Modelo 4 de sobrantes de Opción A

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1 Modelo de onte de - Opción A Ejecicio. 8 Se f : R R l función definid po f () () [ punto] Clcul lo punto de cote de l gáfic de f con lo eje coodendo. () [ punto] Hll l íntot de l gáfic de f. (c) [ punto] Detemin lo intevlo de cecimiento de dececimiento de f clcul u etemo eltivo o locle (punto en lo que e otienen vloe que lcnz l función). (d) [ punto] Eoz l gáfic de f. () Cote con lo eje: () Aíntot 8 eje : f () 8 p po (,8) 8 8 eje : 8 p 8 po (,) A.V. Igulmo el denomindo ceo: ± no olución el po tnto l función no tiene íntot veticle 8 A.H. lim f ( ) lim ± ± e A.H. en ± Vemo u poición eltiv lim ( f ( ) íntot) f() etá po encim de l A.H. en lim ( f ( ) íntot) - f() etá po dejo de l A.H. en - (c) Monotoní. Etudio igno de f () 8 f () ( f ( ) Monotoní de f Signo de f (pue el gdo del numedo e meno que el del denomindo) ) ( ) ( 8) ( ) ( ) 6 ) f ( ) 6 poile etemo Dicontinuidde de f ': no olución Signo de f Monotoní de f f (-) < ; f (-) > ; f () < Reumiendo: f() e etictmente dececiente en (-, -) (, ) f() e etictmente ceciente en ( -, )

2 Po definición - e un mínimo eltivo que vle f(-) - Po definición e un máimo eltivo que vle f( ) (d) Eozo de l gáfic de f: teniendo en cuent lo ptdo nteioe l gáfic eí Ejecicio. Conide l función f : R R definid po f (). () [ 7 punto] Hll l ecución de l ect tngente l gáfic de f en el punto de ci. () [ 7 punto] Clcul el áe de l egión cotd que et limitd po el eje de odend, po l gáfic de f po l ect tngente otenid. () L ect tngente en e f() f ()( ) f () f() - f () f () ect tngente: (-) ( ) () Diujmo l páol l ect tngente que no udán clcul el áe pedid f () f () El vétice (mínimo) lo otenemo de f () : Vétice V(, f( ) ) V(, - ) Cote con lo eje: punto (, f() ) (, ) Punto (, ) (, ) P l ect tenemo lo punto (, -) (, ) L gáfic conjunt on

3 Áe ) tn ( d gente ect pàol [ ] ) ( ) ( d ) 6 ( d ( 7 7) ( ) u Ejecicio. Se I l mtiz identidd de oden e A. () [ punto] Hll lo vloe de p lo que l mtiz A.I no tiene inve. () [ punto] Hll lo vloe de p lo que A A I O. () A I no tiene inve det (A I ) A I A I -. - A I ( ) Aí A I no tiene inve () A A I O A..A..I. A A I Igulndo miemo miemo tenemo: Ejecicio.- [ punto] Clcul l ditnci ente l ect λ λ λ 7 6 z Tommo un punto un vecto de cd ect : 7), (, (6,,) d P : (,,) (,,) d P ecución pmétic: eolviendo el item : z Pevimente e etudi l poición eltiv de l ect: como ) 7,, ( d ) (,, d l ect e cuzn o e cotn d d P P 7. (-). - l ect e cuzn H vi fom de clcul l ditnci ente do ect. Vmo utiliz l del volumen del plelepípedo.

4 volumen d(,) ltu plelepípedo áe e d d P P, d, d u.l. P P d d d d P P - P P, d, d d d i j k 7 (-,-,) d d

5 Modelo de onte de - Opción B Ejecicio. [ punto] De un teeno e dee vende un ol ectngul de.8 m dividido en te pcel igule como l que pecen en el diujo. Si e quieen vll l linde de l te pcel (lo ode l epcione de l pcel), detemin l dimenione del ol p que l longitud de l vll utilizd e mínim. Áe. 8 8 Minimizmo l función L 6 6. L() 6 L () 6. Reolvemo l ecución L (). Longitud L Como l olucione on ditnci hn de e poitiv luego 6 6 ± 6 Vemo que efectivmente e un mínimo con l egund deivd. L () 6. L (). 6 6 L ( ) > e un mínimo ( 6 ) 8 8 L dimenione pedid on 6 m. de lgo e 8 m. de ncho. 6 Ejecicio. Clcul l iguiente integle: () [ punto] co ( ) d. () [ punto] ( ) d (c) [ punto]. e d () co ( ) d en( ) K

6 () (c) ( ). e d d ( ) d ( ) ( ) d K K Se clcul pevimente. e d que e un integl po pte Aplicmo udv uv vdu : u du d dv e - d v e d e -. e d. e - e d.e - - e -. e d e e e e ( ) ( ) e Ejecicio. z Conide el item de ecucione ( m ) z m z () [ punto] Detemin lo vloe del pámeto m p lo que el item tiene un únic olución. () [ punto] Reuelve el item cundo teng infinit olucione d un olución en l que z. z Si oevmo e un item homogéneo ( m) ( m ) z z () Lo item homogéneo de te ecucione con te incógnit tienen olución únic (,, ) i el deteminnte de l mtiz de lo coeficiente e ditinto de ceo. A m m.(-m).(m) (-m).(m) m 8 Reolviendo m 8 : m -7 p m -7 el item tiene olución únic () Si A como - ngo(a) < S.C.I. con un pámeto P eolvelo e eliminn l ecucione que no fomen pte del meno l incógnit e le d un vlo pmético: z ; z R z z No piden un olución con z, l olución e (,,z) (, 7, ) Ejecicio. Sen A(,, ), B(, 6, ) C (,, ) lo vétice de un tiángulo. () [ 7 punto] Hll l ecución del plno π que contiene l tingulo.

7 () [ 7 punto] Hll l ecución de l ect que e pependicul π p po el oigen de coodend. (c) [ punto] Clcul el áe del tiángulo ABC. () P clcul l ecución de un plno neceitmo un punto do vectoe independiente, en nueto co tommo como punto el A como vectoe el AB el AC. A(,, ) AB (6,, ) AC (, -, ) z El plno pedido e π det(ax, AB, AC) 6 π 8 6z π z () L ect pependicul l plno π que p po el oigen O(,, ) tiene como vecto diecto el vecto noml del plno n (,, -) t L ect pedid e con t R z ().(8) (-).() z.(-6) (c) El áe del tiángulo e l mitd del áe del plelogmo que detemin, que emo e el módulo del poducto vectoil de lo vectoe AB AC, e deci Áe ABAC 8 6 u AB (6,, ) AC (, -, ) i j k ABAC 6 i(8) j() k(-6) (8,, -6)

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