TALLER UNIFICADO DE ELECTROMAGNETISMO SEGUNDO CORTE

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1 TALLER UNIFICADO DE ELECTROMAGNETISMO SEGUNDO CORTE Departamento De F ısica y Geolog ıa, Universidad De Pamplona 1. Dos cargas puntuales de 2C y 3C est an separadas por una distancia 1m. Calcular el campo y el potencial el ectrico en: a) El punto medio entre la distancia que las une. b) En un punto situado a 4m de la primera pero fuera de la recta que las une. c) En un punto situado a 1m de cada carga. d) En que punto el campo el ectrico es cero? y que se puede decir del potencial en este punto? V y el potencial 2. A cierta distancia de una part ıcula con carga, la magnitud del campo el ectrico es de 500 m el ectrico es de 3kV. a) Cu al es la distancia a la part ıcula? b) Cu al es la magnitud de la carga? 3. La figura (1) muestra la distribuci on de cargas el ectricas sobre una nube de tormenta, formada por una carga puntual de 40C a una altura de 10km, otra carga de 40C a una altura de 5km y una de 10C a 2km. Calcule el potencial el ectrico en un punto que esta a una altura de 8km y ha una distancia horizontal de 3km respecto a la primera carga. Figura 1. Cargas en una nube. 4. Dadas dos cargas de 2µC, como se muestra en la figura 2, y una carga de prueba positiva q = 1, C colocada en el origen, a) cu al es la fuerza neta ejercida por las dos cargas de 2µC sobre la carga de prueba q?; b) cu al es el campo el ectrico en el origen debido a las dos cargas de 2µC?, y c) cu al es el potencial el ectrico en el origen debido a las dos cargas de 2µC? Figura 2. Sistema de dos cargas. 5. Las tres part ıculas con carga de la figura 3 est an en los v ertices de un tri angulo is osceles. Calcule el potencial el ectrico en el punto medio de la base, si q = 7µC. 6. La figura (4) muestra cuatro cargas positivas q en los vertices de un tetraedro. Los lados del tetraedro son d. Calcular la energ ıa necesaria para mantener esta configuraci on. Repita el calculo si las cargas est an en las esquinas de un cuadrado.

2 Figura 3. Sistema de tres cargas. Figura 4. Cargas en las esquinas de un tetraedro regular. 7. En los vertices de un cubo se alternan cargas negativas y positivas Q como se muestra en la figura (5), los lados del cubo son d. Calcule la energía de este arreglo. Figura 5. Cargas en las esquinas de un cubo. 8. En cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V = 5x 3x 2 y + 2yz 2. Determine las expresiones correspondientes para las componentes en x, y y z del campo eléctrico en esa región. Cuál es la magnitud del campo en el punto (1, 0, 2)m? 9. Calcule la velocidad que experimenta un protón acelerado desde el reposo a causa de una diferencia de potencial de 120V. b) Calcule también la velocidad de un electrón que se acelera a causa de la misma diferencia de potencial. 10. La diferencia de potencial entre las placas aceleradoras del cañón de electrones de un cinescopio de televisión es de aproximadamente 25000V. Si la distancia entre estas placas es de 1,5cm, cuál es la magnitud del 2

3 campo eléctrico uniforme en esta región? 11. En la figura (6) un campo eléctrico uniforme de magnitud 325 V m está dirigido hacia el lado negativo de las y. Las coordenadas del punto A son ( 2, 3)m, y las del punto B son (4, 5)m. Calcule, utilizando la trayectoria azul, la diferencia de potencial V = V B V A. Figura 6. Trayectoria seguida dentro de un campo eléctrico uniforme. 12. Un electrón que se mueve paralelamente al eje x tiene una rapidez inicial de 3, m s en el origen. Su rapidez se reduce a 1, m s en el punto x = 2cm. Calcule la diferencia de potencial entre el origen y ese punto. Cuál de los puntos está a mayor potencial? 13. Una partícula con una carga q y masa m está conecta a un hilo que tiene L atado en el punto de pivote P como puede apreciarse en la figura (7). La partícula es liberada del reposo cuando el hilo forma un ángulo θ con un campo eléctrico de magnitud E. Determine la rapidez de la partícula cuando el hilo es paralelo al campo eléctrico. Figura 7. Carga atada a una cuerda dentro de un campo eléctrico uniforme. 14. Como se muestra en la figura (20), dos grandes placas paralelas, conductoras, colocadas verticalmente, están separadas por una distancia d y están cargadas de forma de que sus potenciales sean V 0 y V 0. Una pequeña esfera conductora de masa m y radio R donde R << d) está colgada en el punto medio entre las placas. El hilo de longitud L que soporta la esfera es un alambre conductor conectado a tierra, de forma que el potencial de la esfera se ha fijado en V = 0. Cuando V 0 es lo suficientemente pequeño la esfera cuelga hacia abajo y en equilibrio estable. Demuestre que el equilibrio de la esfera es inestable si V 0 excede el valor de V 0 = d Kmg 2 RL ). Sugerencia: considere las fuerzas que actúan sobre la esfera cuando ésta es desplazada una distancia x << L. 15. Dos esferas aislantes tienen radios r 1 y r 2, masas m 1 y m 2, y cargas uniformemente distribuidas q 1 y q 2. Cuando sus centros están separados por una distancia d son liberadas del reposo. a) Qué tan rápida se moverá cada una cuando entren en colisión? Explique: Qué pasaría si las esferas fueran conductoras? Sus magnitudes de velocidad serían mayores o menores que las calculadas en el inciso a)? 3

4 Figura 8. Carga atada a una cuerda dentro de un campo eléctrico uniforme. 16. Tres laminas cargadas son paralelas al plano xz. Las laminas están en y = 0, y = d y y = 2d, si tienen distribución uniforme de carga σ, 2σ y σ respectivamente. Calcule el potencial en función de y. 17. Una esfera maciza de radio R tiene una carga Q uniformemente distribuida en todo su volumen. Encontrar el potencial eléctrico fuera de la esfera, sobre la esfera, dentro de la esfera y en el centro de la esfera. 18. Una esfera de radio R y carga Q es concéntrica con una esfera hueca de radios interno y externo ay b. La carga de la esfera hueca es Q Calcular el potencial en todas las regiones. 19. Calcular el potencial eléctrico para un disco y un anillo. Con la relación E = V calcular el campo eléctrico. 20. El potencial eléctrico en todas partes del plano xy se conoce por: V = 36 (x + 1)2 + y 45 2 x2 + (y 2) 2; donde V está en volts y x y y en metros. Determine la posición y carga en cada una de las partículas que establecen este potencial. 21. Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial no uniforme σ = Cr, donde C es una constante y r se mide a partir del centro del disco a un punto en la superficie del disco, ver figura (9). Determine por integración directa el potencial en P. Figura 9. Disco de carga variable. 22. Dos varillas rectas y dos circulares esta unidas como se muestra en la figura (10). Las varillas tienen una distribución de carga lineal λ. Cual es el potencial en el punto P. 23. En cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V = 5x 3x 2 y + 2yz 2. Determine las expresiones correspondientes para las componentes en x, y y z del campo eléctrico en esa región. Cuál es la magnitud 4

5 Figura 10. Combinación de líneas de carga. del campo en el punto P cuyas coordenadas son (1, 0, 2)m? 24. Cuando una esfera conductora sin carga de radio se coloca en el origen de un sistema de coordenadas xyz que se encuentra en un campo eléctrico inicialmente uniforme E = E 0ˆk, el potencial eléctrico resultante es V (x, y, z) = V 0, para puntos en el interior de la esfera, y: V (x, y, z) = V 0 E 0 z + E 0 a 3 z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2; para puntos en el exterior de la esfera, donde V 0 es el potencial eléctrico (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar las componentes x, y y z del campo eléctrico resultante. 25. Un alambre con una densidad de carga lineal uniforme λ se dobla como se muestra en la figura 11. Determine el potencial eléctrico en el punto O. Figura 11. Alambre curvo. 26. Una cubierta cilíndrica con carga uniforme tiene una carga total Q, radio R y altura h. Determine el potencial eléctrico en el punto a una distancia d del extremo derecho del cilindro, como se muestra en la figura 12. (Sugerencia: considere el cilindro como si fuera un conjunto de anillos con carga.) Figura 12. Cubierta cilíndrica. 27. Una varilla de longitud L como se muestra en la figura (13) yace a lo largo del eje x, con su extremo izquierdo en el origen. Además tiene una densidad de carga no uniforme λ = ax, donde a es una constante positiva. a) Cuáles son las unidades de a? b) Calcule el potencial eléctrico en el punto A. b) Calcule el potencial eléctrico en el punto B. Calcule en cada caso el campo eléctrico varillas de longitud l forman un cuadrado. Las varillas tienen carga Q uniformemente distribuida en toda su longitud. Determine el potencial en un punto a una distancia x de uno de los vertices del cuadrado. Ver figura (14). 5

6 Figura 13. Línea de carga finita. Figura 14. Líneas de carga formando un cuadrado. 29. Cuántos electrones deben retirarse de un conductor de forma esférica inicialmente sin carga, de radio 0,3m, para producir un potencial de 7,5kV en la superficie? 30. El campo eléctrico sobre la superficie de un conductor con forma irregular varía de 56kN/C a 28kN/C. Calcule la densidad de carga superficial local en el punto sobre la superficie donde el radio de curvatura de la superficie es a) mayor y b) menor. 31. Una esfera sólida de radio R tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga total Q. Derive una expresión para su energía potencial eléctrica total. (Sugerencia: imagine que la esfera está construida por capas sucesivas de cubiertas concéntricas de carga dq = (4πr 2 dr)ρ, y utilice du = V dq). 32. Una esfera hueca de latón esta sumergida hasta la mitad en un aceite dieléctrico de constante ɛ r = 3. Que fracción de la carga de la esfera esta en el hemisferio superior y en el inferior? Ver figura (15) Figura 15. Esfera sumergida en un dieléctrico. 33. Una esfera metálica de radio R esta rodeada por un dieléctrico concéntrico que desde R hasta 3 2R como se muestra en la figura (16). Este sistema es concéntrico a su vez con un cascaron esférico de radio 2R. La constante dieléctrica del material es ɛ. Calcule la capacitancia del sistema. 6

7 Figura 16. Sistema concéntrico de esferas con dieléctrico. 34. El conductor interno de un cable coaxial tiene un radio de 0,8mm, y el radio interno del conductor externo es de 3mm. El espacio entre los conductores está lleno de polietileno, que tiene una constante dieléctrica de 2,3 y una resistencia dieléctrica de V m. Cuál es la diferencia de potencial máxima que puede soportar este cable? 35. Dos conductores con cargas netas de 10mC y 10mC tienen una diferencia de potencial de 10V. a) Determine la capacitancia del sistema. b) Cuál será la diferencia de potencial entre los dos conductores si las cargas en cada uno de ellos se incrementan hasta 100mC y 100mC? 36. Una esfera conductora con carga y aislada de radio 12cm produce un campo eléctrico de 4, N C a una distancia de 21cm de su centro. a) Cuál es su densidad de carga superficial? b) Cuál será su capacitancia? 37. Un capacitor lleno de aire está formado por dos placas paralelas, cada una de ellas con un área de 7,6cm 2, separadas una distancia de 1,8mm. A estas placas se les aplica una diferencia de potencial de 20V. Calcule a) el campo eléctrico entre las placas, b) la densidad de carga superficial, c) la capacitancia y d) la carga sobre cada placa. 38. Se fabrica un capacitor a partir de dos placas cuadradas de lados l y separación d. Cargas Q y Q son colocadas en las placas y después se retira la fuente de energía. En el interior del capacitor se inserta un material de constante dieléctrica k, a cierta distancia x como se muestra en la figura (17). Suponga que d es mucho más pequeña que x. a) Determine la capacitancia equivalente del dispositivo. b) Calcule la energía almacenada en el capacitor. c) Determine la dirección y la magnitud de la fuerza ejercida sobre el dieléctrico. d) Obtenga un valor numérico para la fuerza cuando x = l 2, si l = 5cm, d = 2mm, el material dieléctrico es de vidrio k = 4,5 y el capacitor fue cargado a 2000V antes de insertar el dieléctrico. Figura 17. Capacitor de placas paralelas con dieléctrico. 39. Un capacitor esférico esta formado por una esfera de radio R 1 y un cascaron esférico de radio R 2. El espacio del capacitor se llena con dos dieléctricos tal que un hemisferio tiene dieléctrico de constante ɛ 1 y el otro 7

8 constante ɛ 2. Cual es la capacitancia del dispositivo? Ver figura (18). Figura 18. Capacitor esférico con dieléctrico. 40. Un capacitor de placas paralelas, con placas de área LW y separación de placa t, tiene la región entre sus placas llena con cuñas de dos materiales dieléctricos, como se muestra en la figura 19. Suponga que t es mucho menor que L y W. a) Determine su capacitancia. b) La capacitancia debe ser la misma si se intercambian las etiquetas κ 1 y κ 2? Demuestre que su expresión tiene o no esta propiedad. c) Demuestre que, si κ 1 y κ 2 tienden igualmente a un valor común κ, su resultado se vuelve el mismo que la capacitancia de un capacitor que contiene un solo dieléctrico: C = κɛ 0 LW/t. Figura 19. Capacitor con dos materiales dieléctricos. 41. El circuito de la figura (20) está constituido por dos placas metálicas paralelas idénticas conectadas mediante resortes metálicos idénticos a una batería de 100V. Cuando el interruptor está abierto, las placas no tienen carga y se encuentran separadas una distancia d = 8mm, con una capacitancia C = 2mF. Si se cierra el interruptor, la distancia entre placas disminuye en un factor de 0,5 a) Cuánta carga se acumula en cada una de las placas?, y b) Cuál es la constante de resorte en cada uno de ellos? Figura 20. Circuito de capacitor conectado a un par de resortes. 8

9 42. Dos esferas de radios a y b tienen sus centros separados una distancia d. Demuestre que la capacitancia de 4πɛ 0 este sistema es C = 1 a + 1 b 2 siempre y cuando d >> a y d >> b. b 43. Considere dos alambres largos, paralelos y de cargas opuestas, de radios r y con una separación D entre sus centros, tal que D es más grande que r. Si la carga está distribuida uniformemente en la superficie de cada uno de los alambres, demuestre que la capacitancia por unidad de longitud de este par de alambres es de: C L = πɛ 0 ln ( ). D r 44. Calcular la capacitancia para cada capacitor mostrado en la figura (21). Figura 21. Capacitores de placas paralelas con dieléctrico. 45. En un tubo de rayos catódicos, la corriente medida en el haz es de 30mA. Cuántos electrones chocan contra la pantalla del tubo cada 40s? 46. Suponga que la corriente que pasa por un conductor se reduce de manera exponencial en función del tiempo, de acuerdo con la ecuación I(t) = I 0 e t/τ, donde I 0 es la corriente inicial y τ es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Considere un punto de observación fijo dentro del conductor. a) Cuánta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo [0, τ]? b) Cuánta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo [0, 10τ]? c) Cuánta carga pasa por este punto en el intervalo de tiempo [0, ]? 47. La cantidad de carga q (en coulombs) que ha pasado a través de una superficie de área igual a 2cm 2 varía en función del tiempo según la ecuación q = 4t 3 + 5t + 6, donde t está en segundos. a) Cuál es la corriente instantánea que pasa a través de la superficie en t = 1s? b) Cuál es el valor de la densidad de corriente? 48. El haz de electrones que sale de cierto acelerador de electrones de alta energía tiene una sección transversal circular con un radio de 1mm. a) La corriente del haz es de 8mA. Determine la densidad de corriente en el haz, si es uniforme en todos sus puntos. b) La rapidez de los electrones es tan cercana a la rapidez de la luz que su rapidez se puede tomar sin un error apreciable como 300Mm/s. Encuentra la densidad del electrón en el haz. c) Cuánto tiempo se necesita para que emerja el número de Avogadro de electrones del acelerador? 49. La figura (22) representa una sección de un conductor circular de diámetro no uniforme que porta una corriente de 5A. El radio de la sección transversal A 1 es r 1. a) Cuál es la magnitud de la densidad de corriente a través de A 1? b) El radio en A 2 es mayor que el radio en A 1?. La corriente en A 2 es mayor, menor o igual? La densidad de corriente es mayor, menor o la misma? Suponga que una de estas dos cantidades es diferente en A 2 en un factor de 4 de su valor en A 1. Especifique la corriente, la densidad de corriente y el radio en A Se tiene un alambre de resistencia R. Suponga que se corta en 8 piezas iguales y cuatro de ellos se colocan lado a lado para formar un nuevo alambre. Cual es la nueva resistencia? Cuanto vale la resistencia si los cuatro segmentos de alambre se unen por los extremos? 51. Un capacitor de placas paralelas está constituido por placas cuadradas de bordes de longitud l separadas una distancia d, donde d << l. Entre las placas se mantiene una diferencia de potencial V. Un material de 9

10 Figura 22. Conductor de radio variable constante dieléctrica ɛ r llena la mitad del espacio entre las placas. Ahora la placa dieléctrica se retira del capacitor, como se observa en la figura (23). a) Determine la capacitancia cuando el borde izquierdo del material dieléctrico esté a una distancia x del centro del capacitor. b) Si se va retirando el dieléctrico a una rapidez constante v, cuál será la corriente en el circuito conforme se retira el dieléctrico? Figura 23. Capacitor con dieléctrico movible 52. Se tiene un alambre de cierto metal de longitud 1,5m, y diámetro 0,5mm. Se somete a un potencial V = 12V y por el se genera una corriente de 4A. Cual es la resistividad del material? 53. Una diferencia de potencial de 0,9V se mantiene a través de una longitud de 1,5m de alambre de tungsteno que tiene un área de sección transversal de 0,6mm 2. Cuál es la corriente en el alambre? 54. Un lámpara fluorescente ahorradora de energía de 11W está diseñada para producir la misma iluminación que una lámpara incandescente convencional de 40W. Cuánto ahorra el usuario de la lámpara ahorradora de energía durante 100 horas de uso? Suponga que la compañía eléctrica cobra $0,08 1 kw h. 55. Valor 1, 25. Un material con una resistividad uniforme ρ se modela en forma de cuña como se muestra en la figura (24). Calcule la resistencia entre la cara A y la cara B. Figura 24. Material en forma de cuña. 10

11 56. Valor 1, 25 Un material de conductividad σ se modela como un cono truncado de altura h, según se muestra en la figura (25). El extremo inferior tiene un radio b, en tanto que el extremo superior tiene un radio a. Suponga que la corriente está uniformemente distribuida en cualquier sección transversal circular del cono. Demuestre que la resistencia entre ambos extremos del cono queda descrita mediante la expresión: R = 1 πσ ( h ab ) Figura 25. Cono truncado. 57. Calcule la resistencia entre dos superficies esféricas concéntricas de radio R 1 y R 2 si el espacio entre ellas esta lleno con un material de resistividad ρ. 58. En la figura (26) se muestra una barra cuadrada esta formada por dos materiales. Cada lado de la sección transversal de la barra mide 3cm. La resistividad del primer material es Ωm y su longitud de 15cm mientras que para el segundo material se tiene Ωm y 25cm de longitud. Calcular la resistencia de la barra. Si se somete a un potencial de 24V calcular la corriente que circula por la barra. Figura 26. Barra cuadrada formada por dos materiales. 59. Un voltaje de corriente continua de 6V aplicado a los extremos de un alambre conductor de 1km de longitud y 0,5mm de radio, produce una corriente de 1 6A, calcular. a) La conductividad del alambre. b) La intensidad de campo eléctrico. c) La potencia disipada por el alambre. d) La densidad de corriente del alambre. 60. Un alambre de radio a y conductividad σ esta recubierto por un material de conductividad 1 10σ. Cual debe ser el grosor del revestimiento para la resistencia del sistema se reduzca un 50 %? Suponga que una corriente total I fluye por el alambre, calcule J y E en el alambre y en el material. 61. Suponga una arandela plana de un cuarto de circulo tiene radios internos y externos son R 1 y R 2 respectivamente y grosor h. Si la resistividad de la arandela es ρ calcule la resistencia en a) Las caras planas de la arandela. b) Entre los radios interno y externo. Fuentes: Física Volumen II. Campos y ondas. Marcelo Alonso, Edward J. Finn. Física para ingeniería y ciencias. Volumen II. Tercera edición. Hans Ohanian. Física para ciencias e ingeniería Seaway. Volumen 2. Séptima edición. ÉXITOS 11