.En 1778, H. Cavendish realizó una serie de 29 experimentos con objeto de medir la densidad de la tierra. Sus resultados, tomando como unidad la densidad del agua, fueron: 5,50 5,61 4,88 5,07 5,26 5,55 5,36 5,29 5,58 5,65 5,57 5,53 5,62 5,29 5,44 5,34 5,79 5,10 5,27 5,39 5,42 5,47 5,63 5,34 5,46 5,30 5,75 5,68 5,85 Realiza un análisis descriptivo de la variable densidad de la tierra. Para ello realiza un diagrama de tallos y hojas y un diagrama de cajas. Comenta los resultados. 21.Dadas las observaciones (-5,a,4,0,5), se sabe que su desviación típica es igual a tres veces su coeficiente de variación de Pearson. Se pide: a) Hallar la media de la distribución. b) Hallar el valor de a. c) Dicha distribución, es simétrica? Razona la respuesta. 22.En la siguiente tabla se expresan los salarios-hora de los 40 empleados de cierta empresa del sector agroalimentario, según sus respectivas categorías: Categoría Salarios-hora Nº de empleados A [10 30) 10 B [30 50) 12 C [50 70) 10 D [70 90) 5 E [90 110) 3 a) Halla el coeficiente de asimetría. Comenta el resultado obtenido. b) Halla el coeficiente de apuntamiento. 23.Se han medido mediante pruebas adecuadas los coeficientes intelectuales de un grupo de 20 alumnos, obteniendo los resultados agrupados en 6 intervalos de amplitud variable. Las amplitudes son: I1 = 12, I2 = 12, I3 = 4, I4 = 4, I5 = 12 e I6 = 20. Si las frecuencias relativas acumuladas correspondientes a cada uno de los intervalos son: F1 = 0.15, F2 = 0.15, F3 = 0.55, F4 = 0.8, F5 = 0.95 y F6 = 1. Calcula: a) La tabla de frecuencias sabiendo que el extremo inferior del primer intervalo es 70. b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias absolutas. Determina la moda. c) Entre qué dos percentiles está comprendido un coeficiente intelectual de 98,4?. Encuentra el valor de dichos percentiles. 7

8 24.Un agrónomo mide el contenido promedio de humedad en cierta variedad de trigo que fue sometido a un proceso de secado en una muestra de 16 toneladas. Los porcentajes de humedad fueron: a) Halla la humedad media y mediana de la muestra. Es la media un buen representante de los datos obtenidos en la muestra? Razona la respuesta. b) Calcula la desviación media respecto a la media y respecto a la mediana. c) Calcula los cuartiles. 25. Sea X una variable estadística que toma 20 valores x, x L, } y cuya distribución es simétrica. Se sabe que: 20 i= 1 ( x i 10) 2 = y x i a es mínimo cuando a = 8. i= 1 a) Halla el valor de la media y mediana. b) Calcula el coeficiente de variación de Pearson. { 1 2, x20 26.Se ha medido la longitud, en centímetros, de 28 hojas de diferentes plantas de cierta especie obteniéndose los siguientes resultados: Se quiere hacer un estudio de estos datos agrupándolos en intervalos de amplitud dos. a) Obtén la tabla de frecuencias agrupada. b) Representa el histograma y el polígono de frecuencias absolutas. c) Calcula la mediana. 27.A los agricultores de cierta región les preocupa la incidencia que puede tener sobre sus cultivos la proximidad de una central nuclear. Se han tomado 25 muestras de tierra en distintas localizaciones y se ha medido la cantidad de material radiactivo (expresada en picocuries por gramo de tierra). Los resultados, ya ordenados fueron: a) Realiza un diagrama de cajas para los datos expuestos. b) Agrupa los datos en cinco intervalos de amplitud 3 comenzando por [0, 3). Dibuja el histograma de frecuencias absolutas y halla la moda. c) A la vista de los gráficos, qué conclusiones podemos sacar? 8

9 28.La variable X representa la edad a la que comenzaron a fumar los alumnos, por supuesto fumadores, de primer curso de cierta universidad. Se tomó una muestra de alumnos y se completó una tabla de frecuencias. Sin embargo se perdieron bastantes datos de dicha tabla, quedando de la siguiente manera: x i n i N i f i F i a) Completa la tabla de frecuencias y dibuja el diagrama de frecuencias relativas acumuladas. b) Halla la edad mediana de inicio y la desviación media respecto de la mediana. 29.Un equipo de veterinarios examinó una muestra de 100 gallinas de cierta granja para determinar el predominio de un tipo particular de parásito. Al contar el número de parásitos por gallina, los veterinarios encontraron que 60 gallinas no tenían ningún parásito, 25 gallinas tenían un parásito y así sucesivamente. A continuación se da una tabla con los datos recogidos: Número de parásitos, x Número de gallinas, n a) Realiza la tabla de frecuencias relativas acumuladas y dibuja el diagrama correspondiente. b) Halla la media, mediana y desviación típica del número de parásitos en la muestra. Sin calcular el coeficiente de asimetría, estudia la simetría de la distribución de la variable X. c) Qué fracción del número de parásitos cae dentro de dos desviaciones estándar de la media?. 30.Se han exprimido 30 naranjas de cierta plantación y se ha medido la cantidad de zumo obtenido expresada en centilitros. Los resultados fueron: a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8cl. comenzando por [30, 38). Realiza la tabla de frecuencias absolutas y acumuladas. Dibuja el histograma. Halla el valor de la mediana. b) Con los valores agrupados, halla la media y la desviación típica de la cantidad de zumo. Analiza la dispersión de la cantidad de zumo. Razona la respuesta. 9

10 31.Se ha clasificado el peso de los huevos, Y, de un cierto tipo de pez en función del peso de la madre, X, obteniéndose los resultados de la tabla adjunta: X\Y [25,27) [27,29) [29,31) [31,33) [500,550) [550,600) [600,650) Calcule: a) La distribución del peso del huevo. b) La distribución del peso de la madre cuando el huevo tiene su peso comprendido entre [25,27). c) La media, la mediana y la moda del peso de los huevos. d) El nivel de representatividad de la media del peso de la madre cuando el huevo está comprendido entre [25,27). e) Estudiar si las variables son independientes. f) El grado de dependencia lineal entre estas variables. 32.Una explotación agrícola ha tenido, en los últimos años, unos gastos de producción (X) y unos ingresos (Y) que son, en millones de euros, los indicados en la tabla adjunta. X Y 1,9 5,5 2,2 7,4 2,9 9,8 3,6 11,6 3,8 11,6 4,6 12,2 5,5 11,2 a) Dibuje el diagrama de dispersión b) Ajústese esta distribución mediante una recta de regresión. c) Hállese el coeficiente de determinación. d) Comente los resultados. 33.La siguiente tabla recoge la distribución de la calificación final en estadística de un grupo de 160 alumnos de la UPNA. Calificaciones Nº alumnos a) Halla la distribución de frecuencias relativas y acumuladas. b) Representa el diagrama de barras y el polígono de frecuencias. c) Cuál es la moda de la distribución?. 10

11 34.Con la finalidad de buscar mayor rendimiento de la tierra, un agricultor, preocupado por su cosecha de naranjas, está interesado en estudiar el grado de relación entre la cantidad de fruta recogida y la cantidad de lluvia caída en los últimos 10 años. Para ello parte de la siguiente información: Naranjas (t) Lluvia (m 3 ) 10,01 1,30 8,20 0,90 7,23 8,87 11,45 1,75 8,50 0,96 9,57 1,40 5,90 0,67 6,80 0,56 6,80 0,87 7,90 1,24 a) Analiza la relación de las variables con el coeficiente de correlación de Pearson. b) Realiza el ajuste a la nube de puntos mediante una recta. Comenta los resultados. 35.Dada la siguiente distribución bidimensional: X 0, Y 2,2 2,2 2,5 2,7 2,8 3 3,3 3,4 4 4 a) Calcule las dos rectas de ajuste. b) Compruebe que dichas rectas se cortan en el centro de gravedad. c) Estime el valor de Y para X=10. d) Interprete el significado de b y b. e) Interprete el significado de 1-R A continuación se presenta una muestra aleatoria de unos pares (X,Y) de puntos de datos, correspondientes a días trabajados al mes y facturación (en miles de ) realizados en una empresa de alimentos artesanos (12,200) (30,600) (15,270) (24,500) (14,210) a) Calcula la covarianza. b) Calcula el coeficiente de correlación. c) Estima la ecuación de regresión. 11

12 37.Una empresa de alimentos congelados ha estado estudiando la influencia de la publicidad en los beneficios totales. En este estudio se han recogido los siguientes datos sobre gastos publicitarios (en miles de euros) y las ventas totales (en miles de euros) de un período de cinco meses (10,100) (15,200) (7,80) (12,120) (14,150) El primer número son los gastos publicitarios y el segundo son las ventas totales. a) Represente gráficamente los datos. b) Demuestran estos resultados que la publicidad influye positivamente en las ventas?. c) Calcule el coeficiente de correlación. d) Calcule la recta de regresión adecuada. 38.La concentración X e Y de dos sustancias en la tierra fértil parece estar relacionada. Para estudiar esta posible relación, se miden estas cantidades en 30 parcelas, obteniéndose los siguientes resultados: Σx i = 41,2 Σy i = 63,8 Σx i y i = 118,7 Σx 2 i = 188,2 Σy 2 i = 296,4 a) Hallar la recta de regresión de Y sobre X. b) Hallar la recta de regresión de X sobre Y. c) Hallar el coeficiente de correlación lineal. d) Comprobar en qué punto se cortan ambas rectas. 39.El muestreo de áreas contiguas se utiliza en Ecología para contar el número de especies distintas de plantas por área. El recuento se realiza de manera que cada siguiente área contigua tiene el doble de superficie, empezando por un área de 1 m 2, según el siguiente esquema: El modelo que relaciona Y = número de especies con X = superficie en m 2 es Y = a log X + b (a = índice de diversidad, b = número de especies por unidad de área). Ajustar dicho modelo a los datos: X: m 2 Y: especies distintas 12

13 40.La tabla siguiente representa tres conjuntos de datos preparados por el estadístico Frank Anscombe para ilustrar los peligros de hacer cálculos sin antes representar los datos. Los tres conjuntos de datos tienen la misma correlación y la misma recta de regresión. Conjunto de datos A: x y 8,04 6,95 7,58 8,81 8,33 9,96 7,24 4,26 10,84 4,82 5,68 Conjunto de datos B: x y 9,14 8,14 8,74 8,77 9,26 8,10 6,13 3,10 9,13 7,26 4,74 Conjunto de datos C: x y 6,58 5,76 7,71 8,84 8,47 7,04 5,25 5,56 7,91 6,89 12,50 a) Calcula la correlación y la recta de regresión para los tres conjuntos de datos y comprueba que son iguales. b) Dibuja un diagrama de dispersión para cada uno de los conjuntos de datos con las rectas de regresión correspondientes. c) En cuál de los tres casos utilizarías la recta de regresión para predecir y dado x=14?. Justifica tu respuesta en cada caso. 41.Se efectuó un experimento para determinar cómo afecta la aplicación de cierto abono fosfatado a la concentración de fósforo en determinada planta. Para ello se tomaron seis plantas colocadas en seis macetas con la misma cantidad y tipo de tierra a las que se les aplicó cierta cantidad de abono, expresada en gramos. Un mes más tarde se midió la concentración de fósforo, expresado en micromoles (µm), de cada planta. Los resultados obtenidos se reflejan en la siguiente tabla: Cantidad de abono (g) Concentración de fósforo (µm) a) Encuentra la recta de mínimos cuadrados que relacione la concentración de fósforo en la planta en función de la cantidad de abono aplicada. Representa gráficamente los datos y la recta de regresión obtenida. b) Los datos proporcionan evidencia suficiente para indicar que la cantidad de fósforo presenta en la planta se relaciona linealmente con la cantidad de abono aplicado a la tierra?. c) Estima puntualmente la cantidad de fósforo en la planta si se aplican al suelo 2.8 gramos de abono. 13

14 42.Los datos de la tabla siguiente corresponden a la superficie de 16 fincas rústicas, x, y a sus valores de tasación, y. y x a) Calcula los coeficientes de la regresión lineal simple que permite predecir los valores de la tasación en función de la superficie. Interpreta su significado. b) Calcula el coeficiente de determinación. Se ha realizado un buen ajuste?. Interpreta su significado. c) Estima el valor de tasación de dos fincas, una de superficie 11 y otra de 25. Serán buenas estas estimaciones? Cuál crees que será mejor? Por qué?. 43.Partiendo de diez observaciones del par (X,Y), y con el fin de estudiar la asociación entre dichas variables, se hallaron la recta de regresión de Y sobre X y su coeficiente de correlación lineal, resultando Y = 25,5 + 3,6 X r=0,9 respectivamente. También se sabe que la varianza de X es 16. Calcula: a) La covarianza entre ambas variables. b) La varianza de Y. c) La varianza residual. 44.Se han medido los porcentajes de sal, en gramos por kg de tierra, que contienen diez parcelas antes y después de ser abonadas. Los resultados fueron Antes Después a) Se desea pronosticar el porcentaje de sal que contendría una parcela después de ser abonada, en condiciones similares a las anteriores, mediante el uso de una recta de regresión, sabiendo que antes de ser abonada tenía 1.8 gramos de sal por kg de tierra. b) Halla la varianza residual. 45.Se han registrado diez observaciones del par de variables (X,Y) bajo unas condiciones determinadas. A continuación se muestran algunos resúmenes de datos recogidos: x = 2, y = 5, ( x ) = 20, ( y ) = 80, ( x x) ( y y) = 30 i i x i i y a) Calcule y dibuje la recta de regresión de Y sobre X. b) Obtenga e interprete el coeficiente de correlación lineal. c) Obtenga e interprete la varianza residual. i i i 14

15 46.Algunas variedades de nematodos, lombrices de tierra tan pequeñas que a veces son invisibles, se alimentan de las raíces del césped y de otras plantas. Esta plaga que es particularmente molesta en climas cálidos, se puede tratar mediante la aplicación de nematicidas. Los datos recogidos son el porcentaje de muerte de nematodos con diferentes dosis de aplicación (dadas en Kg/ha.) son los siguientes: Tasa de aplicación, x Porcentaje de muerte, y a) Calcula el coeficiente de correlación r entre las tasas de aplicación del nematicida x y el porcentaje de muerte y. b) Calcula el coeficiente de determinación R 2 e interprétalo. c) Ajusta una recta de mínimos cuadrados a los datos. d) Estimar el porcentaje de muerte para una aplicación de 3 5 Kg/ha. 15