APLICACIONES DE LA DERIVADA

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1 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 Página 69 Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes: A B C D E F G f convea f cóncava f' decreciente f' creciente f'' < 0 f'' > 0 CD f convea f' decreciente f" < 0 DE f cóncava f' creciente f" > 0 EF f convea f' decreciente f" < 0 FG f cóncava f' creciente f" > 0 Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

2 Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: La función está definida en [0, 7]. Solo toma valores positivos. Pasa por los puntos (0, ), (, ) y (7, ). En el intervalo (, ), la función es convea. En el intervalo (, ), f''> 0. En el intervalo (, 6), f' es decreciente. En el intervalo (6, 7), f es cóncava. Página Halla las rectas tangentes a la curva y en los puntos de abscisas 0,,. Calculamos la derivada de la función: y' (5 + 6)( ) ( ) ( ) ( ) Ordenadas de los puntos: y(0) 0; y() ; y() 50 Recta tangente en (0, 0): y'(0) 8 y 8 Recta tangente en (, ): y'() 9 y 9( ) 9 + Recta tangente en (, 50): y'() y 50 + ( ) + 7. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y + que sean paralelas a la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto. y + Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

3 Calculamos la derivada: y' Si son paralelas a la bisectriz del - o y - o cuadrante, la pendiente es. Por tanto: ± y( ) 6 y() 0 Recta tangente en (, 6): y 6 ( + ) + 5 Recta tangente en (, 0): y 0 ( ) + Página 7. Dada la función y 9 + 5, averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece. y' 6 9 ( ) ( )( + ) a) < y' > 0 f es creciente en (, ) > y' > 0 f es creciente en (, + ) b) < < y' < 0 f es decreciente en (, ) Página 7. Comprueba que la función y /( ) tiene solo dos puntos singulares, en 0 y en 6. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada. y' ( ) ( ) ( )(( ) ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) ( 6) ( ) y' 0 ( 6) f'( 0,0) > 0 f'(0,0) > 0 En 0 hay un punto de infleión. f'(5,99) < 0 f'(6,0) > 0 En 6 hay un mínimo relativo Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

4 f'( 0,0) > 0 f'(0,0) > 0 En 0 hay un punto de infleión. f'(5,99) < 0 f'(6,0) > 0 En 6 hay un mínimo relativo. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y +. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Ídem para y a) y' + ( + ) y' 0 0 Punto (0, 0) Punto (, ) Dos puntos singulares. Los dos puntos están en el intervalo [ ;,5], donde la función es derivable. Además, f ( ) 7 y f (,5),7. En (0, 0) hay un punto de infleión. En (, ) hay un máimo relativo. b) y' ( +)( +)( +) y' 0 Punto (, 0) Punto (, ) Punto (, 0) Tres puntos singulares. Los tres puntos están en el mismo intervalo [, 0], donde la función es derivable. 9 Además, f ( ) f (0) 9. Hay un mínimo relativo en (, 0), un máimo relativo en (, ) y un mínimo relativo en (, 0). Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

5 Página 75. Estudia la curvatura de la función: y f'() ; f''() Punto (0, 5) f''() 0 ( ) 0 Punto (, 7 ) ( f'''() 7 8; f'''(0) 0; f'''( ) 0) Los puntos (0, 5) y (, ) son puntos de infleión. 7 La función es cóncava en (, 0) U (, + ), pues f''() > 0. La función es convea en el intervalo ( ) 0,, pues f''() < 0.. Estudia la curvatura de la función: y f'() + 9; f''() 6 f''() Punto (, ) ( f'''() 6; f'''() 0) El punto (, ) es un punto de infleión. La función es convea en (, ), pues f''() < 0. La función es cóncava en (, + ), pues f''() > 0. Página 77. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. Llamamos al número que buscamos. Ha de ser > 0. Tenemos que minimizar la función: 5 f () + f'() 5 5 f (5) (no vale, pues >0) (Como lím f () +, lím f () +, y la función es continua en (0, + ); hay 0 + un mínimo en 5). + Por tanto, el número buscado es 5. El mínimo es 0. Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 5

6 . De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 0 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máima. + y 0 y 0 y (0 ) Área 0, 0 < < 0 Tenemos que maimizar la función: 0 f () y, 0 < < 0 0 f'() y ( 5 f (0) 0; f (0) 0; f (5) ; y f es continua. Luego, en 5 está el máimo). Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máima es de,5 cm.. Entre todos los rectángulos de perímetro m, cuál es el que tiene la diagonal menor? d (6 ) +, 0 < < 6 d 6 Tenemos que minimizar la función: f () (6 ) +, 0 < < 6 (6 ) + f'() + (6 ) + (6 ) + f'() (6 ) + ( f (0) 6; f (6) 6; f () 8,; y f () es continua. Luego, en hay un mínimo). El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado m.. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Suponemos el recipiente con dos tapas: πr h h Área total πrh + πr πr(h + r) r r V 6,8 l 6,8 dm Como V π r h, r h 6,8 h 6,8, r r h Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 6

7 Así: Áreal total πr ( + r) ( π + r ) r Tenemos que hallar el mínimo de la función: f (r) π ( + r ), r >0 f'(r) π ( + r ) π ( ) 0 + r 0 r (Como lím f (r) +, lím f (r) +, y f es continua en (0, + ); en r hay r 0 + un mínimo). r r h. El cilindro tendrá radio dm y altura dm. r r r r + + r r Página 8 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos cuya abscisa se indica: a) y en b) y 0, 0,0 en 0 c) y + en d) y en + 5 e) y en f) y sen π en 5 g) y e en 0 h) y sen cos en i) y ln ( + ) en 0 j) y ln en e a) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' y' () Recta tangente: y ( ) + b) Ordenada en el punto: 0 y Pendiente de la recta: y' 0, 0,0 y' (0) 0, 0, 0, π Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 7

8 Recta tangente: y + 0, ( 0) 0, + c) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' + y' ( ) 7 Recta tangente: y + ( + ) d) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' y' () Recta tangente: y ( ) + 6 e) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' 0 0 y' () ( 5) 5 5 Recta tangente: y ( ) π f) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' sen cos y' ( ) 0 Recta tangente: y π g) Ordenada en el punto: 0 y Pendiente de la recta: y' e y' (0) Recta tangente: y + π h) Ordenada en el punto: y Pendiente de la recta: y' cos sen y' ( ) 0 Recta tangente: y i) Ordenada en el punto: 0 y 0 Pendiente de la recta: y' + y' (0) Recta tangente: y π Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 8

9 j) Ordenada en el punto: e y e Pendiente de la recta: y' ln + y' (e) Recta tangente: y e + ( e) e S Escribe la ecuación de la tangente a la curva y + +, que es paralela a la recta y Calculamos la pendiente de la recta y + 5 0: y y + 5 Pendiente. y' + La recta tangente tiene pendiente y pasa por (, ): y + ( + ) y Halla las tangentes a la curva y paralelas a la recta + y 0. S La pendiente de la recta + y 0 es m. Buscamos los puntos en los que la derivada sea igual a : y' ( ) ( ) + + y' ( + ) ( ) 0 Recta tangente en (0, 0): y Recta tangente en (, ): y ( ) y + 8 Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función y en los puntos de corte con el eje de S abscisas. Los puntos de corte son (0, 0) y (, 0). y'(0) pendiente en (0, 0) y' y'() pendiente en (, 0) Rectas tangentes: En (0, 0) y En (, 0) y ( ) Punto (0, 0) Punto (, ) Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 9

10 5 Halla los puntos de tangente horizontal en las siguientes funciones y escribe la ecuación de la tangente en esos puntos: a) y + b) y + c) y 6 d) y + a) y' y 0 / y /7 b) y' + ( + ) 0 0 y 0 + / y / / y / c) y' 6 ( + ) ( + ) d) y' ( 5) ( 5 + ) 0 0 y y y y 9 6. Dada la parábola y + : a) Halla la pendiente de la recta r que une los puntos de la parábola de abscisas 0 y. b) Escribe la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a la recta r del apartado a). a) El punto de la parábola de abscisa 0 es el (0, ) y el de es el (, 0). Por tanto, la pendiente de la recta que los une es: 0 m 0 ( ) La ecuación de la recta es y. b) Cualquier paralela a la recta r de a) será de la forma y + k. Como debe ser tangente a la parábola: y + k y + + k + + ( + k) 0 ± 9 ( + k) ± k Para que la solución sea única, el discriminante tiene que ser nulo: Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 0

11 k 0 k k Por tanto, la recta pedida es y tangente a la parábola en el punto (, ). Máimos y mínimos. Puntos de infleión 7 Halla los máimos, mínimos y puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y b) y ( 8) c) y d) y + e) y + f) y e ( ) a) y f'() f'() No tiene solución. No tiene ni máimos ni mínimos. f''() f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en (, 9). b) y 8 f'() f'() 0 ( ) 0 0 y 0 y (/) f' < 0 f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en (, ). f''() 0 ( ) 0 0 y 0 / y (6/8) Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

12 f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). 6 8 c) f'() 6 f'() 0 ( 6) 0 0 y 0 / y (7/6) f' < 0 f' < 0 f' > Hay un mínimo en (, ). f''() ( ) 0 0 y 0 y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). d) f'() f'() 0 ( + ) 0 0 y 0 f' < 0 f' > 0 0 Hay un mínimo en (0, 0). f''() + 0 para todo. No hay puntos de infleión. e) f'() ( + ) f'() y f' > 0 f' < 0 0 Hay un máimo en (0, ). f''() ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 ( + ) ( + ) 6 ( + ) Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

13 f''() 0 ± ± ± y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en (, ) y otro en (, ). f) f'() e ( ) + e e ( + ) e f'() 0 e 0 0 (pues e 0 para todo ) y f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un mínimo en (0, ). f''() e + e e ( + ) f''() 0 y e f'' < 0 f'' > 0 e Hay un punto de infleión en (, ). 8 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y di si tienen máimos o mínimos: a) y b) y c) y d) y + + a) y. Dominio Á {, } f'() 0 0 ( ) Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

14 La función: crece en (, ) U (, 0) decrece en (0, ) U (, + ) tiene un máimo en ( ) 0, b) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + + ( + ) ( + ) 5 ( + ) f'() > 0 para todo. Por tanto, la función es creciente en (, ) U (, + ). No tiene máimos ni mínimos. c) y. Dominio Á + f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) f'() > Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 0 La función: decrece en (, 0) crece en (0, + ) tiene un mínimo en (0, 0) d) y. Dominio Á {0} f'() ( ) + + f'() 0 para todo 0. f'() > 0 para todo 0. La función es creciente en (, 0) U (0, + ). No tiene máimos ni mínimos. 9 Halla los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de las siguientes funciones: 8 a) y b) y + c) y ( ) Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

15 d) y ( )( ) e) y f) y 8 ( )( ) ( ) 8 a) y 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() ( ) (8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 6 ± ± ± 8 6 / Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: es creciente en (, 0) U ( ) 0, es decreciente en (, ) U (, ) 9 tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en ( ), U (, + ) f' > 0 b) y +. Dominio Á {, } f'() ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f'() Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, 0) es decreciente en (0, ) U (, + ) tiene un máimo en (0, ) Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 5

16 c) y. Dominio Á {, } f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 Signo de la derivada: 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, ) tiene un punto de infleión en (0, 0) d) y. Dominio Á {} f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) f'() 0 ± 6 ± + 0 ± Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 La función: es creciente en (, ) U (, ) es decreciente en (, ) U (, + ) Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 6

17 tiene un mínimo en (, ) tiene un máimo en (, 9) e) y 9. Dominio Á f'() 6 9 ( ) ± + ± 6 f'() 0 ± f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) tiene un máimo en (, 5) tiene un mínimo en (, 7) f) y 8 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() 8( 6) 8( 6) ( ) ( ) 8( 6) ( ) f'() Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f' < 0 La función: es creciente en (0, ) es decreciente en (, 0) U (, ) U (, + ) tiene un máimo en (, ) 0 Estudia la concavidad, conveidad y puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y + b) y 6 c) y ( ) d) y e e) y + f) y ln ( + ) a) y +. Dominio Á f'() ; f''() 6 f''() Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 7

18 Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 0 La función: es convea en (, 0) es cóncava en (0, + ) tiene un punto de infleión en (0, ) b) y 6. Dominio Á f'() ; f''() f''() 0 ( ) 0 Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 La función: es cóncava en (, ) U (, + ) es convea en (, ) tiene un punto de infleión en (, 5) y otro en (, 5) c) y ( ). Dominio Á f'() ( ) ; f''() ( ) f''() 0 f''() > 0 para Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de infleión. d) y e. Dominio Á f'() e + e ( + )e ; f''() e + ( + )e ( + )e f''() 0 (e 0 para todo ) Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) tiene un punto de infleión en ( ), e Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 8

19 e) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + ( +) ( +) f''() 6 ( +) ( +) f''() 0 para todo. Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) no tiene puntos de infleión f) y ln( +). Dominio (, + ) f'() f''() + ( +) f''() < 0 para (, + ) Por tanto, la función es convea en (, + ). Estudia si las siguientes funciones tienen máimos, mínimos o puntos de infleión en el punto de abscisa : a) y + ( ) b) y + ( ) c) y ( ) 6 a) f'() ( ) ; f''() 6( ) f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en. b) f'() ( ) ; f''() ( ) f' < 0 f' > 0 f'' > 0 f'' > 0 Hay un mínimo en. Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 9

20 f' > 0 f' < 0 f'' < 0 f'' < 0 Hay un máimo en. Página 8 PARA RESOLVER Prueba que la recta y es tangente a y Halla el punto de tangencia y estudia si esa recta corta a la curva en otro punto distinto al de tangencia. y' +8 Veamos para qué valor de tiene pendiente : +8 y y El punto (, ) verifica la ecuación. Veamos los puntos de corte: ( 6 + 9) 0 El otro punto de corte es (0, 0). Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y 0 en su S punto de infleión. Hallamos su punto de infleión: f'() ; f''() f''() 0 Hay un punto de infleión en (, ). Pendiente de la recta tangente en ese punto: f'( ) 6 Ecuación de la recta tangente: 6 0 y 0 y 6 f'' < 0 f'' > y ( ) 7 6 Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 0

21 y' a + b y'() a + b Pasa por A(, ) y() a + b + c Pasa por B(5, ) y(5) 5a +5b + c Solución del sistema: a, b 6, c 7 y La curva y + a + b + c corta al eje de abscisas en y tiene un punto de infleión en (, ). Calcula a, b y c. y + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a f ( ) 0 + a b + c 0 a b + c a 6 f () 8 + a + b + c a + b + c 7 b f''() 0 + a 0 a 6 c 6 De la función f () a + b sabemos que pasa por (, ) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta + y 0. a) Halla a y b. b) Determina sus etremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) f () a + b; f'() a + b Determina la parábola y a + b + c que es tangente a la recta y S en el punto A(, ) y que pasa por el punto B(5, ). y a + b + c 0 f () a + b f'() a + b a b f () + b) f'() 6 + f'() 0 ( ) 0 Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

22 La función: es decreciente en (, ) U (, + ) es creciente en (, ) tiene un mínimo en ( ), tiene un máimo en (, ) 7 De la función f () + a + b se sabe que: S Tiene un mínimo en. Su gráfica pasa por el punto (, ). Teniendo en cuenta estos datos, cuánto vale la función en? f'() + a Además: Tiene un mínimo en f'() 0 + a 0 a Su gráfica pasa por (, ) f () + ( ) + b b b 6 Por tanto: f () + a + b + ( ) Calcula p y q de modo que la curva y + p + q contenga al punto (, ) S y presente un mínimo en. y + p + q f'() + p f( ) p + q f'( ) ( ) + p 0 p 6 () 6 + q q 9 Por tanto: p 6 y q 9 9 Estudia los intervalos de crecimiento y de concavidad de las siguientes funciones: a) f () + b) f () a) f() f'() ( ) + ( + ) f'() 0 0 ± Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f''() 6 ( ) ( + ) f''() 0 0,, f'' < 0 f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

23 b) f() f'() f'() 0 0, Signo de la derivada: f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f''() f''() 0, Signo de la segunda derivada: f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Comprueba y justifica que la función f () e es siempre decreciente y cóncava. f() e f'() e < 0 para cualquier valor de Por tanto, f () es siempre decreciente. f''() 9e > 0 para todo Así, f() es cóncava en todo su dominio. Observando la gráfica de la función f', derivada de f, di: a) Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Tiene f máimo o mínimo? a) f es creciente ( f' > 0) en el intervalo (, ) y decreciente ( f' < 0) en (, + ) b) f tiene un máimo en. f' Esta es la gráfica de la función derivada de f (). Eplica si f () tiene máimos, mínimos o puntos de infleión en, y 5. f' : en este punto la función tiene un mínimo, porque pasa de ser decreciente(f' < 0) a creciente (f' > 0). : en este punto f tiene un punto de infleión, ya que f''() 0. 5: en este punto f tiene un máimo, pues pasa de ser creciente a decreciente. Dada la función f () + si + si > : a) Halla su función derivada. b) Tiene f algún punto en el que f'() 0? c) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. d) Escribe la ecuación de la recta tangente a f en 0. Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

24 f() + + si si > a) f() + si < si > b) f'() 0 solo puede darse para + 0 c) Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' > 0 d) La pendiente de la recta en 0 es: m f'(0) Por tanto: y f(0) m( 0) y ( ) ( 0) y Esta es la gráfica de una función y f (). a) Indica el signo que tendrá f' en los intervalos (, ), (, ) y (, + ). b) En qué puntos la gráfica de f' cortará al eje OX? a) f' > 0 f' < 0 f' > 0 b) En y en 5 Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y en su punto de infleión. y y' y'' 8 El punto de infleión será: f''() (, 7) En ese punto, la pendiente de la recta tangente es: m f'() Así, la ecuación de la recta pedida es: y f() m( ) y 7 ( ) y + 6 Dada la curva y : a) Cuál es la función que nos da la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera? b) Halla el punto en el que la pendiente de la recta tangente es máima. a) La función pedida es la de su función derivada: f'() Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

25 b) Para ello hay que hallar el máimo de la funcón f': f''() f''() 0 ( ) 0 0 y Hallamos la tercera derivada: f'''() f'''(0) < 0 (0, 0) es un máimo f'''() > 0 (, 6) es un mínimo El punto pedido es el (0, 0). Página 8 Problemas de optimización 7 Con una cartulina rectangular de m m se quiere construir una caja sin tapa. Para ello se recorta un cuadrado de cada uno de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máimo. El volumen de la caja es: V() ( ) ( ), (0, ) V() V'() V'() ± 8,7 (no vale) 0,9 V''() 0 + ; V''(0,9) < 0 0,9 es máimo. 8 Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0 cm, cuál es el de área S máima? Perímetro + y 0 y 0 Altura h y h (c ) (0 ) y h Área y Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 5

26 (0 ) 0 5 (5 ) 0 5 (5 ) (0 5) Tenemos que maimizar la función área: f () f'() f'() ( ) 0 5 ± ± 5 5 ± 5 5 (no vale) 0 (f'() > 0 a la izquierda de 0 y f'() < 0 a la derecha de 0. Por tanto, en 0 hay un máimo). Luego, el triángulo de área máima es el equilátero de lado 0 cm, cuya área es 5, cm. 9 Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 0 cm y de capacidad máima. Cuál debe ser el radio de la base? h + R 00 R 00 h Volumen πr h π (00 h )h π (00h h ) 0 cm h Tenemos que maimizar la función volumen: f (h) π (00h h ) f'(h) π (00 h ) R f'(h) 0 00 h 0 h 00 (consideramos la raíz positiva, pues h 0). ( f'(h) > 0 a la izquierda de h y f'(h) < 0 a la derecha de h Luego, en h 00 hay un máimo). Por tanto, el radio de la base será: R 00 h R 00 Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 6

27 0 Se sabe que el rendimiento, r en %, de un estudiante que realiza un eamen de una hora viene dado por r (t) 00t ( t ) siendo 0 t, t en horas. a) Eplica cuándo aumenta y cuándo disminuye el rendimiento. b) Cuándo se anula? c) Cuándo es máimo? r(t) 00t( t), 0 t, t en horas. a) r'(t) t r'(t) 0 t r' > 0 r' < 0 r(t) aumenta entre 0 y r(t) disminuye entre b) r(t) 0 00t ( t) 0 t 0 y t, pues r es creciente. y, pues r es decreciente. c) r'(t) 0 t. (Es máimo pues r' > 0 a su izquierda y r' < 0 a su derecha). Un comerciante compra artículos a 50 la unidad y sabe que si el precio S de venta es 750, vende 0 unidades al mes y que por cada descuento de 0 en el precio de venta, incrementa las ventas de cada mes en unidades. Determina el precio de venta que hace máimos los beneficios del comerciante. Llamamos: n- o de veces que se descuentan 0. Así, el precio por unidad será de: 750 0, y por tanto se venderán 0 + unidades al mes; luego el dinero obtenido por las ventas vendrá dado por la función: f () (750 0) (0 + ) Maimizar los beneficios es equivalente a maimizar esta función: f'() f'() 0,75 0 Comprobamos que, efectivamente, se trata de un máimo: f''() 0 f''(,75) 0 < 0,75 es máimo Por tanto, el precio de venta que hace máimos los beneficios es: , /unidad Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 7

28 Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se S desea que el perímetro de dicha pista sea de 00 m, halla las dimensiones que hacen máima el área de la región rectangular. y Perímetro de la pista + π y 00 Despejamos: y Área del rectángulo y Derivamos: A' 0 50 m y m π π π (A'' ; A''(50) < 0 50 es máimo) π El saldo, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo viene S dado por la función: 0,t si 0 t < f (t ), + 0,0(t ) si t < 8,6 + 0,(t 8) si 8 t Deduce razonadamente el valor de t en el que el capital fue máimo. f(t) 00 π 00 π 0,t si 0 t <, + 0,0(t ) si t < 8,6 + 0,(t 8) si 8 t En el primer intervalo se trata de una función afín decreciente que alcanza el máimo valor en 0, f (0). En el segundo intervalo tenemos otra función afín creciente, por lo que alcanza su máimo valor en 8, f (8 ),6. En el tercer intervalo, derivamos: f'(t) 0, (t 8) Tiene un mínimo en t 8, por lo que alcanza el máimo en el otro etremo del intervalo: f (),96. Por tanto, el capital fue máimo en t. 00 π Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 8

29 Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a medida S que transcurre la jornada laboral. (Dicho rendimiento corresponde al número de instancias revisadas en una hora). La función que epresa dicho rendimiento es: R(t) 0t 0,5t + t siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. a) Determina cuándo se produce el máimo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento. b) Halla la tasa de variación media del rendimiento R(t) entre t y t. Vamos a suponer una jornada laboral de 8 horas; es decir: R(t) 0t 0,5t + t ; t [0, 8] a) R'(t) 0 t + t R'(t) 0 0 t + t 0 t 5 t R' > 0 R' < 0 R' > R(0) 0 R() 6 R(5),5 R(8) 80 Hay un mínimo relativo en t 5 y un máimo relativo en t, pero el mínimo absoluto corresponde a t 0 y el máimo absoluto a t 8 horas. R() R() b) T.V.M.[, ] 5 5 Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6 m de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta,5 y el de tramo vertical. a) Calcula las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo. b) Cuál será ese coste mínimo? 6 a) Área y 6 y 6 m y Coste,5 + y 5 + 6y 6 C 5 + C' ,68 m y 5, m (C'' 7 ; C''( ) > 0 es mínimo) b) C ,8 5 Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 9

30 6 Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R() en miles de euros viene dada en función de la cantidad que se invierte, en miles de euros, por medio de la siguiente epresión: R() 0,00 + 0, +,5 a) Deduce y razona qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan. b) Qué rentabilidad se obtendrá? R() 0,00 + 0, +,5 a) R'() 0,00 + 0, R'() 0 00 miles de. (R''() 0,00, R''(00) < 0 00 es máimo) Invirtiendo se obtiene la máima rentabilidad. b) R(00),5 miles de Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio P(t), en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la función: P(t) t + si 0 t (5/)t + 5 si < t 8 a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de P(t). b) Cuál fue el precio máimo que alcanzó el artículo? c) Cuál fue la tasa de variación media del precio durante los últimos 6 años? P(t) t + si 0 t (5/)t + 5 si < t 8 8t 0 < t < a) P'(t) (No eiste P'(), pues P'( ) P'( + )). 5/ < t < 8 P(t) es creciente en 0 < t < pues P'(t) > 0. P(t) es decreciente en < t < 8 pues P'(t) < 0. b) El máimo se alcanza en t, P() 0. P(8) P() c) T.V.M.[, 8], La función f tiene derivadas primera y segunda y es f'(a) 0 y f''(a) 0. S Puede presentar f un máimo relativo en el punto a? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí puede presentar un máimo. Por ejemplo: Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 0

31 f () en 0 es tal que: f' > 0 f' < 0 0 f'() f''() Por tanto: f'(0) 0 y f''(0) 0 En (0, 0) hay un máimo relativo. 9 Una función f es decreciente en el punto a y derivable en él. S Puede ser f'(a) > 0? Puede ser f'(a) 0? Puede ser f'(a) < 0? Razónalo. Si f es decreciente en a y es derivable en él, entonces f'(a) 0. Lo probamos: f decreciente en a signo de [ f () f (a)] signo de ( a) f () f (a) a < 0 f () f (a) Por tanto, f'() lím 0; es decir: f'(a) 0 a a Ejemplo: f'(a) es decreciente en Á y tenemos que: f'() f'(0) 0 (y f () es decreciente en 0) f'(0) < 0 para 0 0 La función (valor absoluto de ), presenta un mínimo relativo en algún punto? En qué puntos es derivable? Razónalo. si 0 si < 0 f () ; f'() si > 0 si > 0 f () no es derivable en 0, pues f'(0 ) f'(0 + ). Por tanto, f es derivable para 0. y Pero f () presenta un mínimo relativo en 0, pues f (0) 0 < f () si 0. De hecho, es el mínimo absoluto de f (). La derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable. Puede haber dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b)? Razónalo. Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

32 No es posible, si la función es derivable (y nos dicen que lo es, pues f'() > 0 para todo ). Lo probamos por reducción al absurdo: Supongamos que eisten dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b). f () es derivable para todo. Por el teorema de Rolle, habría un punto c, en el que f'(c) 0. Esto contradice el que f'() > 0 para todo. De una función f sabemos que f'(a) 0, f''(a) 0 y f'''(a) 5. Podemos asegurar que f tiene máimo, mínimo o punto de infleión en a? f tiene un punto de infleión en a. Veamos por qué: f'''(a) 5 > 0 f'' es creciente en a. Como, además, f''(a) 0, tenemos que f''() < 0 a la izquierda de a y f''() > 0 a su derecha. Es decir, f () cambia de convea a cóncava en a. Por tanto, hay un punto de infleión en a. Si f'(a) 0, cuál de estas proposiciones es cierta? a) f tiene máimo o mínimo en a. b) f tiene una infleión en a. c) f tiene en a tangente paralela al eje OX. Si f'(a) 0, solo podemos asegurar que f tiene en a tangente horizontal (paralela al eje OX). Podría tener un máimo, un mínimo o un punto de infleión en a. Por tanto, solo es cierta la proposición c). De una función f () se sabe que: S f () f () 0; f'() 0; f''() > 0 Qué puedes decir acerca de la gráfica de esta función? f () f () 0 f'() 0 f''() > 0 f tiene un mínimo en. 5 La representación gráfica de la función derivada de una función f, es una S recta que pasa por los puntos (, 0) y (0, ). Utilizando la gráfica de la derivada: a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f. b) Estudia si la función f tiene máimo o mínimo. Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

33 a) < f' > 0 f creciente > f' < 0 f decreciente b) f' 0 y tiene un máimo f' 6 S Si la gráfica de la derivada de g es una parábola que corta al eje OX en (0,0) y (, 0) y tiene por vértice (, ), qué puedes decir del crecimiento y decrecimiento de g? Determina si la función g presenta máimos o mínimos. Si < 0 g' < 0 g decreciente Si 0 < < g' > 0 g creciente Si > g' < 0 g decreciente 0 g' En 0 tiene un mínimo y en un máimo. 7 Estudia la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos de la función y. f () f'() si < + si si > si < si < < si > En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). La derivada se anula en 0. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 La función tiene un máimo relativo en (0, ). No tiene máimo absoluto ( lím f () lím f () + ). + Tiene un mínimo relativo en (, 0) y otro en (, 0). En estos puntos, el mínimo también es absoluto, puesto que f () 0 para todo. 8 Estudia los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la función dada por: y + Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

34 ± ± f () f'() + si < + si + si > + si < si < < + si > En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). Veamos dónde se anula la derivada: + 0 Pero f'() + para < y >. 0 y f'() para < < Por tanto, f'() se anula en. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, 0) y otro en (, 0). 9 La función f () + a + b + c verifica que f (), f'() 0 y que f no tiene etremo relativo en. Calcula a, b y c. Si es f'() 0 y no hay etremo relativo, tiene que haber una infleión en. f () + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a Unidad 7. Aplicaciones de la derivada

35 f () + a + b + c f'() 0 + a + b 0 f''() a 0 a b c 0 f () + 50 Una empresa de mensajería ofrece estas tarifas: Si la carga es menor de kg, costará 8 por kilo. A partir de kg, el precio por kilo se obtiene restando de 8 el número de kilos que eceden de. La carga máima que puede llevar un mensajero es 6 kg. Sea el peso de la carga, P() la función que nos da el precio por kilo de carga e I() la función que nos da los ingresos de la empresa. a) Halla las epresiones algebraicas de P() e I() y represéntalas. b) Para qué valor de se obtiene el máimo ingreso? a) Precio por kilogramo de carga: 8, 0 < 8, 0 < P() 8 ( ), 6 0, 6 Ingresos en función de los kilos de carga: 8, 0 < I() (0 ), 6 8, 0 < 0, P() I() b) Se obtiene el máimo ingreso para 5. Unidad 7. Aplicaciones de la derivada 5

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