RESUMEN DE LO MÁS DESTACADO DEL TEMARIO DE MATEMÁTICAS PARA 1º DE LA ESO

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1 RESUMEN DE LO MÁS DESTACADO DEL TEMARIO DE MATEMÁTICAS PARA 1º DE LA ESO TEMA 1.- NÚMEROS NATURALES. 1.- Sumas, restas, multiplicaciones y divisiones..- Jerarquía de las operaciones con números naturales:. 1º Efectuar las operaciones con paréntesis. º Multiplicaciones y divisiones. 3º Sumas y restas. 4º Empezar de izquierda a derecha (-1) + = 7+ +3(4) + = = = Potencias Propiedades de las potencias: 1. Potencia de un producto: es el producto de cada uno de los factores elevado cada uno a esa potencia. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = 3 3 = 3 3 = 3 3 = 3 propiedad propiedad conmutativa asociativa. La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la potencia del divisor ( ) 6 : = 6 : 3. Producto de potencias de la misma base. Es igual a otra potencia con la misma base y como exponente la suma de todos los exponentes = 3 = El cociente de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base y se restan los exponentes. Realizado por Miguel Ángel Valverde 1

2 : = =. Potencia e una potencia. Es igual a otra potencia de la misma base y se multiplican los exponentes ( 3 ) = ( 7 ) = 7 6. Otros casos. La potencia de un número elevado a 1 es ese mismo número. 6 1 = 6 La potencia de un número elevado a 0 es igual a = 1 Las potencias de base 10 son iguales a 1 seguidas de tantos ceros como indica el exponente = 1000 = = TEMA. DIVISIBILIDAD 1.- Conceptos básicos -Múltiplos de un número son los números que se obtienen multiplicando ese número por un número natural. - Un número es múltiplo de otro si al efectuar la división de ese número la división es exacta = 4 4 = 1 (no tienen resto ninguno) - Divisor. Un número es divisor de otro si lo divide de manera exacta. 10 = es divisor de 10 - Si un número a es múltiplo de un número b, entonces b es divisor de a. - Si un número acaba en 0 entonces es divisible por = 43 - Si un número acaba en 00, entonces es divisible por 100 Realizado por Miguel Ángel Valverde

3 = 7.- Otros criterios de divisibilidad Divisibilidad por Nºs terminados en 0 o par Divisibilidad por 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Divisibilidad por Nºs. terminados en 0 o en Divisibilidad por 10 Nºs. terminados en 10, por 100 si acaban en 00, por 1000 si acaban en 000, etc. Divisibilidad por 11 Si la diferencia entre la suma de sus cifras de lugar par y las cifras de lugar impar es 0 o múltiplo de 11 14,4, 70, 48, 4, 81, 300,, 30, 1, 10, 70, por , 400, por , , por 1000,.., 13, 616, Números primos. Son aquellos que sólo tienen como divisores a ellos mismos y a la unidad (1) 1,, 3,, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 4.- Números compuestos. Son aquellos que tienen más de dos divisores (ellos mismos, la unidad y otros) el número 8, tiene como divisores al 8, 1, y 4 Cómo se sabe si un número es primo? Se divide por todos los números primos que existen, desde el más pequeño en adelante (1,, 3,, ), hasta llegar a un cociente que sea menor que el divisor, sin que ninguna división sea exacta. En ese caso el número es primo < 11 Luego el 107 es primo Realizado por Miguel Ángel Valverde 3

4 .- Descomposición factorial de un número natural es su expresión en forma de producto de números primos = = 36 = Máximo Común Divisor (M.C.M) de varios números naturales se hace haciendo su descomposición factorial y multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente resultante de cada descomposición de cada número = 3 18 = 3 M.C.D = 3 = Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) de varios nºs. naturales se obtiene haciendo sus descomposiciones factoriales y multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente, resultante de esas descomposiciones factoriales = 3 1 = 3 M.C.M = 3 3 Realizado por Miguel Ángel Valverde 4

5 TEMA 3. FRACCIONES 1.- Conceptos básicos - Fracción: es un número que representa o indica una parte de la unidad. También se puede definir como un cociente, un división. - Denominador: partes en las que se divide la unidad. - Numerador: partes que se toman de la unidad..- Tipos de fracciones - Fracción propia : el numerador es menor que el denominador Ej: Fracción impropia: el numerador es mayor que el numerador. Ej: 4 - Fracción unidad: numerador = denominador. Ej: 3.- Fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad: 1 a = = 4 b c d Comprobación: a d = b c 1 4 = = Operaciones con fracciones a) Suma y resta de fracciones con el mismo denominador. Se suman o restan los numeradores y se mantienen el mismo denominador = = 7 b) Para sumar y restar fracciones de distinto denominador se hace: a. Se reducen todas las fracciones a común denominador. Para ello se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m) de todos los denominadores. b. Se divide ese denominador común, el m.c.m obtenido, de los antiguos denominadores y se multiplica por el antiguo numerador, y así se van obteniendo los numeradores. Realizado por Miguel Ángel Valverde

6 c. Por último nos queda una suma, o resta, de fracciones con denominadores comunes y se suman los numeradores obtenidos después de la operación b. Luego ya podemos sumar, o restar en su caso, como cuando tienen común denominador o mismo denominador Pasos 1: Obtener denominador común calculando el m.c.m 9= 3 = m.c.m = 3 = 4 Paso : Se divide el mcm por los denominadores antiguos y se multiplican por los numeradores antiguos. Así se obtienen los nuevos denominadores. Paso 3: Se suman o restan las fracciones resultantes ya con el denominador común Ej: = + = No se puede simplificar porque el 17 es nº primo c) Multiplicar fracciones: Se multiplican los numeradores y ese es el numerador resultante. Se multiplican los denominadores y ese es el denominador resultante. 4 = d) División de fracciones: Se multiplican en cruz. El numerador de la primera por el denominador de la segunda y el resultado es el numerador resultante. Y el denominador de la primera por el numerador de la segunda y el resultado es el denominador resultante = 16 1 Recuerda que: Un nº natural siempres se puede expresar como una fracción compuesta por ese número dividido de 1, ya que el 1 es el número neutro de la división. Realizado por Miguel Ángel Valverde 6

7 6 6 = 6 1 Tema 4: NÚMEROS DECIMALES Concepto: Un número decimal es aquel que tiene dos partes. Una parte entera, a la izquierda de la coma, y otra parte decimal, a la derecha de la coma. Orden de los números decimales: Se obtiene comparando la parte entera y luego los decimales, de izquierda a derecha, empezando por las décimas, centésimas, milésimas, etc. 7 < 9 < < 7.40 < 7.41 < 7.43 Clases de números decimales: - Exacto: es aquel que tiene un número limitado de cifras decimales Periódico: Es aquel que tiene un número infinito de cifras decimales que se repiten.. Puro: Si la cifra que se repite a partir de la coma es la misma Mixto: Si al aldo dela coma hay cifras que no se repiten Operaciones con números decimales:. Suma y resta: - Se colocan los números a sumar o restar alineando las comas en la misma columna - Se completan las cifras decimales con ceros - Se hace la suma o resta igual que con números naturales poniendo la coma en su sitio. sumar 4,3, 8,8 y 9,33 4,30 Realizado por Miguel Ángel Valverde 7

8 8,800 9,33 +,473. Multiplicación: - se colocan los factores un o debajo del otro. - Se hace la multiplicación como si no hubiese comas. - Se ponen tantos decimales a la derecha de la coma en el resultado como números suman a la derecha de la coma cada uno de los factores. multiplicar 3,7 por,4 coma 3,7 x 3,4 Entre los dos factores 4 cifras a la derecha de la , Cuatro cifras a la derecha de la coma. División de números decimales: - Se divide la parte entera entre el número natural 91, Después se pone la coma en el cociente y se siguen dividiendo la cifras decimales 91, 6 3 1, 1 0. Dividir por 10, 100, 1000, Se va desplazando la coma del número a dividir a la izquierda tantos lugares como ceros tiene el divisor., 10 = 0,, 100 = 0.0, 1000 = 0.00 Realizado por Miguel Ángel Valverde 8

9 . Para quitar las comas del dividendo. Se multiplica el divisor y el dividendo por el 1 seguido de tantos ceros como números a la derecha de la coma tiene el dividendo. Y así, la división no varía, ya que tanto el dividendo como el divisor se han multiplicado por el mismo número. Ejemplos: 1) 43,1 39, 4 Se multiplica por 100 Se multiplica por Y ya se hace una división sin decimales ) Por 100 Por TEMA. NÚMEROS ENTEROS 1. Para comprender los números enteros debemos aceptar que existen números con signo + o -, es decir si son > (mayores) ó < (menores) que 0.. Recta numérica: Representa y ordena los números enteros: - Positivos = naturales - Negativos Valor absoluto de un número. Es el número de unidades que hay desde ese número hasta cero en la recta numérica y se representa como / a/. Los números enteros que tienen el mismo valor absoluto se llaman opuestos. /-3/ = /+3/ = 3 Operaciones con números enteros a) Suma de números del mismo signo. Se suman los valores absolutos y se le pone el signo que llevan. (-3) + (-8) = - 11 (+3) + (+) = +8 Realizado por Miguel Ángel Valverde 9

10 b) Suma de números de distinto signo. Se restan los valores absolutos y se le pone el signo del mayor. (-3) + (+9) = 9 3 = +6 (-1) + (+) = -10 c) Resta de números enteros. Es lo mismo que sumar el opuesto de ese número (-9) (+3) = (-9) + (-3) = -1 (+) (-3) = (+) + (+3) = +8 d) Multiplicar y dividir. Se multiplican o dividen sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Regla de los signos + + = = + (+3) (-) = = = - (+1) (-3) = = = - (-3) ( -3) = = = + (+) (+) = +1 e) Potencia de números enteros. La potencia de un número entero positivo es un número positivo. La potencia de un número entero negativo: - Si el exponente es par número positivo -() = (-) (-) = + (aplicando la regla de los signos) - Si el exponente es impar nº entero negativo -() 3 = -() (-) (-) = -1 Regla de los signos = - Ojo!, ten en cuenta que: (-) = (-) (-) = + pero - () = - ( ) = - () = - Realizado por Miguel Ángel Valverde 10

11 TEMA 6. LENGUAJE ALGEBRAICO 1.- Concepto: Es una combinación de números y letras relacionadas mediante operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación o división). Los sumandos que componen la expresión algebraica se llaman términos. algebraica 4 + X = 10 luego X= 6 Términos resultado o valor numérico de la expresión El valor numérico de la expresión algebraica es el resultado que se obtiene cuando se sustituyen la letras por los números..- debes saber y conocer lo que es:. Monomio: expresión algebraica formada por la multiplicación de números, letras o números y letras. 4xy monomio. Coeficiente: es la parte numérica de un monomio 4xy 4 es el coeficiente. Parte literal del monomio. Es la parte expresada en letras 4xy xy es la parte literal. Grado del monomio: Es la suma de los exponentes de la parte literal 4xy 1+1 = es la suma de los exponentes por tanto 4 el grado 4x y 4 + = 9. Monomios semejantes: Son semejantes cuando tienen la misma parte literal, con el mismo grado. xy es semejante al monomio 8xy Igual parte literal (xy) Realizado por Miguel Ángel Valverde 11

12 3.- Operaciones con monomios. a) Sumas y restas. Sólo se pueden hacer estas operaciones si tienen la misma parte literal, es decir si son semejantes. 4xy + xy = 6xy Misma parte literal, se suman los coeficientes 3x y + xy No se pueden sumar porque no son monomios semejantes b) Multiplicación y división por un número: Se multiplica o divide el coeficiente (número) del monomio y se deja igual la parte literal. (8xy) = 4xy 8 = 4 (10xy) = 0xy 10 = Ecuaciones: Igualdad de expresiones algebraicas en la que algún término tiene parte literal (letras) X + 1 = 3 luego x = + 1 = 3 A cada parte de la ecuación, a ambos lados de la igualdad, se le llama miembro. X + 1 = 3 Miembro 1 miembro A las letras de la ecuación las llamamos incógnitas. X + 1 = 3 Incógnita.- Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo resultado. Realizado por Miguel Ángel Valverde 1

13 Si a ambos lados de una ecuación sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos por un número, la igualdad se mantendrá y formará distintas ecuaciones con el mismo resultado (ecuaciones equivalentes): X = X + = 4 multiplicamos por X = X + 4 = 8 restamos 3 X = X + 1 = sumamos X = X + 6 = 10 Como vemos la solución de X es siempre 6.- Resolución de ecuaciones. Métodos: a) Reducir a ecuaciones equivalentes 4x + 4 = 1 x + 1 = 3 x = dividimos de 4 a ambos lados de la igualdad restamos 1 a ambos lados de la igualdad b) Aplicamos la regla de los signos x + 3 = 18 Pasamos el 3 al otro lado cambiando el signo + = - x = 1-3 El pasa dividiendo - = + = X = = = 3 es la solución = TEMA 7. UNIDADES DE MEDIDA 1.- Concepto de magnitud. Es todo aquello que se puede medir..- Tipos de unidades de medida: a) Longitud metro : 10 :100 : 1000 desde los metros mm cm dm m dam hm km desde los metros Realizado por Miguel Ángel Valverde 13

14 b) Superficie metros cuadrados m² La escala es igual que en las medidas de longitud pero son dos ceros (00) en cada escalón. Tanto para la multiplicación como para la división. 3 c) Volumen metros cúbicos (m ) La escala es igual que en las medidas de longitud pero son tres ceros (000) en cada escalón. Tanto para la multiplicación como para la división. d) Masa. La unidad de medida es el gramo (gr). El paso en la escala es igual que en la escala de medida de la longitud (un cero en cada paso o escalón). e) Capacidad. La unidad de medida es el litro (l). El paso en la escala es igual que en la escala de medida de la longitud (un cero en cada paso o escalón). 3.- Relación entre unidades de medidas de capacidad y volumen 1000 dm 3 3 = 1 m = 1000 litros dm = 1 cm = litro = 1 ml (mililitro) TEMA 8. PROPORCIONALIDAD 1.- Conceptos básicos a) razón: es el cociente entre dos números 4 = 3 1 b) Proporción. Es la igualdad entre dos razones 00 0 = 100 = 4 Dos razones son proporcionales si se cumple la regla de: (vamos a hacerlo con letras) a b = c cuando a d = b c d Realizado por Miguel Ángel Valverde 14

15 = 00 = = Regla de tres directa Se emplea cuando tratamos de comparar magnitudes que se mueven en la misma dirección, es decir, que al crecer una crece la otra, o al disminuir una disminuye la otra, o lo que se conoce como, magnitudes directamente proporcionales. Si tardo 8 días en recorrer 31 km, cuántos días tardaré en recorrer 90 km? Tenemos dos magnitudes: Días Kilómetros Al aumentar los kilómetros aumentarán los días en los que haremos el recorrido. Luego son magnitudes directamente proporcionales. 31 km 8 días 90 km x días Para resolver la incógnita (x) planteamos una ecuación multiplicando en cruz: 31 x = x = =, días 3.- Regla de tres indirecta o inversa. Cuando las magnitudes son inversamente proporcionales. Es decir, al aumentar una disminuye la otra y viceversa. Un pastel de 16 piezas o trozos se divide entre 8 invitados y tocan a porciones cada uno. A cuántas porciones tocarían si estuviesen 0 invitados? Lógicamente, a mas invitados menos porciones de pastel, por eso son magnitudes inversamente proporcionales. Al aumentar una magnitud (invitados) disminuye la otra (trozos de pastel) 16 invitados porciones 0 invitados x porciones En este caso la ecuación se plantea multiplicando en línea, y no en cruz o aspa como en la anterior: Realizado por Miguel Ángel Valverde 1

16 16 = 0 x 16 x = = piezas o trozos de pastel 4.- Porcentajes. Se resuelven como si fuese una regla de tres directa, es decir mide magnitudes directamente proporcionales. Rudy Fernández lleva en el primer tiempo 7 de 10 triples acertados. Qué porcentaje lleva de acierto? Dos magnitudes: lanzamientos y porcentajes 10 lanzamientos 100 % acierto 7 lanzamientos acertados x % de acierto 10 x = X = = = 70 % de acierto TEMA 9. GEOMETRÍA DEL PLANO 1.- Perímetro: es la suma de los lados de un polígono. Se mide en unidades lineales de longitud (m, cm, dm, mm, dam, Hm, Km).- Áreas de polígonos. Es la medida de la superficie de un polígono. De mide en unidades de superficie, es decir, unidades al cuadrado (m², cm² dm², mm², Km², etc). Áreas básicas:.cuadrado : Área = l l = l. Triángulo: Área = base altura Es la línea que va desde el vértice del ángulo más alto hasta la base, formando con esta un ángulo recto (90º). Rectángulo: Área = base altura Realizado por Miguel Ángel Valverde 16

17 . Rombo: Área= Diagonalma yor diagonalmenor. Romboide: Área = base altura BaseMayor + BaseMenor. Trapecio: Área = altura. Polígono regular: Área = perímetro apotema Hexágono. Círculo: Area = π radio π = Perímetro = π radio 3.- Teorema de Pitágoras. Es la propiedad de los triángulos rectángulos ( son aquellos que tienen un ángulo recto, es decir de 90º), y dice así: La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa Cateto 1= a 90º Hipotenusa = h Es el lado que está frente al ángulo de 90º Cateto = b Teorema de Pitágoras h² = a² + b² Realizado por Miguel Ángel Valverde 17

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