8 Funciones, límites y continuidad

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1 Solucioario 8 Fucioes, límites y cotiuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Copia y completa la siguiete tabla, epresado de varias formas los cojutos uméricos propuestos. Gráfica Itervalo Desigualdad Valor absoluto 4 8 _ (4, 8) {4 8} 6 [6, 0] {6 0} (, ] { R, } {} (, 7) (, ) { 7} { } 5 8.II. Calcula la pediete de las siguietes rectas y el águlo que forma co el eje positivo de abscisas. a) c) y 5 y e) 4 b) y d) y y f) y 5 y a). Pediete: o eiste. Águlo: 90 b) y. Pediete: m. Águlo: arctg 6, c) y 5. Pediete: m 0. Águlo: 0 d) y. Pediete: m. Águlo: arctg e). Pediete: o eiste. Águlo: 90 f) y 4. Pediete: m. Águlo: 45, III. Resuelve las iecuacioes siguietes. a) b) a) 7 8 ( 8)( ) 8 8 P() ( )( 8) { R tales que 8} [, 8] b) 6 9 ( ) El factor ( ) es siempre positivo cuado, por lo que el sigo de ( ) depede solo del de. Por tato, la solució es: { R tales que 0} (0, ) EJERCICIS PRPUESTS 8.. Halla el domiio de las siguietes fucioes. a) f() b) f() a) Se trata de ua fució cuadrática. Por tato: D(f) R. b) Se trata de ua fució de proporcioalidad iversa. Por tato o está e el domiio los valores que aula el deomiador, e este caso, : D(f) R {}. 4 Solucioario

2 8.. bté el domiio de las siguietes fucioes. a) f() Parte etera del úmero o egativo b) f() c) f() Distacia de al etero más próimo a) D(f) [0, ) b) Debe ocurrir que 0 y que 0; por tato, D(f) { R tales que 0} {, }. c) D(f) R 8.. Dibuja ua posible gráfica para la fució y f() siedo D(f) [0, ] [5, 7] y R(f) [0, ] bté el domiio y el recorrido de f y g. a) b) f g a) D(f) (, ) (, ). R(f) (, ) b) D(f) [0, ] [,5;,5] y R(f) [, ] 8.5. Dibuja la gráfica de la fució que refleja la població mudial del ejemplo de arriba. Població mudial (milloes) Año 8.6. Las siguietes gráficas represeta la distacia a casa e fució del tiempo. Cuál de ellas refleja mejor la siguiete situació: Salí de casa y cuado me di cueta de que había olvidado los aputes, tuve que volver a por ellos? a) d b) d c) d t t t La gráfica c, porque es e la úica e la que se refleja la vuelta a casa por los aputes U aparcamieto público tiee ua tarifa de euros la primera hora y euros por cada hora o fracció adicioal. De etre las formas estudiadas, elige la más coveiete para represetar la fució que da el precio del estacioamieto durate las seis posibles horas que puede estar aparcado u coche. Mediate ua gráfica. Precio ( ) Horas (t) Solucioario 5

3 Solucioario 8.8. Dibuja la gráfica de estas fucioes. a) f() si si b) f() c) f() [], [], idica la parte etera de. ( ) ( ) si a) b) f() ( ) si si c) f() [] 8.9. Sea las fucioes f(), g() y h() 4. Calcula la epresió y el domiio de: a) g b) f g c) g f d) f g h h a) g h. D(f) [, ) {, } 4 b) (f g)() f[g()] f( ) ( ). D(f g) [, ) {} c) (g f)() g[f()] g ( ) ( ), 7 6 6, 7 ), , (, ) ( ) ( ) D(g f) R 7 6, 7, 6 d) (f g h) (f g) h (f g)[h()] (f g)( 4) 4 4 D(f g h) R {(, ),, } 6 Solucioario

4 8.0. bté el domiio de la fució iversa de: f(). y y y y y f () D(f) R {0} 8.. (TIC) Calcula la iversa de f() y dibuja las gráficas de f y f. Comprueba que (f f )() y que (f f)(). y y y f () f _ (f f )() f[f ()] f 6 f 6 (f f)() f [f()] f (TIC) La fució f() 5 admite iversa f. Utiliza la calculadora para aproimar f (0). f (0) 5 0 (,6) 5,6 9,86 (,6) 5,6 0, f (0) [,6;,6] 8.. Costruye ua tabla de valores para cada fució adecuada para obteer los siguietes límites. a) b) c) 4 4 d) tg e) 0 8 f) 8 a) b) c) d) e) f) 0,9 0,99,00,0 f() 0,5 0,50 0,499 0,497 7,0 7,00 6,999 6,99 f(),0006,00006,9999,999,9,99 4,0 4, f(),97,99 4,00 4,0 0, 0,0 0,0 0, f(),094,0009,0009,094,9,99,0, f(),68,40,48,55 7,9 7,99 8,0 8, f(),94,99,004, tg Dada la fució de la figura, calcula: a) f(a), f(b), f(c) f a b c b) Los límites laterales y el límite de la fució e los putos a, b y c. a) f(a) f(b) 0 f(c) No eiste b) a f() f() a f() a f() f() 0 b b f() No eiste b f() f() No eiste c c c f() No eiste Solucioario 7

5 Solucioario 8.5. Calcula los siguietes límites. a) c) 7 e) b) 5 8 f) a) b) c) d) e) f) Halla los límites siguietes. a) b) c) d) e) 7 f) 7 4 a) b) c) 0 d) e) f) Solucioario

6 8.7. Calcula los siguietes límites. a) c) e) ( ) 4 5 (5 ) b) d) f) ( 4) a) 0 b) c) ( ) 4 0 d) 0 6 e) 5 (5 ) 0 f) 4 4 ( 4) Idica a f(), a f() e las siguietes gráficas. a) b) c) a) b) c) a a a a) f() f() a a b) f() f() No eiste a a c) f() No eiste f() a a 8.9. Calcula f() e los siguietes casos: a) f() b) f() a) 0 b) 0 7 ( 4 ( ) ( 5) 5 5 ) ( ) Sabiedo que a (f()g()) 0 0 a a f() y g(), calcula los límites e a de f g, g : g, f g, g f. a [f()] g() 0 a f( ) [g()] g ( ) 0 f () 0 0 a 8.. Calcula y Solucioario 9

7 Solucioario 8.. Calcula las asítotas de las siguietes fucioes. a) f() b) f() 9 a) Asítotas verticales: 9 0 o c) f() 5 d) f() 4 7 ; 7 ; ; Por tato, y so asítotas verticales de la fució Asítotas horizotales: 0, 0 y 0 es ua asítota horizotal de la fució e ambos ifiitos. 9 9 Asítotas oblicuas: o tiee. b) Asítotas verticales: 0 o ( ; ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ; ( ) ( ) 0 Por tato, y so asítotas verticales de la fució. Asítotas horizotales: ; No tiee asítotas horizotales. Asítotas oblicuas: 5 Efectuado la divisió, f() 7 ; por tato, ( 7) 5 0. La recta y 7 es asítota oblicua de la fució. c) Asítotas verticales: ; Por tato, 0 es asítota vertical de la fució. Asítotas horizotales: 5 ; 5 y es asítota horizotal de la fució. Asítotas oblicuas: o tiee. d) Asítotas verticales: ; 0 4. Por tato, 0 es asítota vertical de la fució. Asítotas horizotales: 4 ; 4 No tiee asítotas horizotales. Asítotas oblicuas: Efectuado la divisió, f() 4 ; por tato, La recta y 4 es asítota oblicua de la fució. 0 Solucioario

8 8.. Determia las asítotas de las siguietes fucioes: a) f() b) f() c) f() d) f() a) Asítotas verticales: o tiee. Asítotas horizotales: ; No tiee asítotas horizotales. Asítotas oblicuas: m f( ) ; (f() m) ( ) 0 La recta y es asítota oblicua de la fució cuado, y la recta y lo es cuado. b) D(f) (, ) [, ) Asítotas verticales: es ua asítota vertical de la fució. Asítotas horizotales: f() No tiee asítotas horizotales. Asítotas oblicuas: m f( ) ( ) (f() m) ( ) La recta y es asítota oblicua de f() cuado, y la recta y lo es cuado. c) Asítotas verticales: o tiee ya que D(f) R. Asítotas horizotales: y es asítota horizotal de la fució. Asítotas oblicuas: o tiee. d) Asítotas verticales: ; La recta es asítota vertical de la fució. 0 0 Asítotas horizotales: ; y es asítota horizotal de la fució. Asítotas oblicuas: o tiee. Solucioario

9 8.4. Decide el mayor cojuto de úmeros reales dode sea cotiuas las siguietes fucioes: a) f() e) f() 6 b) f() f) f() 7 c) f() g) f() [] d) f() h) f() 0 Solucioario a) f() ; f es cotiua e R, ya que es ua fució poliómica. b) f() ; el deomiador se aula e ; por tato, f es cotiua e R {}. c) f() ; el deomiador se aula e y ; por tato, f es cotiua e R {, }. d) f() ; el deomiador se aula e 0; por tato, f es cotiua e R {0}. e) f() 6 ; f es cotiua e R, ya que el deomiador o se aula e igú úmero real. f) f() ; el deomiador se aula e y 4; por tato, f es cotiua e R {, 4}. 7 g) f() []; es la fució parte etera, f es cotiua e R Z. si h) f(), f es cotiua e R {} por estar defiida por poliomios. 0 si si Para comprobar si es o o cotiua e, calculamos el límite de f e. Para ello hallamos los límites laterales e : f() ; f(). Por tato, f(), diferete que f(), lo que implica que f o es cotiua para. E resume f es cotiua e R {} E cada caso, calcula qué valor debe teer la fució e el puto idicado para que sea cotiua e él. a) f(), e b) f(), e 4 a) ( )( ) ( ) f() b) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 f() 4 Solucioario

10 8.6. Calcula el valor de k para que la siguiete fució sea cotiua e. f() si y k si Debe ocurrir que k : ( ) ( ) k, k ( ) ( ) 8.7. Calcula el límite de las siguietes sucesioes: a) a 5 c) a b) a d) a a) 5 c) 0 b) d) So covergetes las siguietes sucesioes? E caso de serlo, a qué úmero coverge? a) a b) a a) a coverge a 0. b) a, coverge a 0. c) a c) a. 6 Cuado se hace grade, el umerador se aproima a, y el deomiador, a 0, por lo que el cociete es cada vez mayor y o se aproima a igú úmero, es decir, la sucesió o es covergete Ecuetra sucesioes que verifique estas codicioes: a) Es moótoa creciete y acotada superiormete. b) Es moótoa creciete y o está acotada superiormete. c) No es moótoa creciete, pero sí está acotada superiormete. d) No es moótoa creciete i está acotada superiormete. a) a c) a b) a d) a 4 Solucioario

11 Solucioario 8.0. a) Demuestra que la sucesió a es moótoa creciete y acotada superiormete y por tato es covergete. b) Halla su límite. a) a a ( )( ) ( ) ( ) Por tato, a a b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 8.. Calcula los siguietes límites: a) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) 0 b) ( ) ( ) c) ( ) 5 ( ) Halla los límites de las sucesioes. a) a 5 b) b c) c 7 d) d e) e 8 7 f) f a) ( 5) e 4 Solucioario

12 b) c) d) e) f) e 6 e 7 e 5 e e 0 EJERCICIS Cocepto de fució. Domiio 8.. bté el domiio de las siguietes fucioes: a) f() c) f() 4 e) f() ( )( ) g) f() 5 b) f() d) f() f) f() h) f() 4 5 ( )( ) a) D(f) R, ya que el deomiador o se aula para igú úmero real. b) D(f) R {}, ya que el deomiador se aula e. c) D(f) R {}, ya que el deomiador se aula e. d) D(f) R {, }, ya que el deomiador se aula e y. e) D(f) { R / ( )( ) 0}, [, f) D(f) { R / ( )( ) 0}, g) D(f) R / 0 5 {5} (, ] (5, ) h) D(f) R / 5 0 {} (, ) [5, ) (, ) P() ( )( ) 5 5 C() 5 Solucioario 5

13 Solucioario 8.4. Determia el domiio de las fucioes siguietes: 0 a) f() c) f() b) f() d) f() d Primero se determia los domiios de g() y de h() y a partir de ellos se obtiee los demás: D(g) R {} 0 5 D(h) { R / ( ) 0}, a) D(f) R b) D(f) R, c) D(f) R {} d) D(f) R (, 5] Formas de defiir ua fució 8.5. (TIC) Represeta la gráfica de f() 5 Se trata de dos semirrectas y de u trozo de parábola Dibuja la gráfica de f(). Se escribe la fució como ua fució a trozos. f() si si 8.7. Represeta gráficamete la fució que se correspode co los datos de la siguiete tabla y busca ua epresió aalítica para dicha fució. 0 y 4 6 La gráfica es ua parábola que correspode a ua traslació horizotal de la parábola y. La epresió aalítica de la fució es y ( ) Escribe la epresió aalítica de las fucioes defiidas por los siguietes euciados. a) A cada úmero real se le asiga el triple de su cuadrado meos el doble de su cubo. b) A cada úmero atural se le asocia la raíz cuadrada egativa de la suma de su cuadrado co él mismo. c) E ua clase se tiee u diccioario por cada alumo, u atlas por cada dos alumos y u ordeador por cada tres. Se pide la fució que da el úmero total de materiales de apoyo que hay e la clase e fució del úmero de alumos de la misma. a) f() b) f() c) f() [ ] [ ] 5 6 [] 6 Solucioario

14 8.9. Ecuetra la epresió aalítica de la fució cuya gráfica es la siguiete: f Ecuació de la recta que pasa por los putos (, ) y (7, 4): y y Ecuació de la recta que pasa por los putos (7, 4) y (, 0): y y si Por tato, la fució se puede escribir como f() 5 5 si si 7 5 peracioes co fucioes Defiimos dos fucioes f() y g(). Demuestra que f g y justifica que el domiio de esta fució o sea R. (f g)() f(g()) f ya que al o eistir g(), o eiste (f g)().. D(f g) { R / eiste g() y eiste f(g())} D(f g), 8.4. Dadas las fucioes f(), g() 4, h() y t(), calcula las fucioes 4 siguietes y halla sus domiios: a) (f t)() b) h f () c) (h g)() d) (g t)() e) (f h)() f) f () g) f t () h) g () i) h () j) t () a) (f t)() ( ) D(f t) R b) h f () ( )( 4) D h f D(f) D(h) R {, } c) (h g)() h(g()) h( 4) D(g) [, ) D(h g) [, ) {4} ( 4) 4 8 d) (g t)() g(t()) g( ) ( ) 4 e) (f h)() f()h() D(g t) D(f h) D(f) D(h) R {, } 4 f) y ( ) 9 4 y 9 4 y 9 4 D(f ) 9 4, g) f t () f ( ) t( ) h) y 4 D f t 4 y 4 y R {, } i) y 4 4 y y 4 4 g () 4 h () 4 D(g ) [0, ) f () 9 4 D(h ) R 4, 0 j) y y y t () D(t ) (, ] Solucioario 7

15 Solucioario Límites de ua fució e u puto 8.4. Aaliza la siguiete gráfica que represeta ua fució f() y calcula: a) f() 0 f) f(0) f b) f() c) f() g) f() h) f() d) f() i) f() e) f() 4 j) f(4) a) f() No eiste 0 b) f() c) f() e) f() g) f() i) f() 4 d) f() No eiste f) f(0) 0 h) f() j) f(4) No eiste 8.4. Co ayuda de tu calculadora obté, si eiste, los límites siguietes: a) b) c) 0 ( 4 5) e) 0 d) cos f) 0 0 a) b) No eiste c) ( 4 5) 5 e) 0 0 d) cos 0 0 f) 0 No eiste Límites ifiitos y e el ifiito. Cálculo de límites Calcula estos límites: a) ( 5) c) (5 7 ) b) ( 5) d) (5 7 ) e) g) 5 7 f) h) a) ( 5) e) 0 5 b) ( 5) f) 0 4 c) (5 7 ) d) (5 7 ) g) 7 h) Calcula los límites siguietes. a) 5 c) 5 e) 5 b) 7 d) f) g) 5 4 h) Solucioario

16 a) 5 c) 5 5 e) 0 5 g) 4 b) 7 d) 0 f) 0 4 h) Halla los siguietes límites. a) 4 5 b) 8 c) d) 5 5 a) 4 c) b) 8 6 d) Resuelve los siguietes límites. a) b) lím ( ) a) 0 c) lím d) lím b) ( ) ( ) 0 c) ( ) ( ) ( ) d) lím Calcula los límites e y e de las fucioes siguietes: a) f() 5 b) f() a) ( 5) ( 5) b) Halla, si eiste, estos límites: a) c) 0 e) b) 0 d) f) a) ( ) g) h) 4 4 e) No eiste. Ver casos f) y g) b) 0 0 ( 4 f) ) 0 ( ) 0 ( ) 4 0 c) 0 0 ( 4 g) ) 0 ( ) 0 ( ) 4 0 d) ( ) 4 h) Solucioario 9

17 8.50. Calcula, si eiste, los siguietes límites: a) d) g) 0 9 b) e) 9 5 c) lím f) i) h) 9 j) Solucioario 90 k) 9 l) a) 0 5 b) 8 6 c) d) ( ) 0 0 ( ) 0 e) f) ( ( )( ) ) ) ( ( ) g) 9 0 h) 9 0 i) ( ) ( ) ( ) ( ) j) ( l) ( ) ) k) 90 ( 9)( 0)( ) Efectúa el límite h 0 f( h ) f(), e el que f es la fució f(). h h 0 ( h) ( h) ( ) h h 0 h h h h h 0 h( h ) ( h ) h h (PAU) Calcula el límite. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 8.5. Halla los siguietes límites, si eiste, e la fució: f() 4 4 a) f() 0 b) f() c) f() d) f() e) f() f) f() g) f() h) f() a) 0 f() 0 0 b) f() o eiste. Ver casos c) y d) c) f() e) f() ( ) 5 f) f() ( ) g) f() ( ) d) f() ( ) h) 4 f() 7 0 Solucioario

18 Asítotas Calcula, si las tiee, todas las asítotas de las siguietes fucioes. a) f() c) f() e) f() g) f() 5 b) f() d) f() 4 f) f() 7 5 h) f() 4 a) f(). Es ua fució poliómica, o tiee asítotas. b) f(). El deomiador o se aula e igú puto; por tato, o tiee asítotas verticales. ; ;. Tiee ua asítota horizotal, la recta y. c) f(). El deomiador se aula e 5. 5 ;. Tiee ua asítota vertical, la recta ; 0. Tiee ua asítota horizotal, la recta y d) f() 4 ( ) ( ) ( si, o estado defiida e. ) ( ) ;. Tiee ua asítota vertical, la recta. E o hay asítota vertical ya que. ;. Tiee ua asítota horizotal, la recta y. e) f(). El deomiador se aula e. ;. Tiee ua asítota vertical, la recta. ( ). Como ( ) 0, la recta y es ua asítota oblicua. f) f() 7. El deomiador o se aula e R, así que o tiee asítotas verticales. 7 ( ) 6. Como 7 ( ) 0, la recta y es ua asítota oblicua. La recta 0 es asítota vertical [solo por la dere- g) f(). Al ser 0 cha, pues D(f) (0, )]. Como f(), etoces [f() ] 0, por lo que la recta y es asítota oblicua. 5 h) f() y 4 5 4, la recta es asítota vertical. 5 Como f() ( ), etoces [f() ( )] 0, por lo que la recta y es asítota 4 oblicua de f(). Solucioario

19 Solucioario b Sea la fució f() a co a, b y c úmeros reales. Calcúlalos sabiedo que: c La gráfica de f preseta e ua asítota horizotal de ecuació y. La gráfica de f preseta e ua asítota vertical. El puto (6, ) perteece a la gráfica de f. Nos dice que f(), y como f() a, teemos que a. Al ser ua asítota vertical, es ecesario que el deomiador de este cociete de poliomios, a ( c) b, c se aule e, por lo que c. b Fialmete os dice que f(6), por lo que, de dode b Halla las asítotas de la fució f() y esboza su gráfica. Asítotas verticales: 0 o ( )( ) 0 ; 7 ; 4 ( )( ) 4 ; 0 Por tato, y so asítotas verticales de la fució. Asítotas horizotales: ; y es la asítota horizotal. 8.57*. El deomiador de la fució f() 7 0 se aula para dos valores: y 5, y si embargo 4 5 solo tiee ua asítota vertical. Eplica por qué. Porque el límite de la fució e 5 es fiito: ( ( 5) ( ) 5) ( ) 5 6 Cotiuidad de ua fució La fució o está defiida para i para. Qué valores hay que adjudicar a f() y f() para que la fució f sea cotiua e R? Para que la fució sea cotiua e y, las imágees de dichos putos debe coicidir co los límites de la fució. ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) f() ( ) 4 f() Decide el mayor cojuto de úmeros reales dode sea cotiuas las siguietes fucioes. a) f() 5 c) f() 7 e) f() 5 4 g) f() 4 b) f() 4 - d) f() f) f() a) f() 5. f() es cotiua e R, ya que es ua fució poliómica. b) f() 4. El deomiador o se aula e R; por tato, f es cotiua e R. 4 h) f() 8 Solucioario

20 c) f() 7. El deomiador se aula e ; por tato, f es cotiua e R {}. d) f(). El deomiador se aula e 5 6 f es cotiua e R { 6, 6} e) f() 5. 4 El deomiador se aula e y 4 f es cotiua e R {4, }. f) f() para cualquier valor real f es cotiua e R. g) f() 9 y f es cotiua para estos valores de. h) f() , 7 4 7, ; por tato, f es cotiua ( )( ) 0,, Ivestiga para qué valores reales so cotiuas las siguietes fucioes y clasifica las posibles discotiuidades que ecuetres. a) f() 6 si c) f() e) f() 5 g) f() 7 si 6 si 7 si b) f() 6 si d) f() 5 6 f) f() 0 7 si a) Si, f es cotiua por estar defiida por poliomios. Para es imediato ver que f() ( 6) 8 y f() ( 7) 8. Como los límites laterales coicide, la fució tambié es cotiua e ; por tato, f es cotiua e R. b) Si, f es cotiua por estar defiida por poliomios. Para es imediato ver que f() ( 6) 8 y f() ( 7) 6. Como los límites laterales o coicide, la fució o es cotiua e ; por tato, f es cotiua e R {}. c) f preseta ua discotiuidad de salto ifiito e 0. Además se verifica que f() 6 8 y f() ( 7) 8. Como los límites laterales e so fiitos y coicide, se cocluye que la fució es cotiua e R {0}. 5 6 si 5 6 si Para : f() ( ) 5; f() ( ) 5 Los límites laterales so fiitos y coicide; la fució es cotiua e ; por tato, f es cotiua e R. d) f() 5 6 es cotiua e R {}. 5 4 si 5 e) f() si 5. Si 5,, f es cotiua 5 4 si al ser poliómica. Si 5: f() 4 4 y f() ( 6) 4 f es cotiua e Si : f() ( 6) 4 y f() 4 4 f es cotiua e todo R. f) f() 0. f es la composició de la fució valor absoluto co u poliomio f es cotiua e R. g) f(). Es cotiua e R {0}, ya que el deomiador de f se aula e 0 (discotiuidad de salto ifiito). Solucioario

21 Solucioario 8.6. (PAU) (TIC) Al dibujar la gráfica de las fucioes f() y g() obteemos la misma gráfica para ambas fucioes, como se ve e el dibujo. Si embargo, dichas fucioes o so iguales. Idica sus diferecias haciedo u estudio de lo que ocurre e el puto de abscisa. f Dichas fucioes o so iguales, pues D(f) R y D(g) R {}; por lo que g o es cotiua e. g Si embargo: g() ( )( ) ( ) f() si 8.6. Estudia la cotiuidad de la fució f() y dibújala. si si Como las fucioes que defie f so cotiuas, los úicos putos dode podría haber problemas so los de abscisas y. f() f() f() f() ( ) f es cotiua e R {} (PAU) Determia a y b para que sea cotiua e todo R la fució f() si 0 a b si 0 5 si f es cotiua e R {0, }, ya que está defiida por fucioes poliómicas. Para que f sea cotiua e 0 y, los límites laterales e dichos putos debe coicidir. f() ( ) yf() (a b) b b f() (a b) a b yf() ( 5) a b a Calcula los valores de m y para que la fució f() m 0 sea cotiua e todos los úmeros reales. f es cotiua e R {0, }, ya que está defiida por fucioes poliómicas. Para que f sea cotiua e 0 y, los límites laterales e dichos putos debe coicidir. f() yf() (m ) f() (m ) m yf() m m 4 Solucioario

22 Sucesioes de úmeros reales. Límites a) Demuestra que la sucesió a es creciete y acotada superiormete. b) Halla su límite. a a ( 5)( ) ( 5) ( ) 0 ( ) ( ) ; así pues, todos los térmios de la sucesió so meores que. a a) Eucia u resultado similar al de las sucesioes moótoas crecietes y acotadas superiormete para sucesioes moótoas decrecietes. b) Compruébalo para la sucesió a. 5 6 a) Si a es ua sucesió moótoa decreciete y acotada iferiormete, tiee límite. 5 4 ( )( )( 4) ( )( 0 ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sabiedo que a, b, c 0 y d, calcula los límites de las siguietes sucesioes. d a a) a b d) g) b a b b) a b e) a d h) (a b ) c c) c d f) d i) (a d ) a a) (a b ) d) g) b a d b d 0 b) (a b ) () 6 e) (a d ) h) b a () 8 c c) (c d ) 0 Idetermiado f) d 0 i) a d () Determia el valor de los siguietes límites. 5 a) c) 7 e) 9 5 b) ( 7)(8 ) ( ) a) b) ( 7) (8 ) ( ) 5 c) 7 9 d) ( 5) f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5) ( ) ( b) a a ( ) ) ( 4) ( )( ( )( ) ( )( 4) ) ( )( )( 4) 0 ( ) e) 4 5 d) ( 5) f) ( ) 4 Solucioario 5

23 Solucioario Halla los límites siguietes. a) ( ) b) ( ) c) ( 5 ) a) ( ) b) ( ) 0 c) ( 5 ) Calcula, si eiste, los siguietes límites. a) ( ) c) e) b) d) 6 f) a) ( ) 0 b) c) d) 6 4 e 4 e e) e 4 e e f) ( ) e 6 Solucioario

24 Sítesis 8.7*. Sea f la fució defiida por f(). Cuál es el domiio de f? Calcula los límites f() y f(). Estudia los límites f() y f(). D(f) R {, } Si 0, f() y f() Si 0, f() y f() Si 0, f() 6, por lo que f() 0 y f() Calcula los úmeros a, b y c, sabiedo que la recta y es ua asítota oblicua de f() a b c. f() a b c a b a a b c a, b y c puede tomar cualquier valor. Como c es divisible por cuado c, debemos ecluir este valor de c, pues la fució f() es f() si, es decir, su gráfica es ua recta co u agujero y, auque e rigor, la recta y es asítota de esta fució, o se suele cosiderar como tal. Por tato, se cocluye: a, b, c (PAU) Estudia razoadamete las asítotas y la cotiuidad de la fució f(). ( ) f o es cotiua e, pues o está defiida. E todos los demás valores de, f es cotiua. Al ser. La recta es asítota vertical. ( ) No tiee asítotas horizotales al ser ifiitos los límites e el ifiito. f(), co lo que la recta y es asítota oblicua de dicha fució A cotiuació te mostramos el comportamieto de cuatro gráficas e toro a su asítota vertical. a) b) c) d) a) b) c) d) Asocia cada ua de ellas co ua de estas fucioes: f() g() h() j() ( ) ( ) a) h() b) j() c) f() d) g() Solucioario 7

25 Solucioario Completa la siguiete tabla (f y g so fucioes reales de variable real). Formulació aalítica Iterpretació gráfica f() La recta es asítota vertical de la fució por la izquierda de. 0 es solució de la ecuació f() 0. Si [, ], etoces f() g() La gráfica de f pasa por el orige de coordeadas. E el itervalo [, ], la gráfica de f está por debajo de la de g. 4 es solució de la ecuació f() g(). f y g se corta e el puto de abscisas 4. La ecuació f() 6 o tiee solució. La fució f o toma el valor -6, esto es, -6 o perteece al R(f) 5 y so solucioes de la ecuació La recta y corta la gráfica de g e los putos g(). (5, ) y (, ) Calcula los límites siguietes. a) 7 f) ( )( 4) ( a ) k) 0 b) ( 4 ) g) ( ) l) c) ( ) 6 9 d) i) e) ( ) j) a) 7 )( 4) 8 ( b) ( 4 ) c) d) ( ) 6 9 e) ( ) f) ( a ) g) ( ) h) 7 0 m) (4 ) ( ) ( a ) a a a ( ) h) 7 0 ( 5)( ) 5 5 ) 0 5 ( ) a ( 5) 8 Solucioario

26 i) j) k) ( e ) 0 ( ) l) o eiste pues y m) ) 0 5 ( ) 5 e E cada caso, esboza el dibujo de la gráfica de ua fució que cumpla las codicioes dadas. a) f() f() b) f() Si 0, f() Asítota horizotal y e Asítota oblicua y Asítota vertical e Discotiuidad evitable e (, ) a) b) Solucioario 9

27 Solucioario PRBLEMAS Ua empresa produce ratoes ialámbricos e grades catidades. Atediedo a los gastos de puesta e marcha de la maquiaria, al salario de sus trabajadores y a otros factores, se ha llegado a la coclusió de que producir p ratoes tiee u coste total, e euros, de C(p) 0p a) Ecuetra la epresió de la fució C m que os da el precio uitario medio de u rató al fabricar p uidades. b) Calcula C m (0) y C m (000). A qué es debido que haya tata diferecia etre u coste y otro? c) Calcula C m (p) y da ua iterpretació ecoómica al resultado. p a) C m (p) C p p p b) C m (0) C 0 m (000) La diferecia estriba e que ua compoete importate del precio de producció de p ratoes, , es idepediete del úmero de estos. c) C m (p) lím p p p Como se observa, C m (p) sea cual sea p, pero cuado p se hace grade, se aproima a p 0, ya que el otro sumado, debido a los gastos de puesta e marcha de maquiaria, etc., se va amortizado al haber mucha producció U barco avega del puto A al puto B describiedo ua semicircuferecia cetrada e ua isla. Luego avega e líea recta desde B hasta C. A C B Cuál de las siguietes cuatro gráficas muestra la distacia del barco a la isla, segú la distacia recorrida? a) d (b, ) b) d (b, ) c) d (b, ) d) d (b, ) S S S S La gráfica b. 0 Solucioario

28 8.80. El fraqueo de las cartas varía segú su peso, como se idica e la tabla siguiete. a) Cuáto costaría fraquear ua carta de 45 g? b) Represeta la gráfica de la fució que os idica el precio del fraqueo segú el peso de la carta. Elige adecuadamete la escala de los ejes para que se refleje toda la iformació. c) Es cotiua dicha fució? Cómo se llama este tipo de fucioes? a) 0,84 euros b) 4,0,6,,8,4,0,6, 0,8 0,4 Precio ( ) Peso (g) c) La fució o es cotiua. Este tipo de fucioes se llama escaloadas. Peso (g) Precio ( ) Hasta 0 0,4 Hasta 50 0,8 Hasta 00 0,54 Hasta 00 0,84 Hasta 50,50 Hasta 000,85 Hasta 000, La logitud l (cm) de ua barra metálica varía co la temperatura T (ºC) de acuerdo co la fució: l(t) 0,5 0,05 T Determia para qué rago de temperaturas la logitud se matiee a meos de mm de 0 cm. Hay que calcular las temperaturas correspodietes a las logitudes 9,9 cm y 0, cm. 9,9 0,5 0,05 T T 4 ºC 0, 0,5 0,05 T T 0, 0,5 6 ºC 0,05 La temperatura oscila etre los 4 ºC y 6 ºC Tres parejas de ua especie e peligro de etició se itroduce e u parque atural para itetar su recuperació. Los estudios idica que la població,, aumetará de acuerdo co la fució: 00t (t) 6 t 00 dode t es el tiempo e años. a) Si la població crítica a partir de la cual se cosidera que la repoblació ha teido éito se logra cuado se supera los 50 ejemplares, calcula cuádo se alcaza dicho ivel crítico. b) Cuál es el comportamieto de la població para t 0, 0, 40 y 60 años? Qué coclusioes se puede sacar de estos resultados? 00t 00t a) 50 6 t t t t 4,4 años b) (0) 6 56 (0) (0) 6 88,5 (40) , La població tiede a estabilizarse, siedo su valor límite 06 ejemplares. Solucioario

29 8.8. El úmero de ordeadores que tiee e stock ua pequeña empresa viee dado por la fórmula N(t) 0 t t Solucioario dode el tiempo, t, se mide e semaas. Esboza la gráfica de la fució y estudia su cotiuidad. Cada cuáto tiempo debe repoer su mercacía la empresa? Nº de ordedores 0 La fució es periódica. Debe repoer productos cada tres semaas. 6 9 t PRFUNDIZACIÓN (PAU) Halla el valor de a para que a a 4 a e ()a 4 e 4 4 ( )a a ( )a a (PAU) El térmio eésimo de ua sucesió es a. Escribe el térmio a! y calcula a. a a ( ) ( )! a ( )!( ) ( )! ( ) ( ) a ( )! ( )! a e a Solucioario

30 8.86. (TIC) Todas las asítotas estudiadas e este capítulo so líeas rectas. Hay otras curvas a las que se aproima la gráfica de f cuado se aleja del orige. So las llamadas ramas parabólicas. Veamos u ejemplo: a) Co ayuda de tu calculadora gráfica, represeta e ua misma patalla las curvas de ecuació f() 7 y g(). b) A la vista del apartado a, haz ua cojetura sobre a qué curva se aproima la fució. c) Demuestra que tu cojetura es cierta calculado los límites (f() g()) y (f() g()). d) Por último, divide el umerador de f etre su deomiador y cometa el resultado obteido. a) b) f() se aproima a la curva g() cuado se aleja del orige. 7 c) (f() g()) ( ) 7 (f() g()) ( ) d) ( ) y 7 ( ) 0 f( ) E cualquier cociete de poliomios, al hacer la divisió os va a dar de cociete el poliomio c() y de resto g ( ) f( ) r( ) el poliomio r(), así que f() c() g() r(), de dode c(), y como grado r grado g, etoces g ( ) g ( ) f( ) c() g( ) f( ) 0; así pues, la curva se va a aproimar, cuado se aleja del orige, a la curva g ( ) y c() Dibuja el cojuto de putos del plao (, y) que verifica cada ua de las siguietes igualdades. a) y b) y 9 c) ( )y 9 Correspode todas a la gráfica de ua fució? La curva del apartado c o correspode a la gráfica de ua fució, pues para hay más de u valor de y. Solucioario

31 Solucioario Dibuja la gráfica de la fució y ( ). Como ( ), os pide dibujar si y si a) Si g() y h() 9, ecuetra ua fució f tal que f g h. b) Si g() y h(), ecuetra ua fució f tal que f g h. a) h() 9 ( ) (f g)() f(g()) (g()) f() b) (f g)() f ( ) Esta afirmació será correcta si f(), pues etoces f( ) Po u ejemplo de dos fucioes f y g tales que o eista f() i g(), pero sí (f() g()). f() si g() si (f g)() si 4 si No eiste f () i g(), pero (f g)() 5. si 5 si 8.9. Si eiste f() y (f() g()), puede asegurarse que eiste g()? Como g() [f () g()] f (), podemos asegurar que si eiste f () y [f () g()], eiste g() Si f() g() salvo e 009 putos, qué puedes decir de los límites de ambas fucioes e 5? Podemos afirmar que eiste uo de ellos solamete si eiste el otro, y e caso de eistir, sería iguales a) Comprueba gráficamete que si f, g y h so tres fucioes tales que f() g() h() y además a f() a b) Calcula 0 se g() l, etoces h() l. a a) b) se h g l f Como ( ) ( ) se 0 a 4 Solucioario

32 8.94. Etre las siguietes afirmacioes, determia cuáles so siempre ciertas y cuáles puede ser falsas. a) Si f() 0 y f() 0, debe haber u úmero c e (, ) tal que f(c) 0. b) Si f es cotiua e [, ] y hay u úmero c e (, ) tal que f(c) 0, etoces f() y f() debe ser de diferete sigo. c) Si f es cotiua e [, ] y uca se aula e (, ), etoces () y f() tiee el mismo sigo. a) No tiee por qué ser cierta si f o es cotiua. Si f es cotiua, será cierta. b) Tampoco tiee por qué ser cierta. Por ejemplo: f(). c) Sí que es siempre cierta, pues si f() y f() tuviera diferete sigo, al ser cotiua e [, ], tedría que aularse e algú puto del iterior Calcula las asítotas oblicuas, si eiste, de: a) f() b) f() a) m ; ( ) 0 Así pues, la recta y es asítota por la derecha, y como la fució es par, la recta y lo es por la izquierda. b) f(), (f() ) 0, por lo que y es asítota oblicua por la derecha. E cambio, o hay asítota oblicua por la izquierda, pues f( ) R E cada caso, dibuja los putos del plao (, y) co que verifica las siguietes codicioes. a) y [] b) y [ ] c) y d) y _ Hay algú úmero c para el que eista 4 c c? Calcula c y el límite correspodiete. Como ( ) 0, para que eista el límite del cociete es codició ecesaria que el límite del umerador sea tambié 0, y al tratarse de ua fució cotiua, debe ser 0 el valor que tome e : 4 c c 0 c, siedo etoces la fució f() 4 si,, por lo que f() 4. Solucioario 5

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